2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)（考題猜想）解析版

考題猜想7-1銳角三角函數(shù)

（熱考+壓軸必刷53題12種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

盛理人集合

＞利用銳角三角函數(shù)的概念求三角函數(shù)值＞解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

＞網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值＞解非直角三角形的相關(guān)計(jì)

＞特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算＞解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用

＞根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)＞三角函數(shù)綜合

＞等角代換法求銳角三角函數(shù)值＞12345模型

＞求證同角三角函數(shù)關(guān)系式＞胡不歸模型

駁型大通關(guān)

一.利用銳角三角函數(shù)的概念求三角函數(shù)值（共4小題）

1.（23-24九年級(jí)上?江西,期末）如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，。是邊4B的中點(diǎn)，BE1CD,垂足

、r4

為E,BC=8,cos/-ABC-

⑴求CD的長.

⑵求NDBE的正弦值.

【答案】⑴5

⑵工

'’25

【分析】本題考查了正弦與余弦、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握正弦與余弦的概念

是解題關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)余弦的定義可得AB=10,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得;

(2)先求出COSNBCE=cosNZBC=￡利用余弦可求出CE的長，從而可得DE的長，再在RtABDE中，利

用正弦的定義求解即可得.

【詳解】⑴解：回在RtMBC中，N4cB=90。，BC=8,cos^ABC=

0「cosz.iA4CBC=—BC=8—=-4

ABAB5

EL4B=8X-=10,

4

BD是邊力B的中點(diǎn),

團(tuán)CD="B=5,

所以CD的長為5.

(2)解：回。是斜邊4B的中點(diǎn),

1

團(tuán)CO=BD=-AB=5,

2

⑦乙BCE=Z.ABC,

4

國cos乙BCE=cosZ-ABC=

團(tuán)BE1CD,

P..—CE4priCE4

團(tuán)COS4BCE=—=即一=

BC585

解得CE=y,

7

國DE=CE-CD=-

59

回sin/DBE=—DE=—7

BD25

所以ND8E的正弦值為《.

2.(22-23九年級(jí)上?海南儲(chǔ)州?期末)如圖，在正方形4BCD中，尸是BC邊上的一點(diǎn)，且BC=4PC,。是

CD的中點(diǎn).

⑴求證：xQCPsxADQ；

⑵求sin/PAQ的值.

【答案】⑴見解析

(2)sinzP4Q=y

【分析】⑴根據(jù)正方形的性質(zhì)得到4D=BC=CD,NC=ND=90。，進(jìn)而推出會(huì)=半=；,即可證得結(jié)

DQAL)Z

論；

(2)設(shè)CP=x,則CQ=DQ=2x,4D=8C=4B=4x,勾股定理求出PQ,4Q,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證

得乙4QP=90°,勾股定理求出4P即可.

【詳解】(1)回四邊形4BCD是正方形，

EL4O=BC=CD.Z.C=Z.D=90°,

0BC=4PC,。是CD的中點(diǎn).

11

⑦PC=：BC,CQ=DQ=：CD,

0AQCP~bADQ；

(2)設(shè)CP=%,貝!JCQ=DQ=2xfAD=BC=AB=4x,

團(tuán)PQ=y)CQ2+CP2=V4x2+x2=V5x?AQ=y/AD2+DQ2=V16x2+4x2=2亞x,

!?]△QCP~AADQ,

^AQD=乙CPQ,

國乙CPQ+乙CQP=90°,

回乙AQD+乙CQP=90°,

團(tuán)N/QP=90°,

團(tuán)/尸=JPQ2+AQ2=V5x2+20x2=5%,

r-1.門4CPQVS%VS

團(tuán)sin^PAQ=—=—=

xAP5x5

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值，正確掌握各知

識(shí)點(diǎn)并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

3.(22-23九年級(jí)上?北京通州?期末)如圖，在RtA4BC中，41CB=90。，。是邊48的中點(diǎn)，BE1CD,垂

足為點(diǎn)E.已知力C=6,cosX=|.

A

⑴求線段CO的長；

⑵求cos/DBE的值.

【答案】⑴CD=5；

24

(2)coszZ)BF=余

【分析】(])根據(jù)三角函數(shù)求出42的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出C。的長

即可；

(2)先運(yùn)用勾股定理求出BC,再由于。為上的中點(diǎn)可得DC=08=5,推出4DCB="1BC,利用正

弦函數(shù)求出BE,據(jù)此即可解答.

【詳解】(1)解：媯C=6,cos4=|,

rn463

團(tuán)cosA=——=一,

AB5

24B=10,

回△ABC為直角三角形，。是邊的中點(diǎn)，

團(tuán)CO=5；

(2)解：^\AB=10,AC=6,

BBC=V102-62=8,sinZTlBC=coszX=

團(tuán)△力BC為直角三角形，。是邊2B的中點(diǎn)，

回。C=DB=5,

團(tuán)NDCB=Z.ABC,

3

^IsinZ.DCB=sinZ-ABC=

團(tuán)BE1CD,

回乙BEC=90°,

UP

團(tuán)sin40cB=—,

24

ME=y

RF24

Scos/.DBE=—=—.

BD25

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)

知識(shí)解決問題.

4.（22-23九年級(jí)上?河南南陽?期末）如圖，在△力BC中，AB=AC=5,BC=4,BD1AC于點(diǎn)。.

⑴求tan/ABC的值；

⑵求BD的長.

【答案】⑴tan/ABC=手

（2）BD=等

【分析】（1）過點(diǎn)A作4E18C交于點(diǎn)E,由等腰三角形的性質(zhì)得到BE=EC==2,由勾股定理

得到力E=VH,由銳角三角函數(shù)的定義即可得到答案；

（2）過點(diǎn)A作4E1BC交BC于點(diǎn)E,由xBCxxACxBD,進(jìn)一步即可得到BD的長.

【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)A作4E1BC交BC于點(diǎn)E,

EL4B=AC,AE1BC,

1

團(tuán)BE=EC=-BC,Z-AEB=90°,

2

BBC=4,

國BE=EC=-BC=2,

2

在RS/EB中,

國匕AEB=90°,

^AE2=AB2-BE2,

BAB=AC=5,BE=2,

團(tuán)值=52-22=21,

^\AE=V21..

在RtAZEB中，

^AEB=90%AE=V21,BE=2,

^tanZ-ABC=—=底工.

BE2

（2）解：如圖，同（1）,過點(diǎn)A作交BC于點(diǎn)￡,

團(tuán)4E1BC,

^AABC=2XBCXAE,

又團(tuán)BDlACf

1

^AABC=2XACXBD，

11

團(tuán)S//RC=2xBCxAE=-xACxBD,

團(tuán)4c=5,BC=4,

又回由（1）求得/E=VH,

而。=處”="

AC5

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的

性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

二.網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值（共4小題）

5.（2023?廣東湛江?三模）△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，貝IsinB的值為.

【分析】過點(diǎn)A作2D1BC于點(diǎn)。，設(shè)小正方形的邊長為a,首先根據(jù)勾股定理求出4B=2岔a,然后根

據(jù)正弦的概念求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)A作AD1BC于點(diǎn)。，如圖所示,

設(shè)小正方形的邊長為a,

貝U2B=J(2a)2+(4a)2=2后,

EL4D=4a,AD1BC,

門.nAD4a2V5

團(tuán).sinB=—=-p-=——,

AB2y/5a5

故答案為：言.

【點(diǎn)睛】本題在網(wǎng)格中考查求銳角的正弦值，掌握正弦的定義以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

6.(22-23九年級(jí)上?山西忻州?期末)如圖，點(diǎn)A,B,C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin/BAC=

【答案】黑

【分析】根據(jù)勾股定理求出的長度，過點(diǎn)2作BO14C于點(diǎn)根據(jù)面積法求出8D,再根據(jù)公式求

出答案.

【詳解】解：根據(jù)勾股定理得，AC=V32+32=3V2,AB=V32+22=V13,

過點(diǎn)8作BD于點(diǎn)。，

EISAABC=|BC-AE=jxC-BD,

「ncBCAE3V2

團(tuán)BD=------=—^=—

AC3V22

V2

V26

=—

26

故答案為：喀.

26

【點(diǎn)睛】此題考查了求角度的正弦值，勾股定理求線段長度，正確掌握計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

7.（22-23九年級(jí)上?山西太原?期末）如圖.在每個(gè)小正方形的邊長均為1的方格圖中.點(diǎn)A,C,M,N均

在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，4N與CM相交于點(diǎn)P,貝UtanNCPN的值為.

【答案】1

【分析】利用等角轉(zhuǎn)化得到"PN=4BAN=45。，即可求解.

【詳解】解:如圖，平移MC至4B,

貝此CPN=乙BAN,

連接BN,

S\BD=NC,AD=BC,Z.ADB=4BCN=90°,

0AABD=△BNC(SAS),

^DAB=ACBN,AB=BN,

EINDBA+乙CBN="BA+ADAB=90°,

EINABN=90°,

EINBAN=乙BNA=45°,

團(tuán)4CPN=4BAN=45°,

回tanz_CPN=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的求值問題，涉及到了平移、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的

性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是利用平移進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化，得到等腰直角三角形，求出角.

8.（21-22九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?期末）如圖，點(diǎn)A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則tanB

【答案】|

【分析】先利用格點(diǎn)和勾股定理計(jì)算AB、AC、BC,再判斷0A8C的形狀，最后求出切法.

【詳解】解：連接4、C,

貝l|AB=yj22+22=2V2,

AC=V12+I2=V2,

BC=V12+32=V10,

^AB2+AC2=BC2,

MA2C是直角三角形.

mACV21

—="產(chǎn)

AB2\[22’

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、勾股定理和勾股定理的逆定理是

解決本題的關(guān)鍵.

三.特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算（共3小題）

9.(22-23九年級(jí)上?山東泰安?期末)計(jì)算下列各題：

(l)sin245°-V27+|(V3-2006)0+6tan30°

(2)sin230°—cos45°-tan60°+——tan45°.

【答案】⑴1-百

⑵…

'，42

【分析】(1)分別進(jìn)行特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡、零指數(shù)累等運(yùn)算，然后合并；

(2)將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.

【詳解】(1)解：原式=(彳)2—3百+T+6X.

=1—V3；

(2)解：原式=；一日*百+1-1

_1_V6

-42,

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，涉及了特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡、零指數(shù)暴等知

識(shí)，掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

10.(22-23九年級(jí)下,安徽安慶,期末)已知a是銳角，且sina=孝.求3cos2戊+sin(a—15o)tan(a+

15°)-V3cos(a-15。)的值.

【答案】f

【分析】先根據(jù)sina='且a是銳角求出a的度數(shù)，再將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.

【詳解】解：Esina='且a是銳角，

0a=45°,

團(tuán)3cos2a+sin(a—15°)tan(a+15°)—V3cos(a—15°)

=3cos245°+sin30°tan60°—V5cos30°

7

ZV2\1g

=3x[—\+-xV3-V3x-y-

3V33

-——I—--------

222

=立

-2.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，根據(jù)a的正弦值求出a的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

11.(23-24九年級(jí)上?山西臨汾?階段練習(xí))⑴&sin30o+tan6(r-cos45o+tan30。；

(2)(01+|1-V3|-2sin60°+(兀―2023)°-V8；

2

⑶已知N44B,NC是銳角三角形4BC的三個(gè)內(nèi)角，且滿足(2sin4—百)+VtanS-1=0,求NC的度

數(shù)；

⑷已知tana的值是方程/—x—2=0的一個(gè)根，求式子等竺*的值.

2cosa+sma

【答案】(D#

(2)3-272

(3)75°

(4)；

【分析】(1)先求出特殊角的三角函數(shù)值，然后進(jìn)行運(yùn)算即可；

(2)先分別計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)哥，算術(shù)平方根，然后進(jìn)行加減

運(yùn)算即可；

(3)由題意得，2sinA-V^=0,tanF-1=0,計(jì)算求解，確定乙4,乙B,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

求解即可；

3sina-cosa

(4)解方程得正切值，然后根據(jù);sina-cos'=瞟=學(xué)產(chǎn)二,計(jì)算求解即可.

2cosa+sina"0\"十、皿2+tana

cosa

【詳解】(1)(1)解：V2sin30°+tan60°-cos45°4-tan30°

/_1z-V2V3

=V2X-+V3--+—

=-4V-3-

3，

(2)解：(1)+|1-V3|-2sin60°+(?r-2023)°-V8

LWL

=3+V3-l-2x—+1-2V2

=3-2V2；

(3)解：回(2sin/—A/5)+VtanB-1=0,

團(tuán)2sin4—V3=0,tanB-1=0,

解得sim4=當(dāng)，tanB=1,

團(tuán)乙/=60°,乙B=45°,

團(tuán)乙。=180°一4A—=75°,

團(tuán)乙。的度數(shù)為75。；

(4)解：0%2—x—2=0,

(%+1)(%—2)=0,

角軍得%

1=-1,x2=2,

回tana=2,

3sina-cosa

...Ssina-cosacosa__3tana-1__2x3-1__5

2cosa+sina=na=2+2=”

啜。sa+sina2+ta

cosa

回式子3sina-cosa的值足.

2cosa+sinct

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，絕對(duì)值，零指數(shù)累，算術(shù)平方根，三角形內(nèi)角和

定理，同角三角函數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程.熟練掌握特殊的三角函數(shù)值，一元二次方程的根等知識(shí)是

解題的關(guān)鍵.

四.根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)（共5小題）

12.（2023?浙江杭州?一模）如圖，在AaBC中，。是力B上一點(diǎn)，41=NB,N2=N4.

（2）若衿型求乙4的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)44=30°

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理表示出N4DC,NBDC,根據(jù)平角的定義可得NADC=NBDC=90。,

即可得證;

（2）根據(jù)⑴的結(jié)論證明乙4cB=90。，根據(jù)已知證明△力DCS^CDB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出笠=

y,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

【詳解】（1）證明：在AAOC中，42DC=180?！?1+44）

在△BOC中，/-BDC=180°-（Z2+Z.B）

團(tuán)乙1=乙B,Z2=4A.

^Z.ADC=乙BDC,

又團(tuán)4ZDC+NBDC=180°,

^ADC=（BDC=90°,

團(tuán)COLAB；

（2）回41=乙B,Z2=4/,AADC=（BDC=90°

田41+=乙2+乙8=90°

團(tuán)乙1+乙2=90°一乙4+90°一=乙4+乙B,

團(tuán)41+42=+乙8=90°,

^ACB=90°,

團(tuán)乙1=Z.B,42=乙4,

0AADCCDB,

/跑=（些）2=工，

S^ACD14c73

筆=包

AC3

~ABC6

團(tuán)tan/=—=——,

AC3

團(tuán)=30°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的意義，相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)特殊角的正切值求角度，

熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

13.（23-24九年級(jí)上?全國?課后作業(yè)）在AABC中，乙4、NB滿足（sin4-《丫+,anB-8|=0,試判斷△

4BC的形狀，并說明理由.

【答案】直角三角形，理由見解析.

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的判定，特殊角的三角函數(shù)值，先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出

sin力、tanB的值，再根據(jù)乙4、NB均為銳角及特殊角的三角函數(shù)值、三角形內(nèi)角和定理即可求出三角形各

角的度數(shù)，進(jìn)而判斷出其形狀，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A/IBC為直角三角形，理由如下：

由題意，得sin力一1=0,tanB-V3=0,

ElsinTl=tanB=V3,

2

0ZX=30°,乙B=60°,

0ZC=180°-30°-60°=90°,

團(tuán)△ABC為直角三角形.

14.(22-23九年級(jí)下?遼寧沈陽?開學(xué)考試)如圖，4B是。。的直徑，點(diǎn)C在48的延長線上，點(diǎn)。、E為。

。上兩點(diǎn)，連接CD、BD、ED,/.CDB=連接BC.

⑴求證：CD是O。的切線；

(2)若BC=4,CD=4V3,求BD的長.

【答案】⑴見解析

(2)BD=4

【分析】(1)連接￡M、0D,可得NCDB=4E=乙4=/.ADO,40DB+/.ADO=90°,即可得到4ODC=

90。，可證明CD是。。的切線；

(2)在RtAODC中，利用勾股定理求出半徑為4,即可利用特殊三角函數(shù)得到NB。。=60。，得到△BOD

為等邊三角形，可得BD=4.

【詳解】(1)連接D4、0D,

EL4B是O。的直徑，

0ZXPB=90°,

EIZOOB+/.ADO=90°,

004=OD,

回乙4=Z.ADO,

SZ.CDB-Z.E,Z.E-/.A

國乙CDB=Z.E=Z.A=/-ADO,

國乙ODB+乙CDB=90°,

即乙。。。=90°,

I3CC是。。的切線；

(2)設(shè)半徑為R,則。。=OB=R,OC=OB+BC=R+4

在RtAODC中，。。2+亦=。。2,

2

0/?2+(4V3)=(R+4)2,解得R=4,

團(tuán)。0=OB=4,OC=8

HcoszDOC

OC2

ON。。。=60°,

團(tuán)△B。。為等邊三角形，

EIBD=4

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，特殊角度三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)特殊角度三角函數(shù)得到4。。。=

60°.

15.(2023?廣東河源?一模)如圖，在矩形48CD中，4B=5,BC=10,點(diǎn)E是邊8c上一點(diǎn)(點(diǎn)￡不與

B,C重合)，過點(diǎn)E作EFIDE交力B于點(diǎn)F,連接OF.

(1)當(dāng)BE=2時(shí)，求tan/ED尸的值；

(2)當(dāng)月F=EF時(shí)，求N4DF的度數(shù)；

⑶若點(diǎn)廠為4B的中點(diǎn)，求BE的長.

【答案】(l)tanzEDF=|

(2)乙40尸=15°

⑶BE的長為U磬或胃

【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)求得絲，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理解答

即可;

(2)利用矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可；

(3)利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)列出關(guān)于BE的比例式解答即可.

【詳解】(1)解:0EF1DE,

0ZFED=90°,

HZBEF+乙DEC=90°.

回四邊形4BCD為矩形，

回ZM=BC=10,AB=CD=5,zS=ZC=90°,

國乙BFE+Z.BEF=Z.BEF+乙DEC=90°,

^BFE=乙DEC,

BEFCDE,

「FEBE2

團(tuán)--=--=~.

DECD5

國乙FED=90°,

pp?

0tanzEDF=-=-；

DE5

(2)解：回四邊形/BCD為矩形，

團(tuán)乙4=90°,

團(tuán)EF1DE,

國乙FED=90°,

在Rt△AFD和Rt△EFD中,

(AF=EF

IDF=DF'

團(tuán)Rt△AFD=RtAEFD(HL),

^DA=DE=10,Z.ADF=乙EDF.

在RtAEC。中，sinZ.CED=-=

DE2

0ZCED=30°,

團(tuán)4。IIBC,

^Z.ADE=乙DEC=30°,

^Z.ADF=-/-ADE=15°；

2

(3)解:回點(diǎn)尸為4B的中點(diǎn),

WF=-AB=-,

22

BEF1DE,

^FED=90°,

^Z-BEF+/.DEC=90°,

團(tuán)四邊形4BC0為矩形,

團(tuán)4B=ZC=90°,

^BFE+^BEF=90°,

國乙BFE=乙DEC,

IHABEFCDE,

回^B--F==-C-E

BECD

5

「310-BE

[?]—=------------

BE5

解得：BE=

如E的長為若在或修I

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，相似三角形的判定與性

質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

16.（2023?江西?模擬預(yù)測(cè)）課本再現(xiàn)

ABAC

(1)如圖1,在RtzX/BC和中，4c=90。，/C'=90。,

A'B'A'C'

求證：RIAABC-Rt^A,BrC,.我們?cè)跀?shù)學(xué)課上探索這一結(jié)論時(shí)進(jìn)行了分析：要證Rt△?Rt△

A'B'C,可設(shè)法證會(huì)7=AB備，若設(shè)券=備=七則只需證怒

BCA'B'

請(qǐng)你根據(jù)以上分析，完成證明.

知識(shí)應(yīng)用

(2)如圖2,在四邊形PMQN中，ZM=/-PQN=90°,PQ2=PM-PN,翳=當(dāng)，求NN的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)60°

【分析】(1)設(shè)黑=今7=匕再利用勾股定理證券=k,即可得券=券=痣，從而得出結(jié)論;

ADA(>DLJ(>ADAO

(2)證明RtAPMQsRt△PQN,得出瑞=黑=/，再利用正弦定義sinN=^=*即可求解.

【詳解】解：(1)設(shè)券=關(guān)7=鼠貝必8=卜4夕，AC^kA'C,

在Rt△ABC,由勾股定理，得

BC=yjAB2-AC2=ky/A'B'2-A'C'2,

在RtAA'B'C',由勾股定理，得

B'C=JA'B'2-A'C'2,

年一命環(huán)薩

BC_AB_AC

回FF7=而=拓7'

0Rt△ABC?Rt"8'C'；

(2)國PQ?=PM,PN

「回-PQ-=-P-M-

PNPQ

團(tuán)NM=Z.PQN=90°

回由(1)知：Rt△PMQ-Rt△PQN

型="=如

NQPN2

在RtAPQN中，sinN=輕=與

ElzN=60°.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正弦定義，特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握相似三

角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

五.等角代換法求銳角三角函數(shù)值(共2小題)

17.(2024九年級(jí)下?浙江?專題練習(xí))如圖，4B為。。的直徑，點(diǎn)C是弧力B的中點(diǎn)，點(diǎn)。在圓。上，點(diǎn)E

在的延長線上，且EF=ED.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)連接8C,若tanNBCD=/DE=6,求4B的長.

【答案】⑴見解析

(2)9

【分析】(1)連接。D,OC,利用等弧所對(duì)圓心角相等以及平角定義求出44OC=NBOC=90。，進(jìn)而求出

乙OCF+乙OFC=90°,利用等邊對(duì)等角可得出NOCD=乙ODC,乙EDF=4DFE,結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)可求出

乙CDO=90°,利用切線的判定即可得證；

(2)過。作于利用同角的三角函數(shù)性質(zhì)求出了=三，設(shè)=AH=2x,半徑為r,在

AH2

RtAODH中，利用勾股定理求出r=-x,進(jìn)而求出。"=三x,在RtADOH中，利用正切定義求出

44

tanzDOH=在RtZkDOE中，利用正切定義求出00,即可求解.

C

團(tuán)點(diǎn)C是弧的中點(diǎn),

如=寬,

^Z.AOB=乙BOC,

5LZ,A0C+L.BOC=180°,

^AOC=乙BOC=90°,

團(tuán)乙OCF+乙OFC=90°,

BOC=OD,DE=FE,

也上OCD=Z.ODC,乙EDF=乙DFE,

又乙OFC=乙DFE,

⑦乙ODC+乙CDF=90°,即NCO。=90°,

團(tuán)。。1DE,

又00是。。的半徑，

回DE是。。的切線；

(2)解：過。作J.4B于

國匕A=乙BCD,

1

團(tuán)tan/=tanZ,BCD=

2

「DH八八1

0—=tanZ=

AH2

設(shè)0"=%,AH=2x,半徑為r,

則OH=2x-r,

在&△OOH中，OD2=DUMH?,

0r2=%2+(2x—r)2,

解得v-fx,

4

3

IEOH=-%,

4

DHx4

回tanN。。"=-=^=-,

0H也3

0—=tanzDOH=即9=

OD3OD3

9

0O￡>=

2

SAB=9.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)與判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知

識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造直角三角形求解是解題的關(guān)鍵.

18.(2023?浙江溫州?二模)如圖，在RtAZBC中,AACB=90°,。是4B上一點(diǎn)，CD=BC,過點(diǎn)。作

DF1力。于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CEII4B交DF的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：四邊形D8CE是平行四邊形.

,.-1

(2)右BZ)=6,sinX=求DE的長.

【答案】⑴見解析

⑵9

【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性

質(zhì)是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)垂直的定義得到/。凡4=90。，根據(jù)平行線的判定定理得到BCIIDF即可證明結(jié)論.

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙4=乙4CE根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CE=8。=6,根據(jù)三角函數(shù)的定義

得到EF=2,設(shè)8C=x,DF=x-2,根據(jù)勾股定理即可得到答案.

【詳解】(1)證明：???DF1AC,

???Z.DFA=90°,

???Z.BCA=90°,

/-DFA=Z.C,

：.BCWDF,

VCEWAB,

??.四邊形DBCE是平行四邊形；

(2)解:???CEWAB,

???Z.A=Z.ACE,

???四邊形D8CE是平行四邊形，

CE=BD=6,

.41

,**sinA=—,

3

.-./.ACE=-=

CE3

EF=2,

設(shè)CD=DE=BC=x,則DF=x-2,

???CD2-DF2=CE2-EF2,

x2—(x—2)2=32,

解得x=9.

.-.DE=9.

19.(2023?江蘇無錫?二模)如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，NC4B的平分線與BC相交于點(diǎn)。，與

O。過點(diǎn)B的切線相交于點(diǎn)E.

⑴判斷ABDE的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）若4B=4,BD=2,求4D的長.

【答案】⑴ABDE是等腰三角形，腰為BE與證明見解析；

{2}AD=2

【分析】（］）利用圓周角及切線的性質(zhì)得到直角，再利用角平分線得到的等角進(jìn)行計(jì)算和轉(zhuǎn)化，得到△

BDE中兩個(gè)等角，根據(jù)等角對(duì)等邊得到三角形為等腰三角形；

（2）利用已知邊求出角平分的兩個(gè)等角的正切值，再設(shè)邊長為未知數(shù)，利用RtAACB列出勾股定理方

程，求出CD,最后用勾股定理求出目標(biāo)邊.

【詳解】(1)??,48是。。的直徑，

???Z.ACB=90°,

??.ACAD+^CDA=90°,

???BE是。。的切線，

???(ABE=90°,

???乙EAB+4E=90°,

???4。平分”皿

Z.CAD=Z.DAB,

Z.CDA=Z-E,

???Z.CDA=(EDB,

???乙EDB=Z.E,

BD=BE,

△BDE是等腰三角形，腰為BE與BD；

(2)BD=2=BE,AB=4,

tanZ-CAD=—AC=tAaBnZ-D2AB=—=

設(shè)CD=a,貝SC=2a,

RtZkACB中：AB2=AC2+CB2,

得42=(2a)2+(2+a)2,

解得a[=[,a2——2<0(舍去)，

???Rt△ACD中：AD=yjAC2+CD2=V5a,

AD=^V5.

【點(diǎn)睛】本題考查圓中邊長關(guān)系的證明和邊長計(jì)算，通過條件中的邊角關(guān)系計(jì)算角度證明等角等邊及計(jì)算

長度是?？碱}，計(jì)算復(fù)雜時(shí)可設(shè)未知數(shù)簡化計(jì)算.

20.(2024,廣東廣州?一模)如圖，RtAAB。中，AABO=90°,AB=2,反比例函數(shù)y=-《的圖象經(jīng)過點(diǎn)

A.

⑴求點(diǎn)A的坐標(biāo).

(2)直線CD垂直平分20,交4。于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,求線段0E的長.

【答案】⑴4(—2,4)

⑵0E=5

【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，等角的三角函數(shù)值相等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題

的關(guān)鍵.

(1)點(diǎn)2的橫坐標(biāo)為—2直接代入y=-押可；

(2)先求力。=V22+42=26,證明出N1=N2,則由正弦值相等得：第=會(huì)即可求解.

OEOA

【詳解】(1)解：vAB=2,

???點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為-2,

4點(diǎn)在反比例函數(shù)y=的圖象上，

v=----8-=44,

17-2

**?4(—2,4).

(2)解：???/(-2,4)

團(tuán)48=2,B0=4,

團(tuán)40=V224-42=2A/5,

團(tuán)CD垂直平分4。，

WC=-A0=V5,CD14。，

2

團(tuán)NDOE=90°,

SZ1+Z3=9O°=Z2+Z3,

=z2,

Elsinzl=sinz2,

喔=蔡即：言=嘉

21.(24-25九年級(jí)上?北京?階段練習(xí))如圖，在A04B中，。4=OB,E是4B的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EC1。4于

點(diǎn)C,過點(diǎn)B作BD10B,交CE的延長線于點(diǎn)D.

(2)若4B=12,BD=5,求04的長.

【答案】⑴證明見詳解

⑵。4=y

【分析】(1)根據(jù)等邊對(duì)等角得出NtMB=N0B4再根據(jù)余角和對(duì)頂角的性質(zhì)可得ADEB=NDBE,即可

證明DB=DE.

(2)連接0E,過點(diǎn)。作的垂線，垂足為F,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得N0E4=N0EB=ADFE=

90°,根據(jù)E是48的中點(diǎn)，AB=12,BD=5,得出4E=BE=6,EF=8F=3,ED=BD=S,勾股定

理可得DF='BD2一BF?=4,gPsinz￡)￡F=-=再根據(jù)余角和對(duì)頂角可得乙DEF=Z.CR4=乙4?！闬

DE5

得sin〃OE=sin/DEF=第=(即可求出04=率

【詳解】(1)證明：回。4=OB,

團(tuán)乙OAB=/-OBA,

又回EC1OA,BD1OB,

B/LOAB+Z.CEA=Z.OBA+乙DBE,

⑦乙CEA=乙DBE,

又回Z_CEZ=Z-DEB,

團(tuán)乙DEB=(DBE,

WB=DE.

(2)解：連接OE,過點(diǎn)。作AB的垂線，垂足為尸，如圖:

00^4=OB,E是48的中點(diǎn)，DB=DE,

^Z.OEA=乙OEB=4DFE=90°,

EIE是的中點(diǎn)，AB=12,80=5,

EL4F=BE=6,EF=BF=3,ED=BD=5,

0BZ)=5,4DFB=90°,

0DF='BD2-BF2=V52-32=4,

r)p4

團(tuán)sin4OEF

DE5

國乙CEA=乙DEB,/.CEA+/LOAE=Z.OAE+Z.AOE=90°,

國kDEF=Z-CEA=Z-AOE,

Ap4

團(tuán)sinZJlOE=sinZ-DEF=—=

AO5

BAE=6,

「64

0----=一,

AO5

解得:。4=孩.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)值，余角和對(duì)頂角，熟練掌握以上知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

六.求證同角三角函數(shù)關(guān)系式（共2小題）

22.（24-25九年級(jí)上?山東淄博,階段練習(xí)）如圖所示，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)回答下列問題:

①②

（1）在圖①，sin4=,cosX=,sin2X+cos2X=；

2

在圖②中，sinA]=，cosXt=,siMA]+cos?!!=；

通過以上兩個(gè)特殊例子，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用一個(gè)一般式子把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來，并加以證明；

（2）在圖①中，tanH=,鬻=；

在圖②中，tanAi=,氏?=；

通過以上兩個(gè)特殊例子，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用一個(gè)一般式子把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來，并加以證明.

【答案】⑴1塔，高1;sin2a+cos2cr=1；證明見解析

⑵某蘭壽；tana=陋；證明見解析

3355cosa

【分析】（1）本小題要求找到規(guī)律并證明，要規(guī)律首先就應(yīng)該準(zhǔn)確的計(jì)算出sinZ,cos4sin2i4+cos2/1,

sin/1，cos^i，siM^i+cos2&以及tan/和tan4i的值；要證明結(jié)論就應(yīng)該在一般的三角形中求解，在邊長

分別為。、b、c的直角三角形中，sinA=coSi4=計(jì)算siM/+cos2z的結(jié)果證明結(jié)論；

CC

（2）在邊長分別為a、b、c的直角三角形中計(jì)算tana,四絲，看結(jié)論是否相同即可.

cosa

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角4的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做乙4的正弦，記作sin4銳角力的鄰

邊b與斜邊c的比叫做乙4的余弦，記作cos/,銳角/的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做乙4的正切，記作tan/是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：sin4=gcosA=|,sin?/+cos224=1,

12577

sin/i=—,cosA1=sin14]+cos//i=1,

規(guī)律：對(duì)于任意銳角a有sin2a+cos2a=1,

故答案為：I，I，1,苗,1；

證明：如圖所示，在RtZk/BC中，Z.C=90°,

coscr=c2=a2+h2,

c

a2+b2C2

sin2a+cos2a=—=1

c2

4

_xhjj,?4sinA74

(z2)解：tanA=——-=f=-,

3cos/-3

5

tan&=￡舞=摹/

13

sina

規(guī)律：對(duì)于任意銳角a有tana

cosa

證明：如圖,

a

sina___a

b'cosa-b

sina

tana=-----

cosa

故答案為：￡:1212

55

23.（2023?河北保定?二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果:

sin270+sin283°?0.122+0.992=0,9945,

sin222°+sin268°?0.372+0.932=1.0018,

sin290+sin261°~0.482+0.872=0.9873,

sin370+sin253°~0.602+0.802=1.0000,

22

sin245°+sin245=（/）+（當(dāng)=1.

據(jù)此，嘉嘉猜想：對(duì)于任意銳角a,若a+6=90。，均有siMa+sin2s=1.

⑴當(dāng)a=30°,B=60。時(shí),驗(yàn)證sin2a+sin2/?=1是否成立?

⑵嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合如圖所示ABC給予證明，其中乙4所對(duì)的邊為a,48所對(duì)的邊

為從斜邊為c；若不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)反例；

B

⑶利用上面的證明方法，直接寫出tana與sina,cosa之間的關(guān)系.

【答案】⑴成立，見解析

⑵成立，見解析

sina

⑶tana

costz

【分析】(1)直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算驗(yàn)證即可;

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的定義列出sina=%sin/?=$,結(jié)合勾股定理整理化簡即可證得結(jié)論；

(3)根據(jù)正切函數(shù)的定義列出表達(dá)式，然后結(jié)合Rt△力BC中，sina=巴，cosa=2,再變形代入整理即可

CC

得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：0sin3O°=sin60°=y,

團(tuán)sin2a+sin2j6=(1)+(/)=1,結(jié)論成立；

(2)解：成立.理由如下：

在Rt/kZBC中，sina=，，sin￡=g且小+廬=。2,

回siMa+siM/?=(?)+(g)=。=3=1，故結(jié)論成立；

(3)解：tana二列吧，理由如下：

cosa

在中，

Rt/kZBCsina=ccosa=ctana=b

a

?7sina

團(tuán)tana=備=--,

-ccosa

isina

團(tuán)tana=----.

cosa

【點(diǎn)睛】本題考查余角之間的三角函數(shù)關(guān)系，以及同角三角函數(shù)關(guān)系的推理證明，理解三角函數(shù)的基本定

義，靈活變形構(gòu)造是解題關(guān)鍵.

七.解直角三角形的相關(guān)計(jì)算(共5小題)

24.(23-24九年級(jí)上,安徽合肥?期末)如圖是以△ABC的邊力B為直徑的半圓。，點(diǎn)C恰好在半圓上，過C

作CD14B交48于點(diǎn)。，已知COSN4CD=|,BC=4,求4C的長.

【答案】y.

【分析】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，解直角三角形，勾股定理，由是直徑，可得

Z.ACB=Z.ACD+Z.DCB=90°,由NB+=90°,可得UCD=4B,則cosB=cos/ACD=三，—

5AB

±=3求力B,然后由勾股定理得，AC=7AB2—BC2,計(jì)算求解即可.

AB5

【詳解】解：刻8是直徑，

國乙ACB=90°,

^ACD+Z.DCB=90°,

0CD1AB,

回乙B+乙DCB=90°,

^ACD=乙B,

3

田cosB=cosZ-ACD=

又團(tuán)4ZCB=90。，BC=4,

解得28=g,

由勾股定理得，AC=slAB^-BC2=y,

EL4c的長為g.

25.（23-24九年級(jí)上?安徽合肥?期末）如圖，己知在aaBC中，P是BC上一點(diǎn)，連接4P使得NC4P=

/.ABC.

⑴求證：AC2=PCBC；

(2)若4B=AC=5,sinZTlBC=1,求tan/ZPC.

【答案】⑴見詳解

(2嚀

【分析】(I)證明△ABCSAPAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明；

(2)根據(jù)△ABC八PAC^WAB=AC=5得出NAPC=/.BAC,過點(diǎn)C作CH1AB,根據(jù)sin/ABC=

AB=AC=5,在RtAZCH中，結(jié)合勾股定理求出CH,4H,根據(jù)tan乙4PC=tan/BAC即可求解.

【詳解】(1)證明：EIZCXP=/.ABC,NC=NC,

0AXBC“△PAC,

團(tuán)4。2=pc.BC.

(2)解：由(1)知△ABCsAPZC,

團(tuán)乙4PC=Z.BAC,

過點(diǎn)C作CH14B,

4

團(tuán)sinZJlBC=AB—AC—5,

ri44

^sin^ABC

BC5

設(shè)CH=^x,BC=5x,

則=VBC2-CH2=3%,AH=AB-BH=5-3%,

222222

在RtZkAC”中，AC=AH+CH9BP5=(4%)+(5-3%),

解得：%=：或0(舍去)，

247

^\CH=—,AH=",

55

24

團(tuán)tanZJlPC=tanZ,BAC=—=.

AH-7

【點(diǎn)睛】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程等知識(shí)

點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似.

26.(2022?上海虹口?二模)如圖所示，在△ABC中，ZB=45°,CD是4B邊上的中線，過點(diǎn)。作DE1

BC,垂足為E,若CD=5,sinzBCD