中考數(shù)學三輪沖刺培優(yōu)訓練專題20幾何變式與類比探究綜合問題（原卷版）

專題20幾何變式與類比探究綜合問題（最新模擬40題預測）一、解答題1．（2023春·陜西延安·九年級專題練習）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE．將△CDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α(1)問題發(fā)現(xiàn)①當α=0°時，AEBD=______；②當α=180°時，(2)拓展探究試判斷：當0°≤α<360°時，AEBD(3)問題解決△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點在同一條直線上時，請直接寫出線段BD的長______．2．（2022秋·江西贛州·八年級統(tǒng)考期中）【問題背景】在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學認為：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是___________．【探索延伸】在四邊形ABCD中如圖2，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點，∠EAF=1【結(jié)論運用】如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角（∠EOF）為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．3．（2023秋·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC和△EDC都是等邊三角形，點B、D、E在同一條直線上，連接AE．①∠AEC的度數(shù)為______；②線段AE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）拓展探究：如圖②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點B、D、E在同一條直線上，CM為△EDC中DE邊上的高，連接AE，試求∠AEB的度數(shù)及判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：如圖③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，點B、D，E在同一條直線上，請直接寫出∠EAB+∠ECB的度數(shù)．4．（2023·全國·九年級專題練習）問題背景：（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，先證明探索延伸：（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且5．（2021秋·陜西咸陽·九年級咸陽市實驗中學校考階段練習）問題探究(1)如圖①，在正方形ABCD中，AB=4，點F為BC的中點，過點F作FE⊥AC于點E，則EF的長為__________；(2)如圖②，四邊形ABCD與四邊形EFGH都是正方形，點E、F分別在AC、BC上，連接CH，求證：CF=2問題解決(3)為打造宜居環(huán)境，建設美麗家園，計劃對如圖③所示的菱形空地ABCD進行綠化改造，菱形ABCD足夠大，∠D=60°，EF是一條水渠，點E、F分別是AB、CB的中點，點G、H分別在EF、FC上，點M在菱形ABCD內(nèi)部，現(xiàn)將四邊形GMHF改造成草地，并沿線段FH、FG、FM種植喬木綠化帶，已知GM=HM，∠GMH=60°，GF+HF=40米，且種植喬木綠化帶每米費用約為200元（不計寬度），請計算種植上述三條喬木綠化帶大約需花多少錢？6．（2022秋·四川成都·九年級成都嘉祥外國語學校?？计谥校?）問題探究：如圖1，在正方形ABCD，點E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點O，點G，F(xiàn)分別在邊CD、AB上，GP⊥AE．①判斷DQ與AE的數(shù)量關(guān)系：DQAE；②推斷：GFAE的值為：（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，BCAB=23．將矩形ABCD沿GF折疊，使點A落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點H，連接AE交GF于點O．試探究（3）拓展應用1：如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC、AB上，求DNAM（4）拓展應用2：如圖2，在（2）的條件下，連接CP，若BEBF=34，7．（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點作一個50°的角，角的兩邊分別交AB、8．（2023·全國·九年級專題練習）綜合與實踐??探究特殊三角形中的相關(guān)問題問題情境：某校學習小組在探究學習過程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α0°<α<90°，如圖2，AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，(1)初步探究：勤思小組的同學提出：當旋轉(zhuǎn)角α=時，△AMC是等腰三角形；(2)深入探究：敏學小組的同學提出在旋轉(zhuǎn)過程中．如果連接AP，CE，那么AP所在的直線是線段CE的垂直平分線，請幫他們證明；(3)再探究：在旋轉(zhuǎn)過程中，當旋轉(zhuǎn)角α=30°時，求△ABC與△AFE重疊的面積；(4)拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不能，說明理由．9．（2021秋·福建漳州·九年級漳州三中校考期中）如圖1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點E，F(xiàn)分別為AB，AD邊上任意一點，現(xiàn)將△AEF沿直線EF對折，點A對應點為點G．(1)如圖2，當EF∥BD，且點G落在對角線BD上時，求線段EF的長；(2)如圖3，連接DG，當EF∥BD且點D，G，E三點共線時，求線段AE的長；(3)當AE＝2AF時，F(xiàn)G的延長線交△BCD的邊于點H，是否存在一點H，使得以E，H，G為頂點的三角形與△AEF相似，若存在，請求出線段AE的長；若不存在，請說明理由．10．（2023·全國·九年級專題練習）某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰Rt△APQ，且∠PAQ=90°，連接CQ、則BP和CQ(2)變式探究：如圖2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰Rt△CPQ，連接AQ，判斷BP和AQ(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為10，CQ=2，求正方形ABCD11．（2022春·廣東珠海·八年級統(tǒng)考期末）寬與長的比是5?1如希臘的巴特農(nóng)神廟等．下面我們折疊出一個矩形：第一步，在一張寬為2的矩形紙片一端，用下圖的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．第二步，如下圖，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到下圖中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點D處折出DE，得到矩形BCDE．(1)證明矩形BCDE（下圖）是黃金矩形．(2)定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設S1<S2），如果S1(3)下圖中，以C為原點，CD、CB所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，直接寫出△END中經(jīng)過點C的“黃金分割線”的解析式．（不要求寫過程）12．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是（﹣4，0），（0，8），動點P從點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，同時動點C從點B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動．以CP，CO為鄰邊構(gòu)造?PCOD，在線段OP延長線上取點E，使PE＝AO，設點P運動的時間為t秒．(1)當點C運動到線段OB的中點時，求t的值及點E的坐標；(2)當點C在線段OB上時，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；(3)在線段PE上取點F，使PF＝3，過點F作MN⊥PE，截取FM＝3，F(xiàn)N＝1，且點M，N分別在第一、四象限，在運動過程中，當點M，N中，有一點落在四邊形ADEC的邊上時，直接寫出所有滿足條件的t的值．13．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）已知：△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，連接EC，取EC的中點M，連接BM和DM．(1)如圖1，分別取AC和AE的中點G、H，連接BG、MG、MH、(2)將圖1中的△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．(3)已知正方形ABCP的邊長為2，正方形ADEQ的邊長為10，現(xiàn)將正方形ABCP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，在整個旋轉(zhuǎn)過程中，當C、P、E三點共線時，請直接寫出BD的長．14．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）【問題探究】如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊DC、BC上，且AE⊥DF，求證：AE=DF．【知識遷移】如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E在邊AD上，點M、N分別在邊AB、CD上，且BE⊥MN，求BEMN【拓展應用】如圖3，在平行四邊形ABCD中，AB=m，BC=n，點E、F分別在邊AD、BC上，點M、N分別在邊AB、CD上，當∠EFC與∠MNC的度數(shù)之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時，有EFMN15．（2023·山東泰安·寧陽二中校考一模）已知，△ABC為等邊三角形，點D在邊BC上．【基本圖形】如圖1，以AD為一邊作等邊三角形△ADE，連結(jié)CE．可得CE+CD=AC（不需證明）．【遷移運用】如圖2，點F是AC邊上一點，以DF為一邊作等邊三角△DEF．求證：CE+CD=CF．【類比探究】如圖3，點F是AC邊的延長線上一點，以DF為一邊作等邊三角△DEF．試探究線段CE，CD，CF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并說明理由．16．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點P是射線BC上的動點，連結(jié)AP，在AP的右邊作∠PAQ=12∠BAC，交射線BC(1)當BP=1時，求點P到AB的距離．(2)當點P在線段BC上運動時，記BP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式和自變量x的取值范圍．(3)在點P的運動過程中，不再連結(jié)其他線段，當圖中存在某個角為45°時，求BQ的長，并指出相應的45°角．17．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考一模）已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，點E、F分別在AB，BC上，BE=CF，AF與CE交于點P．(1)求證：∠APE=60°；(2)當PC=1，PA=5時，求PD的長？(3)當AB=23時，求PD18．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）九年級一班同學在數(shù)學老師的指導下，以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展數(shù)學探究活動．(1)操作探究：如圖1，△OAB為等腰三角形，OA=OB，∠AOB=60°，將△OAB繞點O旋轉(zhuǎn)180°，得到△ODE，連接AE，F(xiàn)是AE的中點，連接OF，則∠BAE=°，OF與DE的數(shù)量關(guān)系是(2)遷移探究：如圖2，（1）中的其他條件不變，當△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，點D正好落在∠AOB的角平分線上，得到△ODE，求出此時∠BAE的度數(shù)及OF與DE的數(shù)量關(guān)系；(3)拓展應用：如圖3，在等腰三角形△OAB中，OA=OB=4，∠AOB=90°．將△OAB繞點O旋轉(zhuǎn)，得到△ODE，連接AE，F(xiàn)是AE的中點，連接OF．當∠EAB=15°時，請直接寫出OF的長．19．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）【背景】如圖1，矩形ABCD中，AB=43，AB<AD，M、N分別是AB、CD的中點，折疊矩形ABCD使點A落在MN上的點K處，折痕為BP【操作】（1）用直尺和圓規(guī)在圖1中的AD邊上作出點P（不寫作法，保留作圖痕跡）；【應用】（2）求∠BKM的度數(shù)和MK的長；（3）如圖2，若點E是直線MN上的一個動點．連接EB，在EB左側(cè)作等邊三角形BEF，連接MF，則MF的最小值是__________；【拓展】（4）如圖3，若點E是射線KM上的一個動點．將△BEK沿BE翻折，得△BET，延長CB至Q，使BQ=KE，連接TQ．當△BTQ是直角三角形時，KE的長為多少？請直接寫出答案：__________．20．（2023·廣西南寧·?？家荒＃┤鐖D甲，正方形ABCD中，點E為BC邊上一點，點F為CD邊上一點，且BE=CF，連接AE、BF交于點G．(1)求證：AE⊥BF；(2)如圖乙，連接GC，若GC平分∠EGF，求證：AB=2CF；(3)如圖丙，在（2）的條件下，連接GD，過點E作EH∥GD交CD邊于點H，交BF于點M，若FH=1，求線段FM的長．21．（2023·浙江寧波·校考一模）如圖，圓O為△ABC的外接圓，BO延長線與AC交于點D，OE⊥BC，點F在OE上，BD平分∠ABF．(1)如圖1，求證：△ABD∽△OBF；(2)如圖2，連結(jié)DF，求證：DF∥AB；(3)如圖3，連結(jié)CF并延長分別交BA，BD于G，H兩點，若∠DFC=6∠BCG，BD=2FG，求GHBH22．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預測）如圖甲，在△ABC中．∠ACB=90°．AC=4．BC=3．如果點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動．同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動．它們的速度均為每秒鐘1個單位長度．連接PQ，設運動時間為t秒鐘（0<t<4）．(1)設△APQ的面積為S，當實數(shù)t為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？(2)在（1）的前提下．當S取得最大值時．把此時的△APQ沿射線AC以每秒鐘1個單位長度的速度平移，當點A平移至與點C重合時停止，△APQ與△ABC的重疊部分面積y與平移時間x的函數(shù)解析式，并寫出對應的x的取值范圍；(3)如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，當四邊形PQP'C為菱形時，求實數(shù)t的值．23．（2023·安徽合肥·校考一模）通過以前的學習，我們知道：“如圖1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，則CE=DF”．某數(shù)學興趣小組在完成了以上學習后，決定對該問題進一步探究：(1)【問題探究】如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別在線段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，試猜想EGFH(2)【知識遷移】如圖3，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，點E，F(xiàn)，G，H分別在線段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，試猜想EGFH(3)【拓展應用】如圖4，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，且CE⊥BF，求CEBF24．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知點C為△ABC和△CDE的公共頂點，將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<a<360°)，連接BD，AE，請完成如下問題：(1)如圖1，若△ABC和△CDE均為等邊三角形，①線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系是________；②直線BD與直線AE相交所夾銳角的度數(shù)是________；類比探究：(2)如圖2，若∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD=60°，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請說明理由；(3)拓展應用：如圖3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=22，當點B，D，E三點共線時，請直接寫出BD25．（2023·陜西西安·校考二模）（1）如圖，在△ABC中，∠B=120°，AB=4，則BC邊上的高為______．（2）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=43，BC=10，Rt△AEF的直角頂點E在邊BC上，頂點F在邊CD上，若（3）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=60°，AD=12，CD=16，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，若∠AEF=60°，26．（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考一模）如圖1，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點，點F在AD邊上，DE與CF交于點G．(1)若G為DE的中點．①求FGCG②連接EF，若∠EFC=90°，求證：DC=DF．(2)如圖2，若∠EGC=∠A，求證：AD?FC=2AE?DE．27．（2023·安徽合肥·?？寄M預測）如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE⊥DF，∠DEF=45°，(1)不添加輔助線，在圖中找出一個與△BDE相似的三角形（不需證明）；(2)若AD=1，AF=2，求(3)若tan∠BDE＝128．（2023·福建莆田·校考一模）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，以直角邊AC為腰，向外作等腰直角三角形ACD，AC=CD，∠ACD=90°，點E是BC邊上一點，且(1)探究：∠CDE與∠ACB的數(shù)量關(guān)系；(2)求證：BC=CF+AB；(3)若AD=42，AB=3，求EF29．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）在△ABC中，∠C=90°，點D，E分別在BC邊和AC邊上，AD，BE相交于點F．(1)如圖（1），已知：∠AEF=∠BDF．①若ACAB=3②若AD=BF，求證：AD?CD=AC?DF；(2)如圖（2），若AE=CD，BD=AC，EG⊥BE交AF于G，求證：EF=EG．30．（2023·湖北隨州·模擬預測）如圖，正方形ABCD的邊長為4.點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，且∠ECF=45°，CF的延長線交BA的延長線于點G，CE的延長線交DA的延長線于點H，連接AC，EF，GH．(1)填空：∠AHC______∠ACG；(填>或<或=)(2)設AE=m，①△AGH的面積S有變化嗎？如果變化，請求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；如果不變化，請求出定值；②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值．31．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于點G，求證：【嘗試應用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連接CD，CG．若CG⊥DE，CD=10，AE=6，求DEBC【拓展提高】（3）如圖3，在?ABCD中，∠ADC=45°，AC與BD交于點O，E為AO上一點，EG∥BD交AD于點G，EF⊥EG交BC于點F．若∠EGF=40°，F(xiàn)G平分∠EFC，F(xiàn)G=8，求32．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）已知平行四邊形ABCD中，AB=35,tan∠ABC=2,BC=5，點P是對角線BD上一動點，作∠EPD=∠ABC，射線PE交射線BA于點(1)如圖1，當點E與點A重合時，證明：△ABP∽△BCD；(2)如圖2，點E在BA的延長線上，當EP=AD時，求AE的長；(3)當△APE是以AP為底的等腰三角形時，求AE的長．33．（2023·山東泰安·新泰市實驗中學?？家荒＃┮阎獌蓚€等腰Rt△ABC,Rt△CEF有公共頂點C，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF,M是AF(1)如圖1，當CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF；(2)如圖2，當∠BCE=45°時，求證：BM=ME．34．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）如圖1，已知菱形ABCD，點E在邊BC上，∠BFE=∠ABC，AE交對角線BD于點F．(1)求證△ABF∽△DBA；(2)如圖2，聯(lián)結(jié)CF．①當△CEF為直角三角形時，求∠ABC的大?。虎谌鐖D3，聯(lián)結(jié)DE，當DE⊥FC時，求cos∠ABD35．（2023·湖南衡陽·衡陽市華新實驗中學校考一模）已知：如圖，矩形ABCD中和Rt△EBF中，點C在BF上，∠EBF=90°，AB=BF=8cm，AD=BE=6cm，連接BD，點M從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，同時，點N從點E出發(fā)，沿EF方向勻速運動，速度為1cm/s，過點M解答下列問題：(1)當t為何值時，MF⊥BD？(2)連接MN，作NQ⊥BE交BE于Q，當四邊形MHQN為矩形時，求t的值；(3)連接NC，NH，設四邊形NCGH的面積為S（cm2），求S與t36．（2023·陜西西安·校考一模）（1）如圖1，⊙A的半徑為2，AB=5，點P為⊙A上任意一點，則BP的最小值為．（2）如圖2，已知矩形ABCD，點E為AB上方一點，連接AE，BE，作EF⊥AB于點F，點P是△BEF的內(nèi)心，求∠BPE的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AP，CP，若矩形的邊長AB=6，BC=4，BE=BA，求此時CP的最小值．37．（2023·山東青島·山東省青島第二十六中學校考一模）問題提出：已知矩形ABCD，點E為AB上的一點，EF⊥AB，交BD于點F．將△EBF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）問題探究探究一：如圖，已知正方形ABCD，點E為AB