2024-2025學(xué)年黑龍江省大慶市高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)階段試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省大慶市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段試卷說(shuō)明：1.請(qǐng)將答案填涂在答題卡的指定區(qū)域內(nèi).2.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題（本題型共8小題，第小題5分，共40分）1.設(shè)全集，則（）A. B.[1，2] C. D.2.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（）A. B. C. D.3.已知平面向量滿(mǎn)足:，且在上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.4.已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.65.已知函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，則是的（）A必要而不充分條件 B.充分而不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知的定義域?yàn)?，則關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.68.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，則（）A.1 B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題型共3小題，每小題6分，共18分）9.關(guān)于函數(shù)，其中正確命題是（）A.是以為最小正周期周期函數(shù)B.的最大值為C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合D.在區(qū)間上單調(diào)遞減10.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為，公差為，其前項(xiàng)和為，若，則下列說(shuō)法正確的是（）AB當(dāng)時(shí)，最大C.使得成立的最大自然數(shù)D.數(shù)列中的最小項(xiàng)為11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是B.當(dāng)且時(shí)，C.對(duì)于任意滿(mǎn)足D.若存在極值點(diǎn)，且，其中，則三、填空題（本題型共3小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_______.13.若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則__________.14.在銳角三角形中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足，若存在最大值，則的取值范圍是___________.四、解答題（本題型共5題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.（1）求證:數(shù)列為等比數(shù)列;（2）已知，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.16.如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為正方形，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.17.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且離心率.（1）求雙曲線(xiàn)的方程;（2）記點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于M，N兩點(diǎn).探究:是否為定值，若是，求出該定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.18.為加深學(xué)生對(duì)新中國(guó)成立以來(lái)我國(guó)在經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技創(chuàng)新、精神文明建設(shè)等方面取得成就的了解，某學(xué)校高二年級(jí)組織舉辦了知識(shí)競(jìng)賽．選拔賽階段采用逐一答題的方式，每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3道題則進(jìn)入初賽，累計(jì)答錯(cuò)3道題則被淘汰．初賽階段參賽者每?jī)扇艘唤M進(jìn)行比賽，組織者隨機(jī)從準(zhǔn)備好的題目中抽取2道試題供兩位選手搶答，每位選手搶到每道試題的機(jī)會(huì)相等，得分規(guī)則如下：選手搶到試題且回答正確得10分，對(duì)方選手得0分，選手搶到試題但沒(méi)有回答正確得0分，對(duì)方選手得5分，2道試題搶答完畢后得分少者被淘汰，得分多者進(jìn)入決賽（若分?jǐn)?shù)相同，則同時(shí)進(jìn)入決賽）．（1）已知選拔賽中選手甲答對(duì)每道試題的概率為，且回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求甲進(jìn)入初賽的概率；（2）已知初賽中選手甲答對(duì)每道試題概率為，對(duì)手答對(duì)每道試題的概率為，兩名選手回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求初賽中甲的得分的分布列與期望；（3）進(jìn)入決賽后，每位選手回答4道試題，至少答對(duì)3道試題勝出，否則被淘汰，已知選手甲進(jìn)入決賽，且決賽中前3道試題每道試題被答對(duì)的概率都為，若甲4道試題全對(duì)的概率為，求甲能勝出的概率的最小值．19.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的值域；（2）若.①判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出其單調(diào)區(qū)間；②已知，且當(dāng)，都有恒成立，求的所有可能取值.2024-2025學(xué)年黑龍江省大慶市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段試卷說(shuō)明：1.請(qǐng)將答案填涂在答題卡的指定區(qū)域內(nèi).2.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題（本題型共8小題，第小題5分，共40分）1.設(shè)全集，則（）A. B.[1，2] C. D.【正確答案】C【分析】求得的定義域，和值域，由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?,3，的值域?yàn)?,4，所以.故選：C2.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的概念可得出復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由可得，即，所以，，所以，，所以，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.3.已知平面向量滿(mǎn)足:，且在上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由投影向量和向量夾角的計(jì)算公式求解即可；【詳解】由題意可得，又，且，所以，所以與的夾角為.故選：B.4.已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.6【正確答案】C【分析】由平均數(shù)及百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】依題意，，解得，將數(shù)據(jù)從小到大排列可得：，又，則分位數(shù)為.故選：C.5.已知函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，則是的（）A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，推得為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，再結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，函數(shù)與均為遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以在也為單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，由，故fa>f?b故任意實(shí)數(shù)a，b，則是的充要條件.故選：C.6.函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】表示出，再結(jié)合余弦函數(shù)圖像計(jì)算即可；【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合余弦函數(shù)圖像可得，解得，故選：D.7.已知的定義域?yàn)?，則關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】B【分析】由，解得或，再對(duì)函數(shù)解析式分段討論解方程即可．特別注意依據(jù)時(shí)函數(shù)的范圍確定的范圍.【詳解】由，解得：或，又f(x)=1?若，當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，此種情況無(wú)解；若，當(dāng)時(shí)，或，即或；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，則，滿(mǎn)足題設(shè)；當(dāng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性及時(shí)知，，故此種情況無(wú)解；綜上所述：的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為4個(gè)，分別是.故選：B．8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，則（）A.1 B. C. D.【正確答案】B【分析】由遞推關(guān)系得到，再分別求出和時(shí)數(shù)列an的通項(xiàng)，最后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可；【詳解】由題意，且，所以，當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則，當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列an的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題型共3小題，每小題6分，共18分）9.關(guān)于函數(shù)，其中正確命題是（）A.是以為最小正周期的周期函數(shù)B.的最大值為C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【正確答案】ABD【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)，接著即可由函數(shù)性質(zhì)直接得出函數(shù)的最小正周期和最值，進(jìn)而可判斷AB；對(duì)于C，由平移變換知識(shí)求得變換之后的解析式為即可判斷；對(duì)于D，由得，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可判斷.【詳解】由題得，對(duì)于A，函數(shù)最小正周期，故A正確；對(duì)于B，函數(shù)最大值為，故B正確；對(duì)于C，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可得到函數(shù)解析式為，所以該函數(shù)圖象不會(huì)與已知函數(shù)的圖象重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，，因?yàn)檎液瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.10.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為，公差為，其前項(xiàng)和為，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，最大C.使得成立的最大自然數(shù)D.數(shù)列中的最小項(xiàng)為【正確答案】BCD【分析】因?yàn)镾10?S9【詳解】等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，則S因?yàn)樗?，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以當(dāng)時(shí)，最大，B選項(xiàng)正確；S17=17a1+由上面可知a所以或時(shí)，Snan當(dāng)時(shí),,且增大時(shí)，增大，減小,則減小，從而增大，綜上可得數(shù)列中的最小項(xiàng)為，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是B.當(dāng)且時(shí)，C.對(duì)于任意滿(mǎn)足D.若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A,B,求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，求得極值，構(gòu)造不等式即可判斷；對(duì)于C，代入解析式化簡(jiǎn)即可；對(duì)于D，由，得到代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】對(duì)于A:當(dāng)時(shí)，，，由，可得或，由，可得，所以的增區(qū)間為和0,+∞，減區(qū)間為，所以在處取到極大值，在處取到極小值，若有三個(gè)零點(diǎn)，則解得，故正確；對(duì)于B：當(dāng)，，，同時(shí)，結(jié)合A函數(shù)的單調(diào)性得，故錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故正確；對(duì)于D：若，由，得，則，其中代入，得，整理得，即，結(jié)合題設(shè)，故正確，故選:ACD三、填空題（本題型共3小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_______.【正確答案】1【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)可知為等比數(shù)列，由此列式求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，由可知，因?yàn)?，，所以，且，解得，?13.若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則__________.【正確答案】【分析】先求出曲線(xiàn)在的切線(xiàn)方程，再設(shè)曲線(xiàn)的切點(diǎn)為，求出，利用公切線(xiàn)斜率相等求出，表示出切線(xiàn)方程，結(jié)合兩切線(xiàn)方程相同即可求解.詳解】由得，，故曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為；由得，設(shè)切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切的切點(diǎn)為，由兩曲線(xiàn)有公切線(xiàn)得，解得，則切點(diǎn)為，切線(xiàn)方程為，根據(jù)兩切線(xiàn)重合,所以，解得.故14.在銳角三角形中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足，若存在最大值，則的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】利用正余弦定理化簡(jiǎn)易知可得，再根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，由銳角三角形可得角范圍，進(jìn)而可得的范圍.【詳解】由余弦定理得整理得，由正弦定理得則，整理得，因?yàn)?，所以，即，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，因?yàn)榇嬖谧畲笾?，所以，所以，所?故四、解答題（本題型共5題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.（1）求證:數(shù)列為等比數(shù)列;（2）已知，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）當(dāng)n=1時(shí)代入求出，當(dāng)時(shí)仿寫(xiě)作差即可；（2）將數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為，利用等比數(shù)列的求和公式求出，利用錯(cuò)位相減法求出即可；【小問(wèn)1詳解】當(dāng)n=1時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減得，所以，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，所以，設(shè)數(shù)列bn的前項(xiàng)和為，所以，即，令，知，，，作差得，化簡(jiǎn)，所以16.如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為正方形，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）證明，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可得證；（2）先證明兩兩垂直，再以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面；【小?wèn)2詳解】設(shè)，在中，由余弦定理得，，即，所以，則，同理可得，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，同理，又平面，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，又，則以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，在Rt中，，則，所以，設(shè)平面法向量，則，取，得，因?yàn)槠矫?，所以平面的法向量可取，則，所以平面MNC與平面PBC所成二面角的正弦值為.17.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且離心率.（1）求雙曲線(xiàn)的方程;（2）記點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于M，N兩點(diǎn).探究:是否為定值，若是，求出該定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】（1）（2）是定值，1【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程，求的值，可得雙曲線(xiàn)的方程.（2）對(duì)直線(xiàn)斜率是否為0分類(lèi)討論.當(dāng)直線(xiàn)斜率部位0時(shí)，設(shè)其方程為：，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理，表示出，，再表示出，化簡(jiǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為，由題意得，，解得，故雙曲線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】如圖：由題意得，，當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率為零時(shí)，則當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為，點(diǎn)，聯(lián)立，整理得，則m2?2≠0Δ=24m所以，所以，綜上，，為定值.18.為加深學(xué)生對(duì)新中國(guó)成立以來(lái)我國(guó)在經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技創(chuàng)新、精神文明建設(shè)等方面取得成就的了解，某學(xué)校高二年級(jí)組織舉辦了知識(shí)競(jìng)賽．選拔賽階段采用逐一答題的方式，每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3道題則進(jìn)入初賽，累計(jì)答錯(cuò)3道題則被淘汰．初賽階段參賽者每?jī)扇艘唤M進(jìn)行比賽，組織者隨機(jī)從準(zhǔn)備好的題目中抽取2道試題供兩位選手搶答，每位選手搶到每道試題的機(jī)會(huì)相等，得分規(guī)則如下：選手搶到試題且回答正確得10分，對(duì)方選手得0分，選手搶到試題但沒(méi)有回答正確得0分，對(duì)方選手得5分，2道試題搶答完畢后得分少者被淘汰，得分多者進(jìn)入決賽（若分?jǐn)?shù)相同，則同時(shí)進(jìn)入決賽）．（1）已知選拔賽中選手甲答對(duì)每道試題的概率為，且回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求甲進(jìn)入初賽的概率；（2）已知初賽中選手甲答對(duì)每道試題的概率為，對(duì)手答對(duì)每道試題的概率為，兩名選手回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求初賽中甲的得分的分布列與期望；（3）進(jìn)入決賽后，每位選手回答4道試題，至少答對(duì)3道試題勝出，否則被淘汰，已知選手甲進(jìn)入決賽，且決賽中前3道試題每道試題被答對(duì)的概率都為，若甲4道試題全對(duì)的概率為，求甲能勝出的概率的最小值．【正確答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3）．【分析】（1）設(shè)為甲的答題數(shù)，則可能取3，4，5．求出概率即可；（2）可能取0，5，10，15，20．求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列求出期望；（3）甲能勝出的概率，即．求導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性求解．【小問(wèn)1詳解】設(shè)為甲的答題數(shù)，則可能取3，4，5．；；．所以甲進(jìn)入初賽的概率為．【小問(wèn)2詳解】可能取0，5，10，15，20．；；；；．的分布列為05101520所以．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)榧?道試題全對(duì)的概率為，所以第4道試題答對(duì)的概率為，所以甲能勝出的概率，即．因?yàn)?，所以在上單調(diào)