2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：等腰三角形與直角三角形

4.4等腰三角形與直角三角形

一、選擇題

1.（2024?遼寧）如圖，在矩形4BCD中，點(diǎn)E在4D上，當(dāng)△EBC是等邊三角形時，KAEB為（）

45°C.60°D.120°

2.（2024?青海）如圖，在RtA4BC中，。是4C的中點(diǎn)，乙BDC=60°,AC=6,則的長是（）

A.3B.6C.V3D.3V3

3.（2024?廣東廣州）如圖,在AABC中,NA=90。，ABAC=6,。為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E,尸分別在邊48,

4c上，AE=CF,則四邊形4EDF的面積為（）

A.18B.9V2C.9D.6近

4.（2024?內(nèi)蒙古赤峰）等腰三角形的兩邊長分別是方程——10刀+21=0的兩個根，則這個三角形的周長

為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

5.（2024?安徽）如圖，在RtAABC中，AC=BC2,點(diǎn)。在4B的延長線上，且CD=AB,則8。的長是（）

A.V10-V2B.V6-V2C.2V2-2D.2V2-V6

6.（2024?甘肅）如圖，在矩形4BCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，乙48。=60。，48=2,貝的長為

7.（2024?四川自貢）如圖，等邊AABC鋼架的立柱CD14B于點(diǎn)。，4B長12m.現(xiàn)將鋼架立柱縮短成DE,

乙BED=60°.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-12V3）mB.（24-8V3）mC.（24-6V3）mD.（24-4V3）m

8.（2023?江蘇南京）若一個等腰三角形的腰長為3,則它的周長可能是（）

A.5B.10C.15D.20

9.（2024.海南）設(shè)直角三角形中一個銳角為x度（0<*<90）,另一個銳角為y度，則y與x的函數(shù)關(guān)系

式為（）

A.y=180+xB.y=180—xC.y=90+%D.y=90—x

10.（2024?四川廣元）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。得至必7lDE,點(diǎn)8,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)。，E,

連接CE,點(diǎn)。恰好落在線段CE上，若CD=3,BC=1,則4。的長為（）

B.V10C.2D.2V2

11.（2023?浙江衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角N。的大小，需將N。轉(zhuǎn)

化為與它相等的角，則圖中與N。相等的角是（）

A.乙BEAB.乙DEBC.Z.ECAD.Z.ADO

12.（2023?海南）如圖，在EMBCD中，AB=8,^ABC=60°,BE平分乙4BC,交邊力。于點(diǎn)E,連接CE,若

AE=2ED,貝!1CE的長為（）

A.6B.4C.4V3D.2V6

13.（2023?內(nèi)蒙古）如圖，在△力BC中，^ABC=90°,^BAC=60°,以點(diǎn)4為圓心，以力B的長為半徑畫弧

交4C于點(diǎn)0,連接BD,再分別以點(diǎn)B,。為圓心，大于［BD的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線2P交BD

A.1:2B.1：V3C.2:5D.3:8

14.（2023?廣東廣州）如圖，海中有一小島A,在2點(diǎn)測得小島A在北偏東30。方向上，漁船從B點(diǎn)出發(fā)由

西向東航行10nmile到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離為（）

nmile

A

15.（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60。和45。角的頂點(diǎn)及

它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊

分別交直尺上沿于4B兩點(diǎn)，貝IMB的長是（）

16.(2023?四川德陽)如圖.在△4BC中，ZCXD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,點(diǎn)尸是4B邊

的中點(diǎn)，貝UDF=()

A.-B.-C.2D.1

42

17.（2023?江蘇徐州）如圖，在△ABC中，NB=90。,乙4=3（T,BC=2,D為4B的中點(diǎn).若點(diǎn)E在邊力C上,

且籌=,，貝ME的長為（）

A.1B.2C.1或當(dāng)D.1或2

18.（2023?貴州）5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多

幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120。，腰長為12m,則底邊上的高

是（）

A

A.4mB.6mC.10mD.12m

19,（2023?河北）如圖，在Rt/kZBC中，AB=4,點(diǎn)”是斜邊的中點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF,若

S正方形AMEF=16，貝iJS—BC=（）

A.4V3B.8V3C.12D.16

20.（2023?湖北黃岡）如圖，ABC的直角頂點(diǎn)A在直線〃上，斜邊BC在直線匕上，若aIIb,Z1=55°,

A.55°B.45°C.35°D.25°

21.（2023?湖南）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸.如圖所示，已知乙4cB=90。,

點(diǎn)。為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)A、5對應(yīng)的刻度為1、7,貝北。=（）

A.3.5cmB.3cmC.4cmD.6cm

22.（2023?湖南岳陽）已知48||CD,點(diǎn)E在直線48上，點(diǎn)F,G在直線CD上，EG1EF于點(diǎn)E,乙4EF=40。,

則NEGF的度數(shù)是（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

23.（2024?云南）已知2尸是等腰AaBC底邊BC上的高，若點(diǎn)F到直線2B的距離為3,則點(diǎn)尸到直線4c的距離

為（）

37

A.-B.2C.3D.-

22

24.（2024福建）小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個，蝴蝶”的平面圖案.如圖，其中△。力B與AODC

都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線/對稱，點(diǎn)E,F分別是底邊力B,CD的中點(diǎn)，OE1OF.下列推斷錯誤的

是（）

A.OB1ODB.乙BOC=LAOB

C.OE=OFD.Z.BOC+AAOD=180°

25.（2024?山東德州）如圖Rt△力BC中，AABC=90°,BD1AC,垂足為。，4E平分NB4C,分另U交BD,BC

A.5:3B.5:4C.4:3D.2:1

26.（2024?西藏）如圖，在RtAABC中，Z_C=90。，AC=12,8C=5,點(diǎn)尸是邊48上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P

作PD12C,PE1BC,垂足分別為點(diǎn)。，E,連接DE,則DE的最小值是（）

A

二、填空題

27.（2024?江蘇南通）如圖，在口△ABC中，^ACB=90°,AC=BC=5.正方形DEFG的邊長為有，它的

頂點(diǎn)。，E,G分別在A/IBC的邊上，貝UBG的長為.

28.（2024?江蘇鎮(zhèn)江）等腰三角形的兩邊長分別為6和2,則第三邊長為.

29.（2024?四川雅安）如圖,在A48C和A2QE中,AB=AC,Z.BAC=/.DAE=40°,將△力DE繞點(diǎn)A順時

針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)ADLBC時，NBAE的度數(shù)是.

30.（2024?四川資陽）如圖，在矩形4BCD中，AB=4,AD=2.以點(diǎn)力為圓心，長為半徑作弧交4B于

點(diǎn)E,再以力B為直徑作半圓，與0E交于點(diǎn)尸，則圖中陰影部分的面積為.

31.（2024?甘肅蘭州）如圖，四邊形力BCD為正方形，△&￡>￡為等邊三角形，EF1于點(diǎn)凡若力。=4,

貝UEF=.

32.（2024?浙江）如圖，D,E分另IJ是AaBC邊4B,AC的中點(diǎn)，連接BE,DE.若乙AED=ABEC,DE=2,

則BE的長為

33.（2024?江蘇鹽城）如圖，在AABC中，乙4cB=90°,AC=BC=2&，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接BD,將4BCD

繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),得到ABEF.連接CF,當(dāng)CFIIAB時，CF=.

34.（2024?四川德陽）如圖，四邊形48CD是矩形，AADG是正三角形，點(diǎn)尸是GD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是矩形A8CD內(nèi)

一點(diǎn)，且APBC是以BC為底的等腰三角形，貝必PCD的面積與AFCD的面積的比值是.

35.（2024?重慶）如圖，在AABC中，AB=AC,乙4=36。，BD平分乙4BC交4C于點(diǎn)D.若BC=2,則4。的

長度為.

36.（2024.湖南）一個等腰三角形的一個底角為40。，則它的頂角的度數(shù)是度.

37.（2023?湖南）如圖，在平行四邊形4BCD中，AB=3,BC=5,NB的平分線BE交4。于點(diǎn)E,則DE的長

為.

38.（2023?江蘇淮安）若等腰三角形的周長是20cm,一腰長為7cm,則這個三角形的底邊長是cm.

39.（2023?江蘇宿遷）如圖，A4BC是正三角形，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B（0,0）、C（l,0）.將線段C4繞點(diǎn)C

按順時針方向旋轉(zhuǎn)120。至CP1；將線段BP】繞點(diǎn)2按順時針方向旋轉(zhuǎn)120。至BP2；將線段4P2繞點(diǎn)A按順時針

方向旋轉(zhuǎn)120。至北3；將線段CP3繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)120。至CP4；……以此類推，則點(diǎn)P99的坐標(biāo)

40.（2023?遼寧沈陽）如圖，在RtAABC中，乙4c8=90。，AC=BC=3,點(diǎn)。在直線AC上，AD=1,過點(diǎn)

。作DEII4B直線BC于點(diǎn)E,連接BD,點(diǎn)。是線段BD的中點(diǎn)，連接OE,貝！jOE的長為.

41.（2024.江蘇徐州）如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C在4B的延長線上，CD與。。相切于點(diǎn)。，若NC=20°,

42.（2024?黑龍江牡丹江）矩形2BCD的面積是90,對角線AC,BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是BC邊的三等分點(diǎn)，連

接。￡,點(diǎn)尸是DE的中點(diǎn)，0P=3,連接CP,貝UPC+PE的值為.

43.（2024?內(nèi)蒙古包頭）如圖，在菱形48CD中，乙48C=60。，AB=6,2C是一條對角線，E是4C上一點(diǎn)，

過點(diǎn)E作EF1AB,垂足為F,連接DE.若CE=AF,則DE的長為.

44.（2024?四川內(nèi)江）如圖，在△ABC中，AABC=60°,BC=8,E是BC邊上一點(diǎn)，且BE=2,點(diǎn)/是△力BC

的內(nèi)心，8/的延長線交2C于點(diǎn)。，P是BD上一動點(diǎn)，連接PE、PC,貝UPE+PC的最小值為.

45.（2023?湖南郴州）在△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,貝！MB邊上的中線CD=.

46.（2023?江蘇鹽城）如圖，在Rt△力BC中，乙4cB=90。，zB=60°,BC=3,將△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)

到△EDC的位置，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)。首次落在斜邊AB上，則點(diǎn)4的運(yùn)動路徑的長為.

47.（2023?四川攀枝花）如圖，在AABC中，N4=40。，ZC=90°,線段力B的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交4C

于點(diǎn)E,貝此麗=.

48.（2023?江蘇常州）如圖，在RtAZBC中，AB4C=90°,48=AC=4,。是4C延長線上的一點(diǎn)，CD=2.M

是邊BC上的一點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)8、C不重合），以CD、CM為鄰邊作回CMND.連接AN并取4N的中點(diǎn)P,連接

PM,貝。PM的取值范圍是.

49.（2023?黑龍江哈爾濱）如圖在正方形ZBCD中，點(diǎn)E在C。上，連接4E,BE,尸為BE的中點(diǎn)連接CF.若

50.（2023?湖南湘西）如圖，在矩形4BCD中，點(diǎn)E在邊8C上，點(diǎn)廠是AE的中點(diǎn)，AB=8,4D=OE=10,

則BF的長為

51.（2023?遼寧）如圖，線段4B=8,點(diǎn)C是線段A8上的動點(diǎn)，將線段BC繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)120。得到線段BD,

連接CD,在4B的上方作RtADCE,使ADCE=90。,NE=30。，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接2F,當(dāng)2F最小時，△BCD

52.（2023?內(nèi)蒙古通遼）如圖，等邊三角形ABC的邊長為6cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿2B向點(diǎn)

8勻速運(yùn)動，過點(diǎn)尸作PQ14B,交邊力C于點(diǎn)Q,以PQ為邊作等邊三角形PQD,使點(diǎn)A,。在PQ異側(cè)，當(dāng)

點(diǎn)D落在BC邊上時，點(diǎn)P需移動s.

53.（2023?湖北荊州）如圖，CD為RtzxABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點(diǎn).若力C=8,CD=5,則

DE=

E

ADB

54.（2024?湖北）ADEF為等邊三角形，分別延長ED,DE,EF,到點(diǎn)4,B,C,使=EB=FC,連接

AB,AC,BC,連接BF并延長交2C于點(diǎn)G.若AD=DF=2,貝UNDBF=,FG=.

55.(2024?陜西)如圖，在^ABC^,AB=4C,E是邊48上一點(diǎn)，連接CE,在8c右側(cè)作BF||4C,且BF=AE,

連接CF.若4c=13,BC=10,則四邊形EBFC的面積為.

三、解答題

56.(2024?江蘇常州)如圖，B、E、C、尸是直線/上的四點(diǎn)，AC,DE相交于點(diǎn)G,AB=DF,AC=DE,

BC=EF.

(1)求證：AGEC是等腰三角形；

(2)連接4D,貝與/的位置關(guān)系是

57.（2024.山東泰安）如圖1,在等腰RtAABC中，N28C=90°,2。=CB,點(diǎn)D,E分別在4B,CB上,DB=EB,

連接AE,CD,取4E中點(diǎn)F,連接BF.

圖1圖2

(1)求證：CD=2BF,CD1BF；

(2)將ADBE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.

①請直接寫出BF與CD的位置關(guān)系：___________________；

②求證：CD=2BF.

58.(2024?四川甘孜藏族自治州)如圖，在四邊形2BCD中，乙4=90。，連接B。，過點(diǎn)C作4B,垂足

為E,CE交BD于點(diǎn)F,Z1=乙48c.

⑴求證：42=43;

⑵若N4=45°.

①請判斷線段BC,BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若BC=13,AD=5,求石尸的長.

59.(2024?江西)追本溯源：

題(1)來自于課本中的習(xí)題，請你完成解答，提煉方法并完成題(2).

D

（1）如圖1,在△48C中，BD平分4ABC,交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作BC的平行線，交48于點(diǎn)E,請判斷"DE

的形狀，并說明理由.

方法應(yīng)用：

（2）如圖2,在回4BCD中，BE平分乙ABC,交邊4D于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作2尸1BE交。C的延長線于點(diǎn)R交BC于

點(diǎn)G.

①圖中一定是等腰三角形的有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

②已知=3,BC=5,求CF的長.

60.（2024?四川宜賓）如圖，點(diǎn)。、E分別是等邊三角形2BC邊BC、AC上的點(diǎn)，且BD=CE,BE與力。交于

點(diǎn)F.求證：AD=BE.

61.（2024?四川自貢）如圖，在△4BC中，DEWBC,乙EDF=KC.

⑴求證：乙BDF=乙4；

⑵若乙4=45。，DF平分乙BDE,請直接寫出△力8c的形狀.

62.(2023?四川甘孜)如圖，在RtAZBC中，AC=BC=3<2,點(diǎn)。在48邊上，連接CD,將CD繞點(diǎn)C逆時

針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接BE,DE.

(1)求證：△CADSACBE-,

(2)若AD=2時，求CE的長；

(3)點(diǎn)。在力B上運(yùn)動時，試探究力"+B"的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在,

請說明理由.

63.(2023?遼寧)△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是射線上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)8,C重合)，連接4E,在4E的左

側(cè)作等邊三角形4ED,將線段EC繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段EF,連接BF.交DE于點(diǎn)M.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時，請直接寫出線段DM與EM的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2.當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，請判斷(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若

不成立，請說明理由；

(3)當(dāng)BC=6,CE=2時，請直接寫出AM的長.

64.（2023?江蘇泰州）已知：A、8為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，NC為腦所對的圓周角.

B

圖③

知識回顧

（1）如圖①，。。中，B、C位于直線力。異側(cè)，AAOB+AC=135°.

①求NC的度數(shù)；

②若O。的半徑為5,AC=8,求BC的長；

逆向思考

（2汝口圖②，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，且乙4PB<120。，PA=PB,乙APB=2乙C.求證：P為該圓的圓心；

拓展應(yīng)用

（3）如圖③，在（2）的條件下，若乙4PB=90°,點(diǎn)C在OP位于直線2P上方部分的圓弧上運(yùn)動.點(diǎn)。在OP

上，滿足CD=V2CS-C4的所有點(diǎn)。中，必有一個點(diǎn)的位置始終不變.請證明.

65.（2023?寧夏）綜合與實踐

問題背景

數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36。的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究.

探究發(fā)現(xiàn)

如圖1,在△ABC中，N4=36。，AB=AC.

A

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將AABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,折痕交AC于點(diǎn)D,連接DE,DB,

貝IJNBDE=°,設(shè)AC=1,BC=x,那么2E=（用含久的式子表示）；

（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：鬻=亨，這個比值被稱為黃金比.在（1）的條件下試證明：鬻=亨；

拓展應(yīng)用：

當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的AABC是黃金三角

形.如圖2,在菱形4BCD中，4BAD=72°,AB=1.求這個菱形較長對角線的長.

圖2

66.（2023?四川德陽）將一副直角三角板DOE與20C疊放在一起，如圖1,乙0=90°,乙4=30°,乙E=45°,

0D＞0C.在兩三角板所在平面內(nèi)，將三角板DOE繞點(diǎn)。順時針方向旋轉(zhuǎn)a（0。＜戊＜90。）度到D】OEi位

置，使0D1II4C,如圖2.

(1)求a的值；

⑵如圖3,繼續(xù)將三角板。。E繞點(diǎn)。順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)￡落在4C邊上點(diǎn)石2處，點(diǎn)。落在點(diǎn)乃處-設(shè)

交。A于點(diǎn)G,。位交4C于點(diǎn)X,若點(diǎn)G是三。2的中點(diǎn)，試判斷四邊形OHE2G的形狀，并說明理由.

67.(2024?黑龍江牡丹江)數(shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個問題，讓同學(xué)們探究.在RtZkABC中，乙4cB=

90°,AC=30°,點(diǎn)D在直線BC上，將線段4D繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段4E,過點(diǎn)￡作EF||BC,交

直線AB于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，如圖①，求證：BD+EF=AB；

分析問題：某同學(xué)在思考這道題時，想利用A。=2E構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在4B上截取AM=EF,連

接。M,通過證明兩個三角形全等，最終證出結(jié)論：

推理證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題：

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的延長線上時，如圖②：當(dāng)點(diǎn)。在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷并直接寫

出線段BD,EF,4B之間的數(shù)量關(guān)系；

拓展思考：

(3)在(1)(2)的條件下，若4C=6?,CD=2BD,則EF=

68.(2023?遼寧丹東)在△4BC中，ABAC=90°,^ABC=30°,AB=6,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn).四邊形DEFG是

菱形(。，E,F,G按逆時針順序排列)，AEDG=60°,且DE=2,菱形OEFG可以繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，連接4G和

CE,設(shè)直線4G和直線CE所夾的銳角為a.

AAA

⑴在菱形DEFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時，如圖①，請直接寫出力G與CE的數(shù)量關(guān)系及a

的值；

(2)當(dāng)菱形。EFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置口寸，(1)中的結(jié)論是否成立?若成立，請寫出證明過程；若

不成立，請說明理由；

(3)設(shè)直線4G與直線CE的交點(diǎn)為P,在菱形DEFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)EF所在的直線經(jīng)過點(diǎn)B時，

請直接寫出△APC的面積.

69.(2023?寧夏)如圖，糧庫用傳送帶傳送糧袋，大轉(zhuǎn)動輪的半徑為10cm,傳送帶與水平面成30。角.假設(shè)

傳送帶與轉(zhuǎn)動輪之間無滑動，當(dāng)大轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)140。時，傳送帶上點(diǎn)4處的糧袋上升的高度是多少？(傳送帶厚

度忽略不計)

70.（2023?湖南）如圖，在回4BCD中，DF平分乙4DC,交BC于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)尸.

⑴求證：AD=AFx

(2)若AD=6,AB=3,NA=120。，求BF的長和AADF的面積.

參考答案與詳解

一、選擇題

1.（2024.遼寧）如圖，在矩形力BCD中，點(diǎn)E在力。上，當(dāng)△EBC是等邊三角形時，4AEB為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由矩形4BCD得到4。II8C,繼而得到NAEB=4EBC,而△是等邊三角形，因此得到乙4EB=乙EBC=60°.

【詳解】解：：四邊形4BCD是矩形，

：.AD||BC,

J.^AEB=Z.EBC,

「△EBC是等邊三角形，

"EBC=60°,

：.^AEB=60°,

故選：C.

2.（2024?青海）如圖，在RtzkABC中，。是力C的中點(diǎn)，^BDC=60°,AC=6,貝UBC的長是（）

A.3B.6C.V3D.3A/3

【答案】A

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合等邊三角形的判定得到△BDC等邊三角形，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：；在RtAABC中，/.ABC=90°,。是AC的中點(diǎn)，

1

：.BD=-AC=CD,

2

■:（BDC=60°,

???△80C等邊三角形，

i1

：

.BC=CD=-2AC=-2x6=3.

故選：A.

3.（2024?廣東廣州）如圖，在A2BC中，乙4=90。,AB=AC=6,。為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別在邊4B,

4c上，AE=CF,貝?。菟倪呅?EDF的面積為（）

A.18B.9V2C.9D.6夜

【答案】C

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)化是

解題關(guān)鍵.連接4D,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及4E=CF得出ANDE三ACDF,將四邊形4EDF的面積

轉(zhuǎn)化為三角形ADC的面積再進(jìn)行求解.

【詳解】解：連接4D,如圖:

,：Z-BAC=90°,AB=AC=6,點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，AE=CF

."BAD=NB=4=45。,40=BD=DC

**?△ADE=△CDF,

??S四邊形尸=^^AED+^LADF=LCFD+LADF=^ADC=J^BC

又,S^ABC=6X6X-=18

??S四邊形AEOF~2SAABC=9

故選：C

4.（2024.內(nèi)蒙古赤峰）等腰三角形的兩邊長分別是方程/—10x+21=0的兩個根，則這個三角形的周長

為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得勺=3,

&=7,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進(jìn)而即可求出三角形的周長，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由方程/-10x+21=0得，/=3,&=7，

V3+3<7,

...等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

這個三角形的周長為3+7+7=17,

故選：C.

5.（2024?安徽）如圖，在RtAABC中，AC=BC=2,點(diǎn)D在4B的延長線上，且CD=AB,貝UBD的長是（）

ABD

A.V10-V2B.V6-V2C.2V2-2D.2或-逐

【答案】B

【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，勾股定理，過點(diǎn)。作DE1CB的延長線

于點(diǎn)E,貝=90°,由N4CB=90°,AC==2,可得48=2a,N&=乙ABC=45°,進(jìn)而得到CD=

2V2,ADBE=45°,即得△BDE為等腰直角三角形，得到DE=BE,設(shè)DE=BE=x,由勾股定理得（2+%）2+

7

%2=（2V2）,求出x即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)。作DE1CB的延長線于點(diǎn)E,貝ljNBED=90。，

?.ZCB=90°,AC=BC=2,

：.AB=V22+22=2VL乙4=^ABC=45°,

：.CD=2A/2,^DBE=45°,

.?.△BDE為等腰直角三角形，

：.DE=BE,

設(shè)DE=BE=x,貝l|CE=2+x,

在RtAW中，CE2+DE2=CD2,

(2+%)2+x2=(2V2)2,

解得汽i=V3—1,x2=—V3—1(舍去)，

：.DE=BE=遮一1,

：.BD=J(V3-1)2+(V3-1)2=V6-V2,

故選：B.

6.(2024?甘肅)如圖，在矩形4BCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，AABD=60°,AB=2,貝的長為

()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形4BCD的性質(zhì)，得04=OB=OC=OD="C,結(jié)合N4BD=60°,得到△AOB是等邊三

角形，結(jié)合2B=2,得到04=。8=28=1aC,解得即可.

本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)矩形48C。的性質(zhì)，得。4=。8=OC=。。=

'：^ABD=60°,

△/。8是等邊三角形，

'：AB=2,

/.OA=OB=AB=-AC=2,

2

解得AC=4.

故選c.

7.（2024?四川自貢）如圖，等邊AABC鋼架的立柱CD14B于點(diǎn)。，4B長12m.現(xiàn)將鋼架立柱縮短成DE,

乙BED=60°.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-12V3）mB.（24-8V3）mC.（24-6V3）mD.（24-4V3）m

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用.利用三角函數(shù)的定義分別求得DE=2

BE=4>j3=AE,CD=6V3,利用新鋼架減少用鋼=AC+BC+CD-4E-BE-DE,代入數(shù)據(jù)計算即可

求解.

【詳解】解：：等邊△ABC,于點(diǎn)。，48長12m,

.'.AD=BD=-AB=6m,

2

■:乙BED=60°,

.*.tan600=—=V3,

DE

：.DE=2V3,

：.BE=y/DE2+BD2=4V3=AE,

:4CBD=60°,

CD-BD-tanZ-CBD-y/3BD—6y/3m,BC—AC—AB-12m,

新鋼架減少用鋼=AC+BC+CD-AE-BE-DE

=24+6V3-8V3-2V3=（24-4V3）m,

故選：D.

8.（2023?江蘇南京）若一個等腰三角形的腰長為3,則它的周長可能是（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】此題考查了三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等腰三角

形的定義及三角形的三邊關(guān)系求解即可.

【詳解】解：???等腰三角形的腰長為3,

3-3〈等腰三角形的底長＜3+3,

即0V等腰三角形的底長＜6,

6〈等腰三角形的周長＜12,

故選:B.

9.（2024?海南）設(shè)直角三角形中一個銳角為x度（0＜x＜90）,另一個銳角為y度，則y與x的函數(shù)關(guān)系

式為（）

A.y=180+xB.y=180—xC.y=90+%D.y=90—x

【答案】D

【分析】本題考查了函數(shù)關(guān)系式.利用直角三角形的兩銳角互余可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式.

【詳解】解：??,直角三角形中一個銳角的度數(shù)為x度，另一個銳角為y度，

,'.y=90—%.

故選：D.

10.（2024四川廣元）如圖，將ACBC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到A4DE,點(diǎn)、B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)。，E,

連接CE,點(diǎn)。恰好落在線段CE上，若CD=3,BC=1,則AD的長為（）

A.V5B.V10C.2D.2近

【答案】A

【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，由旋轉(zhuǎn)得AC==90。,

DE=BC=1,推出AHCE是等腰直角三角形，CE=4,過點(diǎn)A作1CE于點(diǎn)”，得到HD=1,利用勾

股定理求出力D的長.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得△4BC三△ADE,ACAE=90°,

：.AC=AE,/.CAE=90°,DE=BC=1,

/.△ACE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4,

過點(diǎn)A作4H1CE于點(diǎn)、H,

E

BA

：.AH=\CE=CH=HE=2,

：.HD=HE-DE=2-1=1,

AD=y/AH2+HD2=V22+I2=V5,

故選：A.

11.（2023?浙江衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角4。的大小，需將4。轉(zhuǎn)

化為與它相等的角，則圖中與NO相等的角是（）

A.Z.BEAB.乙DEBC./-ECAD./-ADO

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：N。與Z4D?；ビ?，NDEB與乙4D。互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)

論.

【詳解】由示意圖可知：ADtM和AD8E都是直角三角形，

?-?4。+/LADO=90°,乙DEB+AADO=90°,

Z.DEB=4。，

故選：B.

12.（2023?海南）如圖，在回A8CD中，AB=8,N4BC=60。，BE平分乙4BC,交邊4。于點(diǎn)E,連接CE,若

AE=2ED,貝!的長為（）

AED

C.4V3D.2V6

【答案】C

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得ND=/-ABC=60°,CD=AB=8,AD||BC,由平行線的性質(zhì)可得乙4EB=

乙CBE,由角平分線的定義可得N4BE=NCBE,從而得到乙4BE=N4EB,推出4E=4B=8,DE=4,過

點(diǎn)E作EF1CD于點(diǎn)尸，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得==2,EF=2愿,CF=6,即可得

到答案.

【詳解】解：,??四邊形2BCD是平行四邊形，

Z.D=^ABC=60°,CD=AB=8,AD||BC,

???Z.AEB=Z-CBE,

???BE平分4ZBC,

Z-ABE=Z-CBE,

???乙ABE=Z-AEB,

AE=AB=8,

???AE=2ED,

??.DE=4,

如圖，過點(diǎn)E作EF1CD于點(diǎn)F,

則NEFC=乙EFD=90°,

???乙DEF=90°一乙D=90°-60°=30°,

1

DF=-DE=2,

2

???EF=y/DE2-DF2=V42-22=2aCF=CD-DF=8-2=6,

???CE=VCF2+EF2=k+（2百I=4痔

故選：C.

13.（2023?內(nèi)蒙古）如圖，在△ABC中，/.ABC=90°,Z.BAC=60°,以點(diǎn)4為圓心，以4B的長為半徑畫弧

交4C于點(diǎn)。，連接BD,再分別以點(diǎn)B,。為圓心，大于［BD的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線力P交BD

于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)E,連接DE,則〃BDE：SACDE的值是（）

A.1:2B.1：V3C.2:5D.3:8

【答案】A

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可得，4E是的平分線，可得N84E=30%由三角形內(nèi)角和定理可得NC=30。，

由等腰三角形性質(zhì)可得4E=CE,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BE=\AE,可推出EC=2BE,根據(jù)三角形面

積公式即可求解.

【詳解】解：由尺規(guī)作圖可得，4E是ABAC的平分線，

."BAE=^LCAEABAC=30°,

2

'：^ABC=90°,Z.BAC=60°,

：.Z.C=30°,

：.AE=CE,

在RtUBE中，BE=^AE,

：.BE=\EC,即=

??S〉BDE：S〉CDE=1：2,

故選：A.

14.（2023?廣東廣州）如圖，海中有一小島A,在5點(diǎn)測得小島A在北偏東30。方向上，漁船從5點(diǎn)出發(fā)由

西向東航行l(wèi)Onmile到達(dá)。點(diǎn)，在。點(diǎn)測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離為（）

.10V3

A.-----C.20D.10V3

【答案】D

【分析】連接力C,此題易得ABAC=30。，得4B=2BC=20,再利用勾股定理計算AC即可.

【詳解】解：連接4C,

BO/I

BC

由已知得：^ABC=90°-30°=60°,^ACB=90°,CB=10,

：.ABAC=30°,

在RtAABC中，AB=2BC=20,

：.AC=yjAB2-BC2=V202-102=10V3（nmile）,

故選：D

15.（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60。和45。角的頂點(diǎn)及

它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊

分別交直尺上沿于4,B兩點(diǎn)，貝MB的長是（）

A.2-V3B.2V3-2C.2D.2V3

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得4。=CD=2cm,由含30度角直角三角形的性質(zhì)可得BC=2CD=

4cm,由勾股定理可得BD的長，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，在RtZkaaD中，AACD=45°,

：./.CAD=45°=/.ACD,

'.AD=CD=2cm,

在RtABCD中，ZSCZ)=60°,

:.乙CBD=30°,

'.BC—2CD-4cm,

：.BD=VBC2-CD2=V42-22=2V3(cm),

：.AB=BD-AD=(2V3-3)cm.

故選：B.

16.(2023?四川德陽)如圖.在AABC中，ACAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,點(diǎn)尸是AB邊

的中點(diǎn)，貝UDF=()

A.-B.-C.2D.1

42

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理可先求得CD的長度，根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系，可求得2E

的長度，根據(jù)三角形的中位線定理可求得答案.

【詳解】,：Z.CAD=90°,

△CW為直角三角形.

CD=yjAD2+AC2=V32+42=5.

,/點(diǎn)E為Rt△CAD的斜邊CD的中點(diǎn),

1K

：.AE=-CD=-.

22

■:BD=DE,BF=FA,

：.DF=-AE=-.

24

故選：A.

17.（2023?江蘇徐州）如圖，在△ABC中,IB=90。,乙4=30。,8。=2,。為AB的中點(diǎn).若點(diǎn)E在邊/C上,

且*=取，則4E的長為（）

ADDC

A.1B.2C.1或苧D.1或2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意易得4B=2顯,AC=4,然后根據(jù)題意可進(jìn)行求解.

【詳解】解：VzB=90°,=30°,BC=2,

：.AB=y/3BC=2痘,AC=2BC=4,

:點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，

：.AD=|/1B=V3,

..AD_DE

*AB~BC9

：.DE=1,

①當(dāng)點(diǎn)E為4C的中點(diǎn)時，如圖，

：.AE=-AC=2,

2

②當(dāng)點(diǎn)￡為AC的四等分點(diǎn)時，如圖所示:

：.AE=1,

綜上所述：AE=1或2；

故選D.

18.（2023?貴州）5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多

幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120。，腰長為12m,則底邊上的高

是（）

A

A.4mB.6mC.10mD.12m

【答案】B

【分析】作1BC于點(diǎn)D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得NB=ZC=|（180°-4BAC）=

30。，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：如圖，作4D1BC于點(diǎn)。，

vAD1BC,

11

AD=-AB=-X12=6m,

22

故選B.

19.（2023?河北）如圖，在中，=4,點(diǎn)M是斜邊的中點(diǎn)，以為邊作正方形AMEF,若

s

mAMEF=16,貝瓦ABC=（）

A.4V3B.8V3C.12D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)正方形的面積可求得4M的長，利用直角三角形斜邊的中線求得斜邊的長，利用勾股定理求

得2C的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】解：YS正方形=16,

.'.AM=V16=4,

ABC中，點(diǎn)M是斜邊BC的中點(diǎn)，

：.BC=2AM=8,

：.AC=y/BC2-AB2=>/82-42=4V3,

SAABC=|xABxAC=|x4x4-\/3=8A/3,

故選：B.

20.(2023?湖北黃岡)如圖，RtAABC的直角頂點(diǎn)A在直線。上，斜邊BC在直線6上，若a||七41=55。，

則22=()

【答案】C

【分析】利用平行線的性質(zhì)及直角三角形兩內(nèi)角互余即可得解;

【詳解】???a\\b,

zl=/.ABC=55°,

又???4ABC+N2=90°,

z_2=35°

故選擇：C

21.（2023?湖南）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸.如圖所示，已知N4CB=90°,

點(diǎn)。為邊4B的中點(diǎn)，點(diǎn)A、8對應(yīng)的刻度為1、7,貝北。=（）

A.3.5cmB.3cmC.4cmD.6cm

【答案】B

【分析】由圖求得4B的長度，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解.

【詳解】解：由圖可知AB=7—1=