2025中考數(shù)學一輪復習：概率初步（9個考點清單+6種題型解讀）原卷版

專題05概率初步(考點清單，9個考點清單+6種題型解讀)

【清單01】隨機事件

【清單02】可能性的大小

【清單03】瞬的意義

【清單04】廨公式

考點清單，【清單05］幾何概率

【清單06］灑J與樹狀為去

【清單07】^^^

【清單08】利野軍估計廨

［清單09］

【考點題型一】用列舉法計算概率

【考點題型二】抽象概率犍，解決實際問題

八【考點題型三】建立方程模型、求解廨問題

【考點題型HL利用概料蜥曲戈的處性

【考點題型五】廨與其他知識的綜合應用

【考點題型六】廨中跨學科遺

考點儕單

必然事件:P=1

確定性事件,/

不可能事件:p=o

隨機事件。<p<1

概率定義

一般地，如果在一次試驗中，有“種可能發(fā)生的結(jié)果并且

概率公式它們發(fā)生的可能性都相等.事件A包含其中的，"種結(jié)果,

\那么事件4發(fā)生的概率P(4)=~_

列表法

畫樹狀圖法

幾何概率

用解估率

【清單01】隨機事件

(1)確定事件

事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事

件和不可能事件都是確定的.

(2)隨機事件

在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件.

（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件發(fā)生的概率為1,即尸（必然事件）=1；

②不可能事件發(fā)生的概率為0,即P（不可能事件）=0；

③如果A為不確定事件（隨機事件），那么0<尸（A）<1.

【清單02】可能性的大小

隨機事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法：

（1）理論計算又分為如下兩種情況：

第一種：只涉及一步實驗的隨機事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對一類概率模型進行

的計算；第二種：通過列表法、列舉法、樹狀圖來計算涉及兩步或兩步以上實驗的隨機事件發(fā)生的概率，如：

配紫色，對游戲是否公平的計算.

（2）實驗估算又分為如下兩種情況：

第一種：利用實驗的方法進行概率估算.要知道當實驗次數(shù)非常大時，實驗頻率可作為事件發(fā)生的概率的估

計值，即大量實驗頻率穩(wěn)定于理論概率.

第二種：利用模擬實驗的方法進行概率估算.如，利用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬實驗.

【清單03】概率的意義

（1）一般地，在大量重復實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率旦會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)"就

n

叫做事件A的概率，記為尸（A）=p.

（2）概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn).

（3）概率取值范圍：OWpWl.

（4）必然發(fā)生的事件的概率尸（A）=1；不可能發(fā)生事件的概率尸（A）=0.

（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1,事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0.

（5）通過設(shè)計簡單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實際生活聯(lián)系密切，通過理解

什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語言說明游戲的公平性，并能按要求設(shè)計游戲的概率模型，以及結(jié)合具體

實際問題，體會概率與統(tǒng)計之間的關(guān)系，可以解決一些實際問題.

【清單04】概率公式

一事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

（1）隨機事件A的概率尸（A）

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

（2）P（必然事件）=1.

（3）P（不可能事件）=0.

【清單05］幾何概率

所謂幾何概型的概率問題，是指具有下列特征的一些隨機現(xiàn)象的概率問題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G,又區(qū)域

g包含在區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面積），現(xiàn)隨機地向G內(nèi)投擲一點假

設(shè)點M必落在G中，且點M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量（長度、面積、體積等）

成正比，而與g的位置和形狀無關(guān).具有這種性質(zhì)的隨機試驗（擲點），稱為幾何概型.關(guān)于幾何概型的隨

機事件“向區(qū)域G中任意投擲一個點點M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率尸定義為：g的度量與G的

度量之比，即P=g的測度G的測度

簡單來說：求概率時，己知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率.計算方法是長度比，面積比，體積比等.

【清單06】列表法與樹狀圖法

（1）當試驗中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，

再求出概率.

（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或8的結(jié)果數(shù)目m,

求出概率.

（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當一個事件涉及三

個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖.

（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝

丫個數(shù)就是總的可能的結(jié)果加

（5）當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉.

【清單07】游戲公平性

（1）判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平.

所求情況數(shù)

（2）概率=

總情況數(shù)

【清單08】利用頻率估計概率

（1）大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻

率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

（2）用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確.

（3）當實驗的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通

過統(tǒng)計頻率來估計概率.

【清單09】模擬試驗

（1）在一些有關(guān)抽取實物實驗中通常用摸取卡片代替了實際的物品或人抽取，這樣的實驗稱為模擬試驗.

（2）模擬試驗是用卡片、小球編號等形式代替實物進行實驗，或用計算機編號等進行實驗，目的在于省時、

省力，但能達到同樣的效果.

（3）模擬試驗只能用更簡便方法完成，驗證實驗目的，但不能改變實驗目的，這部分內(nèi)容根據(jù)《新課標》

要求，只要設(shè)計出一個模擬試驗即可.

型精單

【考點題型一】列舉法計算概率

【例1】（2023秋?歷城區(qū)期末）學校運動會中，運動員小明與小剛，要從鉛球、跳高兩個項目中任意選擇一

個項目參加比賽，則兩人恰好都選擇鉛球項目的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

2344

【變式1-1）（2023秋?商河縣期末）某校舉行以《大國重器》為主題的演講比賽，其中一個環(huán)節(jié)是即興演講，

該環(huán)節(jié)共有三個題目，由電腦隨機給每位參賽選手派發(fā)一個題目，選手根據(jù)題目對應的內(nèi)容進行90秒演講，

小亮和小敏都參加了即興演講，則電腦給他們派發(fā)的是同一個題目的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

3642

【變式1-2]（2023秋?登封市校級期末）在一個不透明的口袋里裝有紅、白兩種顏色的球共4個，它們除顏

色外其余都相同.某學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放回袋中，

不斷重復，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)50010001500200025003000

摸到白球的0.7480.7510.7540.7470.7500.749

頻率

（1）當摸球次數(shù)很大時，摸到白球的頻率將會接近.（精確到0.01）

（2）試估算口袋中白球有一個.

（3）現(xiàn)有另一個不透明的口袋中裝有一紅一白兩個球，它們除顏色外其余都相同.一學生從兩個口袋中各

摸出一個球，請利用畫樹狀圖或列表的方法計算這兩個球顏色相同的概率.

【變式1-3]（2023秋?安州區(qū)期末）一個不透明的箱子里裝有1個白色小球和若干個紅色小球，每個小球除

顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量

重復實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白色小球的頻率穩(wěn)定于0.25左右.

（1）請你估計箱子里紅色小球的個數(shù)；

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球，求兩次摸出的小球

顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）.

【變式1-4］（2023秋?萊西市期末）在一個不透明的口袋里裝有紅、白兩種顏色的球共4個，它們除顏色外

其余都相同.某學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷

重復，如表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)1050150750150030005000

摸到白球的頻0.50.80.820.7470.7490.7500.750

率

（1）試估算口袋中白球有一個.

（2）現(xiàn)有另一個不透明的口袋中裝有一紅一白兩個球，它們除顏色外其余都相同.一學生從兩個口袋中各

摸出一個球，請利用畫樹狀圖或列表的方法計算這兩個球顏色相同的概率.

【變式1-5］（2023秋?順德區(qū)期末）一個盒子中有紅球、白球共3個，這些球除顏色外都相同.

（1）隨機摸出一個球，記下顏色后再放回盒子中，不斷重復這一過程.在120次摸球中有80次摸到白球,

估計盒子中白球的數(shù)量；

（2）在（1）的結(jié)論下同時摸出兩個球，求摸到的球顏色相同的概率.

【考點題型二】抽象概率模型解決實際問題

【例2】（2023秋?南山區(qū)期末）近幾年，二維碼逐漸進入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一

部分.小剛將二維碼打印在面積為20的正方形紙片上，如圖，為了估計黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨

機擲點，經(jīng)過大量重復實驗，發(fā)現(xiàn)點落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則據(jù)此估計此二維碼中黑色陰影

的面積為（）

A.8B.12C.0.4D.0.6

【變式2-1］（2023秋?沙河口區(qū)期末）在學習了“用頻率估計概率”這一節(jié)內(nèi)容后，某課外興趣小組利用計

算器進行模擬試驗來探究“6個人中有2個人同月過生日的概率”，他們將試驗中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：

試驗次數(shù)100300500100016002000

“有2個人同月過生日”的次8022939277912511562

數(shù)

“有2個人同月過生日”的頻0.80.7630.7840.7790.7820.781

率

通過試驗，該小組估計“6個人中有2個人同月過生日”的概率（精確到0.01）大約是（）

A.0.8B.0.784C.0.78D.0.76

【變式2-2］（2023秋?新昌縣期末）工廠質(zhì)檢員對甲員工近期生產(chǎn)的產(chǎn)品進行抽檢，統(tǒng)計合格的件數(shù)，得到

如下表格：

抽取件數(shù)501002003005001000

（件）

合格頻數(shù)4994192285m950

合格頻率0.980.940.960.950.95n

（1）表格中m的值為,n的值為

（2）估計任抽一件該產(chǎn)品是不合格品的概率.

（3）該工廠規(guī)定，若每被抽檢出一件不合格產(chǎn)品，需在相應員工獎金中扣除給工廠2元的材料損失費，今

天甲員工被抽檢了460件產(chǎn)品，估計要在他獎金中扣除多少材料損失費？

【變式2-3]（2023秋?湖州期末）某玩具公司承接了第19廟杭州亞運會吉祥物公仔的生產(chǎn)任務，現(xiàn)對一批

公仔進行抽檢，其結(jié)果統(tǒng)計如下，請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答問題：

抽取的公仔數(shù)10100100020003000

n

優(yōu)等品的頻數(shù)99696219202880

機

優(yōu)等品的頻率0.90.96a0.96b

（1）a=；b=.

（2）估計從這批公仔中任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率是—.（精確到0.01）

（3）若該公司這一批次生產(chǎn)了10000只公仔，估計這批公仔中優(yōu)等品大約有多少只？

【變式2-4].（2023秋?豐滿區(qū)期末）某校生物興趣小組在相同的試驗條件下，對某植物種子發(fā)芽率進行試

驗研究時，收集的以下試驗結(jié)果:

試驗的種子數(shù)5）50010001500200030004000

發(fā)芽的種子粒數(shù)（加）4719461425189828533812

發(fā)芽頻率（4）0.9420.9460.949y0.953

m

（1）求表中x，y的值;

（2）任取一粒這種植物的種子，請你估計它能發(fā)芽的概率（精確到0.01）；

（3）若該學校勞動基地需要這種植物幼苗7600株，試估算該小組需要準備多少粒種子進行發(fā)芽培育.

【考點題型三】建立方程模型求解概率問題

【例3】（2023秋?長安區(qū)期末）在一個不透明的口袋中有20個球，這些球除顏色外均相同，其中白球x個，

綠球2x個，其余為黑球.攪勻后，甲從袋中任意摸出一個球，若為綠球則甲獲勝，甲摸出的球放回袋中攪

勻，乙從袋中任意摸出一個球，若為黑球則乙獲勝，若游戲?qū)?、乙雙方都公平，則尤的值應為一.

【變式3-1］（2022秋?沈河區(qū)期末）一個不透明的袋中裝有若干個紅球，為了估計袋中紅球的個數(shù)，在袋中

放入3個除了顏色外其余均相同的白球，隨機的從袋子中摸出一個球，記錄下顏色后，放回袋中并搖勻，

通過大量重復這樣的試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.15附近，則紅球的個數(shù)為（）

A.11B.14C.17D.20

【變式3-2］（2022秋?邯鄲期末）在一個不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個,

某學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復上述過

程，下表是試驗進行中的統(tǒng)計數(shù)據(jù).

摸球的次數(shù)n101002005001000

摸到黑球的次32651126251

數(shù)m

摸到黑球的頻0.30.260.2550.2520.251

率四

n

（1）當W很大時，摸到黑球的頻率將會趨近—（精確到0.01）,該袋子中的黑球有一個；

（2）該學習小組成員從該袋中隨機摸出2個球，請你用列表或畫樹狀圖的方法求出隨機摸出的2個球的

顏色不同的概率.

【變式3-3］（2023秋?崇義縣期末）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共30只，這些球除顏

色外其余完全相同.攪勻后，小明做摸球試驗，他從盒子里隨機摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，

不斷重復上述過程，下表是實驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù).

摸球的次10020030050080010003000

數(shù)〃

摸到白球521381783024815991803

的次數(shù)加

摸到白球0.520.690.5930.6040.600.5990.601

的頻率

（1）若從盒子里隨機摸出一只球，則摸到白球的概率的估計值為—（精確到0.1）;

（2）盒子里白色的球有一只;

（3）若將機個完全一樣的白球放入這個盒子里并搖勻，隨機摸出1個球是白球的概率是0.8,求機的值.

【變式3-4］（2023秋?上饒期末）某批乒乓球的質(zhì)量檢驗結(jié)果如下表所示；

（1）這批乒乓球“優(yōu)等品”的概率的估計值是多少？

（2）從這批乒乓球中選擇5個黃球、13個黑球、22個紅球，它們除顏色外都相同，將它們放入一個不透明

的袋中.

①求從袋中摸出一個球是黃球的概率；

②現(xiàn)從袋中取出若干個黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個是黃球的概率不小于

問至少取出了多少個黑球？

3

抽取的乒乓球數(shù)”200500100015002000

優(yōu)等品頻數(shù)機18847194614261898

優(yōu)等品頻率mn0.9400.9420.9460.9510.949

【考點題型四】利用概率判斷游戲的公平性

【例4】（2023秋?雨花區(qū)期末）甲、乙兩位同學玩轉(zhuǎn)盤游戲，游戲規(guī)則：將圓盤平均分成三份，分別涂上紅,

黃，綠三種顏色，兩位同學分別轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次（若壓線，重新轉(zhuǎn)）.若兩次指針指到的顏色相同，則甲獲

勝；若兩次指針指到的顏色是黃綠組合則乙獲勝；其余情況則視為平局.

（1）請用畫樹狀圖的方法，列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）試用概率說明游戲是否公平.

【變式4-1］（2023秋?惠城區(qū)校級期末）如圖，三個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個

扇形，并涂上圖中所示的顏色.小強和小亮用轉(zhuǎn)盤A和轉(zhuǎn)盤3做一個轉(zhuǎn)盤游戲：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，若其中

一個轉(zhuǎn)出紅色，另一個轉(zhuǎn)出藍色即可配成紫色，則小強獲勝；若兩個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的顏色相同，則小亮獲勝；在

其他情況下，小強和小亮不分勝負.轉(zhuǎn)盤A轉(zhuǎn)盤B轉(zhuǎn)盤C

（1）用畫樹狀圖或列表的方法表示此游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;

（2）小強認為此游戲不公平，請你幫他說明理由；

（3）請你在轉(zhuǎn)盤C的空白處，涂上適當顏色，使得用轉(zhuǎn)盤C替換轉(zhuǎn)盤5后，游戲?qū)π姾托×潦枪降模ㄔ?/p>

空白處填寫表示顏色的文字即可，不要求說明理由，只需給出一種結(jié)果即可）.

【變式4-2］（2023秋?越城區(qū)期末）在學習概率的課堂上，老師提出問題：只有一張電影票，小麗和小芳想

通過抽取撲克牌的游戲來決定誰去看電影，請你設(shè)計一個對小麗和小芳都公平的方案.甲同學的方案：將紅

桃2、3、4、5四張牌背面向上，小麗先抽一張，小芳從剩下的三張牌中抽一張，若兩張牌上的數(shù)字之和是

奇數(shù)，則小麗看電影，否則小芳看電影.

（1）甲同學的方案公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明；

（2）乙同學將甲的方案修改為只用紅桃2、3、5、7四張牌，抽取方式及規(guī)則不變，乙的方案公平嗎？并說

明理由.

【變式4-3］（2023秋?萬年縣期末）萬年縣舉行校園安全知識競賽，要求每個學校只派一名學生參賽.某學

校舉行了校內(nèi)選拔賽，其中袁夢和孟想兩位同學獲得最高分（分數(shù)相同），袁夢和孟想想通過游戲來決定誰

參加縣里比賽.游戲規(guī)則：在一個不透明的口袋中裝有4個完全相同的小球，分別標有數(shù)字1、2、3、4,

另有一個可以自由旋轉(zhuǎn)的圓盤，被分成面積相等的三個扇形區(qū)域，分別標有數(shù)字5、6、7（如圖）：一人從

口袋中摸出一個球，另一個人轉(zhuǎn)動圓盤，如果所摸球上的數(shù)字與圓盤上轉(zhuǎn)出數(shù)字之和小于8,那么袁夢去;

否則孟想去.

（1）用樹狀圖或列表法求出袁夢參加比賽的概率.

（2）你認為該游戲公平嗎？若不公平，請修改游戲規(guī)則，使游戲公平.

口袋轉(zhuǎn)盤

【變式4-4］（2023秋?翠屏區(qū)期末）將正面分別寫著數(shù)字0、1、2的三張卡片（注：這三張卡片的形狀、大

小、質(zhì)地、顏色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，這三張卡片看上去無任何差別）洗勻后，背

面朝上放在桌面上，甲從中隨機抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為加，然后放回洗勻，背面朝上放在桌面

上，再由乙從中隨機抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為"，組成一數(shù)對（犯;2）.

（1）請用樹狀圖或列表的方法求出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：按上述要求，兩人各抽一次卡片，卡片上數(shù)字之和為奇數(shù)則甲贏，數(shù)

字之和為偶數(shù)則乙贏.你認為這個游戲公平嗎？請說明理由.

【變式4-5］（2023秋?大同期末）如圖所示的甲、乙兩張圖片形狀完全相同，把這兩張圖片全部從中間剪斷，

再把4張形狀相同的小圖片混合在一起攪勻.小康和小英做游戲，小康先從這4張圖片中隨機地摸取一張

（不放回），小英接著再隨機地摸取一張.

（1）小康抽到甲圖片上半部分圖片的概率是；

（2）請用列表法或畫樹狀圖法列出所有可能出現(xiàn)的情況；

（3）游戲規(guī)定：所抽取的兩張圖片中，能拼成一張完整的圖片，那么小康獲勝；否則小英獲勝，你認為這

個游戲公平嗎？并說明理由.

【考點題型五】概率與其他知識的綜合應用

【例5】（2023秋?江夏區(qū)校級期末）如圖，陰影部分是分別以正方形ABCD的頂點和中心為圓心，以正方形

邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形.在正方形上做隨機投針試驗，針頭落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的

概率是

【變式5-1］（2023秋?武侯區(qū)校級期末）4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字0、1、-2,3,將卡片的背面朝上,

洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來；再從余下的3張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片

上的數(shù)字記錄下來.

（1）第一次抽取的卡片上數(shù)字是非負數(shù)的概率為;

（2）小敏設(shè)計了如下游戲規(guī)則：當?shù)谝淮斡涗浵聛淼臄?shù)字減去第二次記錄下來的數(shù)字所得結(jié)果為非負數(shù)時,

甲獲勝；否則，乙獲勝.小敏設(shè)計的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請用樹狀圖或列表等方法說明理由）

【變式5-2］（2023秋?縉云縣期末）將形狀、大小完全相同，分別標有數(shù)字-2,0,1,2的四張卡片反面朝

上，擺放在桌面上.先隨機不放回地抽取一張，記下數(shù)字為x；然后在剩下的三張卡片中隨機抽取一張，記

下數(shù)字為

（1）計算x+y的結(jié)果為0的概率；

（2）甲、乙兩同學做一個游戲，其規(guī)則是：若無，y滿足封＞0,則甲勝；若x,y滿足孫＜0,則乙勝.這

個游戲規(guī)則公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請設(shè)計一個公平的游戲規(guī)則.

【變式5-3]（2023秋?蓬萊區(qū)期末）如圖，有四張背面完全相同的卡片A,B,C,D,其中正面分別寫著

四個不同的函數(shù)表達式，將四張卡片洗勻正面朝下隨機放在桌面上.

一一x?

L*<°)y=xJ3(x>0)

（1）從四張卡片中隨機摸出一張,摸出的卡片上的函數(shù)y隨x的增大而減小的概率是

（2）小亮和小強用這四張卡片做游戲，規(guī)則如下：兩人同時從四張卡片中各隨機抽出一張，若抽出的兩張

卡片上的函數(shù)增減性相同，則小亮勝；若抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性不同，則小強勝.這個游戲公平嗎？

請說明理由.

【變式5-4]（2023秋?安次區(qū)期末）若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為

“傘數(shù)”.現(xiàn)從1,2,3,4這四個數(shù)字中任取3個數(shù)，組成無重復數(shù)字的三位數(shù).

（1）請畫出樹狀圖并寫出所有可能得到的三位數(shù)；

（2）甲、乙二人玩一個游戲，游戲規(guī)則是：若組成的三位數(shù)是“傘數(shù)”，則甲勝；否則乙勝.你認為這個游

戲公平嗎？試說明理由.

【變式5-5】（2023?內(nèi)江）某校為落實國家“雙減”政策，豐富課后服務內(nèi)容，為學生開設(shè)五類社團活動（要

求每人必須參加且只參加一類活動）：A.音樂社團；B.體育社團；C.美術(shù)社團；D.文學社團；E.電

腦編程社團.該校為了解學生對這五類社團活動的喜愛情況，隨機抽取部分學生進行了調(diào)查統(tǒng)計，并根

據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

根據(jù)圖中信息，解答下列問題:

（1）此次調(diào)查一共隨機抽取了名學生，補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）;

（2）扇形統(tǒng)計圖中圓心角a.度;

（3）現(xiàn)從“文學社團”里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學中隨機選取兩名參加演講比賽，請用列表

或畫樹狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學的概率.

【考點題型六】概率中跨學科試題

【例6】（2023秋?棗莊期末）2024年央視春晚的主題為“龍行疆疆，欣欣家國”.“龍行疆?！痹⒁庵腥A兒

女奮發(fā)有為、昂揚向上的精神風貌.將分別印有“龍”“行”“矗