高考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式恒成立問題）（全題型壓軸題）含答案及解析

專題06一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

（利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式恒成立問題）（全題型壓軸題）

目錄

①已知函數(shù)Ax）在區(qū)間。上單調(diào)........................................1

②變量分離法........................................................2

③最值法............................................................4

④變更主元法........................................................5

⑤雙變量問題/（%）*區(qū)）型...........................................6

①已知函數(shù)人幻在區(qū)間。上單調(diào)

1.（2023春?內(nèi)蒙古阿拉善盟?高二阿拉善盟第一中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)g（x）=Y+alnx+—在［L2］上是減函

X

數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

2.（2023春?內(nèi)蒙古興安盟?高二烏蘭浩特市第四中學(xué)校考期中）若函數(shù)/（力=9+班-"在區(qū)間［L2］上單

調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是.

3.（2023春?山東煙臺?高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)〃x）=x2-x+alnx在（1,+口）上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值

范圍為.

4.（2023春?甘肅酒泉?高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)“x）=6+xe*在（—,”）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍

是.

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=（x-a）cosx在［og內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍為一

②變量分離法

1.(2023春?吉林白城?高二?？计谀?已知函數(shù)/(力=廿+依在(0,〃0))處的切線與直線/：x-2y+4=0

垂直.

⑴求“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若對任意實數(shù)x,/(%)2-%2-3+%恒成立，求整數(shù)6的最大值.

2.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知”尤)=_rlnx,g(x)=x3+ax2+尤+2.

(1)討論函數(shù)y=/(元)在(0,m)(加>0)上的單調(diào)性；

⑵對一切實數(shù)xe(O,-),不等式2/(x)Wg'(x)+2恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

3.(2023春?山東德州?高二德州市第一中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/(尤)=《(e為自然對數(shù)的底數(shù)),函數(shù)

X

g[x)=mx.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若不等式/(x)+g(x)>0在(0,+⑹上恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

4.(2023春?陜西咸陽?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=("l)liu+x+}其中acR.

⑴若a=l,求曲線y=〃x)在點(2,〃2))處的切線方程;

⑵若對于任意xw(l,e],都有/(尤)-q>0成立，求。的取值范圍.

X

5.(2023春?山東德州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃無)=xe*-g/-依，aeR.

⑴若x=0是〃x)的極值點，求函數(shù)“X)的極值；

⑵若x<0時，恒有/(x)V0成立，求實數(shù)。的取值范圍.

6.(2023春?福建寧德?高二校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(x)=aln(x—1)—x+1,h{x}=--3x+\.

⑴求函數(shù)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=〃x)-/z(x),對于任意的士,務(wù)e[2,5]都有5g上省區(qū)>2成立，求實數(shù)。的取值范圍.

③最值法

1.(2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高二江蘇省揚中高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xlnx.

(1)求在點(1,。)處函數(shù)的切線方程；

⑵若對任意尤＞0,都有xln(以)2尤-a成立，求正數(shù)。的取值范圍.

2.(2023春?湖北武漢?高二校聯(lián)考期中)已知函數(shù)”x)=-2x+lnx,g(x)=xe工

⑴求函數(shù)的極值點；

⑵若/(x)Vg(x)恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx+a,若對任意的xe口]],無)恒成立，求實

數(shù)。的取值范圍.

4.（2023春?陜西渭南?高二合陽縣合陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=ex-Mnx-e（aeR）,其中e

為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若在*=1處取到極值，求a的值及函數(shù)〃尤）的最值；

（2）若/（x）有極值點，求。的取值范圍.

⑶若當xw[l,+8）時，外力20恒成立，求a的取值范圍.

5.（2023春?西藏日喀則?高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)/（x）=e，-冰，x?0且awR.

⑴求函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若/（x）2/+1恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

④變更主元法

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若不等式V+px＞4x+p-3,當0Vp＜4時恒成立，則x的取值范圍是（）

A.[-1,3]B.

C.[3,+oo）D.L（3,+＜?）

2.（2022秋?江西撫州?高一金溪一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2023^-2023-'+x2023,對任意的左g-3,3],

f（依-2）+/（尤）＜0恒成立，則x的取值范圍為.

3.（2023?高一課時練習(xí)）不等式2x-l＞的對滿足0＜相＜1的一切實數(shù)機的取值都成立，求x的取值范圍.

⑤雙變量問題/心)〃(％)型

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知〃”=111任+1)，8(%)=[曰-加，若對％e[0,3],V%e[l,2],使得

/(%1)>g(x2),則實數(shù)"z的取值范圍是.

2.(2023春?海南?？?高一?？谝恢行？计谥?VxeR,都有/(f)=/(x),且=log?(2,+1)+田，

2

g(x)=/(x)+x,/z(^)=x-2Ax+l,%e[0,3],Bx2e[l,3],使得8(西)2，々)成立,則%的范圍是.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/⑺=e0G+a)(。?區(qū)).g(x)=X+_L_1,若對任意的

gxx+i3

77e[0,2],存在mw[0,2],使得/O)2g(〃)成立，求。的取值范圍.

4.(2023?黑龍江佳木斯?佳木斯一中?？寄M預(yù)測)已知/(x)="；=+c是定義在[—2,2]上的函數(shù)，若

滿足〃x)+〃f)=0且/⑴=(.

(1)求〃尤)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(尤)=d-2〃優(yōu)+4(〃zwR),若對任意西，we[l,2],都有g(shù)(/)<〃為)恒成立，求力的取值范圍.

5.(2023春?湖北荊門?高一統(tǒng)考期末)已知"無)=bg/+—7

2X-1

⑴求“2)+(￡|+〃3)+4￡|的值；

⑵求證/(X)有且僅有兩個零點小電，并求再超的值；

(3)若g(x)=x2一ox+9,對任意的西目2,+8),々e[l,4],不等式/(%)<g(%2)恒成立，求。的取值范圍.

專題06一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

（利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式恒成立問題）（全題型壓軸題）

目錄

①已知函數(shù)/⑺在區(qū)間。上單調(diào)........................................1

②變量分離法........................................................2

③最值法............................................................4

④變更主元法........................................................5

⑤雙變量問題/&）2g（%）型...........................................6

①已知函數(shù)”幻在區(qū)間。上單調(diào)

7

1.（2023春?內(nèi)蒙古阿拉善盟?高二阿拉善盟第一中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)g（x）=f+alnx+二在［1,2］上是減函

x

數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（—,一7］

【詳解】由題可知：g'（x）=2x+--^<0,在區(qū)間［1,2］恒成立，

XX

得—2/恒成立，即2爐］,XG［1,2］

%5Anin

設(shè)〃無）=,-2尤2,xe［l,2］,尸（x）=￡-4x<0在區(qū)間［1,2］恒成立，

則函數(shù)〃x）的最小值為〃2）=1-8=-7,

所以?！川D7.

故答案為：（-0,-7］

2.（2023春?內(nèi)蒙古興安盟?高二烏蘭浩特市第四中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)/（Mnf+lnr-依在區(qū)間［L2］上單

調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】S3］

【詳解】因為函數(shù)/(x)=d+lnx-6在區(qū)間［L2］上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間［1,2］上函數(shù):(x)=2x+L-a20,所以。<2彳+士

XX

，(%)=2%T,Q?f，t\x)—2—>0,

函數(shù)r(x)=2x+1在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，f(無)而“=2+1=3

X

所以只需a?3即可.

故答案為：(-叫3］.

3.(2023春?山東煙臺?高二統(tǒng)考期末)若函數(shù)/(x)=x2r+，lnx在(1,+8)上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值

范圍為?

【答案】［—I,y)

【詳解】因為/(工)=%2—x+alnx,x>l,

所以廣⑺=21+3=2fx+a,

XX

又函數(shù)〃X)在。,內(nèi))上單調(diào)遞增，

所以廣⑴=2/1+&0在X?］,+8)上恒成立,

即a2-2/+X在xe(1,-H?)上恒成立,

令g(無)=-2x?+x,對稱軸為直線x=；,

所以函數(shù)g(x)在。,內(nèi))上單調(diào)遞減，

所以g(x)<g⑴=T，

所以〃2—1,

即實數(shù)a的取值范圍為卜1,也).

故答案為：

4.(2023春?甘肅酒泉?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃％)=辦+m”在(F,+O>)上單調(diào)遞增，則〃的取值范圍

是.

【答案】g+f

【詳解】/(x)=av+xex,f^x^=a+ex+xex,

又/(%)在(YO，+°°)上單調(diào)遞增,

所以尸(x)上。在(T?,+00)上恒成立，

即。N-(e*+xe')在(-oo,+oo)上恒成立.

令g(x)=e*+xe*,g,(x)=eT(x+2),

由g'(x)>0得尤>-2,g'(x)<0得為<-2,

所以g(x)在(F,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,y)上單調(diào)遞增，

所以g(xLn=g(-2)=e-2-2e-2=-5,

所以-(e“+%e，)有最大值-,

e

所以。之二.

e

故答案為：

5.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃%)=(%-〃)cosx在內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍為.

-...71—yfi

【答案】---，+8

_了)

【詳解】因為/(X)=(X—〃)COSJV,所以，/'(x)=cosx-(x-a)?sinx,

因為函數(shù)/'(X)在(0,：內(nèi)單調(diào)遞增，則((x)Z0在(0,：內(nèi)恒成立，

gpcosx-(x-tz)sinx>0,解得atx—Cos%.

sin%

令g(x)=x_^^,xe[o,g,則g'(x)=l+—>0,

sinx13」smx

故8⑴在(og內(nèi)單調(diào)遞增，則8⑺鵬二81.7L故此與巫，

/7)

即實數(shù)。的取值范圍為2手―，+8.

②變量分離法

1.(2023春?吉林白城?高二?？计谀?已知函數(shù)/(x)=e、+ar在(0,〃0))處的切線與直線/：x-2y+4=0

垂直.

⑴求〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若對任意實數(shù)x,_3+%恒成立，求整數(shù)匕的最大值.

【答案】⑴單調(diào)遞減區(qū)間為(Y,ln3),單調(diào)遞增區(qū)間為(ln3,4w).

(2)1

【詳解】(1)由/'(尤)=e'+a,得k=r(O)=l+a,又切線與直線/：x-2y+4=0垂直，所以％=—2,即

a=—3.

所以r(x)=e、一3,令八x)=0,得x=ln3,

當x<ln3時，/'(力<0,/(尤)單調(diào)遞減；

當尤>ln3時，/^)>0,f(x)單調(diào)遞增.

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(f,In3),單調(diào)遞增區(qū)間為(In3,y).

(2)對任意實數(shù)x,恒成立，

即對任意實數(shù)x,e*+f-3x+322｝恒成立.

設(shè)g(x)=/+x2-3x+3,QpZ?<|g(x)m,n.

g'(x)=e*+2x-3,令〃(x)=g'(x)=e"+2x-3,

所以/i'(x)=e、+2〉0恒成立，所以g'(x)=e、+2x—3在R上單調(diào)遞增.

又g'出=五-2<0,g")=e-l>0,所以存在不［；」)，使得小)=0,

即1。+2無o-3=O,所以e%=3-2%.

r

當X￡(HO,尤0)時，g(x0)<0,g(x)單調(diào)遞減；當不￡(%,收)時,g(x0)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以g(x)min=g(Xo)=e"+x；-3xo+3

=3-2x0+X；-3x0+3=X：—5x()+6=1%()一|^一:，

當升*［耳'I時'2Vx：—5玉)+6v?,

所以5g(%)￡(1，亞"］,由題意知0W；g(%o)且

所以即整數(shù)人的最大值為1.

2.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知/(x)=xlnx,g(j;)=x3+dx2+A：+2.

⑴討論函數(shù)y=〃x)在(0,m)(根>0)上的單調(diào)性；

⑵對一切實數(shù)xe(O,y)，不等式2〃x)Wg，(x)+2恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)［-2,+co)

【詳解】(1)解：因為〃x)=xlnx,x>0,貝lj/'(x)=lnx+l,令7(%)=0,可得x=(,

①當。<相V，時，對任意的xe(O，W，r(x)<0,此時函數(shù)的減區(qū)間為(0,加)；

②當加■時，令/'(x)<0可得0Vx<!，令/,x)>0可得1cxe加，

此時函數(shù)的減區(qū)間為［。，口，增區(qū)間為

綜上所述，當時，函數(shù)〃x)的減區(qū)間為(0,〃。；

當機時，函數(shù)〃尤)的減區(qū)間為1J,增區(qū)間為g,0.

(2)解：因為g(x)=/+。%2+兀+2,可得g<x)=3%2+2〃x+l,

由對一切實數(shù)x?O,y),不等式2〃%)(5(%)+2恒成立，

即2xlnx<3x2+2ox+l怛成立，可得20r22xlnx-3f-1,

即2a>21nx一3%一!在%￡(0,+oo)恒成立，

令/z(x)=21n尤一3九一，,其中％>0,

則〃3=2_3+3=-3/一｝一1=-3+1)產(chǎn)一%

XXXX

當0cx<1時,//(x)>0,此時函數(shù)網(wǎng)x)單調(diào)遞增,

當x〉l時,//(x)<0,此時函數(shù)/?(%)單調(diào)遞減，

所以/心心=可1)=7,則2a2⑺由=^，解得a2—2，

所以°的取值范圍為［-2,+8).

3.(2023春?山東德州?高二德州市第一中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/(x)=《(e為自然對數(shù)的底數(shù))，函數(shù)

X

g(x)=〃優(yōu).

(1)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若不等式/(X)+g(X)>0在(0,+8)上恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】⑴單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),(0,1);單調(diào)遞增區(qū)間為(1,內(nèi))

ce

(2)m>--

4

【詳解】⑴函數(shù)定義域為(f,0)(0,—),又:。)=史==注3

XX

令尸(刈=也等=0,解得x=l,

X

所以X、/(X)與/(X)的關(guān)系如下所示:

X(一叫0)(0,1)1(1,+8)

1(x)——0+

“X)單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),(0,1)；單調(diào)遞增區(qū)間為(1,E).

(2)不等式〃力+8(力>0在(0,+8)上恒成立，等價于不等式《+蛆>0在(0,+s)上恒成立,

X

故不等式山〉-馬在(0,+8)上恒成立，

令6(無)=-馬，無e(0,+s),則/⑺JR/),

XX

當x?0,2)時，〃(%)>0,所以網(wǎng)力在(0,2)上為增函數(shù)；

當X￡(2,+CO)時，/⑴<0,所以h[x)在(2,+8)上為減函數(shù)；

22

所以/?(X)max=〃(2)=-~?所以用〉一-—.

4.(2023春?陜西咸陽?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(1)=(1-1)10%+I+9,其中a$R.

⑴若〃=1,求曲線y=/(%)在點(2,〃2))處的切線方程；

(2)若對于任意xe(l,e],都有〃句_2>。成立，求。的取值范圍.

【答案】(l)3Iy+4=0

(2)a>l-e

【詳解】(1)/(x)=x+1(x>0),/(2)=|,

13

r(x)=i--7(x>o),r(2)=-,

產(chǎn)/(同在",，處切線方程為3;-3=；(無一2),3苫一”+4=0.

(2),/Vxe(l,e］,有-0>0恒成立,則x+(。一l)lnx>。，即〃一1>行，

令尸⑺二三,當％￡(l,e］時，a-l>F(x),k(%)二%一口，

v7lux'」-max(Inx)

???當％?l,e］時,F(x)>0,所以尸(力在(l,e］上單調(diào)遞增,

??/(x)max=尸(。)=一e???〃>l-e.

5.(2023春?山東德州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=屁"-：％2一以，acR.

⑴若元=0是/(力的極值點，求函數(shù)/(力的極值；

(2)若xvO時，恒有了(%)4。成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

【答案】⑴極大值為極小值為o

2e

(2)^-oo,-+-In2

【詳解】(1)F(x)=(x+l)e=x-a,因為x=0是〃x)的極值點，

所以/''(。)=1-4=。，所以。=1，

所以/'(x)=(x+l)e*-(x+l)=(x+l乂e*-l)

當x>0或x<—l時，/^x)>0；

當一l<x<0時，f'(x)<0.

所以函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(f,T),(。,+巧，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0).

所以極大值=極小值為F(0)=0

2e

(2)若xvO時，恒有了(力(。恒成立，即/(入)=疣"一；九2—火(0,^ax>xex-^

因為xvO,所以——x,

2

令人(x)=e*,貝！J“(％)=e%—g,

貝！Jx￡[-oo』n1)時，”(力<0,元￡。11；,0)時，/f(x)>0

所以h(x)在(一*In；)單調(diào)遞減，在fln|,Oj單調(diào)遞增,

所以網(wǎng)力的最小值為dln；］=；1+；1ln2,所以1+j1n2.

I乙)乙22乙z22，

所以a的取值范圍為\s,；+；ln2

6.(2023春?福建寧德?高二校聯(lián)考期中)已知函數(shù)"x)=aln(x—l)-x+l,/i(x)=-^-3x+l；

⑴求〃尤)函數(shù)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)="x)-/7(x),對于任意的占W［2,5］都有近%)：-%)>2成立,求實數(shù)。的取值范圍.

X］尤2

【答案】⑴答案見解析

4

(2)a>-

e

【詳解】(1)f(元)的定義域為貝廳(》)=上7-1=業(yè)二牛叫，

x-lX-L

當〃+1<1時，即時，/(%)在。,+8)上單調(diào)遞增，

當。+1>1時，即〃〉0時，貝(Jf(x)=0即/=a+l,

令用X)>。得1<%<4+1，令/'(%)<。得x>a+l,

則/(%)在(1,。+1)上單調(diào)遞增,在(。+1,+8)上單調(diào)遞減,

綜上所述：當〃<0時，/⑴在(l,y)上單調(diào)遞增；

當〃〉0時，則在(1,。+1)上單調(diào)遞增，在(。+1,+巧上單調(diào)遞減；

XX

(2)依題得g(x)=/(%)-h(x)=aln(x—1)-x+1H---i-3x-l=aln(x—l)d---b2x

exex

因為對于任意的目2,5］總有8區(qū))18區(qū))>2成立,不妨設(shè)士

玉x2

由>2,得g(X|)-2X|>8(%)-2%

設(shè)0(x)=g(x)-2x=aln(xT)+5,可得。⑺在［2,5］單調(diào)遞增；

。'⑺=合+子20在［2,5n亙成立；

二a2在［2,可恒成立；

設(shè)/(無)=(1)一,尸，(x)=2(1)-(尤-1)-=《Til)

v7exv7exex

令尸(x)>0,得l<x<3,因為xe［2,5］,所以尸(x)在(2,3)單調(diào)遞增;

同理，尸(X)在(3,5)單調(diào)遞減，所以爪X)的最大值為砥3)=3，

e

4

所以。2—.

e

③最值法

1.(2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高二江蘇省揚中高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xlnx.

(1)求在點(1,0)處函數(shù)的切線方程；

(2)若對任意尤>0,都有成立，求正數(shù)。的取值范圍.

【答案】(i)y=x-i

⑵[1，+8)

【詳解】(1)因為〃x)=xlnx,所以_f(x)=lnx+l

所以/")=1,所以切線的方程為1=尤-1：

(2)設(shè)g(x)=xln(av)-x+a,則g，(x)=ln(ox),

令g'(x)=0,即ln(ar)=0,解得x=L

a

當xe(0,￡|時，g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當時，g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以當x=，時，^(x)>gf-|=<7--,

a\a)a

由對任意x>0,都有X皿6)2》-。成立，所以解得

a

所以實數(shù)。的取值范圍是[1,+8).

2.(2023春?湖北武漢?高二校聯(lián)考期中)己知函數(shù)/(x)=-2x+lnx,g(x)=xe、-3x-

(1)求函數(shù)的極值點；

⑵若〃x)Wg(x)恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】①極大值點為無極小值點；

11_7Y

【詳解】(1)函數(shù)〃X)=-2x+lnx的定義域為(0,+8),求導(dǎo)得尸⑺=_2+：=一，

當0<x<；時，f<^x)>0,當時，/(x)<0,

因此函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(o,￡|，單調(diào)遞減區(qū)間為

所以/(X)的極大值點為9無極小值點.

(2)^/i(x)=f(x)-g(x)=lnx+x-xex+m,XG(0,+OO),依題意，Vxe(0,+oo),/z(x)<0,

求導(dǎo)得〃(x)=L+l_(x+l)e*=(尤+l)p；_e1，令(x)=，_ex,xe(0,^o),

XyXJx

顯然函數(shù)e]在(O,+8)上單調(diào)遞減，又(；)=2-五>0,《1)=1-e<0,

A()

則天()￡(彳,1],使得'(%())=e與=0,即一二e*,有In—=Ine,gp—lnx0=x0,

I2J%o/

因此當0<x<x°時,?(x)>0,即〃(x)>0,則/z(龍)單調(diào)遞增，

當X〉4時,r(x)<0,即〃(x)<0,則/i(x)單調(diào)遞減,

從而/z(x)1mx=/?(^0)=ln^0+x0-x^+m-0-l+m<0,解得〃￡zl,

所以實數(shù)機的取值范圍是機￡L

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx+a,若對任意的xe[1]],〃尤)恒成立，求實

數(shù)。的取值范圍.

【答案】f_co,_^-2

【詳解】解法一',由〃x)V—在xe[1,e?]上恒成立，得—FInx+aV0在xe[1,e,]上怛成立，即aV----Inx

在xe[l,e[上恒成立

2

令g(%)=----Inx,xG|_1,e2^|

71_2—x

貝(Jg'(x)=二—

XXX2

當lKx<2時，g"(x)>0,當2<%〈e2時，g'(%)<0,

所以g(x)在[1,2)上單調(diào)遞增，在(2,e2]上單調(diào)遞減，所以g(x)mm=min{g⑴,g(e?)}

因為g⑴=-2,^(e2)=--^--lne2=---2<-2,所以屋%僵=g(4)=—/_2,

2(2

所以“V*-2,即實數(shù)。的取值范圍為-2

解法二，由/'(x)V-2在xe[i,e2]上恒成立，得_|+inx+av0在xe[l,e〔上恒成立.

令g(x)=j+lnx+a,xe[l,e2],則g(x)滿足且⑴曄(。即可

9ix—9

g，(x)=-彳+已=一，當1VX<2時,g'(x)<o,當2<xVe2時,g'(x)>0,

XXX

所以g(x)在［1,2)上單調(diào)遞減，在(2,e2］上單調(diào)遞增，所以g(無⑴,g(e)}.

222

因為g(1)=2+〃，g^e2^=—+1ne2+a=—+2+a>2+a,所以g(x)max=且(")=方+2+4V。,

所以aV-±-2,即實數(shù)。的取值范圍為1-8,-之-2.

e-Ie」

4.(2023春?陜西渭南?高二合陽縣合陽中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=er-alnx-e(aeR),其中e

為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴若“X)在尤=1處取到極值，求。的值及函數(shù)〃x)的最值；

⑵若了(無)有極值點，求。的取值范圍.

⑶若當xe［l,+e)時，〃x)20恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)a=e,/(x)rin=0,無最大值

(2)tz>0

(3)a<e.

【詳解】⑴(1)由題知-⑺=e-1(尤>0),/(l)=e-a=0,

=a=e.經(jīng)檢驗a=e滿足，

當xe(O,l)時，((%)<0,即〃尤)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當xe(l,+a>)時，片x)>0,即外力在。,內(nèi))上單調(diào)遞增，

"同神="1)=0,函數(shù)無最大值?

(2)由題知/'(x)=e-4在(0,+功有變號零點,

X

即"=ex在(0,+8)有解.即y=a與，=位在(0,+8)有交點，

a〉0；

(3)法一：由題意可知，"力疝n20在xe［l,+”)時恒成立,

當?4I即a<e,r（x”0,二〃x）在［1,+口）單調(diào)遞增,

S=〃1）=°N°，

/.a<e,

當?>1叩a>e時，仆)在上單調(diào)遞減，在已+，|上單調(diào)遞增,

???小)而""閆<〃1)=。，

〃>e,不符合題意，

綜上，a<e.

法二：由ex—alnx—e/O恒成立，XG［1,+O?),

當x=l時，顯然0>0恒成立，,

當X>1時，原式等價于4W電二。恒成立，

Inx

令g(x)=SD,即awg(x)恒成立，

Inx

易得g'(x)=

1y_1

令/z(x)=lnx+——1,貝U〃(x)=—廠>0在［1,+oo)成立,

,/i(x)在口,物)上單調(diào)遞增,

故〃(尤)>/7⑴=0,

g'(x)>0,g(x)在［l,+oo)上單調(diào)遞增,

g(x)>g⑴,

又g(l)=e,

a<e.

5.(2023春?西藏日喀則?高二統(tǒng)考期末)設(shè)函數(shù)〃x)=ex-?，x>OM?eR.

(1)求函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若““Nd+1恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)a<e-2

【詳解】(1)f,(x)=ex-a,x>0,

當at時，r(x)ZO恒成立，則/'(X)在［0,+句上單調(diào)遞增；

當°>1時，xe［O,lna)時,/(%)<0,則〃x)在［0,Ina)上單調(diào)遞減；

xe(如a,”)時,f'(x)>0,則在［0,Ina)上單調(diào)遞增.

（2）方法一：e"-赤在％之o恒成立，則

當x=0時，121,顯然成立，符合題意；

x_2_1，3%_九2_],

當尤>0時，得a4一無一恒成立,即4V—:—

xI尤

構(gòu)造函數(shù)y=e*-x-1,%>0,則y'=eX—l>0,故y=e”-元一1為增函數(shù)，則匕"一%—1>匕°一0—1=0.

故4-%-1>0對任意%>。恒成立,則g（x）在（。,1）遞減，在。,位）遞增，所以g（x）1n^=8。）=?—2

a<e—2.

方法二：'+辦+（]在[0,+⑹上恒成立‘即卜'+辦+1]<1.

eIVe，/max

記3）=勺2…0,現(xiàn)x）JT）（；+"l）,

當時，/?（“在（0,1）單增，在（1,+8）單減，貝”（x）1mx=7（1）=等41,得aVe-2,舍：

當0<”1時，/i（x）在（0,1-°）單減,在?！?1）單增，在（1,+8）單減，/z（O）=l,"1）=詈，

得0vave-2；

當“=0時，/2（%）在（0,+8）單減，成立；

當a<0時，網(wǎng)力在（0,1）單減，在（1,1—。）單增，在（1一。,也）單減，〃（。）=1,/7。一”）=三，而e-Nl-a+l,

顯然成立.

綜上所述，a<e-2.

④變更主元法

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若不等式/+px>4x+p-3,當?！聪Α?時恒成立，則無的取值范圍是（）

A.[-1,3]B.（-<x）,-l]

C.[3,+oo）D.（Y°,-l）U（3,+°°）

【答案】D

【詳解】不等式X2+px>4x+/?-3可化為（％-1）〃+12-4%+3>。，

由已知可得|"（%T）P+%2—4%+3].>0

I—'/-imin

令/（P）=（x-1）p+%2-4%+3,

2

AJ/（0）=X-4X+3>0

^^[/（4）=4（X-1）+X2-4X+3>0

「?%<-1或%>3,

故選D.

2.（2022秋?江西撫州?高一金溪一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)于（x）=2023,-2023一，+/。23,對任意的左e[-3,3],

〃區(qū)-2）+/（%）<0恒成立，則無的取值范圍為.

【答案】卜臼

【詳解】/（X）=2023'-2023r+/必，定義域為R,

貝ij/（-x）=2023一,-2023"—/必=_/⑺，可知函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，

又丫=2023工,〉=-2023-工=-（盛），y=/儂均為增函數(shù)，所以〃力為增函數(shù),

由〃玄-2）+〃力<0,得一2）<-〃力，即〃心-2）<〃f）,

則kx—2<—x，即kx+x-2<0，

由題意可知，對任意的左式一3,3],辰+九一2V。恒成立,

令g(左)=Ax+x—2,

所以任g(-33)=)-3Lx+x--2<0

解得-1<%<5,

所以工的取值范圍為1-I,;1.

故答案為：（―Iqj,

3.（2023?高一課時練習(xí)）不等式2%-1>如對滿足0W加W1的一切實數(shù)機的取值都成立，求工的取值范圍.

【答案】{%「Rb>l}

【詳解】不等式化為：如-2X+1<0對于任意的0?機<1恒成立，

令/（m）=m￥-2x+l,要使/（加）<0對于任意0Wm41恒成立，

/、|/（0）<0f-2x+l<0

由于函數(shù)/（相）是關(guān)于根的一條直線，則有廿，<0=[_21+1<0，解得]>L

故工的取值范圍為

⑤雙變量問題”%)泊區(qū))型

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知〃x)=ln(x2+l),g(無)=出力，若對VA,?0,3],V”[l,2],使得

“xJZgH),則實數(shù)機的取值范圍是.

【答案】

【詳解】當xe[0,3]時，》=尤2+1單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得〃x)=ln，+l)此時也單調(diào)遞增，

所以“力加"(0)=0；

當xe[l,2]時，g(x)=gj-機單調(diào)遞減，所以g(x)1n「g⑴

因為對V石40,3],V/41,2],使得〃%)*(%),所以“力布2g(x)max，

即。之工-加，解得相

22

故答案為：

2.(2023春?海南海口?高一?？谝恢行？计谥?VxeR,都有〃—%)=〃％),且/(%)=log?+1)+及，

2

g(x)=f(x)+x,h(x)=x-2kx+lfV%?0,3],玉川1,3],使得g(%)N/z(w)成立,則左的范圍是.

【答案】；,+1]

【詳解】VxeR,都有〃T)=/(X),所以函數(shù)〃x)=log2(2"+l)+及為偶函數(shù)，

所以log2(2"+lj—￡x—log2(2"+1)—tr=0,

2-*+l

X2+1

即2/x=log2(2一"+lj-log2(2+1)=log2"=-x，

[1

所以"―萬，故/(力=1嗚(2%+1)—/X,

所以g(x)=/(x)+x=log2(2*+l)+；x，

因為V%?0,3],3X2G[1,3],使得晨為經(jīng)人仁)成立，

所以函數(shù)g(x)在[。,3]上的最小值不小于函數(shù)可力在[1,3]上的最小值，

因為函數(shù)8(力=1。82(2工+1)+3%在[0,3]上單調(diào)遞增，

所以當尤=0時，函數(shù)8(月=皿2(2'+1)+：%有最小值為8(0)=。2(2°+1)=1,

又/i(x)=x2-2"+1的對稱軸為x=3xe［l,3］，

當心1時，函數(shù)M%)=<-2村+1在區(qū)間口,3］上單調(diào)遞增,可得用⑺1nhi=硝)=2-2左，

由題意122-2左，且左41,所以

2

當1<左<3時，函數(shù)網(wǎng)力=寸一2日+1在區(qū)間［1,對上單調(diào)遞減，在區(qū)間快,3］上單調(diào)遞增，

可得/起以?=M左)=1一%2,由題意121-左2,且1〈人<3,所以1<左<3；

當％23時,函數(shù)/z(x)=f-2Ax+l在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞減,可得/z(x)1nhi=/?(3)=10-6%,

由題意1210—6左，且左23,所以左23；

綜上可知，實數(shù)人的取值范圍為

故答案為：g，+°°］

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=e(x2"+a)(fleR)^g(x)=x+^_l若對任意的

ne［0,2］,存在相?。2］,使得fg)2g(")成立，求。的取值范圍.

【答案】(-?,4-2e］：+8)

【詳解】“對任意的［0,2］,存在機e［0,2］,使得/(㈤2g(〃)成立"，等價于

“在［0,2］上，/(%)的最大值大于或等于g(x)的最大值”.

1X2+2x

上，、11g'(%)=l-

由---,得(尤+丁NO,

x+13(x+l>

所以g(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，所以g(X)M=g(2)=2.

2ll2

>e(x-ax+a］-a,、e(2x-?)e-e-e(%-ax+?)

由-2,得/(》)=-----------鬲-----------

e^—x2+ax+2x—2a^e(無一2)(尤一a)

-e"-e"

令廣(x)=0,貝！|》=2或x=a

①當aWO時，/'(x)20在［0,2］上恒成立，所以/⑺在［0,2］上單調(diào)遞增，

所以/(x)1nM=/⑵=(4一?；刎?,解得aV4—2e；

②當0<a<2時，f(x)V0在［0,。］上恒成立，/(x)單調(diào)遞減，/'(x)20在口,2］上恒成立，73單調(diào)遞增,

所以Ax)的最大值為/(2)=(4-a)ei或/(0)=ae,

所以(4一。把一1>2a^ae>2,

2

解得a<4-2e或〃之一，

e

2

所以一Va<2；

e

③當[22時，/（x）WO在[。⑵上恒成立，/（九）單調(diào)遞減，

所以/（X）儂=/（0）=。g2,解得〃2*,所以“22.

e

2

綜上所述：a<4—2e或。之一，

e

即。的取值范圍為（一s，4—2e]?!，+"

4.（2023?黑龍江佳木斯?佳木斯一中校考模擬預(yù)測）已知是定義在L2,2]上的函數(shù)，若

滿足/（x）+/（—x）=。且/⑴=：.

⑴求/（X）的解析式;

⑵設(shè)函數(shù)g（尤）=/-2/rcr+4（meR）,若對任意石,々e[1,2],都有義（々）</（占）恒成立，求機的取值范圍.

【答案】⑴〃》）=捻

（2）m>y

【詳解】⑴xe[-2,2],且/（X）+〃T）=0,所以〃x）為奇函數(shù),

將x=0代入〃X）+〃T）=0可得〃0）=0,即：=0,所以c=0,

a+b1

5-5

即，因為/⑴=巳，所以〃-1）=一"，代入可得<

=；：[￥a-b_1

[a=0x

解得〃1，故/力=1不；

[b=l、74+x

"無）=了土"⑺=石7=一""’函數(shù)為奇函數(shù)，滿足，故〃x）=式？

⑵只要gNLTat,，設(shè)』a%。，則/㈤r⑷=/一六=（;1

,/1<X1<x2<2