2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：橢圓及其性質(zhì)（九大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第05講橢圓及其性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程...................................................2

題型二：橢圓方程的充要條件.....................................................2

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題.................................3

題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題...............................................3

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題.............................................4

題型六：離心率的值及取值范圍...................................................4

題型七：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題.................................................5

題型八：利用第一定義求解軌跡...................................................6

題型九：橢圓的實(shí)際應(yīng)用.........................................................7

02重難創(chuàng)新練..................................................................8

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................10

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

1.已知月（0,-1）,居（0,1）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過尸2且垂直于y軸的直線交C于A,B兩點(diǎn)，且|A5|=3,

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

2.已知橢圓E：二+2=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為乙，F(xiàn)2,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P,。兩點(diǎn),

ab

且產(chǎn)乙，乙。，且|尸國(guó)+內(nèi)。=8,則石的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

3.已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2,0）,（2,0）,并且經(jīng)過點(diǎn)弓，-T

,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

題型二：橢圓方程的充要條件

22

4.若方程上+^^=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

m4-m

A.m>0B.m<4C.0<m<4D.0vzn<4且相。2

2

5.若曲線C:（"4）/+」—=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

6—k

A.（4,6）B.（4,5）C.（5,6）D.（4,5）_（5,6）

22

6.若方程，+工=1表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，貝口的取值范圍是（）

4一1t-1

7.（2024.河南.模擬預(yù)測(cè)）若方程（加+1）/+（1-刃）尸=1_病表示焦點(diǎn)在左軸上的橢圓，則（

A.B.0<m<1

C.—1<m<0D.—l<m<O^O<m<l

22

8.設(shè)加為實(shí)數(shù)，若方程二一+工=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

2-mm-1

33

A.—<m<2B.m>—

22

3

C.l<m<2D.l<m<—

2

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題

9.已知居,尸2是橢圓c：二■+與=1（“>6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且坨，尸圾，若一尸尸石的

ab

面積為9,則6的值為.

22

10.設(shè)橢圓宗+/=1的左右焦點(diǎn)為片,歹2,橢圓上點(diǎn)p滿足|防|：|尸用=2:3,貝I尸耳工的面積為.

22_

11.已知%「2分別是橢圓C：=+3=1（°>，>0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為百-1,尸是C在

ab

第一象限上的一點(diǎn).若尸耳則cos/尸外居=.

22

12.已知橢圓匕+土=1的焦點(diǎn)為F1、尸2，P為該橢圓上任意一點(diǎn)（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)），貝U尸耳尺的周長(zhǎng)為

2516

（）

A.10B.13C.14D.16

題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題

22

13.（2024?寧夏銀川?二模）已知橢圓C：,+1_=1的左焦點(diǎn)為％/為橢圓C上任意一點(diǎn)，貝的

最小值為.

14.已知A3=4,點(diǎn)尸在點(diǎn)A,8所在的一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且叢+P8=6,則%的最大值是,最小值

是.

22_

15.過橢圓c:「+多=1（。>b>0）的右焦點(diǎn)廠且與長(zhǎng)軸垂直的弦的長(zhǎng)為3冊(cè),過點(diǎn)尸（2,1）且斜率為T的直

ab

線與C相交于4,8兩點(diǎn)，若P恰好是A3的中點(diǎn)，則橢圓C上一點(diǎn)加到廠的距離的最大值為.

16.已知橢圓C：m+x2=l（a>l）的離心率為變，尸為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（-2,0）,貝口外|的最

a2

大值為________

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題

22_________________________________

17.設(shè)實(shí)數(shù)羽4滿足爭(zhēng)5=1,4+;/一23；+1+6+/一2彳+1的最小值為（）

A.2A/5-A/2B.1+75C.&D.前三個(gè)答案都不對(duì)

22

18.（2024?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：3_+4=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，A是C上一點(diǎn),

3（2,1）,則|鈣|+|四|的最大值為（）

A.7B.8C.9D.11

22

19.已知點(diǎn)尸為橢圓亍+（=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為（x-iy+V=l和（x+l『+y2=i上的點(diǎn)，則

|PM|+|PN|的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

2

20.已知耳，F(xiàn)?分別為橢圓c：?+y2=i的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，則|P￡|-|P閭的最大值為（）

A.2B.2上C.4D.

題型六：離心率的值及取值范圍

22

21.已知橢圓3+2=1（?！?gt;0）的左右焦點(diǎn)為%F2,以區(qū)圖為直徑的圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓離

cib

心率的范圍為（）.

22

22.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:0+與=1（。>>>0）的右焦點(diǎn)為尸，過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線/與橢圓

ab

C交于A,B兩點(diǎn).在△AFB中，NAEB=120。，且滿足以,=瘋?。，則橢圓C的離心率為.

22

23.（2024?高三?河北保定?開學(xué)考試）如圖，設(shè)橢圓c：\+A=l（a>6>0）的左焦點(diǎn)為歹，上頂點(diǎn)為A,

ab

右頂點(diǎn)為8,且E4.AB=0，則C的離心率為.

22

24.（2024.高三.福建.開學(xué)考試）已知橢圓二+J=1的右焦點(diǎn)廠與拋物線y2=2px（p>0）焦點(diǎn)重合，M是

橢圓與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，|“同=6-3點(diǎn)，則橢圓的離心率為.

22

25.（2024?高三,河北滄州?期中）已知耳,B為橢圓C:與+鼻=1（。>6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn),

且P耳罵的周長(zhǎng)為6,面積的最大值為由，則橢圓C的離心率為.

26.己知片,工為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn),若"五石的三邊「耳|，|耳閭，歸國(guó)成等差數(shù)列，則C的

離心率為.

22

27.如圖所示，已知橢圓C:0+與=l（a>0,b>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，B，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8在，軸上,

F.ALF.B,\BF^=4\AF2\,則C的離心率為.

F\OEX

題型七：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題

22_

28.（多選題）連接橢圓C:，+二=1（〃>石）的三個(gè)頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為2?,記橢圓C的右焦點(diǎn)

為尸,則

A.a=4B,橢圓C的離心率為；

2

C.橢圓C的焦距為2s'D.橢圓。上存在點(diǎn)P,使電H病

22

29.（多選題）（2024?福建廈門.一模）設(shè)橢圓C：A+3=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為小工，過耳的

直線與C交于A,2兩點(diǎn)，若內(nèi)閶=2,且的周長(zhǎng)為8,貝|（）

A.a=2B.C的離心率為!

C.|A3|可以為兀D.2區(qū)4工可以為直角

22

30.（多選題）若矩形ABCD的所有頂點(diǎn)都在橢圓E:J+匕=1（°>0）上，且|明=2拒，|AC|=2石，點(diǎn)尸

a2

是E上與A,B,C,￡>不重合的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4B.存在點(diǎn)尸，使得PA.PC=1

C.直線PA,PB的斜率之積恒為-!D.直線PAPC的斜率之積恒為-!

22

22

31.（多選題）（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知片,月是橢圓E:匕+二=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓E上，則

43

（）

A.點(diǎn)耳,K在1軸上B.橢圓石的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

C.橢圓E的離心率為:D.使得,、耳尸外為直角三角形的點(diǎn)P恰有6個(gè)

22

32.（多選題）（2024.高三.河南?期中）已知B,尸2分別是橢圓3+上=1（心6>0）的左、右焦點(diǎn)，且欲，招工，

ab

直線AB與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B,且人鳥=318,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的布倍B.線段的長(zhǎng)度為

C.橢圓的離心率為也D.耳瑪?shù)闹荛L(zhǎng)為紀(jì)后。

33

22

33.（多選題）（2024.全國(guó).二模）已知圓O：/+y2=3經(jīng)過橢圓c：當(dāng)+[=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)

ab"

F、,F2,且尸為圓。與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且.了4尸2的面積為1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2B.橢圓C的短軸長(zhǎng)為2

C.橢圓。的離心率為:D.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

題型八：利用第一定義求解軌跡

34.（2024.安徽.二模）已知定點(diǎn)A（0,2）,B（0,-2）,C（3,2）,以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A,2兩點(diǎn)的橢圓，則

橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是.

35.已知M（-2,0）,尸是圓N:x?-4x+y2-32=0上一動(dòng)點(diǎn)，線段回P的垂直平分線交NP于點(diǎn)Q,則動(dòng)點(diǎn)

Q的軌跡方程為.

36.（2024?高三?廣東揭陽?期中）設(shè)A,2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-5,0）,（5,0）,直線AM、相交于點(diǎn)以，

且它們的斜率之積是T,則點(diǎn)M的軌跡方程是.

37.若VABC的兩個(gè)頂點(diǎn)8（0,-3）,C（0,3）,周長(zhǎng)為16,則第三個(gè)頂點(diǎn)A的軌跡方程是.

38.圓。1：（尤+2）2+^=1與。2：（X一2）2+丫2=49的位置關(guān)系為；與圓G，g都內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡

方程為.

題型九：橢圓的實(shí)際應(yīng)用

39.（2024.重慶.三模）如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)尸變軌

進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的

橢圓軌道n繞月飛行，最終衛(wèi)星在尸點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以尸為圓心的圓形軌道ni繞月飛行，若用2q和2c2

分別表示橢圓軌道I和n的焦距，用2%和2g分別表示橢圓軌道I和n的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，則（）

A.ax-cx<a2-c2B.ax+c1<a2+c2

c.包>2D.

d-yCl?41

40.2022年神舟接力騰飛，中國(guó)空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中飛船與空間站的對(duì)

接，需要經(jīng)過多次變軌.某飛船升空后的初始運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其遠(yuǎn)地點(diǎn)（長(zhǎng)

軸端點(diǎn)中離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）到地面的距離為I，近地點(diǎn)（長(zhǎng)軸端點(diǎn)中離地面最近的點(diǎn)）到地面的距離為$2,

地球的半徑為R,則該橢圓的短軸長(zhǎng)為（用H，S>R表示）.

41.如圖所示，為完成一項(xiàng)探月工程，某月球探測(cè)器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心廠為圓心的圓

形軌道I上繞月球飛行，然后在P點(diǎn)處變軌進(jìn)入以b為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月球飛行，最后在。點(diǎn)處

變軌進(jìn)入以尸為圓心的圓形軌道ill繞月球飛行，設(shè)圓形軌道I的半徑為此圓形軌道m(xù)的半徑為廠，則橢圓

軌道II的離心率為.（用R、7■表示）

II

22

1.（2024.廣東.一模）已知點(diǎn)RA分別是橢圓1r+}=l（a>6>0）的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，B（0,b）滿足加A2=0,

則橢圓的離心率等于（）

AA/3+1RA/5—1-布-1口A/5+1

2222

22

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓c：?+/=l（6>0）的短軸長(zhǎng)為2,則其離心率為（）

A.@B.也C.-D.-

2224

22

3.（2024.河南周口.模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓亮=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P,。是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩

點(diǎn).則|/7十+6|0尸|的取值范圍為（）

A.[2,26]B.[51,52]C.[51,76]D.[52,76]

22

4.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓E：A+A=l（a>6>0）的左右焦點(diǎn)為耳,瓦，右頂點(diǎn)為A,已知點(diǎn)P

ab

在橢圓E上，若N￡P(guān)g=90,NPA瑪=45,則橢圓E的離心率為（）

A.1B.與C.2-72D.料一1

22

5.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知耳，瑞分別為橢圓C：*+與=1（。>人>0）的左右焦點(diǎn)，過F?的一條直線

與C交于48兩點(diǎn)，且A耳_LAB,忸閱=1,則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值是（）

A.40B.3+2收C.6D.4+2夜

22

6.（2024.陜西咸陽.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)F-「2分別是橢圓E：=+與=1（。>6>。）的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交

ab

橢圓于A,2兩點(diǎn)，且A7/Ag=0,AF2=2F2B,則橢圓E的離心率為（）.

A.BB.好C.-D.-

2345

7.（2024.江西新余.模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為片、F2,經(jīng)過F2的直線/與C

交于A、3兩點(diǎn)，若￡4耳3=16,AFlAB=9,BF}BA=0,則C的方程為：（）.

22222

AxyR尤2+y2]Xyx2

9432983

22

8.（2024?內(nèi)蒙古包頭?三模）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，居,尸2為橢圓C/+]■=：!的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)R在

C上，點(diǎn)E是線段R月上靠近點(diǎn)片的三等分點(diǎn)，若OR_LOE,則|。/=（）

513

A.—B.#C.y/6D.

22

9.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知橢圓廠芯+方=1（/>0萬>0,/片⑻過點(diǎn)Qi）,其右頂點(diǎn)人，上頂點(diǎn)8.那

么以下說法正確的是（）

A.設(shè)C是半焦距。到「的其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離，那么必然有02<“2

B.。到直線A8的距離不是定值

3

C.「和尤2+/+孫=：沒有交點(diǎn)

4

D.三角形。4B面積的取值范圍是[1,+8）

22

10.（多選題）（2024?四川?一模）已知橢圓E:二+上=1的左頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為過點(diǎn)大

43

的直線與橢圓相交于尸，。兩點(diǎn)，則（）

A.閨司=1

B.|pe|<4

C.當(dāng)外,P,。不共線時(shí)，△乙尸。的周長(zhǎng)為8

D.設(shè)點(diǎn)尸到直線x=-4的距離為d,則d=2|P￡|

22

11.（多選題）（2024.河南.模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:*+A=l（a>>>0）的上頂點(diǎn)為8（0,點(diǎn)），右頂點(diǎn)為A,

ab

左、右焦點(diǎn)分別為K,B，cosN^B外=0.若尸為C上與點(diǎn)A,B不重合的動(dòng)點(diǎn)，直線必與y軸交于點(diǎn)M,

直線尸8與x軸交于點(diǎn)N,則（）

22

A.C的方程為（+5=1B.P可居面積的最大值為2

C.坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線AB的距離為與D.|43忸河|=4五

12.（多選題）（2024.江西?模擬預(yù)測(cè)）己知A（-2,0）,B（2,0）,C（l,0）,動(dòng)點(diǎn)/滿足M4與MB的斜率之

3

積為-二，動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡記為「，過點(diǎn)。的直線交r于尸，。兩點(diǎn)，且P,。的中點(diǎn)為R,則（）

4

22

A.M的軌跡方程為三+匕=1

43

B.M。的最小值為1

.1*3

C.若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△。尸。面積的最大值為彳

D.若線段尸。的垂直平分線交x軸于點(diǎn)O,則R點(diǎn)的橫坐標(biāo)是。點(diǎn)的橫坐標(biāo)的4倍

13.（2024.廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）定義離心率e=好的橢圓為“西瓜橢圓”.己知橢圓C:—+^=l（m>16）是

3m16

22

“西瓜橢圓”，貝打〃=____.若“西瓜橢圓”E:三+當(dāng)=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為尸，直線>=丘與橢圓E交于

ab

A8兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)尸，則左=.

22

14.（2024.山東濟(jì)南.三模）已知片、B是橢圓占+2=1（。>。>0）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，0

ab

為坐標(biāo)原點(diǎn)，P。居為正三角形，則該橢圓的離心率為.

22

15.（2024?山東?二模）已知橢圓三+匕=1的焦點(diǎn)分別是月，尸2，點(diǎn)加在橢圓上，如果耳〃.）0=0,那

26

么點(diǎn)、M到x軸的距離是.

22

16.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）橢圓C：=+與=1的左、右焦點(diǎn)分別為K，F(xiàn)2,過工且斜

ab

率為-3甘的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），若（耳A+耳E>M=0,則C的離心率為.

2

1.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)真題）已知橢圓C:「f+2v=l（a>6>0）的離心率為1J,A，&分別為C的左、

ab3

右頂點(diǎn)，8為C的上頂點(diǎn).若3?84=-1,則C的方程為（）

22

2.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)真題）橢圓C:=+==l（a>6>0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,。均在C上，且關(guān)

ab

于y軸對(duì)稱.若直線4P,AQ的斜率之積為:，則C的離心率為（）

A.且B.變C,-D.-

2223

22

3.（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)8是橢圓C:三+2=l（a>b>0）的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都

滿足|尸8區(qū)2",則C的離心率的取值范圍是（）

22

4.（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）己知小工是橢圓C：上+二=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)加在C上，則

-94

W闔閶的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

22

5.（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知橢圓。:0+當(dāng)=1（°>>>0）,C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為瓦，

ab

區(qū),離心率為g.過耳且垂直于A耳的直線與C交于E兩點(diǎn)，IOE1=6,則VADE的周長(zhǎng)是.

22

6.（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓二+當(dāng)=1（。>。>0）,焦點(diǎn)耳（-c,0）,E（c,0）（c>0）,若過耳

ab

的直線和圓，-gc）+/=°2相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)p,且尸鳥，尤軸，則該直線的斜率是

橢圓的離心率是.

22

7.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知橢圓E：工+當(dāng)=1（。>5>0）,以橢圓E的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)

ab

的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.過點(diǎn)（0,。卜>亞）且斜率存在的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,過點(diǎn)A和

C（o,l）的直線AC與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為。.

（1）求橢圓E的方程及離心率；

（2）若直線BD的斜率為0,求t的值.

8.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)真題）已知橢圓C:［+：=l（a>6>0）的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)加上［］在C上,

且“尸_Lx軸.

（1）求C的方程；

（2）過點(diǎn)P（4,0）的直線交C于AB兩點(diǎn)，N為線段EP的中點(diǎn)，直線NB交直線M尸于點(diǎn)。，證明：軸.

,v21

9.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知橢圓「+2=1（。>6>0）橢圓的離心率6=彳.左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)

ab2

為B,C是線段08的中點(diǎn)，其中%BC=￥.

（1）求橢圓方程.

⑵過點(diǎn)-mJ的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)RQ-在、軸上是否存在點(diǎn)T使得7P-TQW0.若存在求出這個(gè)

T點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請(qǐng)說明理由.

22

10.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知橢圓5+2=1（a>6>0）的左右頂點(diǎn)分別為右焦點(diǎn)為尸，

ab

已知|A同=3,也典=1.

（1）求橢圓的方程和離心率；

（2）點(diǎn)P在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線劣尸交，軸于點(diǎn)Q,若三角形APQ的面積是三角形劣尸尸面積

的二倍，求直線4P的方程.

22

11.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）橢圓/=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為凡右頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)為8

BF

滿足

AB2

⑴求橢圓的離心率e；

(2)直線/與橢圓有唯一公共點(diǎn)M,與y軸相交于點(diǎn)N(N異于M).記。為原點(diǎn)，若|OM=|ON|,且.MON

的面積為求橢圓的方程.

第05講橢圓及其性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程...................................................2

題型二：橢圓方程的充要條件.....................................................2

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題.................................3

題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題...............................................3

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題.............................................4

題型六：離心率的值及取值范圍...................................................4

題型七：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題.................................................5

題型八：利用第一定義求解軌跡...................................................6

題型九：橢圓的實(shí)際應(yīng)用.........................................................7

02重難創(chuàng)新練..................................................................8

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................10

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

1.已知月(0,-1),居(0,1)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過尸2且垂直于y軸的直線交C于A,B兩點(diǎn)，且|A5|=3,

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

V2r2

【答案】^-+—=1

43

【解析】根據(jù)題意，如圖：

I3

AB=3,由橢圓的對(duì)稱性可得：|ABi=aiAB|=5，

又I不61=2,由勾股定理可得：I做l=Jl￡K.+|Ag|2=』2+(學(xué)=|,

所以2a=|4耳|+|4月|=4,a=2,

又c=1,則8=a2—C2=^3，

V2f

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+土=1.

22

2.已知橢圓E：，+當(dāng)=1e>5>0)的左、右焦點(diǎn)分別為小F2,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交￡于P,。兩點(diǎn),

ab

且尸入，入。，且S/°=92,|p閭+怩。=8,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

r22

【答案】上+匕v=1

168

【解析】連接尸耳。4,^OP=OQ,OF1=OF2,

所以四邊形PKQB是平行四邊形，

所以尸耳=與。，

PF2=QFX,

又'PF21F2Q,所以四邊形P片。鳥為矩形,

設(shè)PFX=m,PF2=n

“+〃=2a=8g=4

則由題意得《/+"2=402,解得《

[c=2V2

-mn=-a2

122

22

則從="—，=8,則標(biāo)準(zhǔn)方程為土+21=1,

168

尤2V2

故答案為：工+匕=1.

168

3.已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過點(diǎn)(|,-^]，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【答案】汀〉

22

【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在X軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為3+[=1(。>6>0),

由橢圓的定義知2a=J(|+2)2+(-|)2+J(|-2)2+(-|y=2M,

所以〃二Vio.

又因?yàn)椤?2,

所以從=a2一/=6,

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+9=1.

106

故答案為：卻屋=1.

106

題型二：橢圓方程的充要條件

22

4.若方程L+-J=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

m4-m

A.m>0B.m<4C.0<m<4D.0<"/<4且相。2

【答案】A

22

【解析】??方程工+^^=1表示橢圓，

m4-m

m>0fm>0

/.<4-m>0,得,根<4,得0<m<4且機(jī)w2.

mw4-m［機(jī)。2

故選：D.

2

5.若曲線C:（4-4）/+工=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（

6-k

A.（4,6）B.（4,5）C.（5,6）D.（4,5）（5,6）

【答案】A

22

+1表示橢圓

【解析】因?yàn)榍€C:化-4）/+工=1表示橢圓，即J16_k

6一卜口

則應(yīng)滿足，6—k>0,即左￡（4,5）U（5,6）.

1

w6—%,

故選：D.

22

6.若方程七+六=1表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，則，的取值范圍是，)

A.(1，4)B.1,|J|,4C,1,|D.

(2,J

【答案】B

【解析】命題等價(jià)于4T>-1>0,解得1</<]

故選：C.

7.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）若方程+l）f+（l-刃）丁=1_m2表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則（）

A.—l<m<lB.0<m<l

C.—1<m<0D.—l<m<0^0<m<l

【答案】B

22

【解析】方程（加+1）犬+（1-加）/=1一療可化為：上+工=1,

1-mm+1

22

因?yàn)榉匠躺?士=1表示焦點(diǎn)在無軸上的橢圓，

1-mm+1

fl-m>m+1

所以<，解得-1vmv。.

[m+l>0

故選：C

22

8.設(shè)機(jī)為實(shí)數(shù)，若方程+工=1表示焦點(diǎn)在工軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（)

2-mm-1

心

A.-<m<2B.3

22

3

C.l<m<2D.l<m<—

2

【答案】A

r2v23

【解析】^+二二=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，可得2—%>帆-1>0,解得1<根

2-mm-12

故選：D

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題

22

9.已知耳，鳥是橢圓C:=+A=l（a>6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓C上的一點(diǎn)，且尸耳，母；，若二尸月居的

ab

面積為9,則6的值為.

【答案】3

【解析】

yq*

|P制+熙|=2%

2

.-.\PFlf+\PF2f+2\PFl\-\PF2\=4a,①

又尸的，桃，

.?.歸國(guó)2+|尸用2=閨用2=4c2②

①-②得:2附|儼閭=4（標(biāo)”2）=462,

.《叫.颶=此

?△P耳旦的面積為9,

，5小=；|尸片卜忸用=從=9,。＞0,

.1.6=3.

故答案為：3.

?2,,2

10.設(shè)橢圓言+會(huì)=1的左右焦點(diǎn)為片,工，橢圓上點(diǎn)P滿足|M|：|P周=2:3,則尸耳鳥的面積為.

【答案】12

【解析】由橢圓定義可得|P4|+|尸閭=2。=10,

\PF\2

則有卷荷T鏟即附=4,|*=6，

又閨用=2c=2J25-12=2V13,

由42+62=52=（2如『，故/甲第=90。，

故SPFIF2=gx4x6=12-

故答案為：12.

22

H.已知月，尸2分別是橢圓C：:+==1（。＞6＞0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為6-1,P是C在

第一象限上的一點(diǎn).若尸片，「居，則cos/尸工E=.

【答案】）/0.5

【解析】如圖，記=|耳聞=2c,

因?yàn)槭?尸乙，則W=2ccos6,冏=2csin6,

由橢圓的定義可得戶耳|+戶閶=2(sine+cose)c=2〃,