安徽省阜陽市2024-2025學(xué)年高三上冊第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

安徽省阜陽市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，滿足，且，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（

）A．5 B．6 C．5或6 D．6或75．有4名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，服務(wù)星期六、星期日兩天．若每天從4人中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的概率為（

）A． B． C． D．6．已知角和角以軸的非負(fù)半軸為始邊，若角和角的終邊關(guān)于直線對稱，則下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．7．已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，若對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知，且，則（

）A． B．C． D．10．已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)面平面，，．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說法正確的為（

）A．平面 B．平面C．四棱錐外接球的表面積為 D．四棱錐的體積為1211．某學(xué)習(xí)小組用函數(shù)圖象：，和拋物線部分圖象圍成了一個(gè)封閉的“心形線”，過焦點(diǎn)的直線交（包含邊界點(diǎn)）于，兩點(diǎn)，是或上的動點(diǎn)，下列說法正確的是（

）

A．拋物線的方程為B．的最小值為C．的最大值為D．若在上，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．五個(gè)好朋友一起自駕外出游玩，他們都選擇了同一款旅行包（外觀無明顯區(qū)別），下車時(shí)，他們從后備箱中各隨機(jī)地取一個(gè)旅行包，則甲、乙、丙三人都拿錯(cuò)旅行包的概率為.13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則使得不等式成立的的最小值為.14．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，且，的取值范圍是..四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題13分）已知數(shù)列an滿足，.(1)求數(shù)列an(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證.16.（本小題15分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，．(1)求的面積；(2)求AB邊上的高的最大值.17.（本小題15分）如圖，在正四棱錐中，各棱長均為，為側(cè)棱上的點(diǎn)，是中點(diǎn).(1)若是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；(2)是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18.（本小題17分）已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)間的距離為.(1)求與的方程；(2)過坐標(biāo)軸上的點(diǎn)可以作兩條與的公切線.（i）求點(diǎn)的坐標(biāo).（ii）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，是否存在過點(diǎn)的直線，使與均有兩個(gè)交點(diǎn)？若存在，請求出的方程；若不存在，請說明理由.19.（本小題17分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn).（i）求的取值范圍；（ii）證明.安徽省阜陽市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，故或，又，所?故選：C2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】D【詳解】，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3．已知向量，滿足，且，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【詳解】由已知，且，則，解得，故在上的投影向量是＝.故選：B.4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（

）A．5 B．6 C．5或6 D．6或7【正確答案】C【詳解】，則，由于，所以，則等差數(shù)列an令，解得，所以當(dāng)或6時(shí)，取得最大值．故選：C.5．有4名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，服務(wù)星期六、星期日兩天．若每天從4人中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【詳解】不妨設(shè)4名志愿者分別假設(shè)連續(xù)參加兩天的社區(qū)服務(wù)，剩下的3人中抽取2人參加服務(wù)，共有種方法，所以恰好有1人連續(xù)參與兩天服務(wù)的總數(shù)為：種.總的情況數(shù)為種.故恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的概率為.故選：B.6．已知角和角以軸的非負(fù)半軸為始邊，若角和角的終邊關(guān)于直線對稱，則下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【詳解】設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由角和角的終邊關(guān)于直線對稱，得角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，因此，由角的任意性得ABD不正確，C正確.故選：C7．已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】B【詳解】解：記為點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，且與線段相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選：B．8．已知函數(shù)，若對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【詳解】當(dāng)，恒成立，，即恒成立.不妨令，則設(shè)，有，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，有，所以時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取得等號，由對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，方程顯然有解，所以，得.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知，且，則（

）A． B．C． D．【正確答案】BD【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，兩式平方后相加可得，所以，故A錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，又，故，由于，故，又，所以，故D正確；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，，故，故C錯(cuò)誤.故選：BD.10．已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)面平面，，．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說法正確的為（

）A．平面 B．平面C．四棱錐外接球的表面積為 D．四棱錐的體積為12【正確答案】BD【詳解】

對于A，因底面為矩形，則，又側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，故平面,而與不重合，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè),連接,因分別是的中點(diǎn)，則,又平面，平面,故得平面，即B正確；對于C，取中點(diǎn),連接因，則,,因側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，則平面，易知點(diǎn)為矩形的外接圓圓心，過點(diǎn)作平面,其中點(diǎn)為四棱錐外接球的球心，連接,設(shè)球的半徑為，在中，，故，又，在直角梯形中，，解得，，故四棱錐外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤；對于D，因點(diǎn)為的中點(diǎn)，故點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半，即,故四棱錐的體積為，故D正確.故選：BD.解題思路在于掌握線面垂直、平行的判定和性質(zhì)，借助于圖形進(jìn)行推理和計(jì)算，掌握幾何體外接球的常規(guī)解法，通過作圖、分析列出方程求解即得.11．某學(xué)習(xí)小組用函數(shù)圖象：，和拋物線部分圖象圍成了一個(gè)封閉的“心形線”，過焦點(diǎn)的直線交（包含邊界點(diǎn)）于，兩點(diǎn)，是或上的動點(diǎn)，下列說法正確的是（

）

A．拋物線的方程為B．的最小值為C．的最大值為D．若在上，則的最小值為【正確答案】ACD【詳解】可變形為，表示以為圓心，為半徑的圓的上半部分；可變形為，表示以為圓心，為半徑的圓的上半部分．對于A選項(xiàng)，拋物線過點(diǎn)，解得，，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作，垂足為，

則，則，故B選項(xiàng)不正確；

對于C選項(xiàng)，不妨設(shè)，顯然離最遠(yuǎn)的點(diǎn)在上，且，聯(lián)立，消去整理得，，則，，則，由對稱性只考慮情況，在點(diǎn)時(shí)，，所以，所以，設(shè)，易得在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為，聯(lián)立，消去整理得，則，，，，，所以，，，最小，即最大，也即最小，又的中點(diǎn)位于圓心的左側(cè)，故當(dāng)在0,4位置時(shí)，最小，最小，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．五個(gè)好朋友一起自駕外出游玩，他們都選擇了同一款旅行包（外觀無明顯區(qū)別），下車時(shí)，他們從后備箱中各隨機(jī)地取一個(gè)旅行包，則甲、乙、丙三人都拿錯(cuò)旅行包的概率為.【正確答案】【詳解】第一種情況，甲拿了乙或者丙的旅行包，有種情況；第二種情況，甲沒有拿乙和丙的旅行包，有種情況.故所求的概率為.故答案為.13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則使得不等式成立的的最小值為.【正確答案】13【詳解】由.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由.又為偶數(shù)，所以綜上可知：的最小值為13.故1314．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，且，的取值范圍是..【正確答案】【詳解】作函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，方程有四個(gè)不同的解，且，需滿足，則由二次函數(shù)的對稱性可知，，由對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，，，，則，，∴，而函數(shù)在遞減，上遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或4時(shí)，，故其取值范圍為.故四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題13分）已知數(shù)列an滿足，.(1)求數(shù)列an(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證.【正確答案】(1)，(2)證明見解析【詳解】（1）已知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，顯然時(shí)，，滿足上式，綜上，；（2）由上知:，故，易知單調(diào)遞增，時(shí)，，又，即，證畢.16.（本小題15分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，．(1)求的面積；(2)求AB邊上的高的最大值.【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）在中，由，得，解得，由及正弦定理，得，即，則，而，解得，所以的面積.（2）由余弦定理，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，設(shè)h為AB邊上的高，則，即，所以AB邊上的高的最大值為.17.（本小題15分）如圖，在正四棱錐中，各棱長均為，為側(cè)棱上的點(diǎn)，是中點(diǎn).(1)若是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；(2)是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【正確答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）解：如圖所示，設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在正方形中，由，可得，又因?yàn)椋?，所以，可得，則，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，可得，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面所成角的正弦值.（2）解：因?yàn)?，可得，設(shè)，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，若平面，可得，即可得，解得，所以，即存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)的值為.18.（本小題17分）已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)間的距離為.(1)求與的方程；(2)過坐標(biāo)軸上的點(diǎn)可以作兩條與的公切線.（i）求點(diǎn)的坐標(biāo).（ii）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，是否存在過點(diǎn)的直線，使與均有兩個(gè)交點(diǎn)？若存在，請求出的方程；若不存在，請說明理由.【正確答案】(1)(2)（i）或或或；（ii）不存在，理由見解析【詳解】（1）由題意可得，解得.所以.（2）（i）顯然公切線的斜率存在且不為0，設(shè)公切線，聯(lián)立得，則，即①聯(lián)立得，則，即②聯(lián)立①②得，所以公切線為或.公切線的交點(diǎn)即點(diǎn)的坐標(biāo)，由，解得，由，解得，由，解得，，解得，綜上所述：或或或.（ii）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，，假設(shè)存在直線與均有兩個(gè)交點(diǎn)，由（i）知，不等式組無解，所以不存在過點(diǎn)的直線與均有兩個(gè)交點(diǎn).19.（本小題17分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn).（i）求的取值范圍；（