河南省新鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題合集2套（含解析）

河南省新鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．在正三棱柱中，則平面內(nèi)不可能存在一條直線與直線（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．異面2．已知角，直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．已知退休的王大爺連續(xù)天戶(hù)外運(yùn)動(dòng)的步數(shù)（單位：百步）分別為50，，，，，則該組數(shù)據(jù)的均值與方差分別為（

）A．50， B．50，10 C．， D．，4．已知在空間直角坐標(biāo)系中，，，則在方向上的投影向量為（

）A． B．C． D．5．已知直線過(guò)點(diǎn)，且直線與直線平行，與直線垂直，，則直線的方程為（

）A． B．C． D．6．已知在中，，分別為，的中點(diǎn)，，，則可以用含，的式子表示為（

）A． B．C． D．7．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則有兩解 D．若，則有兩解8．在正四棱柱中，，，是該正四棱柱表面上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為（

）A．8 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．若為實(shí)數(shù)，則10．已知某籃球運(yùn)動(dòng)員共投籃兩次，記事件“第一次投籃投中”，事件“第二次投籃投中”，事件“兩次投籃均投中”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．，互為互斥事件 B．與互為互斥事件C． D．與互為對(duì)立事件11．如圖，在正方體中，為與的交點(diǎn)，平面與平面交于直線，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．平面 B．平面C． D．存在一條直線與直線，，都相交三、填空題（本大題共3小題）12．在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，且滿足，其中，則.13．在四面體中，點(diǎn)為的重心，，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù).14．甲、乙、丙三人一同下棋（無(wú)平局），甲勝乙、乙勝丙、丙勝甲的概率分別為0.6，0.5，0.4.第一局由甲、乙二人先下，丙旁觀，規(guī)則為負(fù)者在下一局旁觀，勝者與丙比賽……依次類(lèi)推.若其中有一人累計(jì)勝兩局，則結(jié)束比賽，勝兩局者最終獲勝，則甲最終獲勝的概率是.四、解答題（本大題共5小題）15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線：，.(1)若直線過(guò)點(diǎn)，求的值；(2)求點(diǎn)到直線距離的最大值.16．某高二實(shí)驗(yàn)班共有50名學(xué)生，數(shù)學(xué)老師為研究某次考試，將所有學(xué)生的成績(jī)分成5組：，，，，，得到頻率分布直方圖如下.(1)求的值，并估計(jì)本班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)（計(jì)算結(jié)果保留1位小數(shù)）；(2)全班共有24名女生，該次考試成績(jī)?cè)?20分以下的女生有8人，則不低于120分的男生有多少人？17．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求角的值；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.18．如圖，在三棱柱中，，平面平面，.(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.19．如圖，在正三棱臺(tái)中，，.

(1)求的長(zhǎng)度；(2)求三棱臺(tái)的體積.

答案1．【正確答案】A【詳解】對(duì)于A，若平面中存在一條直線與平行，平面，則平面，顯然不可能成立，故A正確；對(duì)于B，如圖，取的中點(diǎn)記為，因?yàn)樵谡庵?，平面平面，平面平面，，所以平面，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C顯然錯(cuò)誤；對(duì)于D，與異面，D錯(cuò)誤.故選：A.2．【正確答案】D【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，故角的取值范圍是.故選：D.3．【正確答案】A【詳解】均值：，方差.故選：A.4．【正確答案】C【詳解】由題意可得，，所以在方向上的投影向量為.故選：C.5．【正確答案】B【詳解】由題意得，直線與直線垂直，則，解得，故直線的方程為，即.故選：B.6．【正確答案】B【詳解】由題意得，，，故，故.故選：B.7．【正確答案】D【詳解】由正弦定理，得，當(dāng)時(shí)，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故B有兩解，故C正確；當(dāng)時(shí)，，得，僅有一解，故D錯(cuò)誤.故選：D.8．【正確答案】B【詳解】如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，則，故，故，又，，平面，平面，故平面，又平面，故.在上取點(diǎn)，使，同理可證.又，平面，平面，則平面.設(shè)平面與棱交于點(diǎn)，連接.則平面平面，又平面平面，由平面平面，則，同理可證，故四邊形為平行四邊形，則四點(diǎn)共面.在平面內(nèi)，在棱上取點(diǎn)，使，連接，則，，則四邊形是平行四邊形，則，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，則，即為棱的中點(diǎn)，由，可得，則四邊形為菱形.且平面.由，則點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面內(nèi)，即平面內(nèi).又是該正四棱柱表面上的一動(dòng)點(diǎn)，故點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即為菱形，且該菱形的周長(zhǎng)為.所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為.故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，即，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋傻?，，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，即，故D正確.故選：ACD.10．【正確答案】BD【詳解】對(duì)于A，，兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，與不可能同時(shí)發(fā)生，故B正確；對(duì)于C，為，的交事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)應(yīng)的事件是第一次投籃未投中或第二次投籃未投中，故與互為對(duì)立事件，D正確.故選：BD.11．【正確答案】ACD【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接，

則為的中點(diǎn)，故在中，為中位線，故，因?yàn)槠矫?，平面，故平面，A正確；假設(shè)平面，由平面，則，又，，，平面，故平面，平面，所以，在正方形中不可能成立，故假設(shè)錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；由平面，又直線為平面與平面的交線，所以，又，所以，C正確；如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，取的中點(diǎn)，連接，，，，

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，則，由，又，，則，則，故，，三點(diǎn)共線，故存在一條直線與直線，，都相交，D正確.故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】由，，則，，又，則，解得或，又，則，故答案為.13．【正確答案】3【詳解】如圖，連接，則，故，而，故．故3．14．【正確答案】0.504【詳解】甲最終獲勝的所有比賽情形有3種，甲勝前兩局：；第一局甲勝乙，第二局丙勝甲，第三局乙勝丙，第四局甲勝乙：；第一局乙勝甲，第二局丙勝乙，第三局甲勝丙，第四局甲勝乙：，故甲最終獲勝的概率為.故0.504.15．【正確答案】(1)(2)5【詳解】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)?2,3代入直線的方程得，，整理得，解得.（2）直線的方程可化為，聯(lián)立解得故直線恒過(guò)點(diǎn)，如圖可知，當(dāng)時(shí)點(diǎn)到直線距離的取最大值，最大值為，，故點(diǎn)到直線距離的最大值為5.

16．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）由，解得.因?yàn)椋?，故中位?shù)為.（2）該次考試成績(jī)?cè)?20分以下的總?cè)藬?shù)為，故120分以下男生人數(shù)為，故不低于120分的男生人數(shù)為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1），由正弦定理得，故，又故.（2）由，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故周長(zhǎng)的最大值為.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【詳解】（1）證明：由，得，又平面平面，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，，平面，故平?（2）不妨設(shè)，由（1）知，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，易知平面的一個(gè)法向量為，故，故所求二面角的正弦值為.19．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，由題意知，，則平行且相等，四邊形為平行四邊形，可知平行且相等，則在中，，，，由余弦定理，得，∵，，∴，易得，則，得.過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，，，故，故.

（2）作平面交平面于點(diǎn)，連接，，∵平面，故，又，，且兩直線在平面內(nèi)，則平面，又平面，故，即，易得，故，∴，故，得.故河南省新鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．在空間四邊形中，（

）A． B． C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．3．《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽(yáng)馬”實(shí)為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽(yáng)馬”中，E為的重心，若，，，則（

）A． B．C． D．4．設(shè)，分別為兩平面的法向量，若兩平面所成的角為60°，則t等于（

）A．1 B． C．或 D．25．已知為平面內(nèi)一點(diǎn)，若平面的法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A．2 B． C． D．16．已知空間中三點(diǎn)，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（

）A． B． C．3 D．7．已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．8．在正三棱柱中，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A．2 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．10．如圖，四邊形，都是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，，分別是線段，的中點(diǎn)，則（

）

A．B．異面直線，所成角為C．點(diǎn)到直線的距離為D．的面積是11．在平行六面體中，，，若，其中，，，則下列結(jié)論正確的為（

）A．若點(diǎn)在平面內(nèi)，則 B．若，則C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為 D．當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)向量，，若，則.13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，若四點(diǎn)共面，則.14．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)G為底面的重心，點(diǎn)M是線段上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的平面分別交棱，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，，，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間向量.(1)求；(2)判斷與以及與的位置關(guān)系.16．已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)G是的重心，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn).(1)用，，表示，并求出；(2)求.17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn).(1)證明：，，，四點(diǎn)共面；(2)若點(diǎn)在棱，且平面，求的長(zhǎng)度.18．如圖，四棱柱的底面為矩形，為中點(diǎn)，平面平面．(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．19．在三棱臺(tái)中，平面，，D，E分別為CA，CB的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)已知，F(xiàn)為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）.①求三棱臺(tái)的體積；②求與平面所成角的正弦值的最大值.

答案1．【正確答案】B【詳解】.故選：B.2．【正確答案】C【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)規(guī)則判斷即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選C．3．【正確答案】B【分析】連接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，則F為CD的中點(diǎn)，利用向量的加減運(yùn)算可得答案【詳解】連接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，因?yàn)镋為的重心，則F為CD的中點(diǎn)，且，所以.故選B．4．【正確答案】C【分析】借助向量夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)榉ㄏ蛄浚傻慕桥c兩平面所成的角相等或互補(bǔ)，所以，得．故選C．5．【正確答案】B【分析】計(jì)算，直接利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)?，面的法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為.故選B.6．【正確答案】D【分析】依題意求出，，，，即可求出，再由面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，則，，，所以，又因?yàn)?，所以，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積.故選D.7．【正確答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，則向量在向量上的投影向量為.故選D.8．【正確答案】D【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合線線關(guān)系求線段的表達(dá)式，利用函數(shù)求最值即可.【詳解】因?yàn)檎庵?，有，所以為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭抢馍弦粍?dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，因?yàn)?，且，所以，于是令，所以，，又函?shù)在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即線段長(zhǎng)度的最小值為.故選D.9．【正確答案】AB【分析】由空間中基底的概念以及共面定理逐項(xiàng)分析即可.【詳解】設(shè)，所以，無(wú)解，所以是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A正確；設(shè)，則，所以，無(wú)解，所以是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B正確；因?yàn)?，所以是共面向量，不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以是共面向量，不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤．故選AB．10．【正確答案】AC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法判斷A、B、C項(xiàng)；再由，可得到的距離即為到的距離，最后由面積公式判斷D項(xiàng).【詳解】因?yàn)樗倪呅?，都是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，所以，又平面平面，平面，所以平面，由題意知，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，又，分別是線段，的中點(diǎn)，所以，，所以，，又，不共線，所以，故A正確；，，設(shè)異面直線，所成角為，則，又，所以，即異面直線，所成角為，故B錯(cuò)誤；由，，得，所以點(diǎn)P到直線DF的距離為，故C正確；因?yàn)?，所以到的距離即為到的距離，所以的面積，故D錯(cuò)誤.故選AC．

11．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)平面向量的基本定理及空間向量的加法法則可得，進(jìn)而求解判斷A；根據(jù)空間向量的數(shù)量積定義和線性運(yùn)算可得，，進(jìn)而結(jié)合即可求解判斷B；由題易知四面體為正四面體，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，到平面的距離為，進(jìn)而結(jié)合三棱錐的體積公式求解判斷C；根據(jù)空間向量的數(shù)量積定義及運(yùn)算律可得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式即可求解判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若點(diǎn)在平面內(nèi)，易知有，所以，又，則，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由題意易得，，且，又，即，故，解得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題易知四面體為正四面體，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為的中心，易得，．當(dāng)時(shí)，到平面的距離為，所以，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D，由B知，，又，由基本不等式可知，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以長(zhǎng)度的最小值為，故D正確．故選ABD．【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵在于利用空間向量的的數(shù)量積定義和線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使之轉(zhuǎn)化為較易的問(wèn)題進(jìn)行解決.12．【正確答案】4.【分析】根據(jù)空間向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，解?故4.13．【正確答案】6.【分析】先由點(diǎn)的坐標(biāo)求得向量，再利用共面向量定理得到，由此列出方程組即可求得.【詳解】由題意，得，又因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，則存在，使得，即，即，解得，所以.故6.14．【正確答案】.【分析】由空間向量基本定理得，因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，由平面向量基本定理得，可解得的值.【詳解】由題意可知，因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，，使，所以，所以，所以所以.故答案為.15．【正確答案】(1)；(2)，.【分析】（1）直接利用向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.（2）利用向量垂直和平行的判定直接判斷即可.【詳解】（1）由題知，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)?，所以，所?【思路導(dǎo)引】本題的關(guān)鍵在于合理利用向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，熟悉向量加法和向量乘法的定義和性質(zhì).16．【正確答案】(1)，；(2).【分析】（1）首先根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算得到，再求其模長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)展開(kāi)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)G是的重心，所以，因?yàn)?，所以，所?（2）.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)3.【分析】（1）連接，，，可得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到，結(jié)合即可得到，進(jìn)而求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：連接，，，因?yàn)?，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，所以，，，四點(diǎn)共面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，可得，，，，則，，設(shè)，即，則，由平面，故，即，解得，所以.【方法總結(jié)】利用空間向量求解立體幾何問(wèn)題的一般步驟（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)公式求出相應(yīng)的角或距離.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得，由勾股定理的逆定理可得，然后利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連接，由已知可證得兩兩互相垂