2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）（講義）（解析版）

考點(diǎn)16.特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）（精講）

【命題趨勢】

特殊的三角形重在掌握基本知識的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10分左右，

預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形性質(zhì)與判定和勾股（逆）

定理、直角三角形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識點(diǎn)結(jié)合考查，這部分知識需要學(xué)生扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)，并且會(huì)靈活

運(yùn)用。在解答題中會(huì)出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定，這部分知識主要考查基礎(chǔ)。

【知識清單】

1：等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定（☆☆☆）

1）等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形角等腰三角形。

2）等腰三角形的性質(zhì)：（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對等角”）。

（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡稱“三線合一三。

3）等腰三角形的判定：若某三角形有兩個(gè)角相等，那這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）。

4）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形。

5）等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形的三條邊相等;（2）三個(gè)內(nèi)角都相等,且每個(gè)內(nèi)角都是婚；

（3）等邊三角形（邊長為“）的面積：追/。

4

6）等邊三角形的判定：（1）三邊相等或三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；

（2）有一個(gè)角是60。的笠腰三角形是等邊三角形。

2：垂直平分線的性質(zhì)與判定（☆☆）

1）垂直平分線的定理：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線（或線段

的中垂線）。

2）垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

3）垂直平分線的判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

3：勾股定理與逆定理及其應(yīng)用（☆☆）

1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊。、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+fa2=c2.

2）勾股定理的逆定理：若三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：。2+按42,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

4：直角三角形的性質(zhì)及計(jì)算（☆☆☆）

1）直角三角形的定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.

2）直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形兩個(gè)銳角互余；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;（3）

在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

3）直角三角形的判定：1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一

半，那么這個(gè)三角形是直角三角形；（3）有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）滿足勾股定理逆定

理的三角是直角三角形。

4）直角三角形的面積公式：s=-ab=-cm（其中：c為斜邊上的高，，"為斜邊長）。

22

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1.等腰三角形的邊有腰、底之分，角有頂角、底角之分，若題目中的邊沒有明確是底還是腰，角沒有明是頂

角還是底角，需要分類討論。

2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解

時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定

例1:（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題）若等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角為110°,則這個(gè)等腰三角形的底角是

（）

A.70°B.45°C.35°D.50°

【答案】C

【分析】先判斷出110°的內(nèi)角是這個(gè)等腰三角形的頂角，再根據(jù)等腰三角形的定義求解即可得.

【詳解】解：.,等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角為11。°，

1QQo_i1no

團(tuán)這個(gè)等腰三角形的底角是一--=35°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形定義，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相

變式1.（2023?湖南,統(tǒng)考中考真題）如圖，已知/ABC=50。，點(diǎn)。在54上，以點(diǎn)8為圓心，8。長為半徑

畫弧，交BC于點(diǎn)、E,連接DE,則N3DE的度數(shù)是度.

【分析】據(jù)題意可得=再根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等和三角形內(nèi)角和為180。進(jìn)行計(jì)算即可解

答.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：BD=BE,aZBDE=ZBED,

0ZABC+ZBDE+ABED=180°,ZABC=50。，回NBDE=/BED=65。.故答案為：65.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識點(diǎn)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)

鍵.

變式2.（2023?青海西寧?統(tǒng)考中考真題）在一ABC中，AB=AC,ZBAC=l00。，點(diǎn)。在3c邊上，連接

AD,若△ABD為直角三角形，則2D5的度數(shù)是.

【答案】50。或90。

【分析】由題意可求出/3=/C=40。，故可分類討論①當(dāng)/54。=90。時(shí)利②當(dāng)NAD3=90。時(shí)，進(jìn)而即

可求解.

1QQO_/A

【詳解】解：回AB=AC,ZBAC=100°,0ZB=ZC=——-——=40°.

回△ABD為直角三角形，團(tuán)可分類討論：①當(dāng)NBAD=90。時(shí)，如圖1,

0ZADB=180°-/BAD—NB=50°；

②當(dāng)NADB=90。時(shí)，如圖2,

綜上可知NADB的度數(shù)是50°或90。.故答案為：50°或90。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用等腰三

角形的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答.

例2：（2023?遼寧營口?統(tǒng)考中考真題）如圖，在.ABC中，以A為圓心，AC長為半徑作弧，交BC于C,

。兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于;CD長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P,作直線AP,交CD于點(diǎn)

E,若AC=5,CD=6,貝!|AE=.

【分析】利用圓的性質(zhì)得出AP垂直平分CD和AD=AC=5,運(yùn)用勾股定理便可解決問題.

【詳解】解：根據(jù)題意可知，以點(diǎn)c和點(diǎn)。為圓心，大于;。長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P,

回AP垂直平分C。即NAED=90°,EDE=|cD=3,

又回在一?中，以A為圓心，AC長為半徑作弧，交BC于C,。兩點(diǎn)，其中AC=5,回4?=AC=5,

在VADE中，AE=y/AD2-DE2=4,故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓和三角形的相關(guān)性質(zhì)，掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測）圖1為紅斑鐘螺，殼型為圓錐形.多分布在菲律賓、以及我國臺

灣墾丁等區(qū)域.現(xiàn)有一個(gè)"鐘螺"小擺件，可近似看成圓錐形，圖2為其主視圖，其中AB=13cm,擺件的

高度為12cm.現(xiàn)要在AB上選取一個(gè)位置尸安裝掛鉤，在該點(diǎn)與C之間布設(shè)導(dǎo)線，線路上安裝微型小彩

燈，若掛鉤以及導(dǎo)線連接處等長度損耗忽略不計(jì)，則最短線路，即CP的最小值為（）

4

圖I圖2

reUUUUI—

A.10cmB.cmC.—cmD.3cm

1313

【答案】B

【分析】過點(diǎn)A作AH，3c于點(diǎn)H,過點(diǎn)C作",居于點(diǎn)M,由題意可知，AB=AC=13cm,

AH=12cm,B/f=C”=qBC,由勾股定理得到Z?//=5cm,則BC=23"=10cm,由

S皿得到!10xl2=《xl3xCM,得到CM="cm,根據(jù)垂線段最短，則CP的

222213

最小值即為CM的長，即CP的最小值為1詈20cm.

【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)H,過點(diǎn)C作，4?于點(diǎn)M,

由題意可知，AB=AC=13cm,AH=12cm,BH=CH=—BC,

2

回BH=>JAB2-AH2=V132-122=5(cm),0BC=2BH=10cm,

E1sc=-BCAH=-ABCM,gp-10x12=-xl3xCM,

As2222

1X10X12=-X13XCM,0CM=—cm,

2213

根據(jù)垂線段最短，則C尸的最小值即為CM的長，即CP的最小值為1譚20cm.故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形判定和性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

變式2.(2022?江蘇蘇州?中考真題)定義：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做"倍

長三角形".若等腰AABC是"倍長三角形"，底邊BC的長為3,則腰AB的長為.

【答案】6

【分析】分類討論：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC,然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】解：：△ABC是等腰三角形，底邊BC=3.MB=AC

當(dāng)AB=AC^2BC時(shí)，AABC是"倍長三角形”；

當(dāng)BC=2AB=2AC時(shí)，AB+AC=BC,根據(jù)三角形三邊關(guān)系，此時(shí)A、B、C不構(gòu)成三角形，不符合題意;

所以當(dāng)?shù)妊麬ABC是"倍長三角形"，底邊BC的長為3,則腰A8的長為6.故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，三角形的三邊關(guān)系，涉及分類討論思想，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用

分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

例3：（2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模）如圖，分別以A、8為圓心，大于;的長度為半徑作弧，交點(diǎn)分別為

M,N,連接交AC于點(diǎn)。，下列說法一定正確的是（）

A

A.△ABD是直角三角形B.△BCD是等腰三角形

C.△ABD是等腰三角形D.,ASC是等腰三角形

【答案】C

【分析】根據(jù)作圖可知：點(diǎn)。在線段的中垂線上，進(jìn)而得到9=AC>,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由題意，得：點(diǎn)O在線段AB的中垂線上，

SBD=AD,回△ABO是等腰三角形；故選項(xiàng)C一定正確，故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的判定.熟練掌握中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，

是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?廣東湛江?三模）如圖，在AABC中，AB=7,AC=5,BC=6,/ABC和ZACB的平分線

相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作3C的平行線交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸.貝F的周長為（）

A.9B.11C.12D.13

【答案】C

【分析】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊；根據(jù)角平分線的定義與平行線的性質(zhì)可

得ZEDB=ZEBD,得出BE=ED,同理可得上=PC,進(jìn)而根據(jù)三角形的周長公式，即可求解.

【詳解】解：或＞是NABC的平分線，.?.NEBD=/D3C,

EF//BC:.ZEDB=ZEBD,:.BE=ED,同理可得分=FC,

A￡尸的周長即為AB+AC=7+5=12.故選：C.

變式2.（2021?江蘇揚(yáng)州市?中考真題）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B,連接AB,在網(wǎng)

格中再找一個(gè)格點(diǎn)C,使得‘ABC是等曖目角三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①A8為等腰直角AABC底邊；②AB為等腰直角AABC其

中的一條腰.

【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角AABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有。個(gè)；

②AB為等腰直角AABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有3個(gè).故共有3個(gè)點(diǎn)，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合

的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.

例4：（2023?湖北荊門?統(tǒng)考中考真題）如圖，8。是等邊，1BC的中線，以。為圓心，DB的長為半徑畫

弧，交BC的延長線于E,連接DE.求證：CD=CE.

A

【答案】見解析

【分析】利用三線合一和等腰三角形的性質(zhì)，證出/￡=/2,再利用等邊對等角即可.

【詳解】證明：Q8D為等邊ABC的中線，/I=60。=/3=30。

BD=DE,:.ZE=Z3=30°Z2+Z￡,=Z1=6O°,ZE=Z2=30°/.CD=CE

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，理解記憶相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題)如圖，8。是等邊ABC的邊AC上的高，以點(diǎn)。為圓心，03長

為半徑作弧交BC的延長線于點(diǎn)E,則"EC=()

【答案】C

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)求解NOBC=:/ABC=30。，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得

2

/DBE=NDEB=30°,從而可得答案.

【詳解】解：回8。是等邊，ABC的邊AC上的高，0ZDBC=|ZABC=30°,

SDB=DE,SZDBE=ZDEB=30°,故選C

【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)是解

本題的關(guān)鍵.

變式2.(2022?安徽?中考真題)已知點(diǎn)。是邊長為6的等邊AABC的中心，點(diǎn)P在AABC外，AABC,

△PAB,APBC,APCA的面積分別記為S0,S,,S2,S}.若豆+S?+S3=2S。，則線段OP長的最小值是

()

A.空B.也C.373D.逋

22X。2

【答案】B

【分析】根據(jù)S1+S2+S3=2S。，可得￡=gs。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得AABC中AB邊上的高％和

△力B中AB邊上的高為的值，當(dāng)P在C。的延長線時(shí)，OP取得最小值，OP=CP-OC,過。作OEJ_BC,求得

0c=2石，則可求解.

【詳解】解:如圖，

A

/\

BE~

S2—sPDB+sBDC,S3—sPDA+sADC,

???H+S2+S3=H+(S"+%DC)+(SPDA+SADC)=§1+(Spdb+SPDA)+(SBDC+Sec)

=S]+SPAB+SABC=SI+S|+SO=2SI+So=2So，Hugs。，

設(shè)AABC中A8邊上的高為九，ARAB中A8邊上的高為也，

貝(JSo=1?6稔3%,Sj=|AB./z,=1?6./Z,3均，

3飽=：?3"，：,h,=2h2,;△ABC是等邊三角形，

：-%=護(hù)-(}=36，用二九號百，

/.點(diǎn)P在平行于AB,且到AB的距離等于|6的直線上，

當(dāng)點(diǎn)P在C。的延長線上時(shí)，OP取得最小值，過。作。ELBC于E,

CP=%+%：0是等邊AABC的中心，OEX6C

：.ZOCE=30°,CE=-BC=3：.0C=20E

2

,/OE1+CE2=OC2,/?OE-+32=（2OE）2,解得0E=不,/.0C=2下,

；.0P=CP-0C=2G2后=*技故選B.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，弄清題意，找到P點(diǎn)的位置是

解題的關(guān)鍵.

例5：（2023?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊三角形ABC的邊長為6cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)以

2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作2A3,交邊AC于點(diǎn)0,以PQ為邊作等邊三角形

PQD,使點(diǎn)A,。在PQ異側(cè)，當(dāng)點(diǎn)。落在3C邊上時(shí)，點(diǎn)尸需移動(dòng)s.

【答案】1

【分析】當(dāng)點(diǎn)。落在BC上時(shí)，如圖，取=他-心=6-2x,根據(jù)等邊三角形，ABC是等邊三

角形，證明—APQW.BDP,進(jìn)而可得尤的值.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X（S）,由題意得AP=2x,BP=AB-AP=6-2x,

回△PQD和ABC是等邊三角形，SZA=ZB=ZDPQ=60°,PQ=PD,

0ZBPD=30°,0ZPDB=9O°,0PD1BC,0.APQ^^BDP（AAS）,0BD=AP=2x,

B1BP=2BD,136-2x=4x,解得x=l.故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈

活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2024?上海普陀?統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)尸為等邊三角形ABC的重心，D為ABC一邊上的中點(diǎn)，如果

這個(gè)等邊三角形的邊長為2,那么PD=.

【答案】B

3

【分析】本題主要考查了重心的概念，等邊三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.延長

AG交于點(diǎn)。，根據(jù)重心的概念得到8D=DC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD根據(jù)勾股定理

求出AD即可得到答案.

【詳解】解：延長AG交BC于點(diǎn)。，「等邊ABC,:.AD±BC,

。為，ABC一邊上的中點(diǎn)，.???Br）=OC=l,AD=y/AB^BD2=722-12=A/3>

點(diǎn)尸為等邊三角形ABC的重心，，「。二」人。=走.故答案為：立.

333

變式2.（2023?浙江杭州?校聯(lián)考二模）如圖，ABC為等邊三角形，在AC,3c邊上分別任取一點(diǎn)P，Q,

使得AP=CQ,連接A。、8尸相交于點(diǎn)。，現(xiàn)有如下兩個(gè)結(jié)論：①A產(chǎn)=OPAQ；②若PC=2AP,則

BO=6OP；下列判斷正確的是（）

A.①對，②對B.①對，②錯(cuò)C.①錯(cuò)，②對D.①錯(cuò),②錯(cuò)

【答案】A

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到乙鉆尸=/6。尸3=AQ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到①正確；根

據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到鉆=AC,根據(jù)線段的和差得到CP=8。，過尸作P。8c交A。于。，根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)得到②正確.

【詳解】解：在等邊，ABC中，AB^AC,ZBAC=ZC=60°,

AB=AC

在，AB尸與4cA。中，=

AP=CQ

.ABP.CA2（SAS）,ZABP=ZCAQ,PB=AQ,

Apnp

ZAPQ=NBPA,.-.APD^,BPA,：.—=g,

PBAP

.AP2=OPPB,：.AP2=OP-AQ,故①正確；

一ABC是等邊三角形，..AC=3C,AP=CQ,:.CP=BQ,

PC=2AP,：BQ=2CQ,如圖，過尸作PDBC交AQ于D,

,「9s_AQC,POZS5OQ,.

CQAC3BQBO

CQ=3PD,BQ=6PD,：.BO=6OP,故②正確；故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練

掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

例6：（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)。在ABC內(nèi)部，ZMB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到一瓦1C,請?zhí)砑右粋€(gè)

條件：.使得VADE是等邊三角形.

【答案】ZBAC=60?；騈ZME=60?；駻D=DE或者DE=AE

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等

三角形的性質(zhì)定理和等邊三角形的判定即可得到結(jié)論.

【詳解】解：D4B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到.E4C,貝IDAB^EAC,:.AD=AE,

若添加條件：AD=D￡或者=貝必E4D是等邊三角形；

若添加條件：㈤0=60。，貝LEW是等邊三角形；

若添加條件：ZBAC=60°,DAB^EAC,:.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

:.ZEAD=ZCAE+ZCAD=ZBAD+ZCAD=60°,/.E4D是等邊三角形;

故答案為：的。=60?；?714￡=60?；?）=。后或者上=鉆.

變式L（2022?浙江嘉興?中考真題）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請幫他在橫線上

【答案】NA=60°（答案不唯一）

【分析】利用等邊三角形的判定定理即可求解.

【詳解】解：添加NA=60。，理由如下：

1QAO_/\

一ABC為等腰三角形，.^./B=NC=---=60°,

ABC為等邊三角形，故答案為：NA=60°（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的判斷定理.

變式2.（2021?廣東廣州?中考真題）如圖，在四邊形48co中，NABC=90。，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且

AC=AD

（1）尺規(guī)作圖：作NG4D的平分線AF,交C。于點(diǎn)F,連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）在（1）所作的圖中，若NBAD=45。，AZCAD=2ZBAC,證明：BEF為等邊三角形.

【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)基本作圖一角平分線作法，作出NO。的平分線AF即可解答;

（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到BE=：AC并求出N3￡C=Na4C+/4BE=30。，再根據(jù)等腰三角

形三線合一性質(zhì)得出CF=O尸，從而得到EF為中位線，進(jìn)而可證ZBEF=60°,從而由有一個(gè)

角是60。的等腰三角形是等邊三角形得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）如圖，AF平分NC4D,

（2）VZA4D=45°,且NG4D=2NBAC,AACAD=30°,ABAC=15°,

VAE=EC,ZABC=90。，BE=AE=-AC,

2

ZABE=ABAC=15。，；./BEC=ZBAC+ZABE=30°,

又平分NC4D,AC=AD,：.CF=DF,

又；AE=EC,：.EF=-AD=-AC,EF//AD,

22

NCEF=Z.CAD=30°,；.NBEF=NBEC+NCEF=60°

又；BE=EF=^AC；.一班下為等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖和等腰三角形性質(zhì)以及與三角形中點(diǎn)有關(guān)的兩個(gè)定理，解題關(guān)鍵是掌握

等腰三角形三線合一定理、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半以及三角形中位線定理.

例7：（2024?福建福州??？家荒＃┤鐖D，尸是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6,尸3=8,PC=10.

⑴尺規(guī)作圖：作出將AR4c繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60后得到△PAB（不要求寫作法，但需保留作圖痕跡）;

⑵求/APB的度數(shù).

【答案】⑴見解析（2）150。

【分析】（1）以點(diǎn)8為圓心，PC為半徑畫弧，以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)

P',連接A",3P即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出/R4P=60。，PA=PA=6,PB=PC=W,證明4Pz

為等邊三角形，證明尸尸'為直角三角形，得出N3PP'=90。，即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）解：將△9C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后所得到的△PAB,如圖所示:

0繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后所得到的乙PAB,

回/R4P=60°,PA=PA=6,PB=PC=W,回_240為等邊三角形,

回尸P=B4=6,ZP'PA=60o,在45Pp中，P'B~=：102=62+82=PP'2+PB2,

03Pp為直角三角形，且Nfi尸產(chǎn)=90°,IBZAPB=APPA+ZBPP'=60°+90°=150°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)作圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì).

變式1.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZB=60°,BC=3,將

ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△EDC的位置，點(diǎn)5的對應(yīng)點(diǎn)。首次落在斜邊A3上，則點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑的長

為.

【答案】馬

【分析】首先證明△BCD是等邊三角形，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可.

【詳解】解：在RtAABC中，0ZACB=90°,/3=60。，BC=3,SAB=2BC=6,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=C4=JAB2_BC2=3出,^ACE=ZBCD=90°-ZACD,CB=CD,

El△3CD是等邊三角形，0ZBCD=60°=ZACE,

El點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑的長為‘°"=粗兀.故答案為：事!兀.

180

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，含30。直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式等知識，

解題的關(guān)鍵是證明△臺?！跏堑冗吶切?

變式2.(2022?湖南懷化?中考真題)如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)/W為AB邊上任意一點(diǎn)，延長BC至

點(diǎn)N,使CN=A/W,連接/WN交AC于點(diǎn)P,MH_LAC于點(diǎn)H.

⑴求證：MP=NP；(2)若AB=a,求線段PH的長(結(jié)果用含。的代數(shù)式表示).

【答案】⑴見詳解；⑵0.5a.

【分析】(1)過點(diǎn)M作MQ〃CN,證明△M。尸三△NCP即可；

(2)利用等邊三角形的性質(zhì)推出A”=HQ,則PH=HQ+PQ=0.5(AQ+CQ).

(1)如下圖所示，過點(diǎn)M作/WQ〃CM

?.二ABC為等邊三角形，MQ//CN,==

AC-

貝l]4M=AQ,且/A=60°,△AM。為等邊三角形，貝I]MQ=AM=CN,又,：MQ〃CN,:.NQMP=/CNP,

ZMPQ=ZNPC

在△MQ尸與△NC741,<ZQMP=NCNP：.AMQP=/\NCP,貝ijMP=NP；

QM=CN

(2)；△40。為等邊三角形，且MH_LAC,；.A”=”Q,

又由(1)得，AMQP=ANCP,貝I」PQ=PC,：.PH=HQ+PQ=0.5(AQ+CQ)=0.5AC=0.5a.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形全等的判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

核心考點(diǎn)2.垂直平分線的性質(zhì)與判定

例8：（2023?廣東清遠(yuǎn)?統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，ZA>Z6.

⑴請用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)E,使得E4=EB（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）在（1）的條件下，連接AE,若N3=48。，求NAEC的度數(shù).

【答案】⑴見解析；（2）96。

【分析】（1）作AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E即可;

（2）結(jié)合（1）利用三角形的外角定義即可解決問題.

EZBAE=ZB=48°,

0ZAEC=ZB+ZBAE=480+48°=96°.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法.

變式L（2023?河北?模擬預(yù)測）在..ABC中，NA是鈍角，則該三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)可能在下圖

中的（）

?P

oA

A.M點(diǎn)B.N點(diǎn)C.。點(diǎn)D.P點(diǎn)

【答案】A

【分析】作出其中兩條邊的垂直平分線即可判斷.

【詳解】解：回三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，

團(tuán)作出其中兩條邊的垂直平分線即可即可判斷交點(diǎn)位置，如圖，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查線段的垂直平分線，熟練掌握垂直平分線的作法是解決問題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考二模）閱讀以下尺規(guī)作圖的步驟：（1）作射線3。，在射線3。上截取

BC=4cm；

（2）分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于13c的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E、F:（3）作直線ER交3c于

2

點(diǎn)。；（4）在直線封上截取Q4=5cm；（5）連接Ab,AC,則可以說明AB=AC的依據(jù)是（）

A

D

A.線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

B.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

C.等腰三角形的"三線合一"

D.平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

【答案】A

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟可得直線所垂直平分BC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：由尺規(guī)作圖的步驟可知，直線斯垂直平分8C,

則鉆=AC（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、以及性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖是解題

關(guān)鍵.

例9：（2023?海南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，ZC=40°,分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于13c的

長為半徑畫弧，兩弧相交于“，N兩點(diǎn)，作直線MN,交邊AC于點(diǎn)D,連接8。，則-4）3的度數(shù)為

C.80°D.100°

【答案】C

【分析】由作圖可得：為直線8C的垂直平分線，從而得到BD=CD,則NDBC=NC=40。，再由三

角形外角的定義與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：由作圖可得：MN為直線BC的垂直平分線,

:.BD=CD,:.ZDBC=ZC=40°,

ZADB=ZDBC+ZC=40°+40°=80°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂線，線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義

與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，NA=40。，ZC=90°,線段AB的垂直平

分線交A3于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,貝UN￡BC=.

【分析】由NC=90。，ZA=40°,求得NABC=50。，根據(jù)線段的垂直平分線、等邊對等角和直角三角形

的兩銳角互余求得.

【詳解】解：VZC=90°,ZA=40°,：.ZABC=50°,

：DE是線段AB的垂直平分線，=BE,/ER4=NA=40。，

ZEBC=ZA￡C-ZEBA=10°,故答案為：10。.

【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?廣東?統(tǒng)考二模）如圖，在.ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)8為圓心，大于的長為半徑作

弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，連接MN,交于點(diǎn)以點(diǎn)H為圓心，的長為半徑作的弧恰好經(jīng)過

點(diǎn)C,以點(diǎn)8為圓心，BC的長為半徑作弧交A8于點(diǎn)。，連接CD,若NA=22。，則ZBDC=（）

【答案】C

【分析】連接s,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到=推出NACB=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

即可得到結(jié)論.

【詳解】連接S,由題意得，直線MN是線段的垂直平分線，.?.44=府，

CH=AH,：.CH^-AB,:.ZACB=90°,

2

■?A22?,:.ZACH=ZA=22°,ZBCH=ZB=68°,

BC=BD,：.ZBDC=ZBCD=1（180°-68°）=56°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的

判定，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

例10：（2023?浙江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，AC的垂直平分線交3C于點(diǎn)O,交AC于點(diǎn)E,

ZB=ZADB.若AB=4,則0c的長是.

【答案】4

【分析】由=可得AD=AB=4,由DE是AC的垂直平分線可得AD=DC,從而可得

DC=AB=4.

【詳解】解：^ZB=ZADB,UiAD=AB=4,

團(tuán)DE是AC的垂直平分線，SAD=DC,SDC=AB=4.故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等角對等邊等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的

關(guān)鍵.

變式1.（2023?天津?統(tǒng)考中考真題）如圖，在一ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于［AC的長為半徑

2

作弧（弧所在圓的半徑都相等），兩弧相交于M,N兩點(diǎn)，直線MN分別與邊BCAC相交于點(diǎn)0,E,連

接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,則AB的長為（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】D

【分析】由作圖可知直線為邊AC的垂直平分線，再由B￡>=r）C得到AD=OC=3D=5,則可知

三點(diǎn)在以。為圓心BC直徑的圓上，進(jìn)而得到4AC=90。，由勾股定理求出AB即可.

【詳解】解：由作圖可知，直線MN為邊AC的垂直平分線，

0AD=5HDC=AD=5,B1BD=DC,S1AD=DC=BD=5,

回A,B,C三點(diǎn)在以。為圓心3C直徑的圓上，fflZBAC=90°,

0A￡=4,0AC=80AB=VSC2-AC2=6.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)和勾股定理，解答關(guān)鍵是熟練掌握

常用尺規(guī)作圖的作圖痕跡，由作圖過程得到新的結(jié)論.

變式2.（2023?青海?統(tǒng)考中考真題）如圖，在aABC中，DE是3C的垂直平分線.若A3=5,AC=8,則

△ABD的周長是.

【答案】13

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到助=CD,即可求解.

【詳解】解：Z）E是5c的垂直平分線.，3r）=CD,.?.AC=AD+CD=AD+2D,

二一ABD的周長=AB+AO+BD=AB+AC=5+8=13,故答案為：13.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

核心考點(diǎn)3.勾股定理與逆定理及其應(yīng)用

例11：（2023,江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長

短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其

高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰

好相等.問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺.

【答案】8

【分析】設(shè)門高x尺，則竿長為（x+2）尺，門的對角線長為（x+2）尺，門寬為（x-2）尺，根據(jù)勾股定理即

可求解.

【詳解】解：設(shè)門高x尺，依題意，竿長為（x+2）尺，門的對角線長為（x+2）尺，門寬為X+2-4=（X-2）

尺，回（尤+2）2=V+（X-2）2,解得：x=8或x=0（舍去），故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，世界上第

一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》.現(xiàn)有勾股數(shù)a,b,c,其中b均小于c,

?=c=；M+g,加是大于1的奇數(shù)，貝1]6=（用含加的式子表示）.

【答案】m

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到“，6為直角邊，c為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得

到。的值.

【詳解】解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)a,b,c,其中a,b均小于c,

a,匕為直角邊，C為斜邊，；.+萬2=（萬療—5）2+匕2=（萬療+4

得至+_1+萬2=+工，:.及=病，:.b=+m,

424424

小是大于1的奇數(shù)，."=〃?.故答案為：機(jī).

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，分清楚。，6為直角邊，c為斜邊是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?四川廣安?統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁

離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的

點(diǎn)5處，則螞蟻從外壁5處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為cm.（杯壁厚度不計(jì)）

B

【答案】io

【分析】如圖（見解析），將玻璃杯側(cè)面展開，作8關(guān)于取的對稱點(diǎn)"，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A9

的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作3關(guān)于所的對稱點(diǎn)作B'DLAE,交AE延長線于點(diǎn)D,

連接A2,

由題意得：DE=\BB=lcm,=9-4=5（cm）,二AD=AE+DE=6cm,

團(tuán)底面周長為16cm,，8'￡>=；xl6=8（cm）,；,AB'm{AD。+B'D°=10cm，

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁8處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為AB'=10cm,故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開一一最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是

解題的關(guān)鍵.同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

變式3.（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）如圖，小紅家購置了一臺圓形自動(dòng)掃地機(jī)，放置在屋子角落（書柜、

衣柜與地面均無縫隙）.在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機(jī)能自動(dòng)從底座脫離后打掃全屋地面.若這臺

掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，則圖中的尤至少為（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：百名4.58）.

圖1圖2

【答案】46

【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解決實(shí)際問題.

【詳解】解：如圖過點(diǎn)A、8分別作墻的垂線，交于點(diǎn)C,則AC=(x—60)cm,5C=60-30=30cm,

在RtABC中，AC-+BC2=AB-,即(x-60『+302=AB?

回這臺掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，國這臺掃地機(jī)的直徑不小于A3長，

即最小時(shí)為(x-60y+3()2=332,解得：％=3收+60(舍)，％=-3石'+60746cm,

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

例12：（2022?湖南永州?中考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅"趙爽弦圖"，極富創(chuàng)新意識地給出了勾

股定理的證明.如圖所示，"趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，

若大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,則AE=.

【答案】3

【分析】根據(jù)題意得出A8=BC=Ci）=D4=5,EF=FG=GH=HE=1,設(shè)AF=DE=CH=BG=x,結(jié)合圖形得出

AE=X-L利用勾股定理求解即可得出結(jié)果.

【詳解】解：回大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,

B1AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,根據(jù)題意，設(shè)AF=DE=CH=BG=x,

則在RfAAEO中，AE2+ED2^AD2,即（x-吁=5?,

解得：x=4（負(fù)值已經(jīng)舍去），ax-l=3,故答案為：3.

【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，一元二次方程的應(yīng)用等，理解題意，綜合運(yùn)用

這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

變式1.（2023?廣東東莞?校聯(lián)考二模）如圖，正方形A3CD的邊長為4,其面積標(biāo)記為航，以CO為斜邊

作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2,...按照此規(guī)

【答案】A

【分析】本題主要考查規(guī)律型：圖形變化類，由特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律，先用勾股定理求出第二個(gè)正方

形的邊長，進(jìn)而找到邑與鳥之間的關(guān)系，依次類推，得出規(guī)律，進(jìn)而得出答案.

22

【詳解】解：團(tuán)正方形ABCD的邊長為4,0S1=DC=4=16,

團(tuán)一DEC是等腰直角三角形，國DE=EC,

9191

回應(yīng)2+酸2=Dd，團(tuán)OE=]OC=5百=8,

2

I3S2=DE=8,同理53=京2=系，邑=■，回5“=/工,

2018

4

?$2023=22022=22022X2，故選：A.

變式2.（2023?浙江溫州??？级＃┰凇端聫R難題》書中，有這樣一道題：五個(gè)正方形ABC。，CEFG,

FHMN,GNPQ,OGST如圖所示排列，其中點(diǎn)A、B、E、H、用共線，可得結(jié)論：正方形CEPG與ASG。

的面積相等.若正方形CEPG與ASG。的面積之和為120,則正方形。GST與正方形GNP。面積之和為

A.270B.300C.320D.350

【答案】B

【分析】如圖，過G作GK八8交DC的延長線與K,交N尸的延長線與J,證明VBCE紂HEF,可得

CE2=BC2+