高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破：不等式恒成立問題（十大題型）（解析版）

重難點(diǎn)突破07不等式恒成立問題

目錄

題型一：直接法

題型二：端點(diǎn)恒成立

題型三：端點(diǎn)不成立

■方法技巧總結(jié)____________________

1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：

(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后

構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法

和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：

(1)Vxe。,m</(x)?m</(x)min；

(2)Vxe。，m>/(x)<^>m>/(x)max；

(3)3x&D,加1mx；

(4)3XED,m>/(x)<^m>/(x)min.

3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=/(x),x&[a,b\,y=g(x),xe[c,d].

(1)若V%e[a,b],VX2G[C,J],有/'(石)<g(x?)成立,則/(》)_<g(x)1nhi;

(2)若％e[a,6],3x2&[c,d],有/(再)<g(%)成立，則/(x)11g(4一；

(3)若去1可氏耳，3X2&[c,d],有/(xj<g(x2)成立，則/'(x)min<g(H1mx；

(4)若％e[a,6],Bx2e[c,d],有f(%)=g(9)成立，則/(x)的值域是g(x)的值域的子集.

4、法則1若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：

(1)lim/(x)=O及l(fā)img(x)=O；

x—>ax—

(2)在點(diǎn)〃的去心鄰域("￡,〃)D(〃M+￡)內(nèi),/(X)與g(X)可導(dǎo)且g'O)。0;

f(X)

那么lim>==5坐

…g(x)…g'(x)

法則2若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：⑴！變/(x)=0及!吧g(x)=O；

(2)BA>0,/(x)和g(x)在(一oo,Z)與(4+°°)上可導(dǎo)，且g'(x)wO；

/'(x)

(3)

…g(x)

f(x)/'(x)

那么1面，4=1而修1=/.

Xf8g(x)Xf8g(x)

法則3若函數(shù)/(X)和g(x)滿足下列條件：

(1)lim/(x)=oo及l(fā)img(x)=co；

xfaxTa

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域(4一￡,。)3見〃+￡)內(nèi),/(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)wO；

/'(x)

(3)lim^4=/,

-g⑺

那么lim里=lim/^，=/.

xrag(x)5g(X)

注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：

⑴將上面公式中的x-a,x->+oo,xf—oo,x-a+，xftT洛必達(dá)法則也成立.

(2)洛必達(dá)法則可處理，，?，0.OO,廣，②。，。。，8—8型.

(3)在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，?，O.oo,f,8°,0°,8-s型定式，否

則濫用洛必達(dá)法則會出錯(cuò).當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，

應(yīng)從另外途徑求極限.

(4)若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

lim44=lim，4=lim，?，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.

一a%—g(X)fg(X)

?必考題型歸納____________________

題型一：直接法

例1.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)

⑴已知函數(shù)f(x)在(0J(0))處的切線與圓/+/一2工-2了-3=0相切，求實(shí)數(shù)。的值.

(2)已知xNO時(shí)，/⑴釬丁-6-皿亙成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【解析】(1)依題意，圓(尤-1)2+(了-1)2=5的圓心為(1,1),半徑為逐，

對函數(shù)/(x)求導(dǎo)得f'(x)=x-ae)則函數(shù)/(無)的圖象在(0,〃0))處的切線斜率為/⑼=-。，而

/(0)=-a,

于是函數(shù)/(x)的圖象在(0,/(0))處的切線方程為y+a=-ax,即分+y+“=0,

+1+4

從而=A/5,解得a=2

V^2+i2

所以實(shí)數(shù)。的值為2.

3

(2)g(x)=/(x)+x2++?=—x2-tzex+tzx+tz(x>0),依題意，當(dāng)xNO時(shí)，g(x)WO恒成立,

求導(dǎo)得g'(x)=3x-Qe*+Q,設(shè)%(“二31一湛+tz(x>0),求導(dǎo)得〃(x)=3-ae”,

當(dāng)Q23時(shí)，當(dāng)丘0時(shí)，aex>3ex>3,即有〃(同《0,

因此函數(shù)人⑴，即g'(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減,于是當(dāng)20時(shí)，gr(x)<gr(O)=O,

則函數(shù)g(')在［0,+功上單調(diào)遞減,從而當(dāng)時(shí),g(x)<g(O)=O,因此心3,

當(dāng)0<”3時(shí)，當(dāng)0<x<ln』時(shí)，Ar(x)>0,則函數(shù)人⑴，即g'(x)在0,1口3)上單調(diào)遞增，

于是當(dāng)0<x<ln。時(shí)，g'(x)>g,(O)=O,即函數(shù)g(x)在［0,In。］上單調(diào)遞增，

aLaj

因此當(dāng)0<x<ln,時(shí)，g(x)>g(O)=O,不合題意，

當(dāng).40時(shí)，〃(x)>0,函數(shù)〃(x),即g'(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增,

則當(dāng)xNO時(shí)，g'(x"g'(O)=O,即函數(shù)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

于是當(dāng)尤>0時(shí)，g(x)>g⑼=0,不合題意，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為［3,+oo).

例2.(2023?山東?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=e?-a,g(x)=ln(x+a),其中aeR.

⑴討論方程/(x)=x實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)X21時(shí)，不等式〃x)2g(x)恒成立，求。的取值范圍.

【解析】(1)由/'(x)=x可得，ex-a-x>

令s(x)=e*-x-a,d(x)=e*T,令y'=0,可得x=0,

當(dāng)xe(-oo,0),『(x)<。函數(shù)s(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(0,+oo),s<x)>0,函數(shù)s(無)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)s(x)在x=0時(shí)取得最小值l-a,

所以當(dāng)a<1時(shí)，方程/'(x)=尤無實(shí)數(shù)解，

當(dāng)。=1時(shí)，方程/(耳=丫有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

當(dāng)。>1時(shí),］-a<0,故s(尤)mjn<0,

而s(-a)=片">0,s(a)=e"—2a,

設(shè)〃(〃)=e"-2〃,Q>1,貝I[/(Q)=ea-2>0,

故〃(a)在(1,+s)上為增函數(shù)，故〃(Q)〉〃(l)=e—2〉0,

故s(x)有兩個(gè)零點(diǎn)即方程/卜)二%有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.

(2)由題意可知，

不等式〃x)2g(x)可化為，Qx-a>ln(x+tz),x>,

即當(dāng)時(shí)，e“-ln(x+a)-恒成立，

所以一av1,即a〉一1,

令/z(x)=e"-ln(x+a)-Q,//(x)=ex------,

則〃(X)在[1,+8)上單調(diào)遞增，而〃'⑴=e-4，

當(dāng)a⑴20即a2-1+工時(shí),〃(x)N0,，(x)在[1,+oo)上單調(diào)遞增,

e

故Mx)min=項(xiàng))=e-ln(l+a)-a,

e-ln(l+a)-a20

由題設(shè)可得1,

a>——

、e

設(shè)v(a)=e-ln(l+〃)-〃，則該函數(shù)在+8)上為減函數(shù)，

而y(e-l)=0,i^--<a<e-l.

e

當(dāng)力(1)<0即T<a<T+工時(shí),因?yàn)椤?同+1)=」恒一T—>°，

Q口|+1+〃

故h\x)在(1,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)X。，

當(dāng)1<尤</時(shí)，〃'(x)<0,而x>x()時(shí)，〃'(x)>0,

故〃(x)在(Lx。)上為減函數(shù)，在(X。,+00)上為增函數(shù)，

x

^A(x)min=e°-ln(x0+fl)-a>0,

rfUeA°=——,故/=一皿/+力^ex°+x-a>0

ICL0

因?yàn)樘臁?,故e與+/〉l+e〉〃，故一1<。<一1+—符合，

e

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-l,e-1].

例3.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)〃尤)="-當(dāng),

cosxI2

⑴當(dāng)。=1時(shí)，討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若/(x)+sinx<0,求。的取值范圍.

sinx

【解析】⑴因?yàn)?1,所以小)*筋

cosxcos2x-2cosx(-sinx)sinxcos2x+2sin2x

則/'(x)=l-=1-3

cos4XCOSX

cos3x-cos2X-2(1-cos2x]cos3X+cos2x-2

cos3Xcos3X

令/=COSX,由于,所以，=COSX￡(0,1),

所以cos3x+cos2x—2=r+/—2=/—y+2t2—2=/(%—1)+2(%+1)(%—1)=+2，+2)(%—1),

因?yàn)椤?2/+2=?+1)2+1>0,t-l<0，cos3x=『>0,

匚口、|「，/\cos3x+cos2x-2

所以"力—睛—<0在嗚J上恒成立,

所以八龍)在(o，t

上單調(diào)遞減.

(2)法一:

構(gòu)建g(x)=/(x)+sinx=+sinxl0<x<-^I,

cosx

1+sin2x

則g，(x)=Q+cosx0<x<—,

cos3XI2J

若g(x)=/(x)+sinx<0,且g(0)=/(O)+sinO=O,

貝i]g'(0)=a-l+l=aV0,解得aWO,

、.，ci?sinx=sinx|1——「

當(dāng)a=0時(shí)，因?yàn)閟mx-----廠

COSXICOSX

又xe*，所以0<sinx<l,0<cosx<l,貝>J—>1,

COSX

所以/(x)+sinx=sinx—~^^<0,滿足題意;

COSX

當(dāng)a<0時(shí)，由于顯然QX<0,

所以〃x)+sinx=ax--^^+sinx<sinx--^f<0,滿足題意;

COSXCOSX

綜上所述：若〃x)+sinx<0,等價(jià)于a40,

所以。的取值范圍為(-8,0].

法二:

用出.sinxsinxcos2x-sinxsincosx-1)sin3x

因?yàn)閟mx------=--------；-------=--------5------~----2-'

cosXcosXcosXCOSX

因?yàn)樗?<sinx<l,0<cosx<l,

故sinx-金竽<0在(0,與上恒成立，

COSXI2/

所以當(dāng)〃=0時(shí)，/(x)+sinx=sinx-■嗎七<0,滿足題意；

cosX

IT

當(dāng)a〈0時(shí)，由于0<%<5，顯然ax<0,

所以/(x)+sinx=“x-s'”'+sinx<sinx-竽<0,滿足題意；

cosxcosx

、［/八門4\?s?mxs?m3x

者Q>UH\T,因?yàn)?(xj+smx="x-----+smx=ax------，

cosxcosx

3224

A/\sinx|n兀、miI,z、3sinxcosx+2sinx

令g(x)二辦----0<^<-b貝l」g'(X)=Q-----------.---------，

cosxy2)v7cosx

、/4*不H3sin20cos20+2sin40八

汪忌到g(0)=a--------------------=a>0,

若V0<x<］,g'(x)>0,則g(x)在“《J上單調(diào)遞增，

注意到g(o)=。所以g(x)>g(o)=o,即/(x)+sinx>0,不滿足題意；

若前<x0<5，g'(%)<。，貝腐'(0)￡&)<0,

所以在［。,￡|上最靠近尤=0處必存在零點(diǎn)七€。鼻，使得g'(xJ=0,

此時(shí)g'(x)在(0,再)上有g(shù)'(x)>。所以g(x)在(0,再)上單調(diào)遞增,

則在(0,%)上有g(shù)(x)>g(O)=。即/(x)+sinx〉0,不滿足題意；

綜上：〃“0.

變式］(2023?河南?襄城高中校聯(lián)考三模)已知函數(shù)/(x)=Mnx,g(x)=-T.

⑴若曲線了=/(x)在(1,0)處的切線與曲線y=g(x)相交于不同的兩點(diǎn)B(x2,y2),曲線了=g(x)在

A,8點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)〃(x°,幾)，求Xi+Z-Xo的值；

(2)當(dāng)曲線y=/(x)在(1,0)處的切線與曲線y=g(x)相切時(shí),若Vxe(l,+oo),/(x)+eg(x)>(a+l)e-aer恒

成立，求。的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)?''(xhE，所以/'⑴=加，

所以曲線了=/(力在(1,0)處的切線方程為〉=〃g-1).

X2-1

由已知得機(jī)(X］T)=e*T,m(x2-l)=e,不妨設(shè)1<項(xiàng)<々，

又曲線N=g(x)在點(diǎn)/處的切線方程為了=爐-。-占)+。\

在點(diǎn)8處的切線方程為了=力7(》-9)+砂人

兩式相減得(e'T-爐一)卜+1)_網(wǎng)戶一+/e*2T=0,

X21

將冽(國-1)=,m(x2-1)=e,

代人得(叫-7nx：2)(x+1)-尤i,［機(jī)(X］-1)］+/?［機(jī)(超-1)］=0，

化簡得機(jī)(X］—尤2)(%+2—西—Z)=。，

顯然加/0,所以加(尤1-馬)*0，所以西+%-%=2,又〃(/，九)，所以再+%-%=2.

(2)當(dāng)直線尸機(jī)(x-l)與曲線y=g(x)相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為尸?,g⑺)，

則切線方程為>-尸=/?-。，將點(diǎn)(1,0)代入，解得”2,此時(shí)加=e,/(x)=elnx,

根據(jù)題意得，Vxe(l,+co),/(x)+eg(x)>((z+l)e-aer,

即ei+lnx+辦-a-l>0恒成立.

令F(x)=e*r+a(x-l)+lnx-l121),則，=eA'-1+a+—,令6(x)=P(x),則〃(丁)=尸-勺,

易知〃(x)在［1,。)上單調(diào)遞增，所以〃(x)2〃⑴=0,

所以尸'(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，所以尸(x)N4'(l)=a+2.

若aN-2,^F'(x)>a+2>0,即尸(x)在［,e))上單調(diào)遞增,

則尸(x)2/⑴=0,所以/(x)+eg(x)>(a+l)e-aex在(l,+oo)上恒成立，符合題意；

若“<-2,貝?。輇'(l)=a+2<0.

又尸(1+In(-油=e"gZ+q+——\~-=——\~->0,

乂II〃l+ln(-a)l+ln(-a)，

所以存在％e(l,l+ln(-<2)),使得尸(%)=0,

當(dāng)xe(l,x0)時(shí)，r(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減，即尸(x)〈尸(1)=0,

所以此時(shí)存在xe(l,Xo),使得/(x)+eg(x)<(a+l)e-aex,不符合題意.

綜上可得，。的取值范圍為12,+8).

題型二：端點(diǎn)恒成立

例4.(2023?四川綿陽?四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測)設(shè)函數(shù)

兀3

；A

f(x)=sinx-xcosx0<x<一,g(x)=/(x)+-^sinx-tzx

2

(1)求/(x)在x=］處的切線方程;

(2)若任意xe［O,+s),不等式g(x)VO恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)x=2時(shí)，/?。?：；又/'(x)=xsin%i；cosx,貝U左=/(g)=；,

切線方程為：>—：=BPj?=—x+-——

2212J24

(2)g(x)=sinx-xcosx一辦3,

則g'(x)-x(sinx-3ax),又令=sinx-3ax,〃(x)=cosx-3a,

①當(dāng)3aV-l,即aV-g時(shí)，”(x)20恒成立，〃(x)在區(qū)間電+⑹上單調(diào)遞增，

〃(力2力(0)=0,g1x)20,二g(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增,

.-.g(x)>g(O)=O(不合題意)；

②當(dāng)3。21即。2：時(shí)，〃口)40,網(wǎng)可在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，

〃(04〃(0)=0,g'(x)40,二g(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減,

.-.g(x)<g(O)=O(符合題意)；

③當(dāng)-1<3°<1,即-g<a<g時(shí)，由〃(0)=l-3a>0/(兀)=-1-%<0,

/,3x0e(0,7t),使“伉)=0,且xe(O,x())時(shí)，〃(x)>0,/;(x)>伺(0)=0,=(@>0,

.?.8(尤)在了€(0,%)上單調(diào)遞增，，8(切>8@=0(不符合題意)；

綜上，。的取值范圍是。2：；

例5.(2023?北京海淀?中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=xlnx-a(/T).

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若函數(shù)了=/'(x)在x=l處取得極值，求實(shí)數(shù)。的值；

(3)若不等式/(x)W0對尤e［l,+s)恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【解析】⑴當(dāng)。=0時(shí)，〃x)=xlnx,定義域?yàn)?0,+s),/'(1)=0,

f\x)—lnx+x---\+\nx,/'⑴=1,

所以函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,〃功處的切線方程為y-o=x-l,即X-"1=O.

(2)/'(%)=Inx+x?——2ax=1+Inx-lax,

x

設(shè)/'(x)=g(x)=1+Inx—lax,貝!Jg'(x)=--2a,

依題意得g'(l)=O，即。=；,

111-V

當(dāng)。=—時(shí)，g'(x)=—1=----，當(dāng)0<x<1時(shí)，g\x)>0,當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)<0,

2xx

所以/'(x)=g(x)在X=1處取得極大值，符合題意.

綜上所述：a=1.

(3)當(dāng)x=l時(shí)，/(I)=0,?GR,

當(dāng)x>l時(shí)，fr(x)=l+\nx-2ax,

令h(x)=/r(x)=l+lnx-2ax,x>\,

ni/、1八1-2ax

貝ijh(x)=2a-----,

xx

①當(dāng)QVO時(shí)，〃'(x)〉o在(1,+8)上恒成立，故力(x)=/'(x)在(1,+8)上為增函數(shù)，

所以/'(%)>/XI)=i-2a>0,故/(X)在(1,+8)上為增函數(shù)，

故/(%)>/⑴=0,不合題意.

②當(dāng)Q>0時(shí)，令力'(%)=0,得、=,，

2a

⑴若241,即時(shí)，在x>l時(shí)，〃(x)<0,以尤)在@+?>)上為減函數(shù)，

2a2

h(x)<h(i)=l-2ai0,即/'(x)<0,AM在(1,用)上為減函數(shù)，/(x)</(I)=0,符合題意；

(ii)若—>1,即0<。<一時(shí)，

2a2

當(dāng)時(shí)，〃'(x)〉0,〃(x)在上為增函數(shù)，/z(x)>A(l)=l-2a>0,

2a2a

/(X)在(1,二)上為增函數(shù)，/?>/(1)=0,不合題意.

2a

綜上所述：若不等式/(x)W0對xe[l,+3恒成立，則實(shí)數(shù)短的取值范圍是

例6.(2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(xblMl+xbgabgjG)與g(x)分別是/(x)與g(x)

的導(dǎo)函數(shù).

(1)證明:當(dāng)a=1時(shí)，方程/(x)=g'(x)在(-1,0)上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若對任意的尤e(0,+向，不等式/(x)>g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)/(x)=ln(l+x)J(x)=4，

令〃(”=/(可—(到=!-詈="^3+*T),

J."I人CIA"i人JC

令//(x)=e“+x2-1,則”(x)=e"+2x,

顯然〃(X)在(T,0)上是單調(diào)遞增函數(shù)，且〃[g]=[-1<0,〃⑼=1>0,

〃(x)在[-；，°]上有唯一零點(diǎn)吃,

且xe(-1,%)時(shí),”(無)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

xe(xo,O)時(shí),〃(%)>0,〃(x)單調(diào)遞增,

又〃⑼=0,〃432工0

加434

21

匈=e3+——l>e-1-->0

3J33

.?.〃(切=0在-半■上有唯一的根,

.?"(%)=/'(X)-g'(x)在(-1,0)上有唯一零點(diǎn),

即/'(x)=g'(x)在(-1,0)上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

(2)?."(x)-g(x)=ln(l+x)-?="[e*ln(l+x)-辦],

令G(x)=exln(l+x)-w[0,+8),貝ljG(0)=0,

/(x)>g(x)等價(jià)于:G(x)>0,xe(0,+oo),

ln(l+x)+占—a,G(0)=l-a,

令"(x)=

則〃'(x)=e

2i

令？(無)=皿1+尤)+—

貝I]7'()=-------+=

\x'1+x(1+x)2(1+x)3(1+x)3

故7(x)在[0,+s)上單調(diào)遞增,7(無”7(0)=1,〃'(x"1>0,

故〃(無)即。(》)在(0,+8)上單調(diào)遞增,G(》)>1-4,

當(dāng)aV1時(shí),G(x)>0,

.?.GG）在（o,+e）上單調(diào)遞增,

G（x）＞G（O）=O；

當(dāng)。>1時(shí),G(0)=1-a<0,取而=e-1+Ina>0,

貝1Jln(l+X])=ln(e+Ina)>Ine=1,1—>0,

e"1=ec,e-1+lna>、e^,Ina=a~,

G'(xJ=e*1In(1+&)+----—a>a.Q+O卜a=0,

Me(0,xj，使得G'(X2)=0,

xe(O,x2)時(shí),G'(x)<0,G(x)單調(diào)遞減，

此時(shí)G(x)<G(0)=0,不符合題意.

綜上可知：。的取值范圍為(―』.

變式2.(2023?四川成都?石室中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(》)=+/+》，函數(shù)g(x)=e'-2x+sinx.

⑴求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵記產(chǎn)(x)=g(x)-r(x),對任意的x20,尸(x"0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)g(x)=ex-2x+sinx,函數(shù)定義域?yàn)镽,

則g，(x)=e"-2+cosx且g，(0)=0,

令夕(x)=g'(x),9'(x)=ex-sinx,xG(0,+a?),(p'[x)=^-sinx>l-sinx>0,在(0,+。)上單調(diào)遞增,

所以夕⑺=g'(x)〉g'(0)=0,所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),

XG(-co,0),g'(x)=e"-2+cosx<cosx-l<0,所以g(力的單調(diào)遞減區(qū)間為(一力,0).

(2)/(x)=^ax3+x,=ax1+1,

則/(%)=g(x)-,(x)=e"-2r+sim-〃x2_i,且尸(0)=0,

尸(x)=e“+cosx-2ax-2,xG[0,,

令6(%)二尸'(工),G'(x)=e"-sinx-2a,

令H(x)=G'(x),%>0時(shí)/T(x)=G-cosx>1-cosx>0,

所以G'(x)在[0,+動上單調(diào)遞增，

①若aV；,G,(x)>G,(O)=l-2a>O,

所以尸(x)在[0,+e)上單調(diào)遞增，所以尸(無"尸(0)=0,

所以尸(x"尸(0)=0恒成立.

②若q>g,Gl0)=l-2a<0,G,(ln(2tz+2))=2-sin(2a+2)>0,

所以存在尤°e(0,In(2a+2)),使G，(x0)=0,

故存在xe(O,x°),使得G'(x)<0,

此時(shí)G(x)單調(diào)遞減，即尸(無)在(0,x。)上單調(diào)遞減，

所以尸(x)V/'(0)=0,故尸(無)在(0,無。)上單調(diào)遞減,

所以此時(shí)尸(x)〈尸(0)=0,不合題意.

綜上，a

—~2z-

實(shí)數(shù)。的取值范圍為，咫:.

變式3.(2023?寧夏銀川?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/@)=詈.

⑴討論“X)在［0,可上的單調(diào)性；

(2)若對于任意xe0e,若函數(shù)/(x)4丘恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

【解析】(1)

*(x)>0,則0<x節(jié)；/'(x)<0,則:<x<兀，

所以/'(無)在0,；單調(diào)遞增，在%兀單調(diào)遞減.

(2)令8(%)=當(dāng)匚h，有g(shù)(0)=0

e

當(dāng)上V0時(shí)，X>0,e%>0,sinx>0,g(x)>0,不滿足;

當(dāng)人>0時(shí)，g'(x)=c°s:sinx/,

令/⑴=g，(x)=cos；sinx”

所以〃(x)=匚泮V0在［o,3恒成立，

則g'(x)在0胃單調(diào)遞減，

g<0)=T,g［，［*。，

①當(dāng)1-左VO,即左21時(shí),g,(x)<g,(o)<o,

所以g(x)在0卷單調(diào)遞減,

所以g(x)4g(O)=O,滿足題意；

②當(dāng)1-左>0,即0<左<1時(shí)，

因?yàn)間'(x)在問單調(diào)遞減，g，(0)=l-A>0,=

2

L」e

所以存在唯一X。e(。，!'),使得g'(Xo)=O,

所以g(x)在(0，%)單調(diào)遞增，

所以g(x0)>g(O)=O,不滿足，舍去.

綜上：k>\.

變式4.(2023?四川瀘州?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(關(guān))=(尤-1)二+辦+2.

⑴若/'(x)單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)若x20,/(x)>sinx+cosx,求a的取值范圍.

【解析】(1)由/(x)=(x-l)eX+ax+2,得/''(x)=xe*+a,

由于f(x)單調(diào)遞增，則r(%)20即.上一猶，恒成立，

令g(尤)=-xex,則g'(x)=-(尤+l)ex,

可知尤<-1時(shí)，g'(x)>0,則g(x)在(-oo,-l)上單調(diào)遞增；

x>T時(shí)，g'(x)<0,則g(x)在(T+?)上單調(diào)遞減,

故x=-l時(shí)，g(x)取得極大值即最大值g(-l)=，，

故所以a的取值范圍是|.

eLeJ

(2)由題意xNO時(shí),/(x)2sinx+cos尤恒成立，即(尤-l)e*+辦-sinx-cosx+2>0；

令/z(x)=(x-l)e"+ax-sinx-cosx+2,原不等式即為20恒成立，

可得〃(0)=0,h\x)=xex+a-cosx+sinx,〃'(0)=a-\,

令〃(x)=h'(x)=xex+a-cosx+sinx,貝！j/(%)=(x+l)ex+sinx+cosx,

又設(shè)心)=(x+l)e",則/(x)=(x+2)e)

則x?0,「(x)〉0,可知心)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

若XE0,^-j,有(x+l)e，>0,sinx+cosx>0,則〃'(x)〉0；

若xep+coj,有(x+l)e-e+1卜2>e,

貝1]/(工)=(工+1,”+sinx+cosx>0,

所以，x>0,u\x)>0,則〃(x)即〃(x)單調(diào)遞增，

(i)當(dāng)〃一120即aNl時(shí),/zr(x)>^(0)>0,則力(%)單調(diào)遞增,

所以，〃(x)N〃(0)=0恒成立,則a并符合題意.

(ii)當(dāng)Q-1<0即a<1時(shí)，〃'(0)<0,

〃'(2-a)=(2-a)e2~a+a-cos(2-a)+sin(2-a)>2-a+a-cos(2-a)+sin(2-a)>0,

存在%?(0,2-0),使得“(Xo)=O,

當(dāng)0cx時(shí)，h\x)<0,貝！]〃(x)在(0,x0)單調(diào)遞減，

所以力(x)<〃(0)=0,與題意不符,

綜上所述，a的取值范圍是[1,+8).

題型三：端點(diǎn)不成立

例7.(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=aln尤-尤(a/0).

⑴討論函數(shù)"X)的極值；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，不等式毛-2/(x)2sin[/(x)]+l恒成立，求a的取值范圍.

e%

【解析】(1)由題意可得："X)的定義域?yàn)?0,+。)，且/(》)=2-1=q二三，

XX

①當(dāng)a〈0時(shí)，則x>0,”—x<0,可得/'(x)<0,

所以/(X)在(0,+“)上單調(diào)遞減，無極值；

②當(dāng)a>0時(shí)，令r(x)>0,解得0<x<a；令/'(x)<0,解得無>。；

則/?在(0,a)上單調(diào)遞增，在(?,+?)上單調(diào)遞減，

所以/(x)有極大值/(a)=alna-a,無小極值；

綜上所述：當(dāng)a<0時(shí)，/(x)無極值；

當(dāng)。>0時(shí)，/(口有極大值/(°)=。111。一。，無極小值.

(2)因?yàn)?、?/(x)2sin[/(x)]+l,則"⑶-2/(x)-sin[/a)]-120,

ex'

構(gòu)建g(x)=eR-2尤一sinx-1,貝ijg'(無)=6工一2—cosx,

①當(dāng)xW0時(shí)，則e*Vl,-cosxWl,則8'(尤)=6*-2-0^<0,等號不能同時(shí)取到,

所以g(x)在(-8,0]上單調(diào)遞減；

②當(dāng)x>0時(shí)，構(gòu)建0(x)=g<x),則”(x)=e'+sinx,

因?yàn)閑*>l,sinxN-l,則“(x)=e*+sinx>0,

所以°(x)在(O,+⑹上單調(diào)遞增，

且9(0)=-2<0,0⑴=e-2-cosl>e-2-cos：=e-2->0，

故9(x)在(0,+(?)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)/e(O,l),

當(dāng)0<x</時(shí),則夕卜)<0；當(dāng)尤〉無o時(shí)，則(p[x}>0；

即當(dāng)0<x</時(shí)，貝iJg'(x)<0；當(dāng)x〉/時(shí)，則g'(x)>0；

所以g(x)在(0,尤。)上單調(diào)遞減，在(%,+8)上單調(diào)遞增；

綜上所述：8("在(-8,%)上單調(diào)遞減，在(%,+8)上單調(diào)遞增，

則g(x)Ng(3)=e'-23一sin4—1,且g(%)<g(0)=0,

g(x)的圖象大致為：

對于函數(shù)/(x),由(1)可知：

①當(dāng)a<0時(shí)，/(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)X趨近于0時(shí)，/(X)趨近于+00,當(dāng)X趨近于+00時(shí)，/(X)趨近于-8,

即/㈤的值域?yàn)镽,則g(〃x))20不恒成立，不合題意；

②當(dāng)。>0時(shí)，“X)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,+00)上單調(diào)遞減，

則/(x)V/(“)=“l(fā)na-a,且當(dāng)X趨近于。時(shí)，/(x)趨近于-co,當(dāng)X趨近于+oo時(shí)，/(x)趨近于-co,

即/W的值域(falna-a],

若g(7(X)”0恒成立，則/(x)WO恒成立，

BP?Ina-a<0,解得0<aVe；

綜上所述：a的取值范圍(0,e].

例8.(2023?江蘇南京?高二南京市中華中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)f(x)=lnx+lna+(a-l)x+2(a>0).

⑴討論"X)的單調(diào)性；

(2)若不等式e-2f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【解析】(1)“X)的定義域?yàn)?0,+8),f\x)^-+a-\,

X

當(dāng)時(shí)，f\x)>0,/⑶在(0,+8)上為增函數(shù)；

當(dāng)0<a<1時(shí)，由，'(x)>0,得0<x<^—,由，'(x)<0,得x>^—,

l-a\-a

所以/(x)在(0,3)上為減函數(shù)，在(J,+8)上為增函數(shù).

1一。\-a

綜上所述：當(dāng)〃21時(shí)，/(%)在(0,+8)上為增函數(shù)；當(dāng)0<4<1時(shí)，/(%)在(0,J—)上為減函數(shù)，在(J—,+8)

l-al-a

上為增函數(shù).

(2)ex~2>/(x)oe"-221nx+lno+(〃一l)x+2<^>ex_2+x-2>In(tzx)+ax

=Inex-2+ex~2>ln(ax)+ax,

設(shè)g(x)=Inx+x,則原不等式恒成立等價(jià)于g(e^2)>g(辦)在(0,+與上恒成立,

gXx)=-+l>0,g(x)在(0,+oo)上為增函數(shù)，

X

則g(ei)>g(ax)在(0,+s)上恒成立，等價(jià)于2"在(0,+8)上恒成立,

等價(jià)于aV目;在(0,+8)上恒成立

X

人7/、e>2ex-2x-ex~2ex-2(x-l)

令h(x)=---(x〉0),h(x)=----------=---------,

xxx

令h\x)<0,得令h\x)>0,得x〉1,

所以〃(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù)，

所以〃(無)min=〃a)=1,故Owl.

ee

Iny

例9.(2023?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無

(1)求/(月的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對于任意的xe(0,+oo),/(x)+：+x4aeX恒成立，求實(shí)數(shù)。的最小值.

【解析】(1)由/(》)=?一》+1定義域?yàn)閤e(O,+s)

1,,

.—?x-lux-11I2

又=——1=1弋乜

令Mx)=l-lnx-%2,顯然在(0,+力)單調(diào)遞減,且人(1)=0；

.,?當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，A(x)>0=>/r(x)>0；

當(dāng)x￡(l,+oo)時(shí)，/z(x)<0n/x(x)<0.

則;'(X)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+⑹單調(diào)遞減

(2)法一：：任意的xe(0,+co),/(x)+g+xVae”恒成立，

???一尤2+X+In尤V"d-尤2_1恒成立，即a>葉嗎土1恒成立

xe

令且匕”則以加｛+肥+欣).

令力(x)=x+lnx,則A(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

V/2^=l-l<0,〃⑴=l>0.

存在毛,使得6(%)-%+叫=0

當(dāng)無€(0戶0)時(shí),/?(x)<0,g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(x(),+co)時(shí)，A(x)>0,g/(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

由％+1啄=0,可得/=-1叫，

(.x0+lnx0+l

.?.g(x)一gW"。

「、％+Inx+1

又〃2------7一

xe

：.a>l,故。的最小值是1.

法二：

.一+X+M，―恒成立，即。2五P恒成立

x+lux+1x+lux+1_x+Inx+1

令g(x)=

」nx—X,nx+x

xeeee

不妨令，=x+to^(x>0),顯然"x+lnx在(0,+e)單調(diào)遞增n/eR.

a>——在E￡7?怛成立.

e

令〃?)=與1="?)==

ee

當(dāng)/￡(一8,0)時(shí)，；

當(dāng)￡￡(0,+8)時(shí),“⑺<0即為0在(-8,0)單調(diào)遞增

力⑺在(0,+勸單調(diào)遞減

??a>\,故。的最小值是1.

變式5.(2023?四川綿陽?四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ax-lnx,?eR.

(1)若求函數(shù)/(x)的最小值及取得最小值時(shí)的x值；

⑵若函數(shù)/(x)Vxe'-(a+l)lnx對xe(0,+s)恒成立，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)--x-lnx,定義域?yàn)?0,+"),

ee

所以r(x)=工-工=0,令/。)=0得1=6,

exex

所以，當(dāng)x?0,e)時(shí)，/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)丁￡(e,+8)時(shí)，/(%)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)在％=e處取得最小值，/(、).=/⑻=0.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)d-(a+l)ln%對x￡(0,+oo)恒成立

所以xe"—a(x+lnx)20對x￡(0,+oo)恒成立，

令〃(%)=xe"—+Inx),x>0,貝ijh\x)=(x+l)ex-?(1+—)=(x+l)(ex--),

xx

①當(dāng)a=0時(shí)，〃(x)=(x+l)eX>0,〃(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，

所以，由"(x)=xe*可得力(x)>0,即滿足xe*-a(x+lnx)20對xe(0,+oo)恒成立；

②當(dāng)a<0時(shí)，則-a>0,h'(x)>0,在(0,+e)上單調(diào)遞增，

因?yàn)楫?dāng)x趨近于0+時(shí)，〃(x)趨近于負(fù)無窮，不成立，故不滿足題意；

③當(dāng)a>0時(shí),令/㈤=0得”=xe*

令Mx)=e，q,〃(x)=e，+點(diǎn)>0恒成立，故左卜)在(0,+e)上單調(diào)遞增，

因?yàn)楫?dāng)x趨近于正無窮時(shí)，左口)趨近于正無窮，當(dāng)x趨近于o時(shí)，左口)趨近于負(fù)無窮，

x

所以玉0e(0,+oo),使得〃伉)=0,a=xoe°,

所以,當(dāng)xe(O,x(,)時(shí)，h'(x)<0,人(無)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(x(),+co)時(shí)，h'(x)>0,無)單調(diào)遞增，

所以,只需防(力皿=%(％)=卒fI+ln%)=%e%(l-%“即可；

所以，1-Xo-lnXoNO,l>x0+lnx0,因?yàn)槊?。-頻，所以In/,

所以Inxo+Ao=lnaWl=lne,解得0<aVe,所以，ae(0,e],

綜上所解，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,e].

變式6.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/■(x)=ei-alnx,其中aeR.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，討論/'(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)xe［O,可時(shí)，2〃尤+1)-<:(^21恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=eI-1-lnx,函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,田>),

求導(dǎo)得了'a)=ei-L

顯然函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且廣⑴=0,

因此當(dāng)工￡(0,1)時(shí),/a)<0J(x)單調(diào)遞減，當(dāng)X￡(1,+8)時(shí),/'(')〉o,/(x)單調(diào)遞增,

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

(2)XG［0,K］,令g(x)=2/(x+l)-cosx=2e"-2aln(x+l)-cosx，求導(dǎo)得g'(%)=2e”-------+sinx,

當(dāng)a<0時(shí),g(x)>0,則g(x)在［0,7i］上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=2e°—2QIn1-cos0=1,滿足題意,

當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)〃(x)=g'(x),則//0)=2，"+2a

+cosx>0,因此函數(shù)>(x),即g'OO在［0,兀］上單調(diào)遞增,

(x+1)

而g'(0)=2e°-2〃+sin0=2-2a,

⑴當(dāng)0<a<1時(shí),g'(x)>gf(0)=2-2a>0,g(x)在［0,兀］上單調(diào)遞增,

于是g(x)2g(0)=2e°—2alnl—cos0=l,滿足題意，

(ii)當(dāng)g'O)=2e冗-----+sin7i<0,即a2(兀+1犬兀時(shí)，對VXE［0,兀|,g'(x)V0,則g(x)在(0,兀)上單調(diào)遞減,

71+1

此時(shí)g(x)<g(0)=2e°-In1-cos0=1,不合題意，

(iii)當(dāng)1<a<(乃+l)eK時(shí)，因?yàn)間'O)在［0,兀］上單調(diào)遞增,

且g'(0)g'(無)=(2-2a)(2e"—=)<0,于是％,日0,兀］,使g'(x0)=0,且當(dāng)xe(0,%)時(shí),g，(x)單調(diào)遞減，

此時(shí)g(x)<g(0)=2e°-2?lnl-cos0=l,不合題意，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-*1］.

題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離

例10.(2023?湖北武漢?武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ln子+

(1)若a<0J(x)的極大值為3,求實(shí)數(shù)。的值；

⑵若Vxe(0,+e)J(x)<a尤-l］x--,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)椤?lt;0,由三>0,得x<0,即/(尤)的定義域?yàn)?-8,0).

a

因?yàn)?