2024-2025學年九年級數(shù)學上學期期末模擬卷（冀教版）

20242025學年九年級數(shù)學上學期期末模擬卷（考試時間：90分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：冀教版（2012）第23章至第31章。5．難度系數(shù)：0.65第一部分（選擇題共48分）一、選擇題（本大題共16小題，每小題3分，滿分48分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1．在中，，，，則下列三角函數(shù)值正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中邊角關系是解題的關鍵．根據(jù)直角三角形三角函數(shù)關系求解即可．【詳解】解：∵，∴為直角三角形在中，，，∴，A．，故選項計算錯誤，不符合題意；B．，故選項計算錯誤，不符合題意；C．，故選項計算正確，符合題意；D．，故選項計算錯誤，不符合題意；故選：C．2．下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．守株待兔 B．旭日東升 C．大海撈針 D．水中撈月【答案】B【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：A、守株待兔，是隨機事件，不符合題意；B、旭日東升，是必然事件，符合題意；C、大海撈針，是隨機事件，不符合題意；D、水中撈月，是不可能事件，不符合題意；故選：B．3．如圖，直線，直線、與，分別相交于點、、和、、．已知，則的長為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，求得，進而求得，即可求解．【詳解】解：∵，∴∴，∴∴，故選：A．4．某小組在“用頻率估計概率”的試驗中，統(tǒng)計了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線圖，那么符合這一結(jié)果的試驗最有可能的是（

）A．袋子中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中隨機地取出一個球是黃球B．擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時結(jié)果是“正面向上”C．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時面朝上的點數(shù)是2D．從一副撲克牌中隨機抽取一張，抽到的牌是梅花【答案】C【分析】本題主要考查概率的計算和頻率估計概率；分別計算出每個事件的概率，其值在的即符合題意；【詳解】解：A、袋子中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中隨機地取出一個球是黃球的概率為，不符合題意；B、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時結(jié)果是“正面向上”的概率為，不符合題意；C、擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時面朝上的點數(shù)是2的概率為，符合題意；D、從一副去掉大小王的撲克牌中隨機抽取一張，抽到的牌是梅花的概率為，不符合題意；故選：C．5．根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，可以判定點為外心的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形外心的定義，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點，∴由作圖方法可知只有A選項的作圖中點為三條邊的垂直平分線的交點，故選：A．6．已知、是方程的兩個實數(shù)根，則的值是（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】此題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，根據(jù)題意得出代入代數(shù)式，即可求解．【詳解】解：∵、是方程的兩個實數(shù)根，∴，∴，故選：A7．“計里畫方”（比例縮放和平面直角坐標網(wǎng)格體系）是中國古代地圖制圖的基本方法和數(shù)學基礎，是中國古代地圖獨立發(fā)展的重要標志．制作地圖時，人們會利用測桿、水準儀和照板來測量距離．在如圖所示的測量距離的示意圖中，記照板“內(nèi)芯”的高度為．觀測者的眼睛（圖中用點C表示）與在同一水平線上，若某次測量中，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題側(cè)重考查相似三角形的應用，相似三角形對應邊成比例、平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．觀察圖，可知與平行，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵，∴，故B正確；∵，∴，∴，，故A錯誤，C、D正確；故選：A．8．如圖，在平面直角坐標系中，點在第一象限，與軸、軸都相切，且經(jīng)過矩形的頂點，與、分別相交．若點的坐標是，點的坐標是．則圓心的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)與軸、軸都相切，設圓心的坐標為，連接，過點作于點，設與的切點為，連接并延長，與交于點，由點的坐標是，點的坐標是，得到，求得，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵與軸、軸都相切，設圓心的坐標為，連接，過點作于點，設與的切點為，連接并延長，與交于點，∵點的坐標是，點的坐標是，∴，∴，根據(jù)勾股定理：，即，解得：或（不合題意舍去），∴圓心的坐標為，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標與圖形，勾股定理，圓切線的性質(zhì)以及垂徑定理，熟練掌握相關圖形的基本性質(zhì)是解本題的關鍵．9．如圖，四邊形是平行四邊形，是的延長線上一點，分別與交于點，，下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到平行是關鍵．根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得，，可得，，．【詳解】解：A、四邊形是平行四邊形，，，不符合題意；B、四邊形是平行四邊形，，，不符合題意；C、四邊形是平行四邊形，，，不符合題意；D、無法證明，符合題意；故選：D．10．A、B兩名同學的5次數(shù)學測試成績?nèi)鐖D表所示，A、B兩名同學數(shù)學成績的平均數(shù)依次記為，數(shù)學成績的方差依次記為，則下列說法中完全正確的是（

）考試次數(shù)12345A同學成績75909095100B同學成績8588929095A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了求平均數(shù)與方差，掌握平均數(shù)與方差計算公式是關鍵；分別求出兩同學5次數(shù)學測試成績的平均數(shù)與方差，比較即可．【詳解】解：，；，；∴；故選：D．11．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個正方形的頂點叫做格點，點，，，都在這些小正方形的頂點上，與相交于點，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，正切定義，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關鍵．連接交于點，由正方形的性質(zhì)得，進而得，又證，得，從而得，進而利用正切定義即可得解．【詳解】解：如圖，連接交于點，∵四邊形是正方形，，，根據(jù)題意，，，，，，，，在中，，，，故選：A．12．如圖，⊙O的直徑，和是它的兩條切線，與相切于點E，并與，分別相交于D，C兩點，設，，則y關于x的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】過D作交于F，由切線的性質(zhì)可證四邊形是矩形，，根據(jù)切線長定理得到，，則，在中根據(jù)勾股定理，就可以求出y與x的關系，再判斷其函數(shù)圖象即可．【詳解】解：過D作交于F，與切于點A、B，，又，，∴四邊形是矩形，，，，，切于E，與切于點A、B，，則，在中，由勾股定理得：，整理為，∴y與x的函數(shù)關系式是，y是x的反比例函數(shù)，故選：A．【點睛】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，切線長定理，矩形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，求反比例函數(shù)的解析式，解題的關鍵是正確的作出輔助線，綜合運用以上知識．13．如圖，扇形中，，點C是AB上一點，，將扇形繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，得到扇形，若點O剛好落在上的點E處，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，再根據(jù)勾股定理求出，再證出，即可求出的值．【詳解】連接，則為旋轉(zhuǎn)角，，點的對應點為點，點的對應點為點，的對應線段為，的對應線段為，，，，扇形的半徑為8，，，在中，，在和中，，，，，，故選：A．14．如圖，P是反比例函數(shù)的圖象上一點，過點P分別作x軸、y軸的平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點M，N，則的面積為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】本題考查了坐標與圖形，反比例函數(shù)的應用，三角形的面積公式，分別求得點M、N的坐標是解決本題的關鍵．設點P的坐標為，則點N的坐標為，點的坐標為，即可求得，，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【詳解】解：設點P的坐標為，軸，軸，，點N的坐標為，點的坐標為縱坐標為，，解得，點的坐標為，，，，故選：A．15．已知二次函數(shù)，當時，函數(shù)有最小值，當時，函數(shù)有最小值，則的值為（

）A．1 B．1或 C．2或 D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握對稱軸，頂點坐標中最值的計算方法是解題的關鍵．根據(jù)題意可得，二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸直線為，由當時，函數(shù)有最小值，當時，函數(shù)有最小值，，可得對稱軸在軸左邊，即，由此得到二次函數(shù)圖象的大致圖形，當x=0時，，當時，函數(shù)的最小值為，由此求出的值，即可求解．【詳解】解：已知二次函數(shù)中，，∴二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸直線為，∵當時，函數(shù)有最小值，當時，函數(shù)有最小值，，∴對稱軸在軸左邊，即，∴，如圖所示，∴當x=0時，，∴當時，函數(shù)的最小值為，解得，，又∵，∴，∴，故選：D．16．如圖，已知直線與軸、軸分別交于、兩點，是以為圓心，為半徑的圓上一動點，連結(jié)、．則面積的最小值是（）A． B．6 C．8 D．【答案】A【分析】本題考查了點與圓的位置關系，一次函數(shù)與坐標軸交點問題，三角形的面積，勾股定理；過作于，連接，則由三角形面積公式得，，可求圓上點到直線的最短距離，由此求得答案．【詳解】解：過作于，連接，直線與軸、軸分別交于、兩點，令x=0，則；令，則；點為，點為，；，，則由三角形面積公式得，，，，圓上點到直線的最小距離是，面積的最小值是故選：A．第二部分（非選擇題共72分）二、填空題（本大題共3小題，17、18題每小題3分，19題每小題3分，滿分10分）17．大約在兩千四五百年前，墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實驗中，燃燒的蠟燭（豎直放置）經(jīng)小孔在屏幕（豎直放置）上成像，設，，小孔到的距離為，則小孔到的距離為．【答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，由題意得：，根據(jù)相似三角形的相似比等于對應邊上的高之比，設小孔到的距離為，可得，據(jù)此即可求解；【詳解】解：由題意得：，∵相似三角形的相似比等于對應邊上的高之比，設小孔到的距離為．∴，即：，解得：，故答案為：18．如圖，將二次函數(shù)位于x軸的下方的圖象沿x軸翻折，得到一個新函數(shù)的圖象（實線部分）．當新函數(shù)中函數(shù)值y隨x的增大而增大時，自變量x的取值范圍是．【答案】或【分析】本題考查了二次函數(shù)與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；先求得與軸的交點坐標，根據(jù)圖象求得答案即可．【詳解】解：由題意，將二次函數(shù)位于軸的下方的圖象沿軸翻折，得到一個新函數(shù)，新函數(shù)的解析式為．當時，，解得或，根據(jù)函數(shù)圖象可得：當新函數(shù)中函數(shù)y隨x的增大而增大時，自變量x的范圍是或．故答案為：或．19．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，于點，連接，半徑，連接，于點．(1)；(2)若，則．【答案】/45度【分析】（1）由垂直定義得，由圓周角定理得到；（2）根據(jù)垂徑定理得到，由三角形中位線定理得到，證明得，于是得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴是的中位線，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：；．【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，三角形中位線，正確的識別圖形是解題的關鍵．三、解答題（本大題共7小題，滿分62分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）20．（8分）已知關于的方程．(1)求證：無論取何值，方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程有一個不小于4的根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程：（1）根據(jù)題意只需要證明即可；（2）利用因式分解法求出方程的兩個根為，再根據(jù)方程有一個不小于4的根列出不等式求解即可．【詳解】（1）證明：由題意得，，∴無論取何值，方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：∵，∴，解得，∵方程有一個不小于4的根，∴，∴．21．（8分）為了建設書香校園，更好地滿足學生的閱讀需求，某校決定新增四類書籍（科普類、文學類、藝術類、工具類），并計劃根據(jù)學生的需求情況進行采購．為此，學校隨機抽取了部分學生進行調(diào)查（每名學生必選且只選一類圖書），并將調(diào)查結(jié)果進行統(tǒng)計分析，繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)選文學類圖書的學生有_____人，_____°；(2)若該校共有學生1800人，請估計該校學生中需要工具類圖書的人數(shù)；(3)某班計劃從報名的甲、乙、丙、丁四名學生中隨機選擇兩名學生作為班級圖書管理員，請用列表或畫樹狀圖的方法，求同時選中乙和丙的概率．【答案】(1)70，108；(2)估計該校學生中需要工具類圖書的人數(shù)約180人；(3)．【分析】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，列表法與樹狀圖法，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．（1）用科普類的人數(shù)除以對應百分比可得總?cè)藬?shù)，再求出選文學類圖書的人數(shù)，用360乘“藝術類”所占百分比可得對應的圓心角度數(shù)；（2）用該校共有學生人數(shù)1800乘以工具類圖書所占百分比即可；（3）根據(jù)題意，可以畫出相應的樹狀圖，從而可以求得相應的概率．【詳解】（1）調(diào)查的學生總?cè)藬?shù)為（人），∴選文學類圖書的學生有（人）．．故答案為：70，108；（2）（人），∴估計該校學生中需要工具類圖書的人數(shù)約180人．（3）列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，?。┍ū?，甲）（丙，乙）（丙，丁）?。ǘ。祝ǘ?，乙）（丁，丙）共有12種等可能的結(jié)果，其中同時選中乙和丙的結(jié)果有：（乙，丙），（丙，乙），共2種，∴同時選中乙和丙的概率為．22．（9分）為保護青少年視力，某企業(yè)研發(fā)了可升降夾書閱讀架（如圖1），將其放置在水平桌面上的側(cè)面示意圖（如圖2），測得底座高為，，支架為，面板長為，為．（厚度忽略不計）(1)求支點C離桌面的高度；（結(jié)果保留根號）(2)當面板繞點C轉(zhuǎn)動時，面板與桌面的夾角滿足時，保護視力的效果較好．當從變化到的過程中，面板上端E離桌面的高度增加還是減少？面板上端E離桌面的高度增加或減少了多少？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)(2)高度是增加了，增加了約【分析】本題考查了解直角三角形的應用、矩形的判定與性質(zhì)，添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關鍵．（1）過點C作于點F，過點B作于點M，則四邊形為矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的長，即可得解；（2）過點C作，過點E作于點H，分別求出從變化到的過程中的值，即可得解．【詳解】（1）解：過點C作于點F，過點B作于點M，∴．由題意得，，∴四邊形為矩形，∴，．∵，∴．∵，∴．∴．答：支點C離桌面的高度為．（2）解：過點C作，過點E作于點H，∴．∵，，∴．當時，；當時，；∴∴當從變化到的過程中，面板上端E離桌面的高度是增加了，增加了約．23．（9分）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點，，與反比例函數(shù)的圖象交于點，．(1)分別求出兩個函數(shù)的解析式；(2)直接寫出不等式的解集；(3)連接、，求的面積．【答案】(1)，(2)或(3)3【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，待定系數(shù)求函數(shù)解析式、反比例函數(shù)的幾何意義；（1）將點C、D的橫、縱坐標代入反比例函數(shù)的解析式，求得m、n的值，從而點D縱坐標已知，將點C、D的橫、縱坐標代入一次函數(shù)的解析式，求得k、b的值，從而兩個函數(shù)解析式可求；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，寫出反比例函數(shù)在直線上方的自變量的取值范圍，即可求解．（3）根據(jù)，得出，即可求解．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)過點，∴，解得，．∴反比例函數(shù)的解析式為．∵直線過點，，∴，解得，．∴一次函數(shù)的解析式為．（2）解：∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點為，根據(jù)函數(shù)圖象可得當時，或（3）解：如圖所示，過點分別作軸的垂線，垂足分別，∵，，∴，∵反比例數(shù)，∴又∵∴．24．（9分）在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點A為公共頂點，．如圖②，若固定不動，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使、與邊的交點分別為M、N點M不與點B重合，點N不與點C重合．【探究】求證：．【應用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．（1）的值為___________．（2）若，則的長為___________．【答案】【探究】見解析；（1）8；（2）【探究】利用三角形外角的性質(zhì)可證，又由，可證明結(jié)論；【應用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角邊長，再由，得，則；（2）由，得，由（1）知，得，從而得出答案．【詳解】探究：∵為等腰直角三角形，，∴，同理，，∵，，∴，∴；應用：（1）∵等腰直角三角形的斜邊長為4，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用前面探索的結(jié)論解決新的問題是解題的關鍵．25．（9分）如圖是南水北調(diào)某段河道的截面圖．河道輪廓為某拋物線的一部分，小紅在枯水期測得河道寬度米，河水水面截痕米，水面到河岸水平線的距離為7.5米，以點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，解決如下問題：

(1)求河道輪廓的函數(shù)表達式，并求此時最大水深為多少米？(2)在豐水期，測得水面到的距離為米，求此時水面截痕DE的長；(3)在（2）的條件下，小紅乘坐小船游弋到河道正中央時，向右側(cè)河岸拋出一個小球，小球恰好落在點處，小球飛行過程中到水面最大距離是8米，若小紅拋球的力道和角度不改變，要想讓小球飛到河岸上（即點右側(cè)），求小紅的小船至少要向右劃行多少米？【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，正確理解題題意，建立函數(shù)模型是解題的關鍵．（1）利用拋物線對稱性求出點坐標，在用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；（2）由題意可以推出點和點的縱坐標為，代入值求出和的橫坐標，從而求出長度；（3）先求出船在中間時小球的運動軌跡拋物線解析式，再設向右劃行米，然后將點代入即可求出值．【詳解】（1）解：如解圖，過點作軸于點，由二次函數(shù)圖象的對稱性可得．，，∵，．設二次函數(shù)表達式為，將代入得，解得，二次函數(shù)表達式為．，二次函數(shù)圖象的頂點縱坐標為，此時最大水深為（米）．

（2）解：豐水期時水面到的距離是3.6米，令，即，解得，，，此時水面截痕DE的長為16米．（3）解：由題易知小球的軌跡是拋物線，如解圖，設DE的中點為，小球軌跡的頂點是點，．由（2）知，小球飛行過程中到水面最大距離是8米，且經(jīng)過，兩點，，兩點關于對稱軸對稱，．設小球的軌跡拋物線的表達式為，將代入得，解得，．設向右劃行米，小球落到點，此時拋物線表達式為，將代入可得，解得（舍去）或．答：小紅的小船至少要向右劃行米．

26．（10分）如圖1，在矩形中，邊長，，其中分別是方程的兩個根，連接．點從點出發(fā)，沿向點運動（到達點停止運動），速度為1個單位每秒，設運動時間為秒．(1)______．(2)如圖2，在運動過程中，以為圓心，的長為半徑作半圓，交射線于點，當為______時，點運動到的角平分線上，此時，半圓與有怎樣的位置關系，并加以說明．(3)如圖3，在運動過程中，連接，將沿折疊，得到，連接，當取最小值時，為______，此時，的值為______．(4)如圖4，當半圓與的邊有兩個交點時，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)5(2)(3)，(4)或【分析】（1）先解一元二次方程，得到，