八年級上冊數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（原卷版）

專題11.10三角形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）

【人教版】

＞題型梳理

【題型1利用三角形的中線求面積1..............................................................................................I

【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】........................................2

【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡或證明】.....................................................3

【題型4與角平分線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】.................................................4

【題型5與平行線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】...................................................6

【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】.....................................................8

【題型7多邊形中的閱讀理解類問題】...........................................................10

【題型8與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的角度探究問題1............................................................................13

，舉一反三

【題型1利用三角形的中線求面積】

【例1】（2023春?貴州畢節(jié)?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△力BC中，AG=BG,BD=DE=EC,CF=4AF,

若四邊形DEFG的面積為28,則△ABC的面積為（）

A.60B.56C.70D.48

【變式1-1］（2023秋?黑龍江哈爾濱?八年級?？计谀┤鐖D，在AABC中，BF=2FD,EF=FC,若△BEF

的面積為4,則四邊形力EFD的面積為.

【變式1-2］（2023春?江蘇連云港?八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C為直線外一動點(diǎn)，力B=6,連接C4CB,

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點(diǎn)￡）、￡分別是ZB、BC的中點(diǎn)，連接4E、CD交于點(diǎn)尸，當(dāng)四邊形BEFD的面積為5時，線段4c長度的最小

值為.

【變式1-3］（2023春?江蘇鹽城?八年級統(tǒng)考期末）【問題情境】

蘇科版數(shù)學(xué)課本八年級下冊上有這樣一道題：如圖1,4。是AABC的中線，AABC與AaBD的面積有怎樣的

數(shù)量關(guān)系？

小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高力E,根據(jù)中線的定義可知BD=CD.又因?yàn)楦吡相同，所以旌的口=S^CD，

于是SA4BC=2S“BD-據(jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積.

圖3

（1）如圖2,點(diǎn)。在AABC的邊BC上，點(diǎn)P在力。上.

①右力。是△ABC的中線，求證：S&4PB=S44PC；

②右BD=3DC,貝USAAPB：S&4PC=

【拓展延伸】

（2）如圖3,分別延長四邊形力BCD的各邊，使得點(diǎn)力、B、C、。分別為DH、AE,BF、CG的中點(diǎn)，依次連

結(jié)E、F、G、”得四邊形EFG”.

①求證：S4HDG+SAFBE=2s四邊形4BCD；

②右S四邊形4BCD=3，則S四邊形EFGH=--------------'

【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】

【例2】（2023春?河北保定?八年級統(tǒng)考期末）如圖，2力。3<90。，點(diǎn)M在。B上，且。M=6,點(diǎn)”到射線。力

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的距離為a,點(diǎn)P在射線。力上，MP=x.若AOMP的形狀，大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（）

A.x=a或％>6B.x>6C.x=6D.%=6或x>a

【變式2-1］（2023秋?安徽合肥?八年級統(tǒng)考期末）不等邊△N3C的兩條高的長度分別為4和12,若第三條

高也為整數(shù)，那么它的長度最大值是

【變式2-2］（2023秋?安徽?八年級期末）一個三角形的兩邊長分別為5和7,設(shè)第二邊上的中線長為x,則

x的取值范圍是（）

A.x>5B.x<7C.2<x<12D.l<x<6

【變式2-3］（2023秋?浙江杭州?八年級期末）設(shè)a,瓦c表示一個三角形三邊的長，且他們都是自然數(shù)，其中aM

b<c,若b=2020,則滿足此條件的三角形共有一個.

【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡或證明】

【例3】（2023?八年級單元測試）如圖，已知點(diǎn)。為/4BC內(nèi)任意一點(diǎn).證明：

（2）AB+AC+BC>0A+OB+0C.

（3）若A,B,C為三個城鎮(zhèn)，A8+AC+BC=10km,要在4ABe內(nèi)建造供水站。向三個城鎮(zhèn)按如圖路線供

水，則所需供水管長度應(yīng)滿足什么條件？

【變式3-1］（2023春?八年級課時練習(xí)）已知a,b,c是一個三角形的三邊長，化簡|2a+b-c|--2a-c|+|

-a-b-2c\.

【變式3-2］（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）如圖1,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接BP,并延長交4C于點(diǎn)D.

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（1）試探究48+BC+C4與2BD的大小關(guān)系；

（2）試探究4B+AC與PB+PC的大小關(guān)系；

（3）如圖2,點(diǎn)D,E是AABC內(nèi)部兩點(diǎn)，試探究力B+HC與BD+DE+CE的大小關(guān)系.

【變式3-3］（2023春?六年級單元測試）如圖，草原上有四口油井，位于四邊形/BCD的四個頂點(diǎn)上，現(xiàn)在

要建立一個維修站//,試問，建在何處，才能使它到四口油井的距離之和%4+/78+"。+”。最小，說明

理由

【題型4與角平分線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】

【例4】（2023春?江蘇蘇州?八年級太倉市第一中學(xué)校考期中）如圖1,在△力BC中，BD平分N4BC,CD平分

/L.ACB.

（1）若N4=60°,則NBDC的度數(shù)為；

（2）若乙4=a,直線MN經(jīng)過點(diǎn)D.

①如圖2,若ACVII4B,求A/VDC-NMDB的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）；

②如圖3,若MN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交線段BC,4C于點(diǎn)M,N,試問旋轉(zhuǎn)過程中NNDC-NMD8的度數(shù)是否會發(fā)

生改變？若不變，求出NNDC-NMDB的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示），若改變，請說明理由;

③如圖4,繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線MN,與線段力C交于點(diǎn)N,與CB的延長線交于點(diǎn)M,請直接寫出A/VDC與NMDB的關(guān)

系（用含a的代數(shù)式表示）.

【變式4-1］（2023秋?河南漠河?八年級?？计谥校?）在圖1中，請直接寫出乙4、48、NC、4。之間的數(shù)

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量關(guān)系;

(2)如果圖2中，m=40。/3=36。，4P與CP分別是ND4B和NDCB的角平分線，試求NP的度數(shù);

(3)如果圖2中和NB為任意角，其他條件不變，試問NP與ND,NB之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系(直接寫

出結(jié)論即可).

【變式4-2](2023春?江蘇揚(yáng)州?八年級校聯(lián)考期中)NMON=90。，點(diǎn)4B分別在。M、ON上運(yùn)動(不與點(diǎn)。

重合).

(1)如圖①，AE,BE分另IJ是NBA。和N4B。的平分線，隨著點(diǎn)2、點(diǎn)B的運(yùn)動，當(dāng)/。=3。時NAEB=_。；

(2)如圖②，若BC是N4BN的平分線，BC的反向延長線與NOAB的平分線交于點(diǎn)D,隨著點(diǎn)A,B的運(yùn)動4。的

大小會變嗎？如果不會，求AD的度數(shù)；如果會，請說明理由；

(3)如圖③，延長MO至Q,延長B4至G,已知NB力。，N。4G的平分線與NBOQ的平分線及其延長線相交于點(diǎn)E、

F,在△力EF中，如果有一個角是另一個角的3倍，求N4B。的度數(shù).

【變式4-3](2023秋?安徽宣城?八年級?？计谥?如圖1,4MON=9。。,點(diǎn)/、B分別在。M、ON上運(yùn)動

(不與點(diǎn)。重合).

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（1）若BC是乙4BN的平分線，BC的反方向延長線與NBA。的平分線交于點(diǎn)D.

①若NBA。=60°,則ND=°；

②猜想：ND的度數(shù)是否隨B的移動發(fā)生變化？并說明理由.

(2)如圖2,若NOAD=^Z.OAB,/.NBC=~^NBA,則ND='

(3)若將NMON=90。改為NMON=120°(如圖3),Z.OAD="OAB,乙NBC="NBA,其余條件不變,

貝此。=（用含m,n的代數(shù)式表示，其中m<n）.

【題型5與平行線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】

［例5］（2023春?遼寧盤錦?八年級統(tǒng)考期末）（1）問題情境：如圖\,AB||CD,乙PMB=140°,4PND=120°,

求NMPN的度數(shù);

（2）問題遷移：在（1）的條件下，如圖2,乙4Mp的角平分線與NCNP的角平分線交于點(diǎn)F，則NMFN的度

數(shù)為多少？請說明理由；

（3）問題拓展：如圖3,AB||CD,點(diǎn)P在射線OM上移動時（點(diǎn)P與點(diǎn)O,。三點(diǎn)不重合），記NP4B=a,

乙PCD=B，請直接寫出N4PC與a,0之間的數(shù)量關(guān)系.

【變式5-1］（2023春?河北石家莊?八年級統(tǒng)考期末）如圖，ABIICD,點(diǎn)尸在直線AB上，作ABPM=50。，

交CD于點(diǎn)點(diǎn)尸是直線CD上的一個動點(diǎn)，連接PF,PE1CD于點(diǎn)￡,PN平分乙MPF.

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備用圖1備用圖2

⑴若點(diǎn)尸在點(diǎn)E左側(cè)且APFM=32°,求NNPE的度數(shù);

（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段EM（不與點(diǎn)￡重合）上時，設(shè)NPFM=a。，直接寫出4NPE的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表

示）；

（3）將射線PF從（1）中的位置開始以每秒10。的速度繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)至PM的位置，轉(zhuǎn)動的時間為/秒,

求當(dāng)，為何值時，AFPM為直角三角形.

【變式5-2］（2023春?遼寧大連?八年級統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD,點(diǎn)。在直線CD上，點(diǎn)P在直線和CD

之間，Z.ABP=Z.PDQ=a,PD平分乙BPQ.

（1）求NBPD的度數(shù)（用含a的式子表示）；

（2）過點(diǎn)。作DE〃PQ交PB的延長線于點(diǎn)E,作NDEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F,請?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，猜想

EF與PD的位置關(guān)系，并證明；

（3）將（2）中的“作NDEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F”改為“作射線EF將NDEP分為1:3兩個部分，交PD于點(diǎn)F”,

其余條件不變，連接EQ,若EQ恰好平分NPQD,請直接寫出NFEQ=（用含a的式子表示）.

【變式5-3］（2023春?湖北省直轄縣級單位?八年級?？计谥校┮阎狹NIIPQ,點(diǎn)D是直線PQ上一定點(diǎn).

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圖3備用圖

(1)如圖1,現(xiàn)有一塊含30。角的直角三角板(NC4B=30。，乙4cB=60。，NABC=90。),將其點(diǎn)4固定在

直線MN上，并按圖1位置擺放，使NM4C=30。，點(diǎn)B恰好落在射線DE上，此時，"DE=20。，求乙4BD

的度數(shù)；

(2)現(xiàn)將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到與DQ重合時停止，三角板按圖

1擺放不動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)DE與三角板的一邊平行時，求t的值；

(3)若將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點(diǎn)0順時針旋轉(zhuǎn)，同時，將三角板力BC也從圖1的位

置開始以每秒4度的速度繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，NAL4C的角平分線4H與NPDE的角平分線DF

交于點(diǎn)0.

①如圖2,當(dāng)DFII8C時，/力。。=度；

②如圖3,當(dāng)DFII8A時，4AOD=度.

【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】

【例6】(2023秋?山東臨沂?八年級統(tǒng)考期末)有一張正方形紙片48C。，點(diǎn)E是邊上一定點(diǎn)，在邊ND

上取點(diǎn)R沿著昉折疊，點(diǎn)/落在點(diǎn)，處，在邊8C上取一點(diǎn)G,沿EG折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)夕處.

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圖1備用圖

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)8落在直線上時，猜想兩折痕的夾角/EBG的度數(shù)并說明理由.

（2）當(dāng)N4'EB'^ZB'EB時，設(shè)/AEB，=x.

①試用含x的代數(shù)式表示NFEG的度數(shù).

②探究￡皮是否可能平分NEBG,若可能，求出此時/在G的度數(shù)；若不可能，請說明理由.

【變式6-1］（2023春?河北石家莊?八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1,將一張三角形紙片4BC沿著4。折疊，使

點(diǎn)C落在邊上的C處,若4CAB=70°,貝=

（圖2）（圖3）

（2）如圖2,將一張三角形紙片4BC沿著DE折疊（點(diǎn)。，E分別在邊力B和4C上），并使得點(diǎn)4和點(diǎn)4'重合，若=

70°,則Z.1+N2=

（3）如圖3,將長方形紙片沿著8C和BD折疊成如圖所示的形狀，BE和即重合,

①NCBD的度數(shù)是多少？請說明理由;

②如果N/BD=58。17’，求乙4BC的度數(shù).

【變式6-2］（2023秋?江西南昌?八年級校聯(lián)考期末）我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180?！?在

三角形紙片中，點(diǎn)D,E分別在邊AC,BC上，將NC沿OE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C1的位置.

圖1圖2圖3

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(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時，若乙4DC'=58。，則NC=,可以發(fā)現(xiàn)乙4。廠與NC的數(shù)量關(guān)系是二

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C落在A4BC內(nèi)部時，且N8EC'=42。，^LADC=20°,求NC的度數(shù)；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC外部時，若設(shè)NBEC'的度數(shù)為x,N/1DC'的度數(shù)為y,請求出NC與x,y之間的數(shù)

量關(guān)系.

【變式6-3](2023春?江蘇?八年級統(tǒng)考期中)將一張三角形紙片力BC的一角折疊，使得點(diǎn)4落T的位置，折

痕為DE.

⑴當(dāng)點(diǎn)a落在四邊形BCDE的外部T的位置且a'與點(diǎn)c在直線小的兩側(cè).

①如圖1,若NC=90。，乙4=30。，求N1-N2的度數(shù)；

②如圖2,請寫出41、N2和乙4的關(guān)系并證明；

(2)如圖3,有一張三角形紙片ABC,NA=30。，ZC=50°,若點(diǎn)E是4B邊上的固定點(diǎn)(HE<,請?jiān)贏C

上找一點(diǎn)D,將紙片沿DE折疊，DE為折痕點(diǎn)4落在T處，使力’。與三角形力BC的其中一邊平行，求44石。的

度數(shù).

【題型7多邊形中的閱讀理解類問題】

【例7】(2023?全國?八年級專題練習(xí))閱讀材料：兩個三角形各有一個角互為對頂角，這兩個三角形叫做對

頂三角形.

解決問題：如圖，△2。。與43。。是對頂三角形.

(1)試說明：+ND=NOBC+"

第10頁，共15頁

⑵試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論解決下列問題：若AP、8P分另IJ平分NZMC與NDBC,NC=m。，乙D=n。,

①求NP的度數(shù)（用含加、〃的代數(shù)式表示）；

②若力Q、BQ分另！|平分NEAC與ADBF,120°<zQ<150°,求zn+zi的取值范圍.

【變式7-1］（2023秋?山西大同?八年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：

我們知道，探索多邊形內(nèi)角和的方法是將其轉(zhuǎn)化為三角形,

利用三角形內(nèi)角和獲得結(jié)論，這一方法也可以用來解決其他求

角度的問題，如圖，四邊形ABCD是凸四邊形，探究其內(nèi)角和

的方法是：連接對角線AC,則四邊形內(nèi)角和就轉(zhuǎn)化為△ACB

和ZkACD內(nèi)角和的和,為360。.

解決問題：

（1）如圖1,四邊形/BCD是凹四邊形，請?zhí)骄?2。。（/80。<180。）與/瓦ZD,/A4C三個角之間的等

量關(guān)系.

小明得出的結(jié)論是：他證明如下.請你將小明的證明過程補(bǔ)充完整.

證明：連接40并延長AD到點(diǎn)￡

聯(lián)系拓廣：

（2）下面圖2的五角星和圖3的六角星都是一筆畫成的（即從圖形上的某一頂點(diǎn)出發(fā)，找出一條路線，用筆

不離開紙，連續(xù)不斷又不重復(fù)經(jīng)過圖形上所有部分畫成的）.

請你根據(jù)上述解決問題的思路，解答下列問題：

①圖2中，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE的度數(shù)為°；

②圖3中，NN+N3+/C+N0+NE+N尸的度數(shù)為°.

第11頁，共15頁

【變式7-2](2023春?山西臨汾?八年級統(tǒng)考期末)請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

已知“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和“，那么五邊形的外角與內(nèi)角之間又有什么關(guān)系呢？

如圖1,在五邊形ABCDE中，N1,N2是它的兩個外角，則Nl+N2=乙4+NB+NC—180。.下面是該結(jié)論

的證明過程(部分)：

:五邊形的內(nèi)角和為540°,

**.Z-A+Z-B+Z-C+z.3+Z.4=540°.

(1)按照上面的證明思路，完成證明的剩余部分.

(2)知識應(yīng)用：如圖2,在五邊形A8CDE中，尸分別是NDEH和NEDG的平分線，若乙4+N8+Z.C=320°,

求NF的度數(shù)；

(3)拓展提升：如圖3,4C=KE=4ABH=g^ABF,4GFH=^4BFG,NH=140。，則4。=.

【變式7-3](2023秋?山東青島?八年級山東省青島第二十六中學(xué)校聯(lián)考期末)閱讀材料，回答下列問題：

【材料提出】

“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成.

【探索研究】

探索一：如圖1,在八字形中，探索//、/B、NC、之間的數(shù)量關(guān)系為二

探索二：如圖2,若/3=36。，ZD=14°,求乙P的度數(shù)為二

探索三：如圖3,CP、/G分別平分AFAD,/G反向延長線交CP于點(diǎn)尸，則/尸、/B、之間

第12頁，共15頁

的數(shù)量關(guān)系為一

【模型應(yīng)用】

應(yīng)用一：如圖4,在四邊形AWC3中，設(shè)NM=a,/N=B，a+在＞180。，四邊形的內(nèi)角與外角/NCD

的角平分線3P,CP相交于點(diǎn)P則//=_（用含有a和￡的代數(shù)式表示），/尸=_.（用含有a和■的代數(shù)

式表示）

應(yīng)用二：如圖5,在四邊形ACVC8中，設(shè)NM=a,/N=B，a+夕＜180。，四邊形的內(nèi)角與外角/NCD

的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P,NP=_.（用含有a和￡的代數(shù)式表示）

【拓展延伸】

拓展一：如圖6,若設(shè)/C=x,ZB=y,ZCAP=^ZCAB,ZCDP=^ZCDB,試問/尸與/C、N3之間的

數(shù)量關(guān)系為一（用X、?表示/尸）

拓展二：如圖7,”平分/BAD,CP平分N3CD的鄰補(bǔ)角/3CE,猜想NP與N3、ND的關(guān)系，直接寫

出結(jié)論

圖3圖4

B

圖5圖6圖7

【題型8與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的角度探究問題】

【例81（2023春?江蘇?八年級期末）如圖1,已知乙4CD是△ABC的一個外角，我們?nèi)菀鬃C明乙4CD=乙4+乙B,

即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的

和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

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(1)如圖2,乙DBC與乙ECB分別為4ABC的兩個外角，則ADBC+乙ECB41+180°(選填或“=”)，

并說明理由；

初步應(yīng)用：

(2)如圖3,在△4BC紙片中剪去△CED,得至U四邊形ABDE,41=135。，42=100。，貝此C=；(直

接寫出答案)

拓展延伸：

(3)如圖4,在AABC中，BP,CP分別平分外角NDBC,乙ECB,NP與乙4有何數(shù)量關(guān)系？請利用上面的結(jié)論

直接寫出答案：；

解決問題：

(4)如圖5,在四邊形A