2024-2025學年黑龍江省雙鴨山市高三上冊10月月考數學檢測試題（含解析）

2024-2025學年黑龍江省雙鴨山市高三上學期10月月考數學檢測試題注意事項：1．答題前考生需將姓名、班級填寫在答題卡指定位置上，并粘貼好條形碼．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．3．回答非選擇題時，請使用0.5毫米黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡各題目的答題區(qū)域內，超出答題區(qū)域或在草稿紙、本試卷上書寫的答案無效．4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄皺、弄破，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設，則（）A. B. C. D.2.已知a，b是實數，則“且”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知復數且是實數，則實數a等于（）A. B. C. D.4.已知向量，滿足，其中是單位向量，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.5.設等差數列的前項和為．若，則的公差為（）A. B. C. D.6.已知，則的值為（）A. B. C. D.7.已知x，y正實數，則（）A. B.C. D.8.設函數在區(qū)間上存在零點，則的最小值為（）A.0 B.e C. D.1二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對任意復數為虛數單位，則下列結論中正確的是（）A. B.C D.10.設是公差為的無窮等差數列的前n項和，則下列命題中正確的是（）A.若，則數列有最小項B.若數列有最小項，則C.若數列是遞減數列，則對任意的，均有D.若對任意的均有，則數列是遞減數列11.已知函數，下列命題正確的有（）A.在上單調遞增B.在上存在兩個零點C.在上存在三個極小值點D.函數為周期函數，且可為周期三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數偶函數，則實數__________．13.函數最小正周期為______．14.已知向量，滿足，則的最大值與最小值之和為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、解答過程或演算步驟．15.已知數列的前項和為，且，數列滿足．（1）求；（2）設，數列的前項和為，求．16.記內角的對邊分別為為銳角，已知，．（1）求；（2）若的面積為，求．17.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）證明.18.已知函數．（1）當在處的切線與?x在處的切線相同時，求的最小值；（2）設，當x∈0,+∞時，恒成立，求的取值范圍．19.已知數列為等差數列，前項和為，數列為等比數列，公比，前項和為，數列的前項和為中的項滿足．（1）當時，求的值；（2）否存在使得，若存在有幾個，請說明理由；（3）設數列的前項和為，證明：．2024-2025學年黑龍江省雙鴨山市高三上學期10月月考數學檢測試題注意事項：1．答題前考生需將姓名、班級填寫在答題卡指定位置上，并粘貼好條形碼．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．3．回答非選擇題時，請使用0.5毫米黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡各題目的答題區(qū)域內，超出答題區(qū)域或在草稿紙、本試卷上書寫的答案無效．4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄皺、弄破，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據給定條件，利用補集、交集的定義求解即得.【詳解】由，，得，而，所以.故選：B.2.已知a，b是實數，則“且”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】結合不等式的性質，立意充分性、必要性的定義即可得出答案.【詳解】充分性：若且可以得且，故充分性成立，必要性：若，可得同號，又，可得“且”，故必要性成立，所以“且”是“且”的充分必要條件.故選：C．3.已知復數且是實數，則實數a等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】結合共軛復數的概念與復數和乘法運算表示出，由其為實數待定即可.【詳解】由為實數，則的共軛復數，則，由為實數，所以所以，故選：C．4.已知向量，滿足，其中是單位向量，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由模的平方得數量積與的關系，再代入投影向量公式可得.【詳解】因為平方得，,又，則化簡得，故在方向上的投影向量是.故選：D．5.設等差數列的前項和為．若，則的公差為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據條件，利用等差數列的前項和公式及等差數列的性質，可得，，即可求解.【詳解】因為，得到，又，所以，所以，故選：A．6.已知，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】將已知等式平方后再結合同角的三角函數和二倍角的余弦公式化簡計算即可；【詳解】由兩邊平方得，所以，所以所以．故選：A．7.已知x，y為正實數，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據指數與對數的運算性質，合理運算、化簡即可得到結果.【詳解】當時，，，，故A,B,C都不成立，因為，故D正確.故選：D8.設函數在區(qū)間上存在零點，則的最小值為（）A.0 B.e C. D.1【正確答案】A【分析】設零點為，則在直線上，根據的幾何意義將問題轉化為點到直線的距離問題，利用導數求解可得.【詳解】設零點為，則，在直線上，的幾何意義為點到原點距離的平方，其最小值為原點到直線的距離的平方，，設且，，所以在單調遞減，所以．故選：A．關鍵點點睛：關鍵在于利用幾何意義將問題轉化為點到直線的距離，然后利用導數求解即可.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對任意復數為虛數單位，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】利用復數的運算性質對選項一一分析，即可得出答案.【詳解】對于A，(x，yR)，故A正確：對于B，，故B不正確：對于C，不一定成立，故C不正確：對于D，，故D正確.故選：AD.10.設是公差為的無窮等差數列的前n項和，則下列命題中正確的是（）A.若，則數列有最小項B.若數列有最小項，則C.若數列是遞減數列，則對任意的，均有D.若對任意的均有，則數列是遞減數列【正確答案】ABD【分析】由及二次函數的性質知AB正確，舉反例可說明C錯誤；D利用遞減數列定義證明即可得.【詳解】由題意得.設，，A項，由，則函數圖象開口向上，有最小值，又，為圖象上離散的點，故也有最小項，故A正確；B項，由題意得，，假設，則函數圖象開口向下，則當，則無最小項，與已知數列有最小項矛盾，假設錯誤.所以，若數列有最小項，則，故B正確；C項，舉個例子，數列：，其通項公式為，則對任意恒成立，故是遞減數列，但，不滿足，故C錯誤；D項，由任意的，均有，則，且對任意恒成立，且，故，所以，從而是遞減數列，故D正確.故選：ABD．11.已知函數，下列命題正確的有（）A.在上單調遞增B.在上存在兩個零點C.在上存在三個極小值點D.函數為周期函數，且可為周期【正確答案】BC【分析】AD項取特值則可說明錯誤；B項換元法求解方程，再結合正弦函數圖象可得；C項利用導函數符號變化分析函數的單調性，列表求極值點即可得.【詳解】，.A項，，在上不單調，故A錯誤；B項，令，，則由，即，，解得（舍），，方程有兩個實根，故B正確；C項，.則，令，得，又方程在有兩個根，不妨設，則，，方程有三個根為，方程有兩根.的變化情況如下表，

極小

極小

極小

所以的極小值點為，故C正確；D項，由，則，所以為周期函數.又，，，所以不是函數的周期，故D錯誤．故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數為偶函數，則實數__________．【正確答案】0【分析】取特值求出，然后驗證即可.【詳解】因為為定義在上的偶函數，所以，即，所以．當時，，為偶函數，所以.故013.函數的最小正周期為______．【正確答案】【分析】由余弦二倍角公式及兩角和差余弦公式化簡即可.【詳解】，所以函數fx的最小正周期為.故14.已知向量，滿足，則的最大值與最小值之和為__________．【正確答案】【分析】令，，，通過平方和三角換元得到，再借助輔助角公式即可求解.【詳解】設，，，，，且，設，其中，，則，當，時取得最大值，當即，時取得最小值4，所以最大值與最小值之和為．故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、解答過程或演算步驟．15.已知數列的前項和為，且，數列滿足．（1）求；（2）設，數列的前項和為，求．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）已知求，利用公式求解，進而利用已知關系求即可；（2）利用錯位相減法求前項和.【小問1詳解】由，當時，.當時，，也適合綜上可得，.由，所以.【小問2詳解】由（1）知①②①②得，所以．16.記內角的對邊分別為為銳角，已知，．（1）求；（2）若的面積為，求．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）運用正弦定理進行角化邊，再用余弦定理計算出，進而求出B；（2）先求出A,再得到，后用正弦定理計算得到，，最后用面積公式計算即可.【小問1詳解】因為，由余弦定理得，，所以，因，所以，因為，所以.小問2詳解】，得，由，得．17.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）證明.【正確答案】（1）答案見解析.（2）證明見解析【分析】（1），令，分別討論，，，解不等式或即可得單調增區(qū)間和減區(qū)間，進而可得單調性.（2）設分別求，利用導數判斷兩個函數的單調性以及最值，求出即可求證.【小問1詳解】因為，所以，，，令，當時，恒成立，此時在0,+∞上單調遞減，當時，解不等式可得：，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，當時，解不等式可得：，所以在上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述：當時，0,+∞上單調遞減，當時，在和上單調遞減，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，【小問2詳解】由可得，由可得，由可得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，設，則，由即可得；由即可得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，所以對任意的0,+∞恒成立.18.已知函數．（1）當在處的切線與?x在處的切線相同時，求的最小值；（2）設，當x∈0,+∞時，恒成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）1（2）【分析】（1）利用導數的幾何意義，分別求出在處的切線方程和在處切線方程，結合條件，得到，即可求解；（2）利用導數與函數的單調間的關系，先求出，再對有無零點進行討論，當的兩個零點為時，結合題知必為的零點，從而得到，進而求出，再構造函數，利用導數與函數的單調間的關系，即可求解；當無零點時，由題有，再構造函數，進而可求出，即可求解.【小問1詳解】因為，所以在處的切線方程為，又，，所以在處切線方程為，所以，，得到，又，所以的最小值為1．【小問2詳解】因為，則，由，得到，當時，，當，時，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，故，又，則在上單調遞減，在上單調遞增，令，即，，（i）當，即時，在上的兩個零點為，同時它們恰好為的零點．，即，又，則，此時，令，則，所以單調遞減，且時，，則，故．（ii），即時，在上，此時只需，即即可．此時，令，則，即在區(qū)間遞減，所以，又，故．綜上所述，的取值范圍為.關鍵點點晴：本題的關鍵在于第（2）問，先利用導數與函數的單調性間的關系，求得，再將問題轉化為討論有零點和無零點兩種情況，當有零點，求得，從而有，構造函數，再利用導數與函數的單調性，即可求出結果；當無零點時，得到，構造函數，利用導數與函數的單調性及，即可求解.19.已知數列為等差數列，前項和為，數列為等比數列，公比，前項和為，數列的前項和為中的項滿足．（1）當時，求的值；（2）是否存在使得，若存在有幾個，請說明理由；（3）設數列的前項和為，證明：．【正確答案】（1）1；（2）1個，理由見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據給定條件，求出