北師大版八年級數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：一次函數(shù)與實際問題（解析版）

第14講一次函數(shù)與實際問題

1.能通過函數(shù)圖像獲取信息，發(fā)展形象思維；

2.能利用函數(shù)圖像解決簡單的實際問題

3.初步體會方程與函數(shù)的關(guān)系，建立良好的知識聯(lián)系

4.通過函數(shù)圖像解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，同時培養(yǎng)學(xué)生良好的環(huán)保意識和

熱愛生活的意識。

［雷基礎(chǔ)知識^

---------------------IIIII1IIII1I1IIIII1IIII1IIIIIIIIIII1IIIII-----------------------

知識點1:分段函數(shù)

有的題目中，如下左圖，當(dāng)自變量X發(fā)生變化時，隨著X的取值范圍不同，y和X的函數(shù)

關(guān)系也不同，它們之間或者不再是一次函數(shù)，或者雖然還是一次函數(shù)，但函數(shù)的解析式發(fā)生了

變化。這種變化反映在函數(shù)圖像上時的主要特征，就是由一條直線變成幾條線段或射線，我們

把這類函數(shù)歸類為分段函數(shù)。

在有的題目中，如下右圖，含有兩個一次函數(shù)的圖像，我們需要對兩個函數(shù)的相關(guān)變量進(jìn)行對

比。

V

二、利用一次函數(shù)的知識解應(yīng)用題的一般步驟

（1）設(shè)定實際問題中的變量；

（2）建立一次函數(shù)表達(dá)式；

（3）確定自變量的取值范圍，保證函數(shù)具有實際意義；

（4）解答一次函數(shù)實際問題，如最大（?。┲担唬?）寫出答案。

考點一：根據(jù)實際問題列除一次函數(shù)表達(dá)式

1.（2022秋?東營區(qū)校級期末）汽車由北京駛往相距120千米的天津，它的平均速度

是30千米/時，則汽車距天津的路程S（千米）與行駛時間/（時）的函數(shù)關(guān)系及自變量的

取值范圍是（）

A.S=120-30f（0W/W4）B.S=30i（0WW4）

C.5=120-30?（r>0）D.S=30t（?=4）

【答案】A

【解答】解：汽車行駛路程為：30f,

...車距天津的路程S（千米）與行駛時間/（時）的函數(shù)關(guān)系及自變量的取值范圍是：5=120

-30/(0WW4).

故選：A.

【變式1-1]（2022春?平遙縣期中）百貨大樓進(jìn)了一批花布，出售時要在進(jìn)價（進(jìn)貨價格）的

基礎(chǔ)上加一定的利潤，其長度x與售價y如下表，下列用長度x表示售價y的關(guān)系式中，正

確的是（）

長度xlm1234

售價y/元8+0.316+0.624+0.932+1.2

A.y=8x+0.3B.y=(8+0.3)xC.y=8+0.3%D.y=8+0.3+x

【答案】B

【解答】解：依題意得：y=(8+0.3)%；

故選：B.

【變式1-2]（2023?濟(jì)南二模）學(xué)校食堂按如圖方式擺放餐桌和椅子.若用x表示餐桌的張數(shù),

y表示椅子的把數(shù)，請你寫出椅子數(shù)y（把）與餐桌數(shù)x（張）之間的函數(shù)關(guān)系式

【答案】y=2x+2

【解答】解：觀察圖形：x=l時，y=4,x=2時，y=6；x=3時，y=8；…

可見每增加一張桌子，便增加2個座位，

Ax張餐桌共有2x+2個座位.

??.可坐人數(shù)y=2x+2,

故函數(shù)關(guān)系式可以為y=2x+2.

故答案為：y=2x+2.

【變式1-3］（2022春??？谄谀┮阎桓鶑椈稍诓粧熘匚飼r長6cm,在一定的彈性限度內(nèi)，

每掛1依重物彈簧伸長0.3c/n.則該彈簧總長yCem）隨所掛物體質(zhì)量x（kg）變化的函數(shù)

關(guān)系式為.

［答案］y=0.3x+6

【解答】解：???每掛1依重物彈簧伸長0.3c〃z,

；?掛上xkg的物體后，彈簧伸長0.3xcm,

/?彈簧總長y=0.3x+6.

故答案為：y=0.3x+6.

考點二：利用一次函數(shù)解決方案問題

1Al例2.（2023?新市區(qū)一模）某鮮花銷售公司每月付給銷售人員的工資有兩種方案.

方案一：沒有底薪，只付銷售提成；

方案二：底薪加銷售提成.

如圖中的射線h,射線/2分別表示該鮮花銷售公司每月按方案一，方案二付給銷售人員的工

資V（單位：元）和券（單位：元）與其當(dāng)月鮮花銷售量x（單位：千克）（xNO）的函數(shù)

關(guān)系.

（1）分別求V、”與x的函數(shù)解析式；

（2）若該公司某銷售人員今年3月份的鮮花銷售量沒有超過70千克，但其3月份的工資

超過3000元.這個公司采用了哪種方案給這名銷售人員付3月份的工資？

【解答】解：（1）由圖可知，>1與X的函數(shù)解析式滿足正比例函數(shù)解析式.

設(shè)（左iWO）,將點（50,2500）代入yi=Lix（匕#0）,

得50%=2500,則匕=50,則yi=50x.

設(shè)丁2與X的函數(shù)解析式為丁2=加+。（攵220）,

將點（0,1500）、（50,2500）代入/=依+。，

[b=1500

'50k2+b=2500'

-pfko=20

于是H12,

,b=1500

貝！!y2=20x+1500.

（2）將x=70分另D代入"、”，得州=50X70=3500（元），*=20X70+1500=2900（元），

由題可知，其3月工資超過3000元，

V3500>3000,

???這個公司采用方案一給這名銷售人員付3月的工資.

【變式2-1]（2022秋?于洪區(qū)期末）某公司要印制宣傳材料，甲、乙兩個印刷廠可選擇，甲

印刷廠只收取印制費，乙印刷廠收費包括印制費和制版費.

（1）甲印刷廠每份宣傳材料的印制費是2.5元;

（2）求乙印刷廠收費y（元）關(guān)于印制數(shù)量x（份）的函數(shù)表達(dá)式，并說明一次項系數(shù)，常

數(shù)項的實際意義；

（3）若印制相同數(shù)量，乙印刷廠的收費總是低于甲廠，求印制數(shù)量的范圍.

”元

1900/

15001：/

100M__.

400加份

【解答】解：（1）由圖或得，甲印刷廠每份宣傳材料的印制費為：1000+400=2.5（元）.

故答案為:2.5；

（2）設(shè)乙印刷廠收費y（元）關(guān)于印制數(shù)量x（份）的函數(shù)表達(dá)式為丁=履+。，

由圖可得（0,1500）,（400,1900）在圖象上，代入，得［b=150°,

1400k+b=1900

解得：4=1,

lb=1500

.*.y=x+1500,

一次項系數(shù)1代表每份宣傳材料的印制費為1元，

常數(shù)項1500代表制版費為1500元；

（3）由（1）知甲印刷廠每份宣傳材料的印制費是2.5元，

???甲印刷廠收費y（元）關(guān)于印制數(shù)量x（份）的函數(shù)表達(dá)式為y=2.5x,

聯(lián)立兩函數(shù)解析式得（y=x+i5°°

ly=2.5x

解得卜=1000,

ly=2500

.?.兩函數(shù)圖象交點坐標(biāo)為（1000,2500）,

由圖象可得當(dāng)印制數(shù)量大于1000時，乙印刷廠的收費總是低于甲廠.

【變式2-2］（2023?禹州市一模）為弘揚愛國精神，傳承民族文化，某校組織了“詩詞里的中

國”主題比賽，計劃去某超市購買A,5兩種獎品共300個，A種獎品每個20元，8種獎

品每個15元，該超市對同時購買這兩種獎品的顧客有兩種銷售方案（只能選擇其中一種）.

方案一：A種獎品每個打九折，3種獎品每個打六折.

方案二：A,5兩種獎品均打八折.

設(shè)購買A種獎品x個，選擇方案一的購買費用為v元，選擇方案二的購買費用為券元.

（1）請分別寫出"，”與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）請你計算該校選擇哪種方案支付的費用較少.

【解答】解：(1)由題意得:yi=20X0.9x+15X0.6X(300-x)=9x+2700；

y2=20X0.8x+15X0.8X(300-x)=4x+3600,

Ayi與x之間的函數(shù)關(guān)系式為yi=9x+2700,中與x之間的函數(shù)關(guān)系式為”=4x+3600；

(2)當(dāng)時，9x+2700>4x+3600,

解得尤>180,

???購買A種獎品超過180個時，方案二支付費用少；

當(dāng)yi="時，9x+2700=4x+3600,

解得x=180,

???購買A種獎品180個時，方案一和方案二支付費用一樣多；

當(dāng)”<丁2時，9x+2700<4x+3600,

解得x<180,

購買A種獎品少于180個時，方案一支付費用少.

考點三：利用一次函數(shù)解決銷售利潤問題

例3.(2022?昭陽區(qū)一模)某市霧霾天氣趨于嚴(yán)重，甲商場根據(jù)民眾健康需要，代理銷售

每臺進(jìn)價分別為600元、560元的A、3兩種型號的空氣凈化器，如表是近兩周的銷售情況:

(進(jìn)價、售價均保持不變，利潤=銷售收入-進(jìn)貨成本)

銷售時銷售數(shù)量銷售收

段A種型號(臺)3種型號(臺)入(元)

第一周323960

第二周547120

(1)求A,3兩種型號的空氣凈化器的銷售單價；

(2)該商店計劃一次購進(jìn)兩種型號的空氣凈化器共30臺，其中5型凈化器的進(jìn)貨量不超

過A型的2倍.設(shè)購進(jìn)A型空氣凈化器為x臺，這30臺空氣凈化器的銷售總利潤為y元.

①請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②該商店購進(jìn)A型、3型凈化器各多少臺，才能使銷售總利潤最大？

【解答】解：(1)設(shè)A型號空氣凈化器銷售單價為x元，3型號空氣凈化器銷售單價y元,

則13x+2y=3960

'l5x+4y=7120?

解得：卜畛叫

ly=780

答：A型號空氣凈化器單價為800元，3型號空氣凈化器單價780元；

(2)①設(shè)A型空氣凈化器采購x臺，采購3種型號空氣凈化器(30-x)臺.

貝!J尸(800-600)x+(780-560)(30-x)=-20x+6600,

.?.y與x的關(guān)系式為y=-20x+6600；

②,：B型凈化器的進(jìn)貨量不超過A型的2倍，

.'.30-

解得光210,

,.3=-20x+6600中，-20<0,

...當(dāng)x=10時，y最大為6400.

此時30-x=20.

答：商店購進(jìn)A型凈化器10臺，3型凈化器20臺時，才能使銷售總利潤最大.

【變式3-1](2022秋?武義縣期末)非常時期，出門切記戴口罩.當(dāng)下口罩市場出現(xiàn)熱銷，

某超市老板用1200元購進(jìn)甲、乙兩種型號的口罩在超市俏售，銷售完后共獲利400元.進(jìn)

價和售價如表：

型號甲型口罩乙型口罩

價格

進(jìn)價(元/袋)23

售價(元/袋)33.5

(1)該超市胸購進(jìn)甲、乙兩種型號口罩各多少袋？

(2)該超市第二次又以原來的進(jìn)價購進(jìn)甲、乙兩種型號口罩共500袋，此次用于購進(jìn)口罩

的資金不少于1220元，但不超過1360元.若兩種型號的口罩都按原來的售價全部售完.設(shè)

此次購進(jìn)甲種口罩x袋，超市獲利y元，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍

和超市的最大利潤.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，設(shè)甲型號口罩有。袋，乙型號口罩有匕袋，用1200元購進(jìn),

獲利400元，

/f2a+3b=1200,

'I(3-2)a+(3.5-3)b=400，

解方程組得，卜=300,

lb=200

...甲型號口罩有3oo袋，乙型號口罩有200袋.

(2)解：以原來的進(jìn)價購進(jìn)甲、乙兩種型號口罩共500袋，甲種口罩x袋，

，乙型口罩為(500-x)袋，

?.?用于購進(jìn)口罩的資金不少于1220元，但不超過1360元，

...1220W2X+3(500-x)W1360,解不等式得，140WxW280,

獲利y元，

(3-2)x+(3.5-3)(500-x),整理得，y=0.5x+250,

:一次函數(shù)y=0.5x+250中，k=0.5>0,

???函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，且自變量的取值范圍為140WxW280,

...當(dāng)x=280時，利潤最大，最大值為y=0.5X280+250=390(元)，

???丁關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=0.5x+250,且自變量的取值范圍為140WxW280,當(dāng)x=280

時，有最大利潤，最大利潤為390元.

【變式3-2](2023?市北區(qū)校級開學(xué))元旦期間，某經(jīng)銷葡萄的水果店，有兩種銷售方式：既

可以批發(fā)，也兼顧零售.店家規(guī)定當(dāng)顧客一次性購買葡萄超過5箱，就可以享受批發(fā)價.市

場調(diào)查顯示，這兩種銷售方式中，每箱葡萄所獲利潤的情況如表所示：

銷售方式每箱所獲利潤(元)

批發(fā)30

零售60

(1)已知該水果店元旦假期期間，兩種銷售方式共賣出100箱葡萄，總獲利是3600元求

元旦假期期間，該水果店這兩種方式分別銷售了多少箱葡萄；

(2)現(xiàn)該水果店計劃銷售1000箱葡萄，并規(guī)定零售葡萄的數(shù)量不超過200箱，若設(shè)批發(fā)

了。箱葡萄，銷售1000箱葡萄的總利潤為攻元，則根據(jù)題意，可得攻與。的函數(shù)關(guān)系式為

吐=-30a+60000；a的取值范圍是800WaW1000；

(3)忽略其他影響因素.請分析分別零售和批發(fā)多少箱葡萄時，才能使售完這1000箱葡

萄的總利潤最大？求最大總利潤是多少元.

【解答】解：(1)設(shè)該水果店批發(fā)葡萄x箱，則零售葡萄(100-x)箱，

由題意，得30x+60(100-%)=3600,

解得x=80,

答：該水果店批發(fā)葡萄80箱，零售葡萄20箱；

(2)由題意，得w=30a+60(1000-a)=-30a+60000,

.?.w與a的函數(shù)關(guān)系式為w=-300+60000；

???零售葡萄的數(shù)量不超過200箱,

1000-aW200,

解得a2800,

的取值范圍是800WaW1000,

故答案為：w=-300+60000；800WaW1000；

(3),在w=-30a+60000中-30<0,

???w隨尤的增大而減小，

,.?800WaW1000,

...當(dāng)a=800時，w最大，最大值為36000,

止匕時，1000-800=200,

答：當(dāng)零售200箱，批發(fā)800箱葡萄時，才能使售完這1000箱葡萄的總利潤最大，最大總

利潤是36000兀.

、1例4.（2023春?寶豐縣月考）“雙減”政策頒布后，各校重視了延遲服務(wù)，并在延遲服

務(wù)中加大了體育活動的力度.某體育用品商店抓住商機(jī)，計劃購進(jìn)300套乒乓球拍和羽毛

球拍進(jìn)行銷售，其中購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過150套，它們的進(jìn)價和售價如下表：

進(jìn)價售價

乒乓球拍（元/套）a50

羽毛球拍（元/套）b60

已知購進(jìn)2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費110元,購進(jìn)4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需

花費260元.

（1）求出a,b的值；

（2）該面店根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，決定購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半，設(shè)購

進(jìn)乒乓球拍x（套），售完這批體育用品獲利y（元）.

①求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

②該商店實際采購時，恰逢“雙十一”購物節(jié)，乒乓球拍的進(jìn)價每套降低了a元（0<aZ

10）,羽毛球拍的進(jìn)價不變，已知商店的售價不變，這批體育用品能夠全部售完，則如何

購貨才能獲利最大？

【解答】解：（1）根據(jù)題意：（2a+b=110,

14a+3b=260

解得卜=35,

lb=40

答：。的值為35元，。的值為40元；

(2)①由題意得：

產(chǎn)(50-35)x+(60-40)(300-x)=-5%+6000,

???購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過150套，

...尤W150,

???購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半，

(300-x),

2

解得：x2100,

則尤的取值范圍為：1004W150,

與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-5x+6000,x的取值范圍為：100WxW150；

②由題意得：y=(50-35+a)x+(60-40)(300-x)=(a-5)x+6000,

V0<a<10,

...當(dāng)a<5即a-5VO時，y隨尤的增大而減小，

當(dāng)尤=100時，y有最大值，

???乒乓球拍購進(jìn)10。套，羽毛球拍購進(jìn)200套能獲利最大；

當(dāng)。三5時，即。-5N0時，y隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=150時，y有最大值，

乒乓球拍購進(jìn)150套，羽毛球拍購進(jìn)150套能獲利最大.

【變式4](2021秋?南岸區(qū)期末)為了切實保護(hù)長江生態(tài)環(huán)境，長江實施全面禁漁.禁漁后,

某水庫自然生態(tài)養(yǎng)殖的魚在市場上熱銷，經(jīng)銷商老李每天從該水庫購進(jìn)草魚和鯉魚進(jìn)行銷

售，兩種魚的進(jìn)價和售價如表所示：

I進(jìn)價售價(元/斤)

(元/

斤)__________________________________________________________________

鯉魚a6

草魚b銷量不超過200斤的部分銷量超過200斤的部分

98.5

已知老李購進(jìn)10斤鯉魚和20斤草魚需要160元，購進(jìn)20斤鯉魚和10斤草魚需要140元.

(1)求a,b的值；

(2)老李每天購進(jìn)兩種魚共300斤，并在當(dāng)天都銷售完，其中銷售鯉魚不少于80斤且不

超過120斤，設(shè)每天銷售鯉魚x斤(銷售過程中損耗不計).

①求出每天銷售獲利y(元)與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

②元旦節(jié)這天，老李讓利銷售，將鯉魚售價每斤降低加元(機(jī)>0),草魚售價全部定為8.5

元/斤，為保證元旦節(jié)這一天銷售這兩種魚獲得最小利潤，且最小利潤為630元，求機(jī)的值.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得：

(10a+20b=160j

l20a+10b=140,

解得卜=4

1b=6

(2)①由題意得，銷售鯉魚獲利”=(6-4)x=2x(80WxW120),

(I)當(dāng)300-xW200時，100WxW120,銷售草魚獲利"=(9-6)X(300-x)=-3x+900；

.?.當(dāng)100WxW120時，每天銷售獲利y=yi+y2=2x+(-3x+900)=-x+900,

(II)當(dāng)300-x>200時，80Wx<100,銷售草魚獲利”=(9-6)X200+(8.5-6)X(300

~x~200)=-2,5x+850；

當(dāng)80WxV100時，每天銷售獲利y=yi+yi=2x+(-2.5x+850)=-0.5x+850,

f-x+900(100<x<120)

綜上所述,

1-0.5x+850(80<x<100)

②設(shè)銷售獲利W元，由題意得：W=(6-m-4)x+(8.5-6)X(300-x)=(0.5-m)

x+750,其中80WxW120,

當(dāng)-0.5-m^O時，W=(-0.5-m)x+750^750,不合題意,

-0.5-m<0>

隨x的增大而減小，

.?.當(dāng)x=120時，W的值最小，

由題意得：(-0.5-m)X120+750=630,

解得m=0.5,

：.m的值為0.5.

考點四：利用一次函數(shù)解決行程問題

直)列5.(2023春?南關(guān)區(qū)校級月考)甲車從A地出發(fā)勻速駛往5地，半個小時后，乙車沿

同一路線由A地勻速駛往3地，兩車距A地的路程y(km)與乙車出發(fā)時間x(人)之間的

函數(shù)關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)乙車速度是100km/h,a=40

(2)求甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式;

(3)直接寫出在乙車行駛過程中，甲、乙兩車相距15切7時x的值.

?(h)

【解答】解：(1)由圖象知，乙的速度為：型■not)(km/h)；

4.8

甲的速度為：480=80(km/h),

5.5+0.5

則4=80X0.5=40(km),

故答案為：100,40；

(2)設(shè)甲車距4地的路程y與尤之間的函數(shù)解析式為丁=履+。(30),

將(0,40)、(5.5,480)代入，得［b=4°,

15.5k+b=480

解得(k=8°,

lb=40

甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式為尸80x+40；

(3)設(shè)乙車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式為(機(jī)關(guān)0),

將(4.8,480)代入，得480=4.8,

解得機(jī)=100,

則乙車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式為y=100x,

令|80x+40-100x|=15,

解得XI=5,X2=—；

44

.?.當(dāng)x=$或旦時，甲、乙兩車相距15碗.

44

【變式5-1］（2023?新市區(qū)校級一模）甲、乙兩車分別從A,3兩地去同一城市C,他們離A

地的路程y（km）隨時間x（A）變化的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）A,3兩地的路程為360千米;

（2）求乙車離A地的路程y（km）關(guān)于時間x（人）的函數(shù)表達(dá)式；

（3）當(dāng)兩車相距20千米時，求乙車行駛的時間.

【解答】解：（1）43兩地的路程為360千米,

故答案為：360；

（2）設(shè)乙離A地的路程y（千米）關(guān)于時間無（時）的函數(shù)表達(dá)式是,=奴+。，

則14a+b=360

、lb=40

解得卜=8。,

lb=40

???乙離A地的路程y（千米）關(guān)于時間x（時）的函數(shù)表達(dá)式是y=80x+40；

（3）設(shè)甲離A地的路程y（千米）關(guān)于時間x（時）的函數(shù)表達(dá)式是,=依，

把（3,360）代入得：3左=360,

解得左=120,

???甲離4地的路程y（千米）關(guān)于時間x（時）的函數(shù)表達(dá)式是y=120x,

當(dāng)兩車相距20千米時，|80x+40-120x|=20,

解得x=工或S,

22

當(dāng)甲到達(dá)C地時，80x+40=340,

解得無=至，

4

綜上所述，當(dāng)兩車相距20千米時，乙車行駛的時間為工/?或3/?或兀瓦

224

【變式5-2］（2023?新華區(qū)模擬）小明早晨從家里出發(fā)勻速步行去上學(xué)，小明的媽媽在小明出

發(fā)后10mm,發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)課本沒帶，于是她帶上課本立即勻速騎車按小明上學(xué)的路線追

趕小明，結(jié)果與小明同時到達(dá)學(xué)校，交接課本后立即按原路返回.已知小明距離家的路程s

(km)與離開家的時間f(min)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示.

(1)求s(km)與t(min)之間的函數(shù)關(guān)系;

(2)請在圖中畫出小明的媽媽距離家的路程s(km)與小明離開家的時間/(加沅)之間函

數(shù)關(guān)系的圖象；(備注：請對畫出的圖象用數(shù)據(jù)作適當(dāng)?shù)臉?biāo)注)

(3)直接寫出小明的媽媽在追趕小明及返回家的過程中，距學(xué)校0.5而7時/的值.

【解答】解：(1)一(加)與t(min)之間的函數(shù)關(guān)系的圖像是線段。4,且。(0,0),

.,.設(shè)s=k,

又：公(20,2),

則有：2=20人,

解得：kJ，

10

??(04t(20)?

(2)解：如圖1中折線段A4-AC.

(3)解：由(2)可知，家與學(xué)校的距離為2加，小明媽媽來回學(xué)校的時間為20加〃，

???小明媽媽的速度為絲2=0.2版/加〃，

20

???小明的媽媽在追趕小明，距學(xué)校0.5左加時：弋工修+10=17.5而萬

小明的媽媽在返回家，距學(xué)校0.5左加時；｛工修+10=22.5min-

【變式5-3](2022秋?高郵市期末)甲、乙兩地相距150千米，一列快車和一列慢車分別從

甲、乙兩地同時出發(fā)，沿平行的軌道勻速相向而行，快車到達(dá)乙地停留一段時間后，按原

路原速返回到甲地時停止;慢車到達(dá)甲地時停止.慢車到達(dá)甲地比快車到達(dá)甲地早0.5小時,

快車速度是慢車速度的2倍.兩車距各自出發(fā)地的路程y千米與所用時間x小時的函數(shù)圖

象如圖，請結(jié)合圖象信息解答下列問題：

（1）快車的速度為100千米/小時，慢車的速度為50千米/小時；

（2）求快車返回過程中y與無的函數(shù)關(guān)系式；

（3）兩車出發(fā)后經(jīng)過多長時間相距60千米的路程?

【解答】解：（1）???快車到達(dá)乙地停留一段時間后，按原路原速返回到甲地時停止，慢車

到達(dá)甲地時停止，

???圖中為慢車距乙地的路程y千米與所用時間x小時的函數(shù)圖象,折線OBCD為快車距

甲地的路程y千米與所用時間x小時的函數(shù)圖象，

?.?慢車到達(dá)甲地比快車到達(dá)甲地早o.5小時，

???慢車從甲地到乙地所用時間為：3.5-0.5=3（小時），

???慢車的速度為：圖=50（千米/小時），

3

???快車速度是慢車速度的2倍，

快車速度為50X2=100（千米/小時）；

故答案為：100千米/小時；50千米/小時.

（2）快車從乙地到甲地所用時間為：典=i5（小時），

100

???點C的橫坐標(biāo)為3.5-1.5=2,

則C（2,150）,

設(shè)CD的函數(shù)解析式為了=履+。（左W0）,

把C(2,150),D(3.5,0)代入得:2k+b=150,

3.5k+b=0

解得:k=-100

b=350

：.CD的函數(shù)解析式為丁=-lOOx+350,

即快車返回過程中y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-lOOx+350.

（3）快車從甲地到乙地時，設(shè)經(jīng)過加小時兩車相距60千米，

兩車相遇前，100m+50冽=150-60,

解得：登；

兩車相遇后，100加+50加=150+60,

解得：m.；

5

快車從乙地出發(fā)時，慢車與乙地的距離為：50X2=100(千米)，

快車從乙地到甲地時，設(shè)經(jīng)過〃小時，兩車相距60千米，根據(jù)題意得：100+50〃-100〃=

60,

解得：n］，24號(小時)；

綜上分析可知，兩車出發(fā)后經(jīng)過3小時或工小時或11小時，兩車相距60千米的路程.

555

考點五：利用一次函數(shù)解決運輸問題

例6(2022春?江岸區(qū)校級月考)A城有肥料20033城有肥料300/,現(xiàn)要把這些肥料全

部運往C、。兩鄉(xiāng)，從A城往C、。兩鄉(xiāng)運肥料的費元用分別為20元〃和25元〃；從B城

往C、D兩鄉(xiāng)運肥料分別為15元〃和24元〃.現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料2403D鄉(xiāng)需要肥料260/,

設(shè)A城運往C鄉(xiāng)的肥料為x噸，運往C鄉(xiāng)肥料的總運費為券，運往D鄉(xiāng)肥料的總運費為

C鄉(xiāng)需要月照240噸A城有月陰200噸

工運輸/

。鄉(xiāng)需要月EW60噸?--3城有肥料300噸

匕----

(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及”關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并指出自變量的取值范圍；

(2)怎么樣調(diào)度使得該過程的總運費最少并求出最少的運輸費以及最少的運輸方案；

(3)由于從3城到。鄉(xiāng)開辟了一條新的公路，使3城到。鄉(xiāng)的運輸費每噸減少了a(2Wa

W8)元，如何調(diào)度才能使總運費最少？最少運輸費是多少？(用含a的式子表達(dá))

【解答】解：(1)據(jù)題意得：yi=20x+15(240-x)=5x+3600,

”=25(200-x)+24(x+60)=-x+6440.

(2)設(shè)總運費為y元，

根據(jù)題意可得，y與x之間的函數(shù)關(guān)系為：

y=5x+3600+(-x+6440)=4x+10040,

,.次=4>0,

???丁隨x的增大而增大，

當(dāng)x=0時，y最小=10040,

.??從A城運往C鄉(xiāng)。噸，運往。鄉(xiāng)200噸；從3城運往C鄉(xiāng)240噸，運往。鄉(xiāng)60噸，此

時總運費最少，總運費最小值是10040元.

(3)根據(jù)題意可知，改善后的總運費為y=20x+15(240-x)+25(200-x)+(24-a)(x+60)

=(4-a)x+10040-60a,

'x)0

...200-x》0

''240-x>0，

x+60》

.?.0?200.

①當(dāng)4-。>0,即2WaV4時，y隨x的增大而增大，

當(dāng)x=0時，y最小=10040-60。，

②當(dāng)4-a<0,即4<aW8時，y隨x的增大而減小，

當(dāng)x=200時，y最小=10840-260a,

③當(dāng)4-a=0時，即a=4時，無論x去何值，y的值為10040-60a.

綜上，2WaW4時，從A城運往C鄉(xiāng)。噸，運往。鄉(xiāng)200噸；從3城運往C鄉(xiāng)240噸，運

往。鄉(xiāng)60噸，此時總運費最少，y最小=10040-60a；當(dāng)4VaW8時，從A城運往C鄉(xiāng)200

噸，運往。鄉(xiāng)0噸；從5城運往C鄉(xiāng)40噸，運往D鄉(xiāng)260噸，此時總運費最少，y最小=10840

-260。.

【變式6-11(2022春?黔東南州期末)A城有肥料200噸，I城有肥料300噸,現(xiàn)全部運往C,

。兩鄉(xiāng)，從A城往C,。兩鄉(xiāng)運送肥料的費用分別是每噸20元和25元，從3城運往C,D

兩鄉(xiāng)的運輸費用分別是15元和24元，C鄉(xiāng)需240噸，。鄉(xiāng)需260噸，設(shè)A城運往C鄉(xiāng)的

肥料量為x噸，總運費為y元.

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)求出總運費最低的調(diào)運方案，最低運費是多少？

【解答】解：(1)設(shè)總運費為y元，A城運往C鄉(xiāng)的肥料量為x噸，則運往。鄉(xiāng)的肥料量

為(200-%)噸；

3城運往C、。鄉(xiāng)的肥料量分別為(240-x)噸和[260-(200-%)]=(60+%)噸，

根據(jù)題意得：y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)=4x+10040,

自變量x的取值范圍為0WxW200,

與X的函數(shù)關(guān)系式為y=4x+10040（0WxW200）；

（2）由（1）知，y=4x+10040,

?.,左=4>0,

.'.y隨x的增大而增大，

當(dāng)尤=0時，y最小=10040,

.?.從A城運往C鄉(xiāng)。噸，運往。鄉(xiāng)200噸；從3城運往。鄉(xiāng)240噸，運往。鄉(xiāng)60噸，此

時總運費最少，總運費最小值是10040元.

【變式6-2］（2022春?武漢期末）2020年春，新冠肺炎疫情暴發(fā)后，全國人民眾志成城抗擊

疫情.某省A,3兩市成為疫情重災(zāi)區(qū)，抗疫物資一度嚴(yán)重緊缺，對口支援的C,。市獲知

A,3兩市分別急需抗疫物資200噸和300噸的消息后，決定調(diào)運物資支援災(zāi)區(qū).已知。市

有救災(zāi)物資240噸，D市有救災(zāi)物資260噸，現(xiàn)將這些抗疫物資全部調(diào)往A,3兩市.已知

從C市運往A,3兩市的費用分別為每噸20元和25元，從。市運往往A,3兩市的費用別

為每噸15元和30元，設(shè)從。市運往3市的救災(zāi)物資為x噸，并繪制出表：

A（噸）B（噸）合計（噸）

cab240

DcX260

總計（噸）200300500

（1）a=x-60,b=300-x,c=260-x（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）設(shè)C,。兩市的總運費為w元，求攻與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值

范圍.

（3）由于途經(jīng)地區(qū)的全力支持，。市到3市的運輸路線得以改善和優(yōu)化，縮短了運輸時間，

運費每噸減少加元（m>0）,其余路線運費不變，若C,。兩市的總運費的最小值不小于

10320元，求機(jī)的取值范圍.

【解答】解：（1）?。市運往8市無噸，

...￡）市運往A市（260-x）噸，C市運往3市（300-x）噸，C市運往A市200-（260-%）

=（元-60）噸，

故答案為：x-60,300-x,260-x；

（2）由題意得：

w=20（x-60）+25（300-x）+15（260-x）+30x=10x+10200,

*.*x>0>x-6020,300-x20,260-x?0,

.?.60WxW260,

與龍之間的函數(shù)關(guān)系式為w=10x+10200,自變量尤的取值范圍為60W無W260；

(3)由題意可得，

w=10x+10200-mx=(10-m)x+10200,

當(dāng)10-機(jī)>0時，即0<相<10,

x=60時，w最小,此時w=(10-m)X60+10200》10320,

解得0VmW8,

當(dāng)10-m<0時，即m>10,

x=260時，w取得最小值，此時w=(10-m)X260+10200》10320,

解得mW-124,

13

V121<1O,

13

.'.m>10不符合題意，

：.m的取值范圍是0V/nW8.

||修真題演練'

----------------------llllllllllltlllllllllllllllllllllllllllll------------------------

1.（2023?郴州）第11屆中國（湖南）礦物寶石國際博覽會在我市舉行，小方一家上午9：00開車前往會

展中心參觀.途中汽車發(fā)生故障，原地修車花了一段時間.車修好后，他們繼續(xù)開車趕往會展中心.以

下是他們家出發(fā)后離家的距離s與時間的函數(shù)圖象.分析圖中信息，下列說法正確的是（）

A.途中修車花了30機(jī)譏

B.修車之前的平均速度是50CWE”

C.車修好后的平均速度是80加/加〃

D.車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的L5倍

【答案】。

【解答】解：由圖象可知，途中修車時間是9：10到9：30共花了20〃砌，

故A不符合題意；

修車之前的平均速度是6000+10=600Cm/min),

故8不符合題意；

車修好后的平均速度是(13200-6000)+8=900(mimin'),

故C不符合題意；

900+600=1.5,

車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的1.5倍，

故。符合題意，

故選：D.

2.(2023?山西)一種彈簧秤最大能稱不超過10依的物體，不掛物體時彈簧的長為12CM,每掛重1版物體,

彈簧伸長0.5c機(jī)，在彈性限度內(nèi)，掛重后彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系

式為()

////〃4///〃〃/〃

0，0

-

1…1

二1

2二2

33

4…4

-

1

5:5

『

A.y=12-0.5xB.y=12+0.5xC.y=10+0.5xD.y=0.5x

【答案】B

【解答】解：根據(jù)題意，得y=12+0.5x(OWWIO),

故選：B.

3.(2023?隨州)甲、乙兩車沿同一路線從A城出發(fā)前往B城，在整個行程中，汽車離開A城的距離y與

時刻r的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，關(guān)于下列結(jié)論：①A,8兩城相距300A,z；②甲車的平均速度是60hM〃，乙

車的平均速度是100而7勿；③乙車先出發(fā)，先到達(dá)8城；④甲車在9：30追上乙車.正確的有()

【答案】。

【解答】解：由圖象可知，A,2兩城相距300加7,乙車先出發(fā)，甲車先到達(dá)8城，

故①符合題意，③不符合題意；

甲車的平均速度是300+3=100（千米/小時）,

乙車的平均速度是300+5=60（千米/小時），

故②不符合題意；

設(shè)甲車出發(fā)后尤小時，追上乙車，

100%=60（x+1）,

解得x=1.5,

...甲車出發(fā)1.5小時追上乙車，

?.?甲車8：00出發(fā)，

甲車在9：30追上乙車，

故④符合題意，

綜上所述，正確的有①④，

故選：D.

4.（2023?齊齊哈爾）一輛巡邏車從A地出發(fā)沿一條筆直的公路勻速駛向8地，2小時后，一輛貨車從A

5

地出發(fā)，沿同一路線每小時行駛80千米勻速駛向B地，貨車到達(dá)B地填裝貨物耗時15分鐘，然后立即

按原路勻速返回A地.巡邏車、貨車離A地的距離y（千米）與貨車出發(fā)時間無（小時）之間的函數(shù)關(guān)系

如圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：

U）A,B兩地之間的距離是60千米,a=1；

（2）求線段EG所在直線的函數(shù)解析式；

（3）貨車出發(fā)多少小時兩車相距15千米？（直接寫出答案即可）

【答案】(1)60,1；

(2)線段FG所在直線的函數(shù)解析式為y=-60x+120(1WXW2)；

(3)貨車出發(fā)巨小時或」旦小時或至小時，兩車相距15千米.

111717

【解答】解：(1)V80x2=60(千米)，

4

.1.A,2兩地之間的距離是60千米；

???貨車到達(dá)B地填裝貨物耗時15分鐘，

“—3+15—[

460

故答案為：60,1；

(2)設(shè)線段BG所在直線的解析式為(%W0),將p(1,60),G(2,0)代入得:

[k+b=60,

l2k+b=0，

解得尸60,

lb=120

線段PG所在直線的函數(shù)解析式為y=-60x+120(1WXW2)；

(3)巡邏車速度為60+(2+2)=25(千米/小時)，

5

線段CO的解析式為y=25x+25xZ=25x+10(0WxW2),

5

當(dāng)貨車第一次追上巡邏車后，80x-(25x+10)=15,

解得x=§；

11

當(dāng)貨車返回與巡邏車未相遇時，(-60X+120)-(25x+10)=15,

解得

17

當(dāng)貨車返回與巡邏車相遇后，(25.X+10)-(-60x+120)=15,

解得尤=空；

17

綜上所述，貨車出發(fā)§小時或」旦小時或生小時，兩車相距15千米.

111717

5.(2023?宜昌)某食用油的沸點溫度遠(yuǎn)高于水的沸點溫度.小聰想用刻度不超過100℃的溫度計測算出這

種食用油沸點的溫度.在老師的指導(dǎo)下，他在鍋中倒入一些這種食用油均勻加熱，并每隔10s測量一次

鍋中油溫，得到的數(shù)據(jù)記錄如下:

時間t/s010203040

油溫y/℃1030507090

(1)小聰在直角坐標(biāo)系中描出了表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點.經(jīng)老師介紹，在這種食用油達(dá)到沸點前，鍋中油溫

y(單位：。C)與加熱的時間t(單位：s)符合初中學(xué)習(xí)過的某種函數(shù)關(guān)系，填空:

可能是一次函數(shù)關(guān)系(請選填“正比例"“一次"''二次”“反比例”)；

(2)根據(jù)以上判斷，求y關(guān)于f的函數(shù)解析式；

(3)當(dāng)加熱110s時，油沸騰了，請推算沸點的溫度.

Jky/V.

90-1——L1

?????

80

70

60

50

40

30

20

lO^-n-T-n-T-n

0102030405060/

【答案】(1)一次;

(2)y=2什10；

(3)經(jīng)過推算，該油的沸點溫度是230c.

【解答】解：(1)根據(jù)表格中兩個變量對應(yīng)值變化的規(guī)律可知，時間每增加10s,油的溫度就升高20

℃,

故鍋中油溫y與加熱的時間才可能是一次函數(shù)關(guān)系；

故答案為：一次；

(2)設(shè)鍋中油溫y與加熱的時間方的函數(shù)關(guān)系式為y=笈+b(ZWO),

將點(0,10),(10,30)代入得，(b=1°，

I10k+b=30

解得：1=2,

lb=10

；.y=2f+10；

（3）當(dāng)r=110時，y=2X110=230,

經(jīng)過推算，該油的沸點溫度是230℃.

6.（2023?廣西）【綜合與實踐】：有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”，某興趣小

組將利用物理學(xué)中杠桿原理制作簡易桿秤，小組先設(shè)計方案，然后動手制作，再結(jié)合實際進(jìn)行調(diào)試，請

完成下列方案設(shè)計中的任務(wù)，

【知識背景】：如圖，稱重物時，移動秤坨可使桿秤平衡，根據(jù)杠桿原理推導(dǎo)得：（〃20+%）?/=AP（a+y），

其中秤盤質(zhì)量制）克，重物質(zhì)量相克，秤蛇質(zhì)量M克，秤紐與秤盤的水平距離為1厘米，秤組與零刻線

的水平距離為A厘米，秤曲與零刻線的水平距離為y厘米.

【方案設(shè)計】：目標(biāo)：設(shè)計簡易桿秤.設(shè)定mo^lO,M=50,最大可稱重物質(zhì)量為1000克，零刻線與

末刻線的距離定為50厘米.

任務(wù)一：確定/和a的值.

（1）當(dāng)秤盤不放重物，秤坨在零刻線時，桿秤平衡，請列出關(guān)于/,a的方程；

（2）當(dāng)秤盤放入質(zhì)量為1000克的重物，秤坨從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列出關(guān)于/,。的方

程；

（3）根據(jù)（1）和（2）所列方程，求出/和。的值；

任務(wù)二：確定刻線的位置.

（4）根據(jù)任務(wù)一，求y關(guān)于他的函數(shù)解析式；

（5）從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應(yīng)刻線，請寫出相鄰刻線間的距離.

秤紐桿秤示意圖

【答案】（1）l=5a；

(2)101Z-5a=250；

⑶卜=0.5；

11=2.5

(5)相鄰刻線間的距離為5厘米.

【解答】解：(1)由題意得：m=0,y=0,

Vmo=lO,M=50,

，10/=50〃，

??/=5〃；

(2)由題意得：加=1000,y=50,

???(10+1000)1=50(〃+50)，

???101/-5a=250；

(3)由(1)(2)可得：/1=5a,

11011-5a=250

解得：卜=0.5；

11=2.5

(4)由(3)可知：1=25,。=0.5,

.\2.5(10+7??)=50(0.5+y),

?1

(5)由(4)可知：y'n，

y20

...當(dāng)"2=0時，則有y=0；當(dāng)機(jī)=100時，則有y=5；當(dāng)m=200時，則有y=10；當(dāng)根=300時，則有

y=15；當(dāng)m=400時，則有y=20；當(dāng)機(jī)=500時，則有y=25；當(dāng)爪=600時，則有y=30；當(dāng)〃z=70

時，則有y=35；當(dāng)機(jī)=800時，則有＞=40；當(dāng)m=90時，則有y=45；當(dāng)初=1000時，則有y=50；

相鄰刻線間的距離為5厘米.

7.(2023?上海)“中國石化”推出促銷活動，一張加油卡的面值是1000元，打九折出售.使用這張加油

卡加油，每一升油，油的單價降低0.30元.假設(shè)這張加油卡的面值能夠一次性全部用完.

(1)他實際花了多少錢購買會員卡？

(2)減價后每升油的單價為y元/升，原價為x元/升，求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式(不用寫出定義域).

(3)油的原價是7.30元/升，求優(yōu)惠后油的單價比原價便宜多少元？

【答案】(1)900；

(2)y=0.9x-0.27；

(3)1.00.

【解答】解：(1)由題意知，1000X0.9=900(元)，

答：實際花了900元購買會員卡；

（2）由題意知，y=0.9（x-0.30）,