2025年中考數學總復習：全等三角形

4.3全等三角形

一、全等三角形的判定與性質

1.(2019安徽中考第20題)如圖，點E在口ABCD內部，AF/7BE,DF//CE,

(1)求證：ABCE之AADF；

(2)設=ABCD的面積為S,四邊形AEDF的面積為T,求朝勺值

2.(2020安徽中考第20題)如圖，是半圓。的直徑，是半圓。上不同于A,8的兩點AO=BC,AC

與2。相交于點F,BE是半圓0所在圓的切線，與AC的延長線相交于點E,

(1)求證：ACBA^ADAB；

⑵若BE=8尸，求AC平分—D4B.

3.(2021安徽中考第23題)如圖1,在四邊形ABC。中，/ABC=/3CD,點E在邊8c上，且AE〃CD,

DEIIAB,作CF//AD交線段AE于點F連接2足

(1)求證：AABF咨AEAD；

(2)如圖2,若AB=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的長；

RF

(3)如圖3,若BE的延長線經過AO的中點M,求會的值.

AAA

4.(2018安徽中考第23題)如圖1,R3ABC中，/ACB=90。，點D為邊AC上一點，DE_LAB于點E,

點M為BD中點，CM的延長線交AB于點F

(1)求證：CM=EM；

(2)若NBAC=50。，求NEMF的大?。?/p>

(3)如圖2,^ADAE^ACEM,點N為CM的中點，求證：AN/7EM

參考答案與解析

一、全等三角形的判定與性質

1.(2019安徽中考第20題)如圖，點E在口ABCD內部,,AF〃BE,DF〃CE,

BC

(1)求證：ABCE0ZiADF；

(2)設口ABCD的面積為S,四邊形AEDF的面積為T,求，的值

【答案】⑴證明略；(2”=2

【詳解】（1）證明：：四邊形ABCD為平行四邊形,

AAD||BC,???4BAD+4ABC=180°,

又；AF//BE,.-./.BAF+/.ABE=180",

???Z-BAD+乙ABE+Z.EBC=乙FAD+Z-BAD+乙ABE,Z.EBC=Z-FAD,

同理可得：(ECB=2LFDA,

NEBC=/LFAD

在△BCE和△4。尸中，BC=AD，:.XBCEWXADF

ZECB=/.FDA

(2)解：連接EF,

??,ABCE=△ADF,:.BE=AF,CE=DF,

又???/FIIBE,DF||CE,：.四邊形ABEF,四邊形CDFE為平行四邊形，

??^LABE=S—FE，S〉cDE=，

,?T=S四邊形AEDF~S—FE+S^FED=^LABE+S^CDE，

設點E到AB的距離為％,到CD的距離為h2,線段AB到CD的距離為h,

則h=hi+hi,

：.T=--AB-+--CD-h2=--AB-(,hr+h2)=--ABh=-S,即9=2.

212z2v122T

2.(2020安徽中考第20題)如圖，AB是半圓。的直徑，C,。是半圓。上不同于A,8的兩點AZ)=BC,AC

與相交于點F,BE是半圓。所在圓的切線，與AC的延長線相交于點E,

(1)求證：ACBA^AZMB；

⑵若跖=*,求AC平分445.

【詳解】(1)證明：--AD=BC,AD=8^,^ABD=Z.BAC,

■：48為直徑，Z.ADB=ZBCX=90°,

AB=BA,CBA=△DAB.

（2）證明：BE=BF/ACB=90°,乙FBC=乙EBC,

???乙ADB=乙ACB=90。,NDFA=乙CFB,：.ADAF=乙FBC=乙EBC,

???BE為半圓。的切線，???4ABE=90°,/.ABC+乙EBC=90°,

???^ACB=90°,4CAB+^ABC=90°,

???/.CAB=乙EBC,：.^.DAF=/.CAB,：.AC平分NZMB.

3.（2021安徽中考第23題）如圖1,在四邊形ABC。中，/ABC=/3CD,點E在邊3C上，且AE〃CD,

DEIIAB,作CF//AD交線段AE于點凡連接

(1)求證：AABF/AEAD；

(2)如圖2,若AB=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的長;

(3)如圖3,若BP的延長線經過A。的中點M,求名RF的值.

【答案】（1）見解析；（2）6；（3）1+V2

【詳解】（1）證明：???AE//CD,??.N2EB=4DCE；

??DE//AB,:?乙ABE=zJ）EC,Z.1=z2,

??乙ABC=/.BCD,Z.ABE=Z-AEB,乙DCE=乙DEC,

???AB=AE,DE=DC,

vAF//CD,AD//CF,???四邊形A尸。。是平行四邊形

???AF=CD,/.AF=DE

（AB=EA

在與△E/O中，）41=z2,

AF=ED

??.△ABF=△EAD（SAS）

AA

(2)???△4BF=^EAD,:.BF=AD,

在口4尸。。中，AD=CF,；.BF=CF,?./.FBC=Z.FCB,

又,：乙FCB=42,42=41,Z.FBC=zl,

(乙EBF=Z1

在^EBF與人E4B中,

LLBEF=4AEB

???△EBF-EAB,,g=g,

AB=9,AE=9；vCD=5,AF=5,；.EF=4,

二詈=2二BE=6或一6(舍)；

yCD

(3)延長BM、E。交于點G.

???△ABE與ADCE均為等腰三角形，4ABC=4DCE,l.&ABEfDCE,

ABAEBE

:、------=---,

DCDECE

設CE=1,BE=x,DC=DE=a,

貝!J/B=AE-ax,AF=CD-a,??.EF=a(x—1),

vAB//DG,/.Z3=Z.G；

43二4G

在與aMOG中，z4=z5，

.MA=MD

??.△MAB=△M0G(44S),.，.DG=AB=ax.

???EG=a(x+1)；

???AB//EG,???△FAB八FEG,

FA_AB.a_ax

''FE~EG9,?a(x-l)-a(X+l)'

???x(x—1)=%+1,?，?%2—2%—1=0,(%—l)2=2,.,.%=1+V2,

A=1—V2(舍)，％2=1+V2,

*B'?E—=c1Bv2.

EC

4.(2018安徽中考第23題)如圖1,RSABC中，ZACB=90°,點D為邊AC上一點，DELAB于點E,

點M為BD中點，CM的延長線交AB于點F

(1)求證：CM=EM；

(2)若NBAO50。，求NEMF的大小；

(3)如圖2,若ADAE也ZXCEM,點N為CM的中點，求證：AN〃EM

【詳解】(1)為BD中點，R3DCB中，MC^BD,RtADEB中，EM=：BD,，MC=ME；

(2)VZBAC=50°,ZACB=90°,?.ZABC=90°-50°=40°,

VCM=MB,.,.ZMCB=ZCBM,ZCMD=ZMCB+ZCBM=2ZCBM,

同理，ZDME=2ZEBM,

NCME=2/CBA=80°,；.ZEMF=180o-80°=100°；

(3)VADAE^ACEM,CM=EM,

：.AE=EM,DE=CM,ZCME=ZDEA=90°,NECM=NADE,

VCM=EM,；.AE=ED,/.ZDAE=ZADE=45°,，NABC=45°,ZECM=45°,

XVCM=ME=|BD=DM,.\DE=EM=DM,

.,.△DEM是等邊三角形，；./EDM=60。，，/MBE=30。,

VCM=BM,.\ZBCM=ZC