2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點(diǎn)突破 求曲線的軌跡方程（十一大題型）（學(xué)生版+解析）

重難點(diǎn)突破05求曲線的軌跡方程

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：直接法.................................................................3

題型二：定義法.................................................................4

題型三：相關(guān)點(diǎn)法...............................................................5

題型四：交軌法.................................................................6

題型五：參數(shù)法.................................................................8

題型六：點(diǎn)差法.................................................................9

題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡..............................................10

題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線的軌跡..................................................11

題型九：向量與圓錐曲線的軌跡..................................................12

題型十：利用韋達(dá)定理求軌跡方程................................................12

題型十一：四心的軌跡方程......................................................14

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................16

亡法牯自與.柒年

//\\

一.直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：

（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

（2）設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P（x,y）

（3）列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式

（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含為y的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為蒼y的

方程式化簡(jiǎn)

（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程（對(duì)某些特殊值應(yīng)另外補(bǔ)充檢

驗(yàn)）.簡(jiǎn)記為：建設(shè)現(xiàn)代化，補(bǔ)充說(shuō)明.

注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說(shuō)明軌跡是什么曲線.

二.定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問(wèn)題，我們常常需要把動(dòng)點(diǎn)尸和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)判

斷.熟記焦點(diǎn)的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為下的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題目提到的定點(diǎn)等

等.當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義求解軌

跡方程.

三.相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

如果動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知

曲線方程），則可以設(shè)出尸（羽y）,用（元,y）表示出相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把P的坐標(biāo)代入己知曲線方程，

即可得到動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程.

四.交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這類問(wèn)題常常可以先解方程組得出

交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通

常選變角、變斜率等為參數(shù).

五.參數(shù)方程法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

動(dòng)點(diǎn)M（x,y）的運(yùn)動(dòng)主要是由于某個(gè)參數(shù)。的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)

[x=f（（p）

的坐標(biāo)，即，再消參.

〔y=g（。）

六.點(diǎn)差法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

圓錐曲線中涉及與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)

4（%,%）,3（無(wú)2，%）的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減可得占+W，%+%，玉-%，乂-%等關(guān)系式，由

于弦神的中點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足2彳=項(xiàng)+々，2y=%+%且直線的的斜率為資三?，由此可求得弦

中點(diǎn)的軌跡方程.

題型一：直接法

【典例1-11（2024.高三.河北張家口?開(kāi)學(xué)考試）已知M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別（-2,0）,（2,0）.直線既、祇相交于

點(diǎn)K,且它們的斜率之和是3,則點(diǎn)K的軌跡方程為（）

A.3%2一2孫-12=0（xw±2）B.3y之一2沖-12=0（1±±2）

2222

C.—+—=1（x±2）D.——=l（xw±2）

43v734v7

【典例1-2】已知等腰三角形A3C的一腰的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A（4,2）,B（-2,0）,|AB|=|AC|,則另一腰的一個(gè)

端點(diǎn)C的軌跡方程是（）

A.x2+y2-8x-4y=0

B.x2+/-8.r-4y-20=0（除去（—2,0）,（10,4）兩點(diǎn)）

C.x2+y2+8x+4y-20=0（除去（—2,0）,（10,4）兩點(diǎn)）

D.x2+y2-8x-4y+20=0（除去（—2,0）,（10,4）兩點(diǎn)）

【變式1-1］（2024?高三.黑龍江哈爾濱?期末）點(diǎn)P到直線y=3的距離比到點(diǎn)F（0,-l）的距離大2,則點(diǎn)尸的

軌跡方程為（）

A.y2=2xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=-4y

【變式1-2］在平面直角坐標(biāo)系中，若定點(diǎn)4（1,2）與動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足向量。戶在向量以上的投影為一行,

則點(diǎn)尸的軌跡方程為（）

A.x-2y+5=0B,x+2y-5=0

C.x+2y+5=0D.x~2y—5=0

【變式1-3］（2024?浙江溫州?一模）動(dòng)點(diǎn)M（x,y）到定點(diǎn)/（T,0）的距離與/到定直線/：*=一寧的距離

的比等于力4，則動(dòng)點(diǎn)以的軌跡方程是（）

A.3=lIT

B.

2592516

產(chǎn)+爐一1

cD.

2592516

題型二：定義法

【典例2-1】已知圓/+（,+3）2=9和圓Q：x2+（y-3）2=l,動(dòng)圓M同時(shí)與圓G及圓Q外切，則動(dòng)圓

的圓心M的軌跡方程為一.

【典例2-2】已知定點(diǎn)P（-4,0）和定圓Q:/+V=8x,動(dòng)圓加和圓。外切，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,求圓心M的軌

跡方程

【變式2-1】已知圓G：（X+1）2+V=25,圓C2：（X—1）2+/=1,動(dòng)圓M與圓C,外切，同時(shí)與圓G內(nèi)切，

則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（）

.X2X2J2

A.——+y2=1B.—+—=1

332

/Y2V2

C.—+/=1D.—+^=1

9-98

【變式2-2］已知”（-2,0）,P是圓N:/-4無(wú)+/-32=0上一動(dòng)點(diǎn)，線段MP的垂直平分線交NP于點(diǎn)。,

則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為—.

【變式2-3】已知定點(diǎn)砥1,0）,圓亂/+;/+2尤-15=0,過(guò)R點(diǎn)的直線4交圓于M,N兩點(diǎn)過(guò)R點(diǎn)作

直線右〃SN交于。點(diǎn)，求。點(diǎn)的軌跡方程；

【變式2-4】設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸（2,0）,點(diǎn)A是直線x=-2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF并作AF的垂直平分線/,

過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交/于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程為一.

【變式2-5］（2024?山東青島?一模）已知A（-2,0）,8（2,0）,設(shè)點(diǎn)尸是圓/+9=i上的點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)Q滿足:

QPPB=O,。2=2］舄+f|即］，則。的軌跡方程為（）

A./上=iB.--y2^lC.—+/=1D.J匚1

335-62

【變式2-6］（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知圓C的方程為爐+產(chǎn)=16,直線/為圓C的切線，記

A（-2,0）,8（2,0）兩點(diǎn)到直線/的距離分別為4,4,動(dòng)點(diǎn)尸滿足1PH=&,|冏=%，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程

為（）

題型三：相關(guān)點(diǎn)法

【典例3-1】設(shè)過(guò)點(diǎn)尸（苞耳的直線分別與無(wú)軸的正半軸和y軸的正半軸交于4、B兩點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)尸關(guān)于y

軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若BP=2PA，且OQ-AB=1,則點(diǎn)尸的軌跡方程是—.

【典例3-2】（2024?高三?江西?開(kāi)學(xué)考試）已知面積為9的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、3分別在X軸和V軸上滑

2:05,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（）

動(dòng),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP=-OA+

A.J匚1%-—1

B.

3248

I_i

VC-X.--------1-------------1D.

4984

,2

【變式3-1】已知耳耳分別為橢圓氏工+y2=i的左、右焦點(diǎn)，尸是橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，G點(diǎn)是三角形

9

尸片耳的重心，則點(diǎn)G的軌跡方程為（）

A.x2+9y2=lB.x2+9y2=l(y^0)

22

C,工+2=1D.工+工=l(y#0)

819819'

?1

【變式3-2]已知點(diǎn)尸是橢圓一+丁=1上的動(dòng)點(diǎn)，9，%于點(diǎn)“，若PN=^NM,則點(diǎn)N的軌跡方程

22

為（）

x2J/B-1

A.---1-=-1--D.-----------1---=1

2424

Cx\4y2T

D-T+y=1

29

【變式3-3]（2024.高三.重慶?期中）長(zhǎng)為2的線段A3的兩個(gè)端點(diǎn)A和6分別在工軸和'軸上滑動(dòng)，則點(diǎn)A

關(guān)于點(diǎn)石的對(duì)稱點(diǎn)”的軌跡方程為（）

A.—+^=1B.^+―=1=i

0I4D

4242-

題型四：交軌法

22

【典例4-1】已知A,B分別為橢圓土+上=1的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)跖N為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足線段

43

與無(wú)軸垂直，則直線MA與A?交點(diǎn)的軌跡方程為、

【典例4-2】已知橢圓C：二+工=1(.>6>0)的離心率為近,

且經(jīng)過(guò)妁1,當(dāng)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)7(1,0)

ab27

斜率不為。的直線/交C于E,尸兩點(diǎn)，A,8分別為橢圓C的左，右兩頂點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

⑵設(shè)直線AE與BF的交點(diǎn)為P,求P點(diǎn)的軌跡方程.

,2

【變式4-1】設(shè)a，4是橢圓土+匕=1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，耳鳥(niǎo)是橢圓上垂直于da的弦的端點(diǎn)，則直線

94

A出與4鳥(niǎo)交點(diǎn)的軌跡方程為()

2222

A.-+=1(x+3)B.+—=l(x^±3)

94v794I7

x2

cD.4

.94

【變式4-2](2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)A(I,O),3(0,1),C(l,l)和動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)滿足/是尸

PA-PC的等差中項(xiàng).

(1)求尸點(diǎn)的軌跡方程;

(2)設(shè)尸點(diǎn)的軌跡為曲線。按向量。=平移后得到曲線C?,曲線G上不同的兩點(diǎn)N的連線交、

軸于點(diǎn)2(0,3,如果NMON(。為坐標(biāo)原點(diǎn))為銳角，求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

(3)在(2)的條件下，如果6=2時(shí)，曲線G在點(diǎn)/和N處的切線的交點(diǎn)為R,求證：R在一條定直線上.

【變式4-3】已知橢圓C：W+￡=l（a>b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（0,-1）,且離心率為逅.直線y=履+3與C交于

ab2

A3兩點(diǎn)，連結(jié)尸AP3.

（1）求.2B面積的最大值；

⑵設(shè)直線PAPB分別與x軸交于點(diǎn)M,N,線段肱V的中點(diǎn)為Q,求直線產(chǎn)。與直線43的交點(diǎn)H的軌跡方

程.

【變式4-4】拋物線C的對(duì)稱軸為x軸，定點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，焦點(diǎn)廠為直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).

⑴求C的方程；

（2）已知尸（0,-1）,過(guò)點(diǎn)尸的直線交C與M,N兩點(diǎn)，又點(diǎn)。在線段MV上（異于端點(diǎn)），且

\PM\-\QN\=\PN\-\QM\,求點(diǎn)。的軌跡方程.

【變式4-5】已知矩形ABC。中，A8=2?,8C=2也,E,EG,〃分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，以矩形中心。

為原點(diǎn)，所在直線為了軸，EG所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.直線衣,5。上的動(dòng)

點(diǎn)R,S滿足OR=WF,CS=eR）.求直線與直線GS交點(diǎn)尸的軌跡方程.

2

【變式4-6］（2024.高三.湖北.期末）已知雙曲線C與雙曲線上-f=i有相同的漸近線，且雙曲線。的上

4

焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于2.

⑴已知M（Oj）（f>4）,N為C上任意一點(diǎn)，求|肱V|的最小值；

（2）已知?jiǎng)又本€/:y="+加（丘±2）與曲線c有且僅有一個(gè)交點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸且與/垂直的直線I、與兩坐標(biāo)軸分

別交于A（x（）,O）,B（O,y（））.設(shè)點(diǎn)Q（%%）.

（i）求點(diǎn)。的軌跡方程；

（ii）若對(duì)于一般情形，曲線C方程為上-1=1,動(dòng)直線/方程為>=丘+〃?「*±：〕，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)

a2b-Ib）

。（%為）的軌跡方程.

【變式4-7］（2024.吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:斗=1（。>0,6>0）的左、右頂點(diǎn)分別為

ab

A（-l,0）,B（l,0）,動(dòng)直線/過(guò)點(diǎn)M（2,0）,當(dāng)直線/與雙曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)8到直線/的距

離為立

2

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線/與雙曲線C交于異于A8的兩點(diǎn)P,。時(shí)，記直線AP的斜率為左,直線BQ的斜率為

（i）是否存在實(shí)數(shù)為，使得網(wǎng)=幾勺成立，若存在，求出2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（ii）求直線AP和BQ交點(diǎn)E的軌跡方程.

題型五：參數(shù)法

【典例5-1】方程x2+y2-4tx-2ry+3r-4=0（r為參數(shù)）所表示的圓的圓心軌跡方程是（結(jié)果化為普通

方程）

【典例5-2］已知A（-1,4）,3（2,1）,0是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足8=/1。4+〃08,且?guī)?〃=2,則點(diǎn)尸的軌

跡方程為（）

A.x-y=lB.x-y=2C.x+y=3D.x+y=6

【變式5-1］已知A（2cose,4sin。），B（2sin。,Yeos。），當(dāng)6eR時(shí)，線段AB的中點(diǎn)軌跡方程為.

2222

【變式5-2】己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OI：x+y=4,O2:x+y=l,A是&上的動(dòng)點(diǎn)，連接。1,線段

。4交<4于點(diǎn)8,過(guò)A作尤軸的垂線交無(wú)軸于點(diǎn)C,過(guò)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)。，則點(diǎn)。的軌跡方程

為—.

【變式5-3】已知在R4B中，AB=8,以A8的中點(diǎn)為原點(diǎn)。，所在直線為無(wú)軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)=ZPBA=/3,若cos(a+6)+cos21a；尸[sin?[.2.[=sin]a；V]cos2]a2-]，則點(diǎn)P的

軌跡方程為一.

題型六：點(diǎn)差法

/v23

【典例6-1】已知橢圓二+乙=1,一組平行直線的斜率是:，當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)，這些直線被橢圓截得

492

的線段的中點(diǎn)軌跡方程是一

【典例6-2]己知橢圓]+y2=l.

(1)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)尸引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)。的軌跡方程；

(3)求過(guò)點(diǎn)且被以平分的弦所在直線的方程.

2222

【變式6-1】我們把由半橢圓=+與=1(xN0)與半橢圓與+J=1(xV0)合成的曲線稱作“果圓”，其中

abbc

a2^b2+c2,a>0,6>c>0.如圖，點(diǎn)瑞、耳、F?分別是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，司、&和耳、之分別是“果

圓”與無(wú)軸、y軸的交點(diǎn).

(1)若△與的工是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求“果圓”的方程;

⑵當(dāng)|A4|>|4閔時(shí)，求，的取值范圍；

（3）連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦，求斜率為o的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.

22

【變式6-2】己知：橢圓二+21=1,求：

164

（1）以P（2,-l）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程;

（2）斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.

題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡

【典例7-1】已知點(diǎn)P是正四面體A-3CD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，E是棱C。的中點(diǎn)，且點(diǎn)P到棱A3和棱CD的距離

相等，則點(diǎn)尸的軌跡被平面ABE所截得的圖形為（）

A.線段B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分

【典例7-2］（2024.廣東梅州?一模）如圖，正四棱柱ABCD-ABCR中，AAi=2AB=2,點(diǎn)尸是面

AB瓦4上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)尸到點(diǎn)2的距離是點(diǎn)尸到直線A3的距離的2倍，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是（）的一部

分

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【變式7-1】已知直線機(jī)<=平面a,直線“〃平面a,且根_1_”.若尸是平面a上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸到直線機(jī)、

”的距離相等，則點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【變式7-2］在長(zhǎng)方體ABCD-ABC'。'中，點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)（包含邊線）運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終

保持到頂點(diǎn)8的距離與到對(duì)角線8'。所在直線距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是（）

A.線段B.圓的一部分

C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分

【變式7-3】已知線段A8與平面。所成的角為60。，點(diǎn)8為斜足，在平面a上的動(dòng)點(diǎn)尸滿足=30。,

則點(diǎn)P的軌跡是()

A.直線B.拋物線C.橢圓D.雙曲線的一部分

【變式7-4］已知正方體4G2的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)尸是平面A3CD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)尸到直線的

距離與到直線CD的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為()

A.拋物線B.橢圓C.雙曲線D.圓

題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線的軌跡

【典例8-1］已知i為虛數(shù)單位，且％=丹，復(fù)數(shù)z滿足|z-z0|=l,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為(

A.(x-l)2+(y+l)2=4B.(x-l)2+(y+l)2=4

C.(x+l)2+(y+l)2=lD.(x-l)2+(y-l)2=1

【典例8-2】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知i為虛數(shù)單位，且z°=W，復(fù)數(shù)z滿足|z-z0|=l,則復(fù)數(shù)z對(duì)

l+2z

應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為()

A.(x-l)2+(y+l)2=4B.(x-l)2+(y-l)2=4

C.(x+l)2+(y+l)2=1D.(x-l)2+(y-l)2=1

【變式8-1］設(shè)非零復(fù)數(shù)Z。是復(fù)平面上一定點(diǎn)，%為復(fù)平面上的動(dòng)點(diǎn)，其軌跡方程|Z「Z0|=|ZJ,Z為復(fù)平

面上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足Z|Z=-1,則Z在復(fù)平面上的軌跡形狀是()

A.雙曲線B.圓C.一條直線D.拋物線

【變式8-2］(2024?陜西咸陽(yáng).三模)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P(x,y),則點(diǎn)尸的軌

跡方程為()

A.(x+l)2+y2=1B.(x-l)2+y2=1

C.%2+(y-l)2=lD.x2+(y+l)2=1

【變式8-3］設(shè)復(fù)數(shù)z=(l+cose)+i-sin。(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)的軌跡方程

為.

2

【變式8-4］設(shè)復(fù)數(shù)z滿足l<z+±K3,則復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在復(fù)平面上的軌跡方程為

z

題型九：向量與圓錐曲線的軌跡

【典例9-1】已知。是平面上一定點(diǎn)，A，8,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足

OP=OA+A(AB+AC),2c(0,+co),則尸的軌跡一定通過(guò)..ABC的()

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【典例9-2】。是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A,B,C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足OP=OA+〃AB+AC),

Xe［O,E),則尸的軌跡一定通過(guò)一45。的()

A.外心B.垂心C.內(nèi)心D.重心

【變式9-1］在ABC中，S：AC2-AB2=2AM.(AC-AB),那么動(dòng)點(diǎn)”的軌跡必通過(guò)..A5C的()

A.垂心B.內(nèi)心C.重心D.外心

【變式9?2】(2024?江蘇?高三統(tǒng)考期末).中，AH為5c邊上的高且B"=3HC，動(dòng)點(diǎn)尸滿足

1.2

APBC=--BC,則點(diǎn)尸的軌跡一定過(guò)一ABC的()

4

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

【變式9-3］己知。=卜-"力，匕=(x+/y),且滿足同+小4,則點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為一.

【變式9-4］(2024?湖北咸寧?模擬預(yù)測(cè))已知a,6,e是平面向量，e=(l,0),若非零向量“滿足

|a|-|e|=2|a-e|,向量。滿足忸+4eH，,則b的軌跡方程為；,-可的最小值為.

題型十：利用韋達(dá)定理求軌跡方程

丫2V22

【典例10-11(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C:5+A=l(a>b>0)的離心率為丁，左、右頂點(diǎn)分別為

ab3

4和4,M是橢圓C上一點(diǎn)，且MA&面積的最大值為3君.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M與橢圓C的頂點(diǎn)不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線OM,MF,其中直線不過(guò)

坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行，直線OM,板與橢圓C交于異于點(diǎn)M的E,尸兩點(diǎn)，直線片￡與直線&月

相交于點(diǎn)。，直線。。與直線板相交于點(diǎn)N,求點(diǎn)N的軌跡方程.

【典例10-2］過(guò)點(diǎn)A（0,-2）的直線與拋物線產(chǎn)=4尤相交于兩點(diǎn)尸，Q,求以。尸，OQ為鄰邊的平行四邊形

的第四個(gè)頂點(diǎn)M的軌跡方程.

【變式10-1】已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4/+5/=80上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn)

A在y軸正半軸上）.

（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;

（2）若角A為90°,垂直BC于。，試求點(diǎn)。的軌跡方程.

【變式10-2］（2024.江蘇南通?二模）己知拋物線C:/=4x,過(guò)點(diǎn)（4,0）的直線與拋物線交于A,8兩點(diǎn),

則線段中點(diǎn)m的軌跡方程為.

【變式10-3】已知拋物線C：V=4x,焦點(diǎn)、為F

⑴若點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且|尸典=4,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

（2）若斜率為2的直線/與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的軌跡方程.

【變式10-4】已知尸為拋物線/=工的焦點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，OAOB=2（其中

。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.直線A2在繞著定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，求弦A8中點(diǎn)M的軌跡方程.

【變式10-51過(guò)拋物線丁=8x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，則線段尸2的中點(diǎn)的軌跡方程為（

A.y=4x-lB.y2=——+1

4

c.r=|-lD./=4(x-2)

【變式10-6］(2024.河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知拋物線C:Y=2處(p>0)的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距離為2,直

線］:y=%(x-4)與拋物線C交于P,。兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸，。作拋物線C的切線人如若//交于點(diǎn)則點(diǎn)M

的軌跡方程為.

題型十一：四心的軌跡方程

【典例11-1】設(shè)點(diǎn)〃、N分別是不等邊VABC的重心與外心，已知4(0,1)、B(0,-1),且MN=2A8.則動(dòng)

點(diǎn)C的軌跡E_；

22

【典例11-2】點(diǎn)M為橢圓上+上=1上一點(diǎn)，片，巴為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則△耳的內(nèi)心軌跡方程

95

為.

【變式11-1】己知橢圓C4+4=1(?>O>b>0)過(guò)點(diǎn)逑,乎］,且離心率為”.

abI33J2

⑴求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/：y=x+7"與橢圓C交y軸右側(cè)于不同的兩點(diǎn)A,B,證明：AMAB的內(nèi)心在一條定直線上.

【變式口-2】在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1),點(diǎn)8與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)

m

對(duì)稱，C為M上一動(dòng)點(diǎn)，且C異于A8兩點(diǎn).

⑴求M的離心率；

(2)若4307的重心為人，點(diǎn)。(8,4),求|。刀的最小值;

(3)若△BCT的垂心為A,求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程.

【變式11-31求解下列問(wèn)題:

(1)如圖，動(dòng)圓G：/+丁="，1</<3與橢圓Q：5+>2=1相交于A,B,c,。四點(diǎn)，點(diǎn)A,4分別為

的的左、右頂點(diǎn).求直線AA與直線的交點(diǎn)M的軌跡方程.

22

(2)已知耳，尸2分別為橢圓C：土+匕=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求PE工的重心G的

43

軌跡方程.

【變式11-4］己知VABC的頂點(diǎn)A是定點(diǎn)，邊3c在定直線/上滑動(dòng)，|BC|=4,3c邊上的高為3,求

VABC的外心M的軌跡方程.

22

【變式11-5】(2024?河北石家莊?一模)已知坐標(biāo)原點(diǎn)為。，雙曲線C:二-1=l(a>0,b>0)的焦點(diǎn)到其漸

ab

近線的距離為拉，離心率為否.

(I)求雙曲線的方程；

(II)設(shè)過(guò)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P(M，%)的直線瞥=1分別交雙曲線的兩條漸近線于A,3兩點(diǎn)，求VAOB

的外心"的軌跡方程.

1.已知兩定點(diǎn)A（-1,O）,3（1,0）,動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足tanNR鉆.tanNFR4=-2,則點(diǎn)P的軌跡方程是（）

A.x2-=1B.%2-^_=i（yw。）

22

C.x?+'=lD.x2+^1-=l（y^0）

2.在圓C:（x-2y+y2=4上任意取一點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作無(wú)軸的垂線段尸D,。為垂足.當(dāng)點(diǎn)尸在圓C上運(yùn)動(dòng)

時(shí)，線段尸￡>的中點(diǎn)M的軌跡方程是（當(dāng)點(diǎn)尸經(jīng)過(guò)圓與左軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)M與點(diǎn)P重合）（）

A.4/+（y-2『=4B.x2+4（y-2）2=4

C.4（X-2）2+/=4D.（x-2『+4/=4

3.已知A（3,2）,B（-3,-2）,若動(dòng)點(diǎn)“滿足直線M4與直線MB的斜率之積為;，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為

2_

A.y2--=1±3B.-r----y?=1,冗w±3

33

C.=1D.—-y2=l

33

4.已知圓C:x2+y2=3,直線/過(guò)點(diǎn)A（-2,0）.線段4B的端點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，則線段4B的中點(diǎn)M的軌跡

方程為（）

A.(%-l)2+y2=|B--J：

C.—=：D.(x+l)2+y2=|

5.已知點(diǎn)尸是圓O：/+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),作軸于點(diǎn)則線段PH的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）

r2j

A.----1-y2=1B.----Fy2=1C.x2+^=lD./+上=1

416164

6.當(dāng)點(diǎn)A在橢圓工+>2=1上運(yùn)動(dòng)時(shí),連接點(diǎn)A與定點(diǎn)5（2022,0）,則A5的中點(diǎn)尸的軌跡方程為（）

4

A(x-2022)上1(%+2022)2y2_

B.

16416T-

C.+/=]D.(x-1011)2+4y2=1

4

7.如圖，在圓尤?+丁=4上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線段PD,。為垂足，當(dāng)點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線

R321

D.----1----=1

42

D.W+V=1

8.已知兩圓G：(尤+4y+y2=9,C2：(x-4『+y2=9,動(dòng)圓C與圓G外切，且和圓C,內(nèi)切，則動(dòng)圓C的圓心

C的軌跡方程為()

A.?g3）B.-----=1

97

C.--^=1D.—-^-=l(x>3)

7997v7

9.(2024?江西景德鎮(zhèn)?三模)首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競(jìng)賽場(chǎng)館，它的

設(shè)計(jì)創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動(dòng)，被形象地稱為雪飛天.中國(guó)選

手谷愛(ài)凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺(tái)和男子單板滑雪大跳臺(tái)比賽的金牌.雪飛天的助滑道

可以看成一個(gè)線段尸。和一段圓弧QM組成，如圖所示.在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下圓弧QM所在圓的方程為

(x+10)2+(y-3)2=128,若某運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)加以傾斜角為45且與圓C相切的直線方向起跳，起跳后的

飛行軌跡是一個(gè)對(duì)稱軸在y軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為()

A.%2=Y（y+4）B.y=--x2-3

2

一*+）

C.%2=—32（y-1）D.y=4

10.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓〃方程為一+>2=1,過(guò)平面內(nèi)的點(diǎn)尸作橢圓"的兩條互相垂直

4

的切線，則點(diǎn)尸的軌跡方程為（）

22

A.x+y=5B.%2+>2=4

C.V+y2=3D.x2+/=-

2

2

11.（2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線爐-q=1與直線/：y=依+加伏片±2）有唯一的公共點(diǎn)M,

過(guò)點(diǎn)M且與/垂直的直線分別交無(wú)軸、N軸于A（龍,0）,3（0,y）兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P（x,y）的軌跡方程

是（）

r29

A.>2=l(yW0)B---j2=l(y^0)

C》"（"。）DL("°)

12.（2024.湖北.模擬預(yù)測(cè)）如圖，己知圓圓N:（x-2y+（y-3）2=l,己知尸為兩圓外的動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作兩圓的割線和PCD,總有NPC4=/PBD,則點(diǎn)P的軌跡方程是（）

B.J+y—2=0

D.f—y2=5

32

13.設(shè)過(guò)點(diǎn)P（x,y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱,

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若BP=2PA且AB=1，則點(diǎn)P的軌跡方程是（）

33

A.3x2+—y2=l（x>0,y>0）B.3x?-3/=1（尤>0,y>0）

33

C.-y2-3x2=l（x>0,y>0）D.//+3/=1（尤>0,y>0）

14.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)尸是正方體與G2面A4G2內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸到棱

CG和面A4.B由的距離相等，則點(diǎn)p的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

15.（2024.北京延慶?一模）己知在正方體ABCD-ASG2中，AB=\,P是正方形ABC。內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

PANPG，則滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積等于（）

A.-B.-C.—D.-

84168

16.已知圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，M■為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在圓柱下底

面內(nèi)（包括圓周）.若直線㈤以與直線MP所成的角為45。，則點(diǎn)尸形成的軌跡為（）

A.橢圓的一部分B.拋物線的一部分C.雙曲線的一部分D.圓的一部分

17.在四棱柱ABCD-AB|G2中，己知側(cè)棱。2,底面A3CD,P為底面A3CD上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)？PC的

面積為定值6（6>0）時(shí)，點(diǎn)尸在底面ABCD上的運(yùn)動(dòng)軌跡為（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

18.已知圓C/:（尤+3）2+y2=l和圓C2：（X—3）2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓。及圓C2相外切，則動(dòng)圓

圓心M的軌跡方程為一.

19.已知定點(diǎn)44,-2）和曲線/+丁=4上的動(dòng)點(diǎn)2,則線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為.

20.設(shè)工為橢圓c：￡+3=l的左焦點(diǎn)，M是橢圓上任意一點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡的

1612

方程為—.

21.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，/（2,0）,點(diǎn)A是直線x=-2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并作AF的垂直平分線/,過(guò)點(diǎn)A

作y軸的垂線交I于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程為一.

22.（2024?廣東?一模）如圖，在矩形ABCD中，|相|=8,忸C|=6,E,￡GH,分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，點(diǎn)

。在直