江西省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上冊9月月考考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

江西省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月月考考試數(shù)學(xué)檢測試題卷I（選擇題）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。）1.設(shè)集合，，則（

）A. B. C. D.2.以下函數(shù)滿足的的是（）A. B.C. D.3.記正項等差數(shù)列的前n項和為，，則的最大值為（）A.9 B.16 C.25 D.504.直線與平行，則實數(shù)（）A. B. C.或 D.05.的展開式中的系數(shù)為（）A.7 B.23 C.－7 D.－236.文娛晚會中，學(xué)生的節(jié)目有5個，教師的節(jié)目有2個，如果教師的節(jié)目不排在第一個，也不排在最后一個，并且不相鄰，則排法種數(shù)為（）A.720 B.1440 C.2400 D.28807.已知四棱錐中，底面是矩形，且，側(cè)棱底面，若四棱錐外接球的表面積為，則該四棱錐的表面積為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，當(dāng)實數(shù)時，對于都有恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。未全對給3分，全對6分。）9.已知復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.若，則 B.C. D.10.已知函數(shù)，則（）A. B.在單調(diào)遞增C.有最小值 D.的最大值為11.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，則（）A. B.C. D.卷II（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分。）12.已知函數(shù)，則在處的切線方程為__________.13.已知正數(shù)滿足，則的最小值為______．14.已知平面向量，為單位向量，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為________．四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15題13分；16-17題15分；18-19題17分）15.已知等差數(shù)列的公差為d（），前n項和為，且滿足；，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求．16.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：當(dāng)時，17.已知△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若點(diǎn)D在邊BC上，且，，求△的面積.18.如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的動點(diǎn)，是棱AB上的一點(diǎn)，且.（1）求證:;（2）若直線MN與平面MBC所成角的正弦值是，求點(diǎn)的位置.19.已知點(diǎn)，圓過點(diǎn)的動直線與圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的軌跡方程；（2）當(dāng)，求的方程及的面積．高三數(shù)學(xué)答案1.【正確答案】A【分析】化簡集合或，，即可利用集合的交運(yùn)算定義求解.【詳解】由得或，,故，故選：A2.【正確答案】A【分析】由可得A正確；由對數(shù)函數(shù)真數(shù)的范圍可得B錯誤；代入無意義可得C錯誤；由可得D錯誤；【詳解】對于A，，所以，故A正確；對于B，，因為原函數(shù)的定義域為，所以無意義，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，而無意義，故C錯誤；對于D，，故D錯誤；故選：A.3.【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計算可得，利用基本不等式計算即可得出結(jié)果.詳解】∵，又∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”∴的最大值為25.故選：C4.【正確答案】A【分析】由直線與直線平行的充要條件，列式求解即可.【詳解】因為直線與平行，所以且，解得.故選：A.5.【正確答案】A【分析】通過和的展開式通項來得到展開式中的系數(shù).【詳解】的展開式通項為，的展開式通項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：A6.【正確答案】B【分析】先將學(xué)生的節(jié)目全排列，然后對教師節(jié)目進(jìn)行插空即可得解.【詳解】由題意可知，先將學(xué)生的節(jié)目全排列有種排法，然后對教師節(jié)目進(jìn)行插空有種排法，所以滿足題意的排法種數(shù)為種.故選：B.7.【正確答案】D【分析】由長方體模型得出，，再由線面關(guān)系結(jié)合面積公式得四棱錐的表面積.【詳解】由題可將四棱錐的外接球看作是一個長方體的外接球，是長方體的體對角線，則球心是的中點(diǎn)，設(shè)外接球的半徑，則，解得，則，如圖，連接，由底面可知，.在中，，所以.在中，，，所以，所以.因為底面，所以，又平面PAB，所以平面，因為平面，所以，同理可證，，所以，又矩形的面積，所以該四棱錐的表面積為.故選：D8.【正確答案】A【分析】通過求導(dǎo)分析的單調(diào)性得到的最小值，由恒成立得到，得到，構(gòu)造函數(shù)，由的最小值得到的最大值.【詳解】，令得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，則恒成立，則，令，，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．故的最大值為．故選：A．9.【正確答案】BCD【分析】舉出反例即可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的公式即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及坐標(biāo)表示即可判斷CD.【詳解】對于A，設(shè)，顯然，但，故A錯；對于B，設(shè)，則，，，所以，故B對；對于CD，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)向量，復(fù)數(shù)對應(yīng)向量，復(fù)數(shù)加減法對應(yīng)向量加減法，故和分別為和為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的兩條對角線的長度，所以，，故C對，D對.故選：BCD.10.【正確答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的變化趨勢等方法對選項逐一判斷即可．【詳解】已知函數(shù)，對于A選項：，正確；對于B選項：當(dāng)時，，所以，所以在單調(diào)遞增，正確；對于C選項：當(dāng)時，，故沒有最小值，不正確；對于D選項：的最小正周期為，是偶函數(shù)，定義域為．故只需研究即可．由B選項知：在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為，正確．故選：ABD．11.【正確答案】AC【分析】由焦點(diǎn)的坐標(biāo)即可判斷AB，結(jié)合拋物線的定義，即可判斷C，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷D【詳解】由題意可得F1,0，即，所以，故A正確，B錯誤；設(shè)Ax1,消去可得，則，所以，故C正確；又，則，故D錯誤；故選：AC.12.【正確答案】【分析】先求函數(shù)定義域，再用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線斜率，之后求出點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)斜式解出切線方程并化為直線的一般式即可.詳解】由題意知：，x∈0,+∞，，則切線斜率，又，所以，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，即.故答案為.13.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，得出，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為．故答案為.14.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合投影向量的計算公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】因為向量，為單位向量，且，可得，解得，所以在向量上的投影向量為.故答案為.15.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由等差數(shù)列前項和公式求得，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)求得公差即可得解；（2）由裂項相消法即可求解.【小問1詳解】，得，即．由，，成等比數(shù)列，得，，即．所以，故．【小問2詳解】，∴.16.【正確答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）證明見解析【分析】（1）當(dāng)時，求出，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值為，然后證明，即證：，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，，由，可得，由，可得，故當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【小問2詳解】解：當(dāng)時，因為，則，由，可得，由，可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，下證：，即證：．記，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，函數(shù)減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，所以恒成立，即．17.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理的邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，再應(yīng)用二倍角正弦公式化簡可得，即可求A的大小.（2）由題設(shè)可得，法一：由正弦定理及可得，再由余弦定理得到，最后根據(jù)三角形面積公式求△面積；法二：根據(jù)三角形面積公式有，由△的邊BD與△的邊DC上的高相等及已知條件可得，再由余弦定理得到，最后根據(jù)三角形面積公式求△面積；【小問1詳解】由已知及正弦定理得：，又，∴，又，∴，則，而，∴，則，故，得.【小問2詳解】由，，則.法一：在△中，，①在△中，，②∵，∴，③由①②③得：，又，得，∴，不妨設(shè)，，在△中，由余弦定理可得，，得，所以法二.∵△的邊BD與△的邊DC上的高相等，∴，由此得：，即，不妨設(shè)，，在△中，由余弦定理可得，，得，所以.18.【正確答案】（1）證明見解析；（2）是棱PD的中點(diǎn).【分析】（1）首先利用垂直關(guān)系證明互相垂直，再以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積證明線線垂直；（2）首先求平面的法向量，再利用線面角的向量公式，建立方程，即可求解.【小問1詳解】證明：因為，所以，所以，因為平面平面ABCD，平面平面平面，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以，因為四邊形是矩形，所以，故兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，所以，因為所以，即；【小問2詳解】由（1），得設(shè)為平面的法向量，則，令，得，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，因為，所以，即是棱PD的中點(diǎn).19.【正確答案】（1）（2），【分析】（1）由圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出坐標(biāo)，由與數(shù)量積等于0列式得的軌跡方程；（2）法一：由確定點(diǎn)M與點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的等式，再結(jié)合（1）中軌跡方程，可求得l的方程，進(jìn)而求弦長、圓心到直線的距離，即可求面積；法二：由確定點(diǎn)M與點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的等式，求得坐標(biāo)，確定直線方程，后同法一.【