2024-2025學(xué)年江西省鷹潭市貴溪市高三上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江西省鷹潭市貴溪市高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上1.若集合，，則（）A. B. C. D.2.給出下列四個(gè)結(jié)論：①“”是“”的充分不必要條件；②若命題，則；③若，則是充分不必要條件；④若命題q：對(duì)于任意為真命題，則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，又，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.4.已知冪函數(shù)，直線是曲線的切線，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)（且）滿足，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.08.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的有（）A.函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)锽.函數(shù)是奇函數(shù)C.已知函數(shù)存兩個(gè)零點(diǎn)，則D.函數(shù)在上為增函數(shù)10.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.函數(shù)的極小值點(diǎn)為B.C.若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則D.若，則11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像沒(méi)有公切線C.函數(shù)，則有極大值，且極大值點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，恒成立三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卷中的橫線上.12.數(shù)在上可導(dǎo)，若，則______.13.已知函數(shù)，正數(shù)滿足，則的最小值為______．14.已知，，分別是函數(shù)與的零點(diǎn)，則的最大值為________．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程及演算步驟.15.已知集合，，．（1）求；（2）若是的必要條件，求a的取值范圍．16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷并證明在上的單調(diào)性；（3）解不等式.17.已知函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為.（1）求值；（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明在其定義域上單調(diào)遞減；（3）若方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)區(qū)間.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：2024-2025學(xué)年江西省鷹潭市貴溪市高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上1.若集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)交集定義運(yùn)算.【詳解】因?yàn)椋?所以.故選：C.2給出下列四個(gè)結(jié)論：①“”是“”的充分不必要條件；②若命題，則；③若，則是的充分不必要條件；④若命題q：對(duì)于任意為真命題，則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【正確答案】B【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷①③；利用存在量詞命題的否定判斷②；利用全稱量詞為真求出的范圍判斷④即可得解.【詳解】對(duì)于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要條件，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，則且，反之，，，成立，因此是的充分不必要條件，③正確；對(duì)于④，，而，則，④正確，所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2.故選：B3.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，又，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，先求出的值，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析的單調(diào)性，進(jìn)而分析的對(duì)稱性和單調(diào)性，由此分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則有，解可得，則函數(shù)是開口向下的二次函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，函數(shù)的對(duì)稱軸為，且在上為減函數(shù)，則有，即.故選：D.4.已知冪函數(shù)，直線是曲線的切線，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)的函數(shù)類型，求得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得即可.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，故，解得，則，；不妨設(shè)也即與y=f(x)的切點(diǎn)為，則，且，解得.故選：D.5.已知函數(shù)（且）滿足，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由函數(shù)滿足，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（且）滿足，即，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以.故選：C.6.已知函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)含參討論該函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】令，則.若，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意.若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，不符合題意.若，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，即，符合題意.故的取值范圍為.故選：D思路點(diǎn)睛：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，直接求導(dǎo)含參討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值，排除的情況即可.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.0【正確答案】D【分析】由條件可以推出和關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱，進(jìn)而可得關(guān)于直線對(duì)稱.再用賦值法求值即可.【詳解】由于，所以，則，因此.令，則，故.由于為奇函數(shù)，故，即，故關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱.由題，，故關(guān)于直線對(duì)稱，因此當(dāng)時(shí)，，故，因此.故選：D8.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)定義域，將函數(shù)分類討論，借助于求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，判斷極值點(diǎn)和圖象趨勢(shì)，作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，將函數(shù)分解因式，根據(jù)零點(diǎn)定義，結(jié)合圖象，確定有兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為有3個(gè)零點(diǎn)，由圖即得參數(shù)范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，若時(shí)，由求導(dǎo)得，，故當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；若時(shí)，由求導(dǎo)得，，因，故恒有f'x>0，即在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，恒有.作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個(gè)根，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；要使函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，需使有3個(gè)零點(diǎn)，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參問(wèn)題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于將函數(shù)按照定義域分類討論，通過(guò)求導(dǎo)作出函數(shù)的圖象；第二個(gè)關(guān)鍵是，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題解決.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的有（）A.函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)锽.函數(shù)是奇函數(shù)C.已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則D.函數(shù)在上為增函數(shù)【正確答案】AB【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域求解法則判斷A，根據(jù)奇函數(shù)定義判斷B，根據(jù)零點(diǎn)定義建立方程，數(shù)形結(jié)合，判斷C，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】對(duì)于A，由函數(shù)定義域?yàn)?，則，因此在中，，解得，即的定義域?yàn)?，故A正確；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)镽，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，即為的兩根，則可得，令，，結(jié)合函數(shù)圖象可設(shè)，，則，所以，所以，而k不一定為1，故C不正確；對(duì)于D，函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)，在區(qū)間0,1單調(diào)遞減，在1,+∞單調(diào)遞增，故D不正確.故選：AB.,10.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.函數(shù)的極小值點(diǎn)為B.C.若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則D.若，則【正確答案】AC【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值，可得的圖象，進(jìn)而可以判斷A；對(duì)于B：根據(jù)的單調(diào)性分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)分析可知：原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合的圖象分析求解；對(duì)于D：構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得，結(jié)合極值點(diǎn)偏移分析證明.【詳解】由題意可知：定義域?yàn)椋?，令，解得；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，且當(dāng)趨近于0或時(shí)，趨近于，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：對(duì)于選項(xiàng)A：可知函數(shù)的極小值點(diǎn)為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，且在?nèi)單調(diào)遞增，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：令，可得，可知函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，即與有4個(gè)交點(diǎn)，且的定義域?yàn)?，且，可知為偶函?shù)，且當(dāng)時(shí)，原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，由題意可知：，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，若，不妨設(shè)，則，且，且在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題．11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像沒(méi)有公切線C.函數(shù)，則有極大值，且極大值點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，恒成立【正確答案】ACD【分析】選項(xiàng)A，利用與的圖象，知時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得，即可求解；選項(xiàng)B，設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求方程解的個(gè)數(shù)，即可求解；選項(xiàng)C，令，對(duì)求導(dǎo)，求出的單調(diào)區(qū)間，再利用極值的定義，即可求解；選項(xiàng)D，構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到，且等號(hào)不能同時(shí)取到，再利用與圖象間的關(guān)系，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖像有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，則，由，得到，由，得到，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取最小值，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖像沒(méi)有公共點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)與切于點(diǎn)，與切于點(diǎn)則，化簡(jiǎn)得：，判斷方程根的個(gè)數(shù)即為公切線條數(shù)，令，則，易知在上恒小于0，當(dāng)時(shí)，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，所以在上有使得，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)，所以方程有兩解，與的圖像有兩條公切線，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，令，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在，使得，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值，且極大值點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，令，則在區(qū)間上恒成立，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)時(shí)，與重合，當(dāng)時(shí)，的圖象由向右平移，此時(shí)圖象恒在下方，所以，且等號(hào)不能同時(shí)取到，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卷中的橫線上.12.數(shù)在上可導(dǎo)，若，則______.【正確答案】12【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算代入可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義可.故1213.已知函數(shù)，正數(shù)滿足，則的最小值為______．【正確答案】12【分析】由函數(shù)奇偶性的判定得出為奇函數(shù)，有，進(jìn)而得出，再根據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，又，所以為奇函?shù)，有，又，所以，即，又因?yàn)闉檎龜?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故12．14.已知，，分別是函數(shù)與的零點(diǎn)，則的最大值為________．【正確答案】【分析】將兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)代入函數(shù)式，得到等式，再同構(gòu)函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性求出最值即可.【詳解】由題意可知，則，即，又，所以，則．設(shè)，則，所以?x在0,+所以，則，所以，所以．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，φ'x當(dāng)時(shí)，φ'x所以φx在0,2上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以的最大值為．故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等式同構(gòu)函數(shù)，化簡(jiǎn)，同構(gòu)函數(shù)；再利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性并求出最值.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程及演算步驟.15.已知集合，，．（1）求；（2）若是的必要條件，求a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）直接求出集合，根據(jù)集合交并補(bǔ)即可得到答案；（2）轉(zhuǎn)化為，再分和討論即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榛?，，所以?【小問(wèn)2詳解】若是的必要條件，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，解得，故的取值范圍為.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷并證明在上的單調(diào)性；（3）解不等式.【正確答案】（1），．（2）在上為減函數(shù),證明見解析.（3）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得，結(jié)合可得，故可求函數(shù)的解析式.（2）根據(jù)單調(diào)性的定義可得在上為增函數(shù)；（3）根據(jù)（2）中的單調(diào)性可求不等式的解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得：，∴，而，解得，∴，．【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：任意，且，則，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以函?shù)在上為減函數(shù)．【小問(wèn)3詳解】由題意，不等式可化為，所以，解得,所以該不等式的解集為．17.已知函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為.（1）求的值；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在其定義域上單調(diào)遞減；（3）若方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）【分析】（1）利用對(duì)稱性的性質(zhì)有，待定系數(shù)計(jì)算即可；（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義作差證明即可；（3）利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)及（2）的結(jié)論得出單調(diào)遞減，計(jì)算其值域即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意有，整理得，即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；【小問(wèn)2詳解】由上知，令，不妨設(shè)令，則，易知，又，所以，則，即，則在定義域上單調(diào)遞減，證畢；【小問(wèn)3詳解】方程在上有解，即兩個(gè)函數(shù)與有交點(diǎn)，令，設(shè)，則時(shí)，，則，顯然時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞減，而單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在時(shí)單調(diào)遞減，結(jié)合（2）的結(jié)論有單調(diào)遞減，所以，而接近0時(shí)，y接近正無(wú)窮，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)區(qū)間.【正確答案】（1）（2）答案見詳解【分析】（1）求導(dǎo)，可得，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）求導(dǎo)可得，分類討論的符號(hào)以及與0的大小關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由題意可知：的定義