2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.5旋轉(zhuǎn)體教師用書(shū)教案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE1-11．1.5旋轉(zhuǎn)體[課程目標(biāo)]1.理解旋轉(zhuǎn)體、圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的有關(guān)概念，初步駕馭運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)去視察問(wèn)題；2.理解圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的軸截面的概念和它在確定幾何體時(shí)的重要作用．學(xué)問(wèn)點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)體、圓柱、圓錐和圓臺(tái)[填一填]旋轉(zhuǎn)體、圓柱、圓錐和圓臺(tái)[答一答]1．對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)：(1)平行于底面的截面是什么樣的圖形？(2)過(guò)軸的截面(簡(jiǎn)稱軸截面)分別是什么樣的圖形？(3)探討圓柱、圓臺(tái)和圓錐之間的關(guān)系．提示：(1)平行于底面的截面，圖形都是圓．(2)過(guò)軸的截面，對(duì)于圓柱是矩形，對(duì)于圓錐是等腰三角形，對(duì)于圓臺(tái)是等腰梯形．(3)圓柱的上底面變小，就變?yōu)閳A臺(tái)，當(dāng)上底面變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)時(shí)，它就變成了圓錐．圓臺(tái)是由圓錐截得的，“補(bǔ)臺(tái)成錐”是解決圓臺(tái)問(wèn)題的一種重要方法．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二球[填一填](1)球面可以看成一個(gè)半圓圍著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面；球面圍成的幾何體，稱為球．(2)形成球面的半圓的圓心稱為球的球心，連接球面上一點(diǎn)和球心的線段稱為球的半徑，連接球面上兩點(diǎn)且通過(guò)球心的線段稱為球的直徑．(3)由球面的形成過(guò)程可看出，球面可以看成空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．(4)球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓稱為球的大圓；被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓稱為球的小圓．(5)球的截面的性質(zhì)：①球的截面是一個(gè)圓面；②球心與截面圓心的連線垂直于截面；③球半徑R、截面圓半徑r,則球心到截面的距離d＝eq\r(R2－r2).(6)若球的半徑為R，則球的表面積為S＝4πR2.[答一答]2．在平面幾何中，你學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系，那么平面與球的位置關(guān)系如何？提示：類比平面上直線與圓的位置關(guān)系，平面與球有以下幾種位置關(guān)系：相離、相切、相交，其中相離是平面與球無(wú)公共點(diǎn)，相切是平面與球有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，相交則是平面與球有多數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)．類型一旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)概念[例1]以下對(duì)于幾何體的描述，錯(cuò)誤的是()A．NBA決賽中運(yùn)用的籃球不是球體B．一個(gè)等腰三角形圍著底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°形成的封閉曲面所圍成的圖形叫作圓錐C．用平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫作圓臺(tái)D．以矩形的一組對(duì)邊的中垂線所在直線為軸旋轉(zhuǎn)180°所形成的幾何體為圓柱[分析]依據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行推斷．[解析]依據(jù)球的定義可知A正確．由圓錐的定義知B正確．只有當(dāng)平面與圓錐的底面平行時(shí)底面與截面之間的部分為圓臺(tái)，故C錯(cuò)誤．由圓柱的定義知D正確．[答案]C1.推斷簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法1明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成.2明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.2.簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用1簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量.2在軸截面中解決簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想.[變式訓(xùn)練1]推斷下列各命題是否正確．(1)圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線；(2)始終角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)；(3)圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；(4)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球．解：(1)錯(cuò)誤．由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應(yīng)平行于軸．(2)錯(cuò)誤．直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡(jiǎn)潔組合體，如圖所示．(3)正確．(4)錯(cuò)誤．應(yīng)為球面．類型二圓柱、圓錐、圓臺(tái)中的計(jì)算問(wèn)題[例2]圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，軸截面的面積為392cm2，母線與軸的夾角為45°，求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長(zhǎng)和底面半徑．[解]方法一：圓臺(tái)的軸截面如圖所示，依據(jù)題意可設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為xcm和3xcm.即A′O′＝xcm，AO＝3xcm(O′，O分別為上、下底面圓心)，過(guò)A′作AB的垂線，垂足為點(diǎn)D.在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2xcm，所以A′D＝AD＝2xcm，又S軸截面＝eq\f(1,2)(A′B′＋AB)·A′D＝eq\f(1,2)×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.綜上，圓臺(tái)的高OO′＝14cm，母線長(zhǎng)AA′＝eq\r(2)OO′＝14eq\r(2)cm，上、下底面的半徑分別為7cm和21cm.方法二：圓臺(tái)的軸截面如圖所示，依據(jù)題意可設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為xcm和3xcm，延長(zhǎng)AA′，BB′交OO′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S(O′，O分別為上、下底面圓心)．在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3xcm，又SO′＝A′O′＝xcm，所以O(shè)O′＝2xcm.又S軸截面＝eq\f(1,2)×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.綜上，圓臺(tái)的高OO′＝14cm，母線長(zhǎng)AA′＝eq\r(2)OO′＝14eq\r(2)cm，上、下底面的半徑分別為7cm,21cm.1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面將其母線、高、上下底面半徑有機(jī)地結(jié)合在一起，充分利用軸截面可進(jìn)行相關(guān)元素間的計(jì)算.2.在探討和處理旋轉(zhuǎn)體的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，通常作出幾何體的軸截面，如圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形，這些軸截面集中反映了旋轉(zhuǎn)體的各主要元素.[變式訓(xùn)練2]有一個(gè)半徑為5的半圓，將它卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求圓錐的高．解：如圖，由題知，半圓的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，即SA＝5.半圓的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，設(shè)半徑為r，則有5π＝2πr.∴r＝eq\f(5,2)，∴高h(yuǎn)＝eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\f(5,2)eq\r(3).即圓錐的高是eq\f(5,2)eq\r(3).類型三與球有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題命題視角1：球面弧長(zhǎng)問(wèn)題[例3]設(shè)地球的半徑為R，在南緯60°圈上有兩點(diǎn)A，B，A在西經(jīng)90°，B在東經(jīng)90°，求A，B兩點(diǎn)間緯線圈的弧長(zhǎng)及A，B兩點(diǎn)間的球面距離．[解]緯度數(shù)為60°，則緯度圈小圓的半徑r＝Rcos60°＝eq\f(R,2).

如圖所示，設(shè)南緯60°圈的中心為O1，地球球心為O，則∠AO1B＝180°，∴AB＝2AO1＝R.∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°.∴在南緯60°圈上，eq\o\ac(AB,\s\up15(︵))的長(zhǎng)為eq\f(180π,180)×eq\f(R,2)＝eq\f(πR,2)；在球面上，A，B兩點(diǎn)間的球面距離為eq\f(60π,180)×R＝eq\f(πR,3).1.球面上兩點(diǎn)間的球面距離，必需是在過(guò)此兩點(diǎn)的球的大圓中兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的劣弧的長(zhǎng)度，不能在過(guò)此兩點(diǎn)的球的小圓中求.2.球的半徑、截面圓的半徑、球心到截面的距離，它們之間構(gòu)成直角三角形，可用勾股定理求解.[變式訓(xùn)練3]如圖所示，球O的半徑為2，圓O1是一小圓，O1O＝eq\r(2)，A、B是圓O1上兩點(diǎn)，若A、B兩點(diǎn)間的球面距離為eq\f(2,3)π，求∠AO1B的度數(shù)．解：設(shè)∠AOB＝α，由球面距離知：eq\f(α·2π×2,360°)＝eq\f(α,90°)·π＝eq\f(2,3)π，解得α＝60°.在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝α＝60°，所以△AOB為等邊三角形，所以AB＝OA＝OB＝2.在Rt△AO1O中，因?yàn)镺A＝2，O1O＝eq\r(2)，所以O(shè)1A＝eq\r(OA2－O1O2)＝eq\r(22－\r(2)2)＝eq\r(2).在等腰三角形AO1B中，因?yàn)镺1A＝O1B＝eq\r(2)，AB＝2，O1A2＋O1B2＝AB2，所以∠AO1B＝90°.命題視角2：球的截面問(wèn)題[例4]在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，面積分別為49πcm2和400πcm2，求此球的半徑．[分析]作軸截面(過(guò)與截面圓垂直的半徑作截面)，將空間圖形化為平面圖形．利用截面的性質(zhì)解直角三角形．[解]兩截面與球心的位置關(guān)系有兩種：(1)兩截面位于球心的同側(cè)；(2)球心在兩截面之間．若兩截面位于球心的同側(cè)，如圖①，C，C1分別是兩平行截面的圓心，設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑分別為r，r1，由πreq\o\al(2,1)＝49π，得r1＝7cm，由πr2＝400π，得r＝20cm，在Rt△OB1C1中，OC1＝eq\r(R2－r\o\al(2,1))＝eq\r(R2－49)，在Rt△OBC中，OC＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(R2－400)，由題意知OC1－OC＝9cm，即eq\r(R2－49)－eq\r(R2－400)＝9，解得R＝25cm，若球心在兩截面之間，如圖②，OC1＝eq\r(R2－49)，OC＝eq\r(R2－400).由題意知OC1＋OC＝9cm，即eq\r(R2－49)＋eq\r(R2－400)＝9，eq\r(R2－49)＝9－eq\r(R2－400)，平方得eq\r(R2－400)＝－15，此方程無(wú)解，說(shuō)明其次種狀況不存在．綜上所述，所求球的半徑為25cm.在解決球的截面問(wèn)題時(shí)，可作軸截面，將空間圖形化為平面圖形．由于球心與截面圓心的連線垂直于截面圓，因此經(jīng)過(guò)球心與截面圓心的連線作軸截面如圖．則球的半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d有如下關(guān)系：d2＋r2＝R2.[變式訓(xùn)練4]在半徑等于13cm的球內(nèi)有一個(gè)截面，它的面積是25πcm2，求球心到這個(gè)截面的距離．解：設(shè)截面圓的半徑為rcm.因?yàn)棣衦2＝25π，所以r＝5.設(shè)球心到截面的距離為dcm，則d＝eq\r(132－52)＝12.所以球心到截面的距離為12cm.命題視角3：球的表面積問(wèn)題[例5]設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，全部棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．πa2 B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2 D．5πa2[解析]由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，OP＝eq\f(1,2)a，所以球的半徑R＝OA滿意R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＝eq\f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq\f(7,3)πa2.[答案]B常見(jiàn)幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決策略(1)處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要留意球心的位置與幾何體的關(guān)系．一般狀況下，由于球的對(duì)稱性，球心總在特別位置，比如中心、對(duì)角線的中點(diǎn)等．(2)解決此類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是依據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關(guān)鍵是依據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”，作出軸截面圖，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)計(jì)算．[變式訓(xùn)練5]有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，其次個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱都相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比．解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，三個(gè)球的半徑依次為R1，R2，R3，則有2R1＝a，R1＝eq\f(a,2)，eq\r(2)a＝2R2，R2＝eq\f(\r(2),2)a，eq\r(3)a＝2R3，R3＝eq\f(\r(3),2)a，所以R1R2R3＝1eq\r(2)eq\r(3).所以S1S2S3＝Req\o\al(2,1)Req\o\al(2,2)Req\o\al(2,3)＝123.即這三個(gè)球的表面積之比為123.類型四側(cè)面綻開(kāi)圖[例6]如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長(zhǎng)l＝4，M為母線SA上的一個(gè)點(diǎn)，且SM＝x，從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A.求：(1)繩子的最短長(zhǎng)度的平方f(x)；(2)繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離；(3)f(x)的最大值．[分析]求幾何體側(cè)面上兩點(diǎn)之間的距離的最小值時(shí)，往往利用其側(cè)面綻開(kāi)圖求解．[解]將圓錐的側(cè)面沿SA剪開(kāi)，并綻開(kāi)，如圖所示，該圖形為扇形，且的長(zhǎng)度L就是圓O的周長(zhǎng)，所以L＝2πr＝2π.所以∠ASM＝eq\f(L,2πl(wèi))×360°＝eq\f(2π,2π×4)×360°＝90°.(1)由題意知，繩子長(zhǎng)度的最小值為綻開(kāi)圖中的AM，且AM＝eq\r(x2＋16)(0≤x≤4)，所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．(2)作SR⊥AM，垂足為R，則SR的長(zhǎng)度為頂點(diǎn)S到繩子的最短距離，因?yàn)閑q\f(1,2)SA·SM＝eq\f(1,2)AM·SR，所以SR＝eq\f(SA·SM,AM)＝eq\f(4x,\r(x2＋16))(0≤x≤4)，即繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離為eq\f(4x,\r(x2＋16))(0≤x≤4)．(3)因?yàn)閒(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函數(shù)，所以f(x)的最大值為f(4)＝32.求解旋轉(zhuǎn)體側(cè)面上兩點(diǎn)間的最小距離時(shí)，一般將幾何體側(cè)面綻開(kāi)，從而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，將曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題來(lái)解決，使困難問(wèn)題簡(jiǎn)潔化.[變式訓(xùn)練6]如圖所示，一圓柱的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為5，軸截面為矩形ABCD，從點(diǎn)A拉一繩