2025年新高考數學一輪復習：重難點突破 原函數與導函數混合還原問題（十三大題型）（學生版+解析）

重難點突破02原函數與導函數混合還原問題

目錄

01方法技巧與總結..............................................................2

02題型歸納總結.................................................................3

題型一：利用//(%)構造型..................3

f(x\

題型二：利用構造型....................3

%

題型三：利用6網/(%)構造型..................4

f(x)

題型四：用構造型......................4

e

題型五：利用sin%、tan%與/(%)構造型....5

題型六：利用cosx與f(x)構造型............6

題型七：復雜型：e"與4'(％)+bg(x)等構造型..6

題型八：復雜型：(丘+匕)與f(x)型...........7

題型九：復雜型：與In(依+b)結合型...........8

題型十：復雜型：基礎型添加因式型..............8

題型十一：復雜型：二次構造....................8

題型十二：綜合構造.............................9

題型十三：找出原函數........................10

03過關測試............................33

亡法牯自與.柒年

//\\

1、對于礦(%)+/(%)>0(<0),構造g(x)=%?/(無)，

2、對于苗(x)+始(x)>0(<0),構造g(x)=/?/(%)

3、對于x"'(x)-/(x)>0(<0),構造g(x)=&D,

4、對于x?尸(x)-"(x)>0(<0),構造g(x)=￥

5、對于/'(x)+/(%)>0(<0),構造g(x)=e'"(x),

6、對于廣(%)+外>(兀)>0(<0),構造g(x)=*?/(%)

7、對于廣(x)-f(x)>0(<0),構造g(x)=卒,

e

8、對于/■'(x)-/x)>0(<0),構造8⑴=字

e

9、對于sinx?f(九)+cosx?/(x)>0(<0),構造g(x)=/(x)?sinx,

10>對于sin兄"'OO-cosx"。)〉。(<0),構造g(x)=/(”)

sinx

11>對于cosx"'Cx)-sin兄"(x)>0(<0),構造g(x)=/(%)?cosx,

12、對于cos兄?/'Cx)+sinx?/(X)>0(<0),構造g(x)=

cosx

13、對于/'(「)一。(x)>左(<0),構造g(x)=e'"(x)-口

14、對于/'(%)In%+>0(<0),構造g(%)=lnx"(x)

x

15、f(x)+c=[f(x)+cx]r；/'(%)+gr(x)=[/(%)+g(x)]f;ff(x)-gr(x)=[f(x)-g(x)y；

16、((x)g(x)+f(x)g'(x)="(x)g(x)]';二(x)g(：2；《5)/")=[篇丫-

㈤2

題型歸納與總結

題型一：利用//(%)構造型

【典例1-1】函數〃尤)是定義在區(qū)間(。,+◎上的可導函數，其導函數為八X),且滿足了'(x)+[〃x)>o,

則不等式(X+2°23)/(X+2023)<且也的解集為()

2x+2023

A.{x|x>-20211B.{x|x<-20211

C.{x|-2023<x<0}D.{x|-2023<x<-2021}

【典例1-2](2024?全國?模擬預測)定義在R上的函數/(九)的導函數是((%),3/(%)+才(x)<0,函數

>=/(%+1)+2022為奇函數，則不等式/〃%)+2022>0的解集為()

A.(-oo,l)B.(-oo,-l)C.(1,-Hx))D.(-l,+oo)

【變式1-1】設函數/(X)是定義在(-8,0)上的可導函數，其導函數為r(x),且有2/(x)+礦(x)>0,貝I

不等式(％+2023)2/。+2023)-4/(-2)<0的解集為()

A.(-2023,-2021)B.(-2025,0)

C.(-2025,-2021)D.(-2025,-2023)

【變式1-2](2024?江西南昌?三模)已知函數Ax)的定義域為R,且〃2)=-1,對任意無eR,

f(x)+xf\x)<0,則不等式a+l)”x+l)>-2的解集是()

A.(-oo,l)B.(-oo,2)C.(1,+<?)D.(2,+oo)

題型二：利用華構造型

【典例2-1】已知函數的定義域為(-匕0),=其導函數/'(X)滿足數1X)-2〃力>0,則

不等式f(x+2025)+(x+2025)2<0的解集為()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.3,-2026)D.(fo,—2025)

【典例2-2】已知函數〃尤)是定義在(f，O)U(O,+◎的奇函數，當xe(O,+8)時，礦則不等

式5/(2-力+(》-2)/(5)<0的解集為()

A.(^o,—3)u(3,+8)B.(—3,0)u(0,3)

C.(-3,O)u(O,7)D.(-oo,-3)u(2,7)

【變式2-1](多選題)己知函數/(x)為定義在(-力,。)11(0,內)上的奇函數，若當尤<0時，

V，(x)-/(x)<0,且/⑴=0,則()

A.2/(e)>?1⑵B.當機<2時，/(加)>時(1)

C.3/(-7i)+7T/-(3)<0D.不等式/(x)>0解集為(-1,0)口(1，心)

【變式2-2】已知定義在R上的函數/(尤)滿足：W)-/W>0,且/⑴=2,則/'(/)>26，的解集為

A.(0,+(?)B.(in2,+CO)C.(l,+oo)D.(0,1)

題型三：利用構造型

【典例3-1】設函數的定義域為R,/W是其導函數，若八天)+(。)>。，八1)=1,則不等式

的解集是()

A.(0,+<?)B.

C.(-oo,0)D.(0,1)

【典例3-2]己知定義在R上的函數力(x)滿足2/7(%)+"(元)>0且/z(l)=4，則不等式〃(無)>47的解集為

ee

().

A.(-oo,e2)B.(e2,+oo)C.(-oo,l)D.(l,+oo)

【變式3-1](2024?云南楚雄?一模)已知是R上的奇函數，且對任意的xeR均有〃到+3?>0

成立.若/(T)=—l,則不等式/(力<3修的解集為()

A.(-co,-l)B.(-oo,l)C.(-1,+co)D.

【變式3-2】已知定義在R上的可導函數/(x),其導函數為尸(x),若2〃力+/'(力>0,且/⑴=e,則

不等式62"(耳-63>0的解集為()

A.(l+oo)B.(e,+oo)C.(-oo,l)D.

【典例4-1](2024?廣東廣州?三模)已知可導函數了。)的導函數為1(x),若對任意的xeR,都有

/(x)>/'(x)+l,且〃x)-2024為奇函數，則不等式/(x)—2023e'<l的解集為()

A.(一*0)B.(—8,e)C.(e,+oo)D.(0,+oo)

【典例4-2】(2024?遼寧鞍山?二模)已知定義在(-2,2)上的函數〃X)滿足〃x)+e4"(—x)=0,且

/(l)=e2,/(尤)為的導函數，當x?0,2)時，f'(x)>2f(x),則不等式e2"(2r)<e4的解集為

()

A.(l,+oo)B.(1,2)C.(0,1)D.(1,4)

【變式4-1】己知定義在(-2,2)上的函數/(x)滿足〃x)+e4"(-x)=0〃l)=e2,/'(x)為/(x)的導函數，

當xe[0,2)時，/'(力>2〃力，則不等式e?了(2—x)<e4的解集為()

A.(-1,1)B.(-1,2)

C.(14)D.(1,5)

【變式4-2](2024?高三?江蘇常州?期末)已知定義在R上的函數的導數為/'(x),/(l)=e,且

對任意的x滿足/'⑺-〃x)<e"則不等式/(x)>xe，的解集是()

A.(-<x>,l)B.(-ao,0)C.(0,+功D.(l,+oo)

【變式4-3](2024?高三?山東荷澤?期中)已知函數(⑴是函數〃力的導函數，41)=；，對任意實

數尤都有/⑴-/。)>0,設廠(切=受，則不等式打力<3的解集為()

ee

A.(-oo,l)B.(l,+o?)

C.(l,e)D.(e,+oo)

題型五：利用sinx.tan%與/(%)構造型

【典例5-1】(2024?貴州遵義?模擬預測)已知函數/(x)的定義域為R,其導函數為/'(無)，若

/(~^)~/H=sin|)且當時，2r(x)+cos^>0,則/(2X+7T)+1>/(%)+sin|(2sin|+ll的解集

D.(一8,一兀)U--,+°o

【典例5?2】(2024?高三?黑龍江齊齊哈爾?期末)已知函數/卜)的定義域為(0,兀)，其導函數是

若對任意的x￡(0,兀)有/r(x)sinx-/(x)cosx<0,則關于工的不等式/(x)>'sinx的解集為()

7T

A.(04)B.(0,-)c.q,兀)D.(”

OO

【變式5-1]已知定義在R上的函數/。)，滿足/(%)=/(-%)-2sin%,且任意。<玉時，有

/(藥)+sin%i—/(%2)一$出兄2>0成立，則不等式小+|^>/(x)+sin尤-cosx的解集為()

玉-x2

7t71717t

A.-8,—B.~2，+°°C.-8,—D.一“+e

24

【變式5-2]已知函數/(%)=/(-x)+2sin2x,又當犬NO時，/(x)>2,則關于工的不等式

710sin12x-智的解集為(

f^f--X+).

71[A)

—,+oo

A.[8>B.

7171

C.+8D.+00

_4~4

題型六：利用COSX與/(%)構造型

【典例6-1](2024?安徽淮南?二模)定義在R上的函數/⑴滿足〃-%)+/(尤)+2cosx=0,當SO時,

/,(x)>sinx,則不等式〃尤)+2cosx>〃?！獂)的解集為()

71兀兀71

A.—,+ooB.-00,—C.D.(-00,71)

22212

，其導函數為/(無)，若對Vxe0,^,有

【典例6-2】偶函數〃尤)定義域為

2〃x)〈也的解集為

/'(x)cosx</(x)sinx成立，則關于尤的不等式

COSX

兀兀

【變式6-1](2024?四川成都?模擬預測)已知函數/(x)的定義域為,其導函數是尸(x).有

2'2

/(x)cosx+/(x)sinx<0,則關于X的不等式/(x)>cos尤的解集為

題型七：復雜型：e"與4(x)+bg(x)等構造型

【典例7-1】已知可導函數Ax)的導函數為了'(X),若對任意的xeR,都有/(x)-/'(x)>l.且/(幻-2022

為奇函數，則不等式〃x)-2021e*>l的解集為()

A.(-co,0)B.(0,+oo)C.(-00,e)D.(e,+co)

【典例7-2]已知函數的導函數為了'(",若對任意的％WR,都有/@)>/'(%)+2,且/⑴=2022,

則不等式2020eM<2的解集為()

A.(0,+8)B.1C.(l,+oo)D.(-GO,1)

【變式7-1】已知函數/⑺與g(x)定義域都為R‘滿足"x)=(x+?g(x),且有

g[x)+xg〈x)—xg(x)<0,g(l)=2e,則不等式〃x)<4的解集為()

A.(1,4)B.(0,2)C.(e,2)D.(1,收)

【變式7-2]已知定義在(-3,3)上的函數滿足“X)+e4V(-x)=0,/(1)=e2,/U)為/*)的導函數，當

xe[0,3)時，f\x)>2f{x),則不等式e?"(2-x)<e"的解集為()

A.(-2,1)B.(1,5)C.(1,內)D.(0,1)

題型八：復雜型：（丘+力與/（X）型

【典例8-1】已知函數〃尤）的定義域是（-5,5）,其導函數為了'（X）,且〃x）+礦（x）〉2,則不等式

（2x—3）/（2x—3）—（x—l）/（x—1）＞2%—4的解集是.

【典例8-2】已知函數/*）的定義域為R,若對于任意xeR都有/'（x）+4x＞0,則當

aw（0,22時，則關于a的不等式/（sina）-cos2a＜0的解集為（）

A.3伺B.陷嗚旬

C.序|兀）D.,,如臣,2T

【變式8-1］（2024?遼寧?模擬預測）已知函數/（x）為定義在R上的偶函數，當x?0,y）時，

/'（x）＞2x,42）=4,則不等式獷（x—l）+2f＞x3+x的解集為（）

A.（-l,0）＜J（3,+co）B.（―1,1）^1（3,+°°）

C.（e,T）U（O,3）D.（-1,3）

【變式8-2】已知定義在（0,+"）上的函數"X）的導函數為/'⑴，若/'（力＜2,且/（4）=5,則不等式

/（2工）＞2"「3的解集是（）

A.（0,2）B.（0,4）C.（—0,2）D.（f4）

題型九：復雜型：與In(丘+力結合型

【典例9-1】(2024?高三?江蘇揚州?開學考試)若可導函數/⑺是定義在R上的奇函數，當天>0時，

有l(wèi)nx/(x)+L/(x)<0,則不等式。-2)"3>0的解集為()

X

A.(-2,0)B.(0,2)C.(-2,2)D.(2,+oo)

【典例9-2】(2024?陜西榆林?模擬預測)已知定義在(0,+e)上的函數/(x)滿足((同_*且

41)=1,則不等式/(巧-(x+l)e，>0的解集為()

A.(0,+ao)B.(l,+oo)C.(-oo,0)D.(-co,l)

【變式9-1】已知函數的定義域為(0,+動，其導函數為了'(X),若礦(x)-1<0,/(e)=2,則關于x

的不等式/9')<尤+1的解集為()

A.(0,1)B.(l,e)C.(l,+oo)D.(e,+oo)

題型十：復雜型：基礎型添加因式型

【典例ioJ】已知r(x)為定義域R上函數/⑺的導函數，且ra)+r(2-x)=o,x>i,

4

(x-1)/'(x)+2/(x)>0且/⑶=1,則不等式〃司》——2的解集為—.

(尤-I)

【典例10-2](2024?高三?湖南株洲?開學考試)已知定義在R上的可導函數/(X)滿足

xf'(x)+f(x)<xf(x),若y=是奇函數，則不等式獷(x)+3e*>。的解集是()

A.(―co,—2)B.(^o,—3)C.(—2,+co)D.(—3,+co)

【變式10-1](2024?山東聊城?三模)設函數“X)的定義域為R,導數為/'(X),若當X2。時，

/'(x)>2無一1,且對于任意的實數x,〃—x)=〃x)+2x,貝杯等式〃2x—1)—〃x)<3d—5x+2的解集為

A.(田,1)C.D.

題型十一：復雜型：二次構造

【典例11-1】己知定義為。,+8)的函數〃尤)的導函數/'(x),且〃e)=2,/F=r(x)lnx,則不等式

4'(x)<2e的解集是.

【典例11-2】函數/(x)滿足：2e"(x)+e"'(x)=6,f(1)=^4=.則x>0時，/(x)

A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值

C.既有極大值，又有極小值D.既無極大值，也無極小值

TT

【變式11-1]設函數"X)的導數為了'(X),且f(x)+xe'=/(x),/⑴=-萬，7(2)=--,貝悄x>0時，

f(x)()

A.有極大值，無極小值B.無極大值，有極小值

C.既有極大值又有極小值D.既無極大值又無極小值

【變式11-2]定義在(0,+“)上的函數“X)滿足獷'(x)+〃x)=x2]nx,且則“X)()

A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值D.既無極大值也無極小值

題型十二：綜合構造

【典例12-1】已知定義在R上的偶函數滿足/(X-；)+/(T-1)=0,e4/(2022)=l,若"尤)＞尸(-幻,

則關于x的不等式/(》+2)＞々的解集為()

e

A.(4,+oo)B.(-co,4)C.(-co,3)D.(3,+co)

【典例12-2】已知定義在R上的奇函數/(尤)，其導函數為/'(尤)，當xVO時，滿足

/c\/、/、/(x)f(2x+l)

卜2+3)尸(耳+2#(一月>0,則不等式三言)4，1+.+；)的解集為()

A.[1,+co)B.(-oo,0)C.D.(0,+<x>)

【變式12-1】已知函數/(無)的定義域為(0,+"),導函數為/'⑴，不等式(尤+l)[2/(x)+礦(切>4(同

恒成立，且"6)=g,則不等式〃》+4)<芝#的解集為()

A.(e,4)B.(0,2)C.(<2)D.(-4,4)

【變式12-2](2024?高三?山東煙臺?期中)定義在R上的函數Kx)的導函數為了'(X),滿足

/(x)+l-e^(l+/(-x))=0,f(l)=e2-l,且當尤e(0,.)時，f\x)-f(x)>l,則不等式/(x—1)>e-1

的解集為()

A.(0,2)B.(-1,1)C.(-oo,0)U(2,+oo)D.(^o,-l)u(l,+oo)

【變式12-3](2024?高三?河南新鄉(xiāng)?開學考試)設函數/(尤)在R上的導函數為了(X),

/(x)+/(-x)=O,對任意xe(O,+s),都有f(x)f'(x)>x,且/(1)=2,則不等式"。一1)了<--2x+4的

解集為()

A.(-oo,0)U(2,+oo)B.(0,2)C.(1,3)D.(F,1)U(3,+8)

題型十三：找出原函數

x2

【典例13-1】設函數〃尤)滿足礦(x)+2〃x)=^,"2)=(,貝1>0時，/(%)()

A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值D.既無極大值也無極小值

【典例13-2】設函數/(x)是定義在(-1,內)上的連續(xù)函數，且在x=0處存在導數，若函數/(*)及其導函數

/'(x)滿足/Wx)ln(x+1)=尤-則函數/(戈)()

x+1

A.既有極大值又有極小值B.有極大值，無極小值

C.有極小值，無極大值D.既無極大值也無極小值

Inx

【變式13-1](2024?遼寧大連?一模)函數Ax)的導函數為/'(x),滿足礦。)+2/(尤)=——，且

/(e)=上，則/(x)的極值情況為()

2e

A.有極大值無極小值B.有極小值無極大值

C.既有極大值又有極小值D.既無極大值也無極小值

【變式13-2】設函數Ax)是定義在(0,+?))上的連續(xù)函數，且在x=l處存在導數，若函數Ax)及其導函數

/(%)滿足尸(x)lnx=x-"0,則函數/(x)()

X

A.既有極大值又有極小值B.有極大值，無極小值

C.既無極大值也無極小值D.有極小值，無極大值

【變式13-3](2024?全國?一模)若函數“X)滿足獷(力一/(力=/靖,/(1)=0,則當彳>0時，/(%)

()

A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值D.既無極大值又無極小值

【變式13-4](2024?黑龍江大慶?模擬預測)已知函數〃尤)的定義域為(0,+8)，/'(X)為函數八》)的導

函數，若廣〃耳+#(耳=1,/(1)=0,則不等式/(2<3)>0的解集為()

A.(0,2)B.(log,3,2)C.(log23,+(?)D.(2,+oo)

8.已知定義在R上的函數”元)，其導函數為第x),若〃x)—〃—耳+2/+2尤=0,且當時，

/'(了)+3/+1<0,貝U不等式/(x+1)—/(x)+3x2+3x+2V0的解集為()

A.(-oo,0]B.[0,+oo)C.18,一；D.-p+coj

9.定義在R上的函數/(x)的導函數為/'(x),若對任意實數x,有〃x)>尸⑺，且/(x)+2023為奇函數,

則不等式/(力+20233<0的解集是()

A.(一8,0)B.卜C.(0,+8)D.[j+s]

10.(多選題)設定義在R上的函數/⑺的導函數為了'(X),若滿足礦⑶-/。)=娛',且f(l)=e,則下

列結論正確的是()

A./。)在R上單調遞增

B.不等式/(xRe的解集為[1,+s)

C.若恒成立,則。2工+1

e

D./(%1)=x2lnx2=4,則占々=4

11.已知函數是定義在R上的偶函數，其導函數為八%),且當尤<0時，2〃力+礦。)<0,則不等

式(x-2023)2f(x-2023)-/(-1)>0的解集為.

12.已知定義在R上的函數"%)滿足〃2+x)=〃—x),且當x>l時，有礦(無)+〃x)>r(x),若

"2)=1,則不等式的解集是_.

13.若定義在R上的函數〃尤)滿足了'(x)+2〃x)>0,且"0)=1,則不等式4%)>*的解集為

14.定義在[-|小[。卷)上的奇函數/3的導函數為八；0,且當xe/,鼻時，r(x)tanx-/(x)>0,

則不等式f(x)<2(5sinx的解集為.

15.已知定義在R上的偶函數“X),其導函數為若礦(力-2〃力>。，/(-1)=|,則不等式

2/(x)<X2的解集是_.

16.已知函數及其導函數/'(X)的定義域均為R,且〃尤)>/(力，若/(0)=0,則不等式

/(2f一5》-7)>0的解集為.

17.已知/'(X)是函數/(力的導函數，且滿足/'(力>/(可在R上恒成立，則不等式

/(2x—l)—e3Z/0一同>0的解集是.(用區(qū)間表示)

18./⑴是定義域為(-8,0)U(0,+8)上的奇函數，/(2)=0,當x>0時，有x-r(x)-f(x)<0,則不等式

x-7(x)>0的解集為—.

19.已知定義在(O,+e)上的函數的導函數為((無)，若/'(x)<2,且—4)=5,則不等式

2

/(log2x)>log2X-3的解集是—.

20.(2024?高三?上海浦東新?期中)定義在R上的函數/⑴滿足/(x)-/'(x)+e*<0,其中/'(x)為

“X)的導函數，若〃3)=3e?,則的解集為一.

21.已知定義在(0,+“)上的函數/(“滿足24(尤)+廣[(尤)<0,"2)=],則關于x的不等式〃力>弓的

4A

解集為.

22.(2024?高三?黑龍江哈爾濱?期中)己知定義在R上的可導函數Ax)滿足：f(x)+f'(x)>0,

/(；]=%，則的解集為?.

23.(2024?甘肅張掖?模擬預測)已知/(“為偶函數，且當xe[0,w)時，〃x)+#'(x)<0,其中

/'(尤)為/(無)的導數，則不等式。-力/@-1)+2獷(2￡)>0的解集為_.

24.(2024?山東荷澤?三模)已知奇函數〃力是定義在R上的可導函數，其導函數為/"),當x>0時,

有"(x)+#，(x)>x2,則(x+2023)7(x+2023)+/(-l)<0的解集為—.

25.函數/(戈)定義域為(0,乃)，其導函數是7'(x),當(0,乃)時，有了'(x)sinx-/(x)cosx<0,則關于x的不

等式/(x)<72/Qsinx的解集為.

26.已知函數/(x)的導函數為/'(x),且滿足/(力+/'(力>0在R上恒成立，則不等式e?"(2x+l)>

e2-"(3-x)的解集是.

重難點突破02原函數與導函數混合還原問題

目錄

01方法技巧與總結2

02題型歸納總結..............................................................................3

題型一：利用了”/■(%)構造型...................................................................3

題型二：利用構造型......................................................................3

X

題型三：利用e加/(%)構造型...................................................................4

題型四：用構造型........................................................................4

e

題型五：利用sin%、tan%與/(%)構造型......................................................5

題型六：利用cosx與/(%)構造型..............................................................6

題型七：復雜型：e"與4'(X)+bg(x)等構造型..................................................6

題型八：復雜型：(丘+力與于(X)型...........................................................7

題型九：復雜型：與In(丘+b)結合型...........................................................8

題型十：復雜型：基礎型添加因式型..............................................................8

題型十一：復雜型：二次構造....................................................................8

題型十二：綜合構造.............................................................................9

題型十三：找出原函數.........................................................................10

03過關測試....................................................................33

亡法牯自與.柒年

//\\

1、對于礦(%)+/(%)>0(<0),構造g(x)=%?/(無)，

2、對于苗(x)+始(x)>0(<0),構造g(x)=/?/(%)

3、對于x"'(x)-/(x)>0(<0),構造g(x)=&D,

4、對于x?尸(x)-"(x)>0(<0),構造g(x)=￥

5、對于/'(x)+/(%)>0(<0),構造g(x)=e'"(x),

6、對于廣(%)+外>(兀)>0(<0),構造g(x)=*?/(%)

7、對于廣(x)-f(x)>0(<0),構造g(x)=卒,

e

8、對于/■'(x)-/x)>0(<0),構造8⑴=字

e

9、對于sinx?f(九)+cosx?/(x)>0(<0),構造g(x)=/(x)?sinx,

10>對于sin兄"'OO-cosx"。)〉。(<0),構造g(x)=/(”)

sinx

11>對于cosx"'Cx)-sin兄"(x)>0(<0),構造g(x)=/(%)?cosx,

12、對于cos兄?/'Cx)+sinx?/(X)>0(<0),構造g(x)=

cosx

13、對于/'(「)一。(x)>左(<0),構造g(x)=e'"(x)-口

14、對于/'(%)In%+>0(<0),構造g(%)=lnx"(x)

x

15、f(x)+c=[f(x)+cx]r；/'(%)+gr(x)=[/(%)+g(x)]f;ff(x)-gr(x)=[f(x)-g(x)y；

16、((x)g(x)+f(x)g'(x)="(x)g(x)]';二(x)g(：2；《5)/")=[篇丫-

㈤2

題型歸納與總結

題型一：利用了〃/(%)構造型

【典例1-1】函數“X)是定義在區(qū)間(0,y)上的可導函數，其導函數為八x),且滿足廣3+[〃尤)>0,

則不等式(X+2023)〃X+2023)<且也的解集為()

2x+2023

A.{x|x>-20211B.{x|x<-2021}

C.(x|-2023<x<0}D.{x|-2023<x<-2021)

【答案】D

【解析】根據題意，g(x)=</(x),x>0,則導函數根(x)=/f(x)+29(x),

函數/⑺在區(qū)間(0,+8)上，滿足r(x)+：/(x)>0,則有/:(x)+2W(x)>0,

所以g'(x)>0,即函數g(x)在區(qū)間(0,+8)上為增函數，

(一網小+期%二包川E回了”必卜巧⑵,

2x-H2023

所以g(x+2023)<g(2),

貝I]有0<x+2023<2,

解得-2023Vx<—2021,

即此不等式的解集為"|-2023<x<-2021}.

故選：D

【典例1-2](2024?全國?模擬預測)定義在R上的函數"X)的導函數是廣(x),3/(x)+次(幻<0,函數

y=/(x+1)+2022為奇函數，則不等式尤3〃x)+2022>0的解集為()

A.(-00,1)B.(y,T)C.D.

【答案】A

【解析】由題意知3/(x)+^'(x)<0,

設g(x)=x3f(x)+2022,貝1Jg'(x)=3X2/(X)+X3/,(X)=x2[3/(x)+xf\x)]<0,

僅當無=0時，等號成立，所以g(無)單調遞減.

又因為函數y=/(尤+1)+2022為奇函數，所以/⑴+2022=0,即g⑴=0,

故由g(x)>g⑴可得x<l,

所以不等式X3f(x)+2022>0的解集為(-8,1),

故選：A

【變式1-1]設函數〃尤)是定義在(-8,0)上的可導函數，其導函數為了'(X),且有2〃x)+V'(x)>0,則

不等式(x+2023)"(x+2023)-4/(-2)<0的解集為()

A.(-2023,-2021)B.(-2025,0)

C.(-2025,-2021)D.(-2025,-2023)

【答案】D

【解析】由2/(尤)+礦(幻>0,(*<0),得24(x)+x"G)<0,即[尤V(尤)]'<o，

令g(x)=#/(x),則當x<0時，得g'(x)<0,即g(x)在(f,0)上是減函數，

g(x+2023)=(x+2023)2f(x+2023),g(-2)=4/(-2),

即不等式等價為g(x+2023)-g(-2)<0,

g(x+2023)<g(—2),得x+2023>—2,即x>—2025,

又x+2023<0,解得x<—2023,故一2025<x<—2023.

故選：D.

【變式1-2](2024?江西南昌?三模)已知函數/⑴的定義域為R,且/(2)=-1,對任意尤eR,

/(x)+#'(x)<0,則不等式(x+l"(x+l)>-2的解集是()

A.(-oo,l)B.(Y°⑵C.(l,+a>)D.(2,+00)

【答案】A

【解析】設g(x)=#(x),則g⑵=2〃2)=-2,

???對任意xeR,/(x)+#'(x)<0，,8㈡心人幻+獷心卜。恒成立，即g(x)在R上單調遞減，

由(x+l)/(x+l)>-2可得g(x+l)>g(2),.”+1<2,解得x<l,即解集為(TO,1).

故選：A

【典例2-1】已知函數/(無)的定義域為=其導函數/⑴滿足礦(力一2/(力>0,則

不等式/(x+2025)+(x+2025)2<0的解集為()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.(-oo,-2026)D.(9,—2025)

【答案】B

【解析】根據題意可令g(x)=W(x<0)ng，3=礦⑺;2〃x)<0,

所以g(x)=§在(-8,0)上單調遞減，

/(x+2025)

則原不等式等價于(<T,

(x+2025)

由g(x+2025)=止坦字<-l=g(-l)n0>x+2025>-l,

(尤+2025)一

解之得xe(-2026,-2025).

故選：B

【典例2-2】已知函數〃尤)是定義在(