北師大版八年級數(shù)學專項復習：勾股定理的逆定理（解析版）

第02講勾股定理的逆定理

［學蔣目標］

1.經歷勾股定理的逆定理的探索過程，知道勾股定理與逆定理的聯(lián)系與區(qū)別.

2.能用勾股定理的逆定理解決一些簡單的實際問題.

3.初步認識勾股定理的逆定理的重要意義，會用勾股定理就解決一些幾何問題.

4.通過具體例子，了解逆命題、逆定理的概念，會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立

時其逆命題不一定成立.

i|豳基礎知￡

---------------------I1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知識點1:勾股定理逆定理

1.定義：如果三角形的三條邊長a,b,c,滿足/+〃=。2,那么這個三角形是直角三角

形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否

為直角三角形.

2.如何判定一個三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如c）.

（2）驗證C?與/是否具有相等關系.若C?+匕2,則△ABC是/C=90°的

直角三角形；若則4ABC不是直角三角形.

注意：當時，此三角形為鈍角三角形；當片+匕2>°2時，此三角形為銳

角三角形，其中C為三角形的最大邊.

知識點2：勾股數(shù)

像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

勾股數(shù)滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數(shù)

Q考點剖析

--------------IIIIII1IIIIII1IIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIII-----------------------

考點一：直角三角形的判斷

1.（2023八下?懷集期中）下列各組數(shù)據(jù)為邊的三角形中，是直角三角形的是

（）

A.鼻、?、7B.5、4、8C.3、5、4D.虎、3、75

【答案】C

【解答】解：A、（/）2+（6）2彳72,不能構成直角三角形，故不合題意；

B、52+42082,不能構成直角三角形，故不合題意；

c、32+42=52,能構成直角三角形，故符合題意；

D、（應）2+（岔）2彳32,不能構成直角三角形，故不合題意.

故答案為：C.

【變式1-1X2023八下?定州期中）下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.9,12,15B.6,8,10

C.V5>2,3D.1.5,2.5,3.5

【答案】D

【解答】解：A、92+122=152,是直角三角形，故不符合題意；

B.62+82=102,是直角三角形，故不符合題意；

C.（V5）2+22=32,是直角三角形，故不符合題意；

D.1.52+2.5V3.52,故不是直角三角形，故符合題意.

故答案為：D.

【變式1-2】（2023八下.會昌期中）在三邊分別為下列長度的三角形中，不是直角三角

形的為（）

A.1,y/2,V3B.4,7,5C.5,13,12D.2,3,

V5

【答案】B

【解答】A."+（魚）2=（b）2,是直角三角形，故本選項不符合題意；

B.42+52=41=49=72,不是直角三角形，故本選項符合題意；

C.52+122=132,是直角三角形，故本選項不符合題意;

D.22+（4）2=32,是直角三角形，故本選項不符合題意；

故答案為：B.

【變式1-3】（2023八上.開江期末）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成直角

三角形的是（）

A.2、3、4B.4、5、6C.5、11、12D.8、15、

17

【答案】D

【解答】解：A、：22+32=13￥52=25,.??以2、3、5為邊長的三個木棍不能圍成直角三

角形，故此選項不符合題意；

B、?.?42+52=4厚62=36,.?.以4、5、6為邊長的三個木棍不能圍成直角三角形，故此選

項不符合題意；

C、：52+112=146^122=144,...以5、11、12為邊長的三個木棍不能圍成直角三角形，

故此選項不符合題意；

D、：82+152=289=172,.?.以8、15、17為邊長的三個木棍能圍成直角三角形，故此選

項符合題意.

故答案為：D.

例2.（2023八上?達川期末）在ZkABC中，乙1,乙B,4C的對邊分別為a、b、c，

下列所給數(shù)據(jù)中，能判斷△4BC是直角三角形的是（)

A.a=32,b=42,c=52B.a2—b2=c2

C.Z-A=2zB=3zCD.〃：Z.B：Z.C=2：5：2

【答案】B

【解答】解：A、?.％2+扭=(32)2+(42)2=91，c2=(52)2=125，-'-a2+b2c2

不是直角三角形，故此選項不符合題意;

B、'."a2—b2=c2)'?az+c2=b2)=90e>是直角三角形，故此選項

符合題意;

QQ

C、A=2z.B=3Z.C,設z/7=%,則ZJ1=3欠，z>B=欠，**?3x+-^x+x=180°^

解得K=（鬻）。，.,?44=（喈^）。，△8=（*）。，4C=（鬻尸?.?△ABC不是直角

三角形，故此選項不符合題意；

D>LA:乙B:zC=2：5：2,設ZJ1=2%，Z-B=5%，ZC=2x,：?2x+5x+2%=180°，

解得T=20。，，.??乙4=40。，48=100。，4C=40。，???△/BC不是直角三角形，故此

選項不符合題意；

故答案為：B.

【變式2-1］（2023八上?內江期末）已知的三條邊分別為a,b,c,下列條件不能

判斷是直角三角形的是（）

A.a2=b2—c2B.a=6,b=8,c=10

C?/_A=+Z,CD.4/：zB：ZC=5：12：13

【答案】D

【解答】解：?.?/=/—c2，

/?a2+c2=b2^

是直角三角形，故A不符合題意；

'?"a2+b2=62+82=100，c2=102=100，

?,?a2+扶=

是直角三角形，故B不符合題意；

?Z.i4=乙B+z.C>Z.i4+Z.B+Z.C=180°,

：.2lA=180%

???乙4=90。，

???△43C是直角三角形，故C不符合題意；

丁4/：ZF：Z.C=5：12：13，+乙C=180。，

13

??4=180°X°=78°，

.二△ABC不是直角三角形，故D符合題意;

故答案為：D.

3.(2023八下.咸寧期中)如圖，每個小正方形的邊長為1

(1)求四邊形的周長；

(2)ZBCD是直角嗎？說明理由.

【答案】(1)解：???每個小正方形的邊長為1

-AB=V12+72=5及，BC=y/22+42=2底CD=y/l2+22=病

AD=J32+42=5

，四邊形ABC。的周長為5魚+2遙+遙+5=5a+3遙+5

(2)解：如圖所示，連接BD，

BD=>/32+42=5，BC=2CD=近，

?'-BD2=25,BC2+CD2=25,

-'-BD2=BC2+CD2>

:BCD是直角三角形，4BCD是直角.

【變式3-1】2023八上麻州期末）如圖：△ABC的三個頂點坐標分別是做一2,0），

（1）在平面直角坐標系中畫出△4BC;

（2）判斷△4BC的形狀，并說明理由.

【答案】（1）解：如圖，△4BC為所作；

（2）解：△4BC為等腰直角三角形.

理由如下：?；4（一2,0），B（l,4>C（5,1>

-"-AB='(1+2)2+42=5,BC=7(5-I)2+(1-4)2=5,

AC=J（5+2y+12=5*,

AB2+BC2=AC2,

???△ABC為直角三角形，乙4BC=9（r，

vAB=CB，

???△/BC為等腰直角三角形.

【變式3-2】（2022八上.歷城期中）如圖，正方形網格的每個小正方形邊長都是1,△4BC

的頂點在格點上.

（1）判斷△4BC的形狀，并說明理由.

（2）△4BC面積是，4c邊上的高是.

【答案】（1）解：△4BC為直角三角形，

理由：由題意得：AB2=22+32=13,CB2=424-62=52,AC2=I2+82=65,

：-AB2+BC2=AC2,

為直角三角形，

二乙4BC=90。；

（2）13；卷V65

□

【解答】（2）設AC邊上的高為h,

由（1）得：AB=V13-BC=V52=2V13,AC=癡，

4BC的面積=；XABXBC=^XV13X2VH=13，

VAABC的面積=3x4CX1

1__

?'2xV65xh=13,

?'?h=^-V65-

的面積為13,4c邊上的高為|歸.

考點二：勾股數(shù)的應用

4.（2021八上?靈石期中）設三角形的三邊分別是下列各組數(shù),則不是直角三角

形勾股數(shù)的一組是（）

A.3,4,5B.2,3,4C.5,12,13D.6,8,

10

【答案】B

【解答】本題設三角形三邊分別為Q,力，c,（三邊不確定）

而分別試求：是否符合直角三角形三邊關系:a2+b2=c2

A、32+42=52,故A選項符合；

B、22+32。42,故B選項不符合;

C、52+122=132,故C選項符合;

D、62+82=10"故D選項符合.

故答案為：B.

【變式4-1］（2021八上?城陽月考）下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（）

A.9,15,12B.11,60,61

C.6,8,10D.0.3,0.4,0.5

【答案】D

【解答】根據(jù)勾股數(shù)的含義知，A、B、C三個選項的三組數(shù)均是勾股數(shù)，選項D中的

三個數(shù)都不是整數(shù)，故不是勾股數(shù).

故答案為：D.

【變式4-2］（2021八上.惠來期中）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,13,

18

【答案】D

【解答】A、32+42=52,能構成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)；

B、52+122=132,能構成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)；

C、62+82=102,能構成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)；

D、72+132r182,不能構成直角三角形，故不是勾股數(shù)，

故答案為：D.

【變式4-3］（2020八上.昌平期末）下列是勾股數(shù)的有（）

①3、4、5；②5、12、13；③9、40、41；（4）13、14、15；⑤夕、再、舊；

⑥11、60、61

A.6組B.5組C.4組D.3組

【答案】B

【解答】解：①32+42=52,故3、4、5是勾股數(shù)；

②52+122=132,故5、12、13是勾股數(shù)；

③92+402=412,故9、40、41是勾股數(shù)；

@132+142+152-故13、14、15不是勾股數(shù)；

⑤（77）2+（V10）2=（V17）2，故V7,V10,V17是勾股數(shù)；

⑥1"+6。2=6#,故11、60、61是勾股數(shù)

是勾股數(shù)的共5組

故答案為：B

考點三：勾股定理的逆定理應用

例5.（2022八上.北侖期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地,

已知4。=4米，CD=3米，ZJ1DC=90°>4B=13米，BC=12米，小區(qū)為

美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪.

（1）△ZBC是直角三角形嗎？為什么？

(2)小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米100元，試問鋪滿這

塊空地共需花費多少元？

【答案】(1)解：△4BC是直角三角形,

理由：連接4C，

22

在Rt△4CD中，乙1DC=90°,AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC=734-4=5（

米），

AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169,

AC2+BC2=AB2>

乙4cB=90%

???△48C是直角三角形;

(2)解：該空地面積S=S44CB-S/UDC=*x5x12-4x3X4=24(平方米)，

即鋪滿這塊空地共需花費=24X100=2400元.

【變式5-11(2022八上?大豐期中)如圖所示四邊形ABCD，已知4B=3，BC=4,CD=12,

AD=13,ZB=90%求:

(1)AC的長；

(2)該四邊形4BC。的面積.

【答案】（1）解：:△ABC中，AB=3,BC=4,ZB=90%

-AC=y/AB2+BC2=5；

(2)解：S4ABC=\ABBC=1X3X4=6)

?在△/CO中，CD=12，AD=13-AC=5-

.".CD2+AC2=122+52=132=AD2,

???△4CD是直角三角形，Z.ACD=90°>

,,SAACD=,CD=2,x5x12-30-

'S四邊形ABCD=+S^ACD=6+30=36.

【變式5-2](2021八上?嵩縣期末)2021年10月10日是辛亥革命110周年紀念日.為

進一步弘揚辛亥革命中體現(xiàn)的中華民族的偉大革命精神，社區(qū)開展了系列紀念活動.如

圖，有一塊四邊形空地，社區(qū)計劃將其布置成展區(qū)，陳列有關辛亥革命的歷史圖片.現(xiàn)

測得==26m，BC=16m，CO=12m，且BD=20m.

(1)試說明/.BCD=90c;

(2)求四邊形展區(qū)(陰影部分)的面積.

【答案】(1)解：VABCD中，BC=16m,CD=12m,BD=20m,

ABC2+CD2=162+122=400,BD2=202=400,

'-BC2+CD2=BD2)

/.△BCD是直角三角形，/.BCD=90;

(2)解：過點A作AE1BD于點E,

A

^LAEB=90c，

=AD,

i

/-BE=DE=專BD=10(m)，

在RtAABE中，AB=26m,

-AE=ylAB2-BE2=V262-102=24(m)，

;&ABD=-jBD-AE=^x20x24=240(/),

11

,:SABCD=5BC,CD=5X16X12=96(病),

:，S陰影面積=S最BD-S"CD=240-96=144(m2).

［域真題演練

\________________________

----------------------llllllllllltlllllllllllllllllllllllllllll------------------------

1.（南通）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）

A.5,11,12B.2,3,4C.4,6,7D.3,4,5

【解答】解：A、52+112#122,不能組成直角三角形，故此選項錯誤；

B、22+32^42,不能組成直角三角形，故此選項錯誤；

C、42+6V72,不能組成直角三角形，故此選項錯誤；

。、32+42=52,能組成直角三角形，故此選項正確.

故選：D.

2.（2020?河北）如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設計的“畢達哥拉斯”圖案.現(xiàn)

有五種正方形紙片，面積分別是1,2,3,4,5,選取其中三塊（可重復選?。┌慈鐖D的

方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積

分別是（）

A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4

【解答】解：當選取的三塊紙片的面積分別是1,4,5時，圍成的直角三角形的面積是

xV4_V4

2T;

當選取的三塊紙片的面積分別是2,3,5時，圍成的直角三角形的面積是亞2H苣;

22

當選取的三塊紙片的面積分別是3,4,5時，圍成的三角形不是直角三角形；

當選取的三塊紙片的面積分別是2,2,4時，圍成的直角三角形的面積是亞2Hz=返,

...所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2,3,5,

故選：B.

3.（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經》：“勾廣三，股修四，徑隅五”.觀

察下列勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù),

弦與股相差為1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10；

8,15,17；…，若此類勾股數(shù)的勾為（加23,%為正整數(shù)），則其弦是（結

果用含根的式子表示）.

【解答】解：???根為正整數(shù)，

???2根為偶數(shù)，設其股是小則弦為〃+2,

根據(jù)勾股定理得，（2m）（。+2）2,

解得a=m2-1,

???弦是〃+2=根2-1+2=W+1,

故答案為：m2+1.

4.（北京）如圖所示的網格是正方形網格，則NB43+NP84=°（點A,B,尸是網

格線交點）.

AB

【解答】解：延長AP交格點于。，連接

貝I」「。2=8。2=1+22=5,PB2=12+32=1O,

：.PDL+DB1=PB1,

：.ZPDB=90a,

AZDPB=ZR\B+ZPBA=45°,

故答案為：45.

D

AB

5.(貴陽)在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,設。為最長邊，當/+廿二/時，AABC

是直角三角形；當/+廬*02時，利用代數(shù)式/+/和02的大小關系，探究△ABC的形

狀(按角分類).

(1)當△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為三角形；當△ABC三邊分別為

6、8、11時，△ABC為三角形.

(2)猜想，當/+必°2時，△ABC為銳角三角形；當次+貶02時，△人方。為

鈍角三角形.

(3)判斷當a=2,b=4時，△ABC的形狀，并求出對應的c的取值范圍.

【解答】解：(1)兩直角邊分別為6、8時，斜邊=后手=10,

.?.△ABC三邊分別為6、8、9時，ZXABC為銳角三角形；

當AABC三邊分別為6、8、11時，AABC為鈍角三角形；

故答案為：銳角；鈍角；

(2)當/+/>02時，ZXABC為銳角三角形；

當/+必<02時，ZVIBC為鈍角三角形；

故答案為：>；<；

(3)為最長邊,2+4=6,

；.4Wc<6,

a2+b2=22+42=20,

①/+62>C2,即C2<20,0<c<2泥，

...當4Wc<2泥時，這個三角形是銳角三角形；

@a2+b2=c2,即c2—20,c=2V5?

.?.當c=2、用時，這個三角形是直角三角形；

2

③/+必<02,即C>20,C>2A/5)

...當2病<。<6時，這個三角形是鈍角三角形.

6.（河北）已知：整式A=（?2-1）2+⑵）2,整式B>0.

嘗試化簡整式A.

發(fā)現(xiàn)&=4，求整式8.

聯(lián)想由上可知，B2=（n2-1）2+（2w）2,當〃>1時，〃2-1,2”，8為直角三角形的

三邊長，如圖.填寫下表中8的值：

直角三角形三邊n2-12nB

勾股數(shù)組I/817

勾股數(shù)組II35/37

rf-1

【解答】解：嘗試：A=(“2-1)2+(2〃)2=n4-2n*1+l+4n2=n4+2n2+l,

222

發(fā)現(xiàn)?.?〃4+2必+1=(n+l),A=B,B>0,

當2〃=8時，力=4,.*.n2+l=42+l=17；

當〃2-1=35時,"2+1=37.

故答案為：17；37.

||國過關檢測］|

----------------------llllllllllllllllillllllllllllllllllllllll------------------------

1.（2023八下?咸寧期中）以下列各組線段為邊作三角形，能構成直角三角形的是（）

A.6,12,13B.6,8,9C.3,4,5D.5,12,

15

【答案】C

【解析】【解答】解：A、62+122=180中132,不能構成直角三角形，故本選項不符

合題意；

B、62+82=100+92-不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；

C、32+42=25=52,能構成直角三角形，故本選項符合題意；

D、52+122=169=152,不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；

故答案為：C.

2.（2023八下.洪山期中）下列條件中，能夠判斷△ABC為直角三角形的是（）

A.AB=6，BC=8.AC=10B.ABtBC：AC=1:2:3

C.Z.A=Z.B=ZCD.z_A,乙B：ZC=3：4：5

【答案】A

【解析】【解答】解：A.V4B2+BC2=IO2=AC2,

是直角三角形，故此選項符合題意；

B.VXfi：BC：AC=1：2：3，

設4B=a，則BC=2a,4c=3a，

貝以B+BC=a+2a=3a=AC>

不能構成三角形，故此選項不符合題意；

C.''LA=乙B=ZC>

**?Z.A=LB=zC=60°，

是等邊三角形，故此選項不符合題意；

D.：“：zB：zC=3:4：5，Z71+ZB+ZC=180S

-''Z.A=45°,ZB=60°,"=75。，

.二△4BC不是直角三角形，故此選項符合題意；

故答案為：A.

3.下面各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.9,16,25B.0.3,0.4,0.5

C.1,3,2D.7,24,25

【答案】D

【解答】解：A.：92+162^252,.?.不是勾股數(shù)，不符合題意；

B.V0.3,0.4,0.5不是整數(shù)，.?.不是勾股數(shù)，不符合題意；

C.???12+22^32,.?.不是勾股數(shù)，不符合題意；

￡>.：72+242=252,.?.是勾股數(shù)，符合題意.

故選：D.

4.我們把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三個稱為勾股數(shù).現(xiàn)請你用計算器驗證下列各組

的數(shù)是否勾股數(shù).你能發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律嗎？請完成下列空格.

3,4,5；

5,12,13；

7,24,25；

9,40,41；

11,,;...

【答案】60；61

【解析】【解答】勾股數(shù)的第一個數(shù)是奇數(shù)，第三個數(shù)比第二個數(shù)大1,且第二個數(shù)是

偶數(shù)，注意到

4=2xlx2；

12=2x2x3,

24=2x3x4；

40=2x4x5；

60=2x5x6,60+1=61.

故答案為(1).60；(2).61

5.(2020八上.柯橋期末)《九章算術》提供了許多整勾股數(shù)，如(3,4,5)，(5,12,13)，

(7,24,25)，(8,15,17)等等，并把一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”.后人在此基礎

上進一步研究，得到如下規(guī)律：若m是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個整

數(shù)，那么m與這兩個整數(shù)構成一組勾股數(shù)；若m是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再

平方，然后把這個平方數(shù)分別減1,力口1得到兩個整數(shù)，那么m與這兩個整數(shù)構成一

組勾股數(shù).由上述方法得到的勾股數(shù)稱為“由m生成的勾股數(shù)”.若“由9生成的勾股數(shù)”

的“弦數(shù)”記為A，”由20生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為B，則4+8=.

【答案】142

【解析】【解答】解：?.?92=81,81=40+41

???“由9生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”記為41,即A=41,

：(岑)2+1=101,

，由20生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為101,即B=101,

???4+8=41+101=142.

故答案為：142.

6.（2023八上?榆林期末）如圖，在中，。是上一點，若48=10,3。=6,40=8,

AC=17.

A

（2）求△40C的面積.

【答案】（1）證明：:AB=10，BO=6，AD=8

.'-BD2+AD2=62+82=100，AB2=102=100，

.".BD2+AD2=AB2,

.,?△ABD是直角三角形，

?"/WB=90°.

（2）解：'：/.ADB=90。，

:.乙ADC=180°-Z.ADB=90。，

'-'AC=17，AD=8<

-'-CD=VAC2-AD2=V172-82=15

二△ADC的面積為=^ADCD=1x8xl5=6C.

：.^ADC的面積為60.

7.（2023八下?洪山期中）如圖，在四邊形ABCQ中,

AB=AD=3,BC=V7,CD=