2022年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：實際問題與二次函數(shù)

第1頁/共1頁2022北京初三一模數(shù)學(xué)匯編實際問題與二次函數(shù)一、單選題1．（2022·北京門頭溝·一模）如圖，用一段長為18米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻長不限）的矩形花園，設(shè)該矩形花園的一邊長為，另一邊的長為，矩形的面積為．當(dāng)在一定范圍內(nèi)變化時，和都隨的變化而變化，那么與．與滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

）A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系二、解答題2．（2022·北京東城·一模）某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點(diǎn)A水平距離為d米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對d和h之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．下面是小紅的探究過程，請補(bǔ)充完整：(1)經(jīng)過測量，得出了d和h的幾組對應(yīng)值，如下表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h這兩個變量中，________是自變量，________是這個變量的函數(shù)；(2)在下面的平面直角坐標(biāo)系中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；(3)結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：①橋墩露出水面的高度AE為_______米；②公園欲開設(shè)游船項目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設(shè)置警戒線，并且，要求游船能從C，D兩點(diǎn)之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為_______米．（精確到0.1米）3．（2022·北京大興·一模）某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的噴水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是一條曲線．現(xiàn)有一個垂直于湖面的噴水槍，在距噴水槍水平距離為x米處，水柱距離湖面高度為y米．經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：（米）0123456…（米）2.502.883.002.872.501.881.011…請解決以下問題：(1)如下圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了上表中y與x各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)．請根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出這條曲線；(2)結(jié)合所畫曲線回答：①水柱的最高點(diǎn)距離湖面約______米；②水柱在湖面上的落點(diǎn)距噴水槍的水平距離約為______米；(3)若一條游船寬3米，頂棚到湖面的高度2米，為了保證游客有良好的觀光體驗，游船需從噴泉水柱下通過，如果不計其他因素，根據(jù)圖象判斷______（填“能”或“不能”）避免游船被噴泉噴到．4．（2022·北京豐臺·一模）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分．若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米．下面的表中記錄了d與h的五組數(shù)據(jù)：d（米）01234h（米）0.51.251.51.250.5根據(jù)上述信息，解決以下問題：(1)在下面網(wǎng)格（圖1）中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示h與d函數(shù)關(guān)系的圖象；(2)若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為m米，則m=；(3)現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項目，準(zhǔn)備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過．如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米．已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．5．（2022·北京門頭溝·一模）某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是一條拋物線．現(xiàn)測量出如下數(shù)據(jù)，在距水槍水平距離為米的地點(diǎn)，水柱距離湖面高度為米．（米）012.03…（米）1.62.12.52.10…(1)在下邊網(wǎng)格中建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑曲線連接．(2)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫的圖象，直接寫出水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度；(3)求水柱在湖面上的落點(diǎn)距水槍的水平距離是多少？(4)現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立一個新的游玩項目．準(zhǔn)備通過調(diào)節(jié)水槍高度使得公園的平頂游船能從噴泉最高點(diǎn)的正下方通過（兩次水柱噴出水嘴的初速度相同），如果游船寬度為3米，頂棚到水面的高度為2米，為了避免游船被淋到，頂棚到水柱的垂直距離不小于0.8米．問應(yīng)如何調(diào)節(jié)水槍的高度才能符合要求？請通過計算說明理由．6．（2022·北京房山·一模）如圖，一個單向隧道的斷面，隧道頂是一條拋物線的一部分，經(jīng)測量，隧道頂?shù)目缍葹?米，最高處到地面的距離為4米，兩側(cè)墻高均為3米，距左側(cè)墻壁1米和3米時，隧道高度均為3.75米．設(shè)距左側(cè)墻壁水平距離為x米的地點(diǎn)，隧道高度為y米．請解決以下問題：(1)在網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；(2)請結(jié)合所畫圖象，寫出拋物線的對稱軸；(3)今有寬為2.4米的卡車在隧道中間行駛，如果卡車載物后的高度為3.2米，要求卡車從隧道中間通過時，為保證安全，要求卡車載物后最高點(diǎn)到隧道頂面對應(yīng)的點(diǎn)的距離均不小于0.6米，結(jié)合所畫圖象，試判斷該卡車能否通過隧道．7．（2022·北京通州·一模）如圖1是某條公路的一個單向隧道的橫斷面．經(jīng)測量，兩側(cè)墻AD和與路面AB垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬AB＝4米．為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面AB上取點(diǎn)E，測量點(diǎn)E到墻面AD的距離和到隧道頂面的距離EF．設(shè)米，米．通過取點(diǎn)、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：x（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00(1)隧道頂面到路面AB的最大高度為______米；(2)請你幫助工程人員建立平面直角坐標(biāo)系，描出上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出可以表示隧道頂面的圖象．(3)今有寬為2.4米，高為3米的貨車準(zhǔn)備在隧道中間通過（如圖2）．根據(jù)隧道通行標(biāo)準(zhǔn)，其車廂最高點(diǎn)到隧道頂面的距離應(yīng)大于0.5米．結(jié)合所畫圖象，請判斷該貨車是否安全通過：______（填寫“是”或“否”）．8．（2022·北京朝陽·一模）某公園在人工湖里建造一道噴泉拱門，工人在垂直于湖面的立柱上安裝噴頭，從噴頭噴出的水柱的形狀可以看作是拋物線的一部分．安裝后，通過測量獲得如下數(shù)據(jù)，噴頭高出湖面3米，在距立柱水平距離為d米的地點(diǎn)，水柱距離湖面高度為h米．d（米）0.501.001.52.002.503.00h（米）3.754.003.753.001.750請解決以下問題：(1)在網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；(2)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度；(3)求h關(guān)于d的函數(shù)表達(dá)式；(4)公園希望游船能從噴泉拱門下穿過，已知游船的寬度約為2米，游船的平頂棚到湖面的高度約為1米，從安全的角度考慮，要求游船到立柱的水平距離不小于1米，頂棚到水柱的豎直距離也不小于1米，工人想只通過調(diào)整噴頭距離湖面的高度（不考慮其他因素）就能滿足上述要求，請通過計算說明應(yīng)如何調(diào)整．9．（2022·北京順義·一模）某公園內(nèi)的人工湖里有一組小型噴泉，水柱從位于湖面上方的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現(xiàn)測量出如下數(shù)據(jù)，在距離水槍水平距離為d米的地點(diǎn)，水柱距離湖面高度為h米．d（米）00.52.03.55h（米）1.672.253.002.250請解決以下問題：(1)在下面網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；(2)請結(jié)合所畫圖象，水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度是______米；(3)求拋物線的表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；(4)現(xiàn)有一游船寬度為2米，頂棚到湖面的高度為2.5米．要求游船從噴泉水柱中間通過時，頂棚不碰到水柱．請問游船是否能符合上述要求通過？并說明理由．10．（2022·北京西城·一模）要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個噴水頭，記噴出的水與池中心的水平距離為xm，距地面的高度為ym．測量得到如下數(shù)值：x/m00.511.522.533.37y/m2.443.153.493.453.042.251.090小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)y是x的函數(shù)，并對y隨x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小騰的探究過程，請補(bǔ)充完整：(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)，并畫出函數(shù)的圖象；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，出水口距地面的高度為_______m，水達(dá)到最高點(diǎn)時與池中心的水平距離約為_______m（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(3)為了使水柱落地點(diǎn)與池中心的距離不超過3.2m，如果只調(diào)整水管的高度，其他條件不變，結(jié)合函數(shù)圖象，估計出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．

參考答案1．A【分析】根據(jù)題意求得與．與之間的函數(shù)關(guān)系式，然后由函數(shù)關(guān)系式可直接進(jìn)行判斷．【詳解】解：由題意可知，花園是矩形，∴，∴，與滿足一次函數(shù)關(guān)系；花園面積：，與滿足二次函數(shù)關(guān)系；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的簡單應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用題中數(shù)量關(guān)系式（矩形周長=長與寬的和的2倍；矩形面積=長與寬的積）是解決應(yīng)用題的關(guān)鍵．2．(1)d，h(2)見解析(3)①0.88；②則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義即可解答；（2）描點(diǎn)，連線，畫出圖象即可；（3）①觀察圖象即可得出結(jié)論；②求出拋物線的解析式，令h=2解答d的值即可得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在d和h這兩個變量中，d是自變量，h是這個變量的函數(shù)；故答案為：d，h；（2）解：描點(diǎn)，連線，畫出圖象如圖：；（3）解：①觀察圖象，橋墩露出水面的高度AE為0.88米；故答案為：0.88；②設(shè)根據(jù)圖象設(shè)二次函數(shù)的解析式為h=ad2+bd+0.88，把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為h=-0.5d2+2d+0.88，令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，解得d3.3或d0.7，∴則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式．3．(1)見解析(2)3，6.9(3)能，理由見解析【分析】（1）用一條光滑的曲線連接即可；（2）①結(jié)合函數(shù)圖象觀察即可得到；②延長至軸，即可判斷；（3）作這條線與拋物線交于，通過判斷橫坐標(biāo)與3進(jìn)行比較即可．（1）解：連點(diǎn)如下：（2）解：①由圖：當(dāng)米時，水柱達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)距離湖面約3米；②延長至軸，如下圖：水柱在湖面上的落點(diǎn)距噴水槍的水平距離約為6.9米，故答案是：3，6.9；（3）解：作這條線與拋物線交于，從圖上看米左右，，能避免游船被噴泉噴到，故答案為：能．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象、二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可．4．(1)圖見解析，(2)1.5(3)2.1米，理由見解析【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線解析式h=a(d-2)2+1.5，代入點(diǎn)求解即可得；（2）由（1）中確定的頂點(diǎn)式即可得出結(jié)果；（3）設(shè)水管高度至少向上調(diào)節(jié)m米，根據(jù)題意得出不等式，代入求解即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：以水管與湖面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，水管所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得，d=1與d=3的函數(shù)值相同，∴對稱軸為d=2，h=1.5，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1.5），∴設(shè)拋物線的解析式為h=a(d-2)2+1.5，將點(diǎn)（0，0.5）代入可得0.5=4a+1.5，解得：a=，h=(d-2)2+1.5，當(dāng)h=0時，d=2+，∴h=(d-2)2+1.5（0<d<2+）；（2）由（1）可得：當(dāng)d=2時，h最大為1.5，故答案為：1.5；（3）設(shè)水管高度至少向上調(diào)節(jié)m米，由題意可知調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為h=d2+d+0.5+m，當(dāng)橫坐標(biāo)為2+時，縱坐標(biāo)的值大于等于2+0.5=2.5，∴×3.52+3.5+0.5+m≥2.5，解得：m≥，0.5+米，水管高度至少要調(diào)節(jié)到2.1米．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，頂點(diǎn)式的應(yīng)用以及不等式的應(yīng)用，理解題意，確定二次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．5．(1)見解析；(2)2.5米；(3)2.5米；(4)水槍高度調(diào)節(jié)到2.1米以上，理由見解析．【分析】（1）建立坐標(biāo)系，描點(diǎn)、用平滑的曲線連接即可；（2）直接由圖像可得結(jié)果；（2）觀察圖象并根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求出最高點(diǎn)的高度，設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，求解即可；（3）由題意知設(shè)出二次函數(shù)圖象平移后的解析式，根據(jù)題意求解即可．（1）以水槍與湖面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，水槍所在的直線為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：（2）由圖象可知水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為2.5米；（3）根據(jù)圖象設(shè)二次函數(shù)的解析式為h=a（d-2）2+2.5將（1，2.1）代入h=a（d-2）2+2.5得a=-，∴拋物線的解析式為，即，令h=0，則，解得：，4.5-2=2.5，∴水柱在湖面上的落點(diǎn)距水槍的水平距離是2.5米；（4）設(shè)水槍高度至少向上調(diào)節(jié)m米，由題意知調(diào)節(jié)后的水槍所噴出的拋物線的解析式為，當(dāng)橫坐標(biāo)為2+=3.5時，縱坐標(biāo)的值大于等于2++0.8=2.8，∴，解得：m≥1.2，∴水槍高度至少向上調(diào)節(jié)1.2米0.9+1.2=2.1∴水槍高度調(diào)節(jié)到2.1米以上．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)噴泉的應(yīng)用，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象建立二次函數(shù)模型．6．(1)見解析(2)直線x=2(3)不能通過隧道【分析】（1）由題意描出點(diǎn)A(0,3)、B(1,3.75)、C(4,3)及點(diǎn)D(3,3.75)，用光滑的曲線連接起來即可得到所畫的曲線；（2）（1）（2）由圖象知，拋物線的對稱軸為直線x=2（3）設(shè)拋物線的解析式為把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：解得：故函數(shù)解析式為當(dāng)時，∵3.64?3.2=0.44<0.6∴卡車不能通過隧道【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題，考查了建立適當(dāng)坐標(biāo)系畫二次函數(shù)的圖象，求二次函數(shù)圖象的對稱軸、解析式及函數(shù)值等知識，能夠根據(jù)實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并解答．7．(1)3.99(2)見解析(3)是【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知：當(dāng)時，有最大值；（2）根據(jù)題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系；（3）在中，令，求得相應(yīng)的值，結(jié)合其車廂最高點(diǎn)到隧道頂面的距離應(yīng)大于0.5米．從而判斷該貨車是否能安全通過.【詳解】（1）解：根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知：當(dāng)時，有最大值為3.99；故答案為：3.99；（2）解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，（3）解：將代入，得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為；在中，令，得：，車廂最高點(diǎn)到隧道頂面的距離大于0.5米，該貨車能安全通過；故答案為：是．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、理清題中的數(shù)量關(guān)系、熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．8．(1)圖見解析；(2)4米(3)h=-d2+2d+3(4)水槍高度調(diào)節(jié)到5米以上【分析】（1）建立坐標(biāo)系，描點(diǎn)，用平滑的曲線連線即可；（2）結(jié)合圖象，得出最高點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），進(jìn)而得出結(jié)論；（3）利用頂點(diǎn)式h=a(d-1)2+4和點(diǎn)（3，0）即可求出h關(guān)于d的函數(shù)表達(dá)式；（4）設(shè)平移后的解析式為h1=-d2+2d+3+m，根據(jù)題意求解即可.【詳解】（1）解：如圖所示（2）解：由圖象得，最高點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），∴水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為4米；（3）解：由題意，得設(shè)頂點(diǎn)式為h=a(d-1)2+4，又圖象過點(diǎn)（3，0），∴a(3-1)2+4=0，解得a=-1，∴函數(shù)解析式h=-(d-1)2+4=-d2+2d+3；（4）解：設(shè)水槍高度向上調(diào)整m米時，游船恰好能從噴泉拱門下穿過，則平移后的解析式為h1=-d2+2d+3+m，當(dāng)橫坐標(biāo)為1+2=3時，縱坐標(biāo)的值大于等于1+1=2，∴-32+6+3+m≥2，解得m≥2，∴水槍高度至少向上調(diào)整2米，∴水槍高度調(diào)節(jié)到5米以上.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)噴泉的應(yīng)用，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象建立二次函數(shù)模型．9．(1)見解析(2)3(3)（0≤x≤5）(4)船能符合要求通過，理由見解析【分析】（1）在網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，描點(diǎn)順次順滑連線；（2）根據(jù)拋物線的最高點(diǎn)（2,3）得出結(jié)論；（3）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)為（2,3），設(shè)解析式為，再把（5,0）代入求出a的值；（4）使船的中軸線在拋物線的對稱軸上，把點(diǎn)（1，m）代入解析式計算m的值，與2.5比較大小，得出結(jié)論（1）（2）根據(jù)圖象看出，水流最高點(diǎn)距離湖面的高