高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：阿基米德三角形【六大題型】（學(xué)生版）

麴基杲檐縣魯彬

------------------------------------------------------------O（題型歸納）O

1弦長(zhǎng)與弦所在方程問(wèn)題...................................................................1

2定點(diǎn)問(wèn)題................................................................................4

3切線(xiàn)垂直問(wèn)題...........................................................................9

4切線(xiàn)交點(diǎn)及其軌跡問(wèn)題..................................................................13

5面積問(wèn)題...............................................................................18

6最值問(wèn)題...............................................................................21

（命題規(guī)律）O

1、阿基米德三角形

阿基米德三角形是圓錐曲線(xiàn)的重要內(nèi)容，圓錐曲線(xiàn)是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來(lái)看，阿基

米德三角形的考查頻率變高，在各類(lèi)題型中都有可能考查，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類(lèi)問(wèn)題的訓(xùn)練，靈活求解.

Q［方法與技巧總結(jié)］O

【知火點(diǎn)1阿基米德三角形】

拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.

性質(zhì)1阿基米德三角形的底邊力B上的中線(xiàn)MQ平行于拋物線(xiàn)的軸.

性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)拋物線(xiàn)內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線(xiàn),該直線(xiàn)

與以。點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行.

性質(zhì)3若直線(xiàn)Z與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，以Z上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊AB過(guò)定點(diǎn)（若直線(xiàn)I

方程為：￡12+如+。=0,則定點(diǎn)的坐標(biāo)為（，

性質(zhì)4底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為“.

性質(zhì)5若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線(xiàn)，且阿基米德三角形的面積最小,

最小值為獷.

Q［舉一反三）o

【題型1弦長(zhǎng)與弦所在方程問(wèn)題】

1.（23-24高二下?河南開(kāi)封?期末）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)

學(xué)家、天文學(xué)家,不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大,還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào).拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)48處的

切線(xiàn)交于點(diǎn)P,稱(chēng)為“阿基米德三角形”,當(dāng)線(xiàn)段經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)尸時(shí)，口具有以下特征：

⑴P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；⑵為直角三角形，且尸氏⑶PFLAB.已知過(guò)拋物線(xiàn)靖=

169焦點(diǎn)的直線(xiàn)I與拋物線(xiàn)交于A(yíng),B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,B處的切線(xiàn)交于點(diǎn)尸，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,則直線(xiàn)

的方程為（）

A.x+2y—8=0B.x—2y+8=0C.a?—4y+16=0D.必+40一16=0

2.（2024?陜西西安?二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天

文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大,還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào).拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)4B處的切線(xiàn)交

于點(diǎn)P,稱(chēng)三角形E48為“阿基米德三角形”.已知拋物線(xiàn)。：靖=89的焦點(diǎn)為F,過(guò)4B兩點(diǎn)的直線(xiàn)

的方程為遮力-3y+6=0,關(guān)于“阿基米德三角形”下列結(jié)論不正確的是（）

A.\AB\=^-B.PA±PB

o

C.PF±ABD.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（聲,—2）

3.（23-24高二上?重慶?期末）阿基米德（公元前287年~公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家

和天文學(xué)家，并享有''數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào).他研究拋物線(xiàn)的求積法，得出了著名的阿基米德定理.在該定

理中，拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩切線(xiàn)所圍成的三角形被稱(chēng)為“阿基米德三角形”.若拋物線(xiàn)上任意

兩點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn)尸，則△PAB為“阿基米德三角形”，且當(dāng)線(xiàn)段經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)尸時(shí)，

具有以下特征：（1）P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；（3）0斤，48.若經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)爐=

8T的焦點(diǎn)的一條弦為“阿基米德三角形”為△&LB,且點(diǎn)P在直線(xiàn)x-y+6=Q±.,則直線(xiàn)AB的方

程為（）

A.x—y—2=0B.x—2y—2=0C.x+y—2=0D.x+2y—2=0

4.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）人8為拋物線(xiàn)d=2加（「＞0）的弦，蟲(chóng)如仇），紡）分別過(guò)AB作的拋物

線(xiàn)的切線(xiàn)交于點(diǎn)M（xo.yo），稱(chēng)4AMB為阿基米德三角形,弦AB為阿基米德三角形的底邊.若弦AB過(guò)

焦點(diǎn)尸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.Xi+x2=2x0B.底邊AB的直線(xiàn)方程為gc—p（u+“o）=0；

C.是直角三角形；D.面積的最小值為2P2.

0

【題型2定點(diǎn)問(wèn)題】

5.（23-24高二下?安徽?開(kāi)學(xué)考試）拋物線(xiàn)的弦與在弦兩端點(diǎn)處的切線(xiàn)所圍成的三角形被稱(chēng)為“阿基米德

三角形”.對(duì)于拋物線(xiàn)C：y=a"給出如下三個(gè)條件:①焦點(diǎn)為網(wǎng)0《）；②準(zhǔn)線(xiàn)為夕=—/；③與直線(xiàn)

2y-l=0相交所得弦長(zhǎng)為2.

（1）從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè),求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）已知是（1）中拋物線(xiàn)的“阿基米德三角形”，點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)。在弦兩端點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)的

交點(diǎn)，若點(diǎn)Q恰在此拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，試判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo);如果不是，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.（2024.湖南.三模）已知拋物線(xiàn)E:y2=2Px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)F且斜率為2的直線(xiàn)與E交于A(yíng),B兩

點(diǎn)，|AB|=10.

（1）求E的方程；

（2）直線(xiàn)Z:c=—4,過(guò)/上一點(diǎn)P作E的兩條切線(xiàn)尸尸M切點(diǎn)分別為求證:直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)，并

求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

7.（2024.甘肅蘭州.一模）已知圓。過(guò)點(diǎn)P（4,l）,M（2,3）和N（2,—1）,且圓。與4軸交于點(diǎn)F,點(diǎn)、F是拋物

線(xiàn)E：X2=2py（p>0）的焦點(diǎn).

（1）求圓。和拋物線(xiàn)E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)Z與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)4,8,過(guò)點(diǎn)4,8分別作拋物線(xiàn)E的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)

Q,試判斷直線(xiàn)QM與圓。的另一個(gè)交點(diǎn)。是否為定點(diǎn)，如果是，求出。點(diǎn)的坐標(biāo);如果不是，說(shuō)明理由.

8.（2024?遼寧?三模）設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為必=4/，/為直線(xiàn)l-.x=-m（m>0）上任意一點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)河作拋物

線(xiàn)。的兩條切線(xiàn)MA,MB,切點(diǎn)分別為8（4點(diǎn)在第一象限）.

⑴當(dāng)M的坐標(biāo)為（―吟）時(shí)，求過(guò)河，人，B三點(diǎn)的圓的方程；

（2）求證:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；

（3）當(dāng)m變化時(shí),試探究直線(xiàn)I上是否存在點(diǎn)M，使ZWAB為直角三角形,若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，說(shuō)

明理由;若不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型3切線(xiàn)垂直問(wèn)題】

9.（23-24高二上?安徽蚌埠?期末）已知拋物線(xiàn)C的方程為爐=44,過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分

別為48.

（1）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,-1），求切線(xiàn)PA,PB的方程；

（2）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上的任意一點(diǎn),求證:切線(xiàn)P4和PB互相垂直.

10.（23—24高二上?河南駐馬店?期末）已知P是拋物線(xiàn)。:婿=4x的準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的

兩條切線(xiàn)切點(diǎn)分別為

（1）若點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0,求此時(shí)拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)PA,PB的斜率分別為甌M，求證：自?自為定值.

11.（23-24高二上?安徽蚌埠?期末）已知拋物線(xiàn)C的方程為"=甸,點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上的任意一點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)。的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A8,點(diǎn)河是的中點(diǎn).

（1）求證:切線(xiàn)上4和P8互相垂直；

（2）求證:直線(xiàn)PM馬y軸平行；

（3）求△出口面積的最小值.

12.（23-24高三下?江西景德鎮(zhèn)?階段練習(xí)）已知橢圓C1：4+4=1，拋物線(xiàn)5與橢圓C］有相同的焦點(diǎn)，

拋物線(xiàn)G的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線(xiàn)G的準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)G的兩條切線(xiàn)PA.PB,

其中人、口為切點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)PA,PB的斜率分別為自，防

⑴求拋物線(xiàn)&的方程及自履的值;

⑵若直線(xiàn)AB交橢圓G于。兩點(diǎn)，&、$2分別是△B4B、AFCD的面積，求黑的最小值.

【題型4切線(xiàn)交點(diǎn)及其軌跡問(wèn)題】

13.(2024.遼寧沈陽(yáng).模擬預(yù)測(cè))已知拋物線(xiàn)后：/=29，過(guò)點(diǎn)T(U)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)E交于人，B兩點(diǎn)，設(shè)拋

物線(xiàn)E在點(diǎn)4口處的切線(xiàn)分別為h和①已知。與刀軸交于點(diǎn)M，，2與立軸交于點(diǎn)N,設(shè)。與12的交點(diǎn)

為P.

(1)證明：點(diǎn)P在定直線(xiàn)上；

(2)若△PMN面積為掾，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：

(3)若P,河，N,T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

14.(24—25高三上?云南?階段練習(xí))已知點(diǎn)P(g,%)是拋物線(xiàn)娟=2pt(p>0)上任意一點(diǎn),則在點(diǎn)P處的切

線(xiàn)方程為“oU=p(x+g).若A,B是拋物線(xiàn)Co：y2=a1c(a>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使得在點(diǎn)A與點(diǎn)B處

的兩條切線(xiàn)相互垂直.

(1)當(dāng)a=6時(shí),設(shè)這兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q的軌跡方程；

(2)(i)求證：由點(diǎn)A,B及拋物線(xiàn)&的頂點(diǎn)所成三角形的重心的軌跡為一拋物線(xiàn)G；

(ii)對(duì)a再重復(fù)上述過(guò)程,又得一拋物線(xiàn)6，以此類(lèi)推,設(shè)得到的拋物線(xiàn)序列為G，G，a，…，a，試

求Gz的方程.

°

15.(2024.廣西.二模)已知拋物線(xiàn)。:d=4,過(guò)點(diǎn)E(0,2)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)。于4,8兩點(diǎn)，過(guò)4,3兩點(diǎn)分別

作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)交于點(diǎn)P.

(1)證明：P在定直線(xiàn)上；

(2)若斤為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，證明：=

16.(2024.上海.三模)已知拋物線(xiàn)「靖=2"的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)7(1,1)的直線(xiàn)，與「交于A(yíng)、B兩點(diǎn).設(shè)「在

點(diǎn)入、8處的切線(xiàn)分別為。，如。與多軸交于點(diǎn)M，。與多軸交于點(diǎn)N,設(shè)。與。的交點(diǎn)為P.

(1)設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a,求切線(xiàn)h的斜率，并證明FM工

(2)證明：點(diǎn)P必在直線(xiàn)y=c—1上；

⑶若P、M、N、T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

...........日

【題型5面積問(wèn)題】

17.（23-24高三上?河南濮陽(yáng)?階段練習(xí)）我們把圓錐曲線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)所圍成

的三角形△JR4B（P為兩切線(xiàn)的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”.拋物線(xiàn)有一類(lèi)特殊的“阿基米德三角

形”，當(dāng)線(xiàn)段經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)R時(shí)，具有以下性質(zhì)：

①P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；

②24,尸B；

③

已知直線(xiàn)l：y=fc（s-l）與拋物線(xiàn)婿=4必交于人，口點(diǎn)，若M3=8,則拋物線(xiàn)的“阿基米德三角形”

的面積為（）

A.8V2B.4V2C.2V2D.V2

18.（2024.山西.模擬預(yù)測(cè)）圓錐曲線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過(guò)

拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F作拋物線(xiàn)的弦，與拋物線(xiàn)交于4,8兩點(diǎn)，分別過(guò)兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)小力相交于

點(diǎn)尸，那么阿基米德三角形PAB滿(mǎn)足以下特性:①點(diǎn)P必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上;②/XPAB為直角三角形，

且/為直角；③PRLAB,已知P為拋物線(xiàn)92=*的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，則阿基米德三角形R48面積的

最小值為（）

A.4-B.4-C.2D.1

24

19.（2024?河北秦皇島?二模）已知拋物線(xiàn)石：d=2y的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是*軸下方的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作E的兩條

切線(xiàn)"心，且，14分別交工軸于M,N兩點(diǎn).

（1）求證：F,P,M,N四點(diǎn)共圓；

（2）過(guò)點(diǎn)F作V軸的垂線(xiàn)Z,兩直線(xiàn)分別交Z于4口兩點(diǎn)，求△上4B的面積的最小值.

20.（2024.河南.模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知4=（4,y）,6=（力,—g）,且4?日=0.

（1）求點(diǎn)河⑶9）的軌跡「的方程；

（2）由圓22+g2=R2上任一點(diǎn)N?,yo）處的切線(xiàn)方程為XQX+yQy=1,類(lèi)比其推導(dǎo)思想可得拋物線(xiàn)C:

y1=2px（p>0）上任一點(diǎn)N（g,%）處的切線(xiàn)方程為譏。=0（/（）+力）.現(xiàn)過(guò)直線(xiàn)化=一3上一點(diǎn)P（不在力軸

Q

上）作r的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為QR若分別與立軸交于Q,R1，求詈％的取值范圍.

b"QR

【題型6最值問(wèn)題】

21.（23-24高三?云南昆明?階段練習(xí)）過(guò)拋物線(xiàn)靖=2pc（p>0）的焦點(diǎn)尸作拋物線(xiàn)的弦，與拋物線(xiàn)交于4

B兩點(diǎn)，分別過(guò)人，8兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)4，L相交于點(diǎn)又常被稱(chēng)作阿基米德三角形.

的面積S的最小值為（）

A.￡B.C.p2D.V2p2

22.（23—24高三上.湖南長(zhǎng)沙.階段練習(xí)）48為拋物線(xiàn)〃=2pg（p>0）的弦，A（g,%）,3（狽紡）分別過(guò)AB

作的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)交于點(diǎn)河（&,坊），稱(chēng)△/MB為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若

弦過(guò)焦點(diǎn)F,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Tj+T2=2ic0B.底邊AB的直線(xiàn)方程為ga;—p（y+uo）=0；

C.A4MB是直角三角形；D.△⑷V陽(yáng)面積的最小值為2P2.

_________畝

23.（2024.云南曲靖.一模）已知斜率為1的直線(xiàn)。交拋物線(xiàn)民〃=2";他>0）于兩點(diǎn)，線(xiàn)段48的中點(diǎn)

Q的橫坐標(biāo)為2.

（1）求拋物線(xiàn)E的方程；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)E的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)12與拋物線(xiàn)石交于M、N兩點(diǎn),分別在點(diǎn)M、N處作拋物線(xiàn)E

的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)P，則△PMN的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的

直線(xiàn)的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.（2024.河北.模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)C:x2=2py（p>0）,過(guò)點(diǎn)F（O,2）的直線(xiàn)I與。交于人歸兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)I

與沙軸垂直時(shí)，04,08（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求。的準(zhǔn)線(xiàn)方程；

（2）若點(diǎn)A在第一象限，直線(xiàn)I的傾斜角為銳角，過(guò)點(diǎn)4作。的切線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)T,連接交。于另

一點(diǎn)為。，直線(xiàn)AD與y軸交于點(diǎn)Q,求與△AZZT面積之比的最大值.

...........由

1過(guò)關(guān)測(cè)試）

一、單選題

1.（2024?吉林白山"二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如

在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈等.在圓傕曲線(xiàn)中，稱(chēng)圓錐曲線(xiàn)的弦與過(guò)

弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線(xiàn)。:媛=8c的焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)為

O,斜率為A的直線(xiàn)I過(guò)點(diǎn)F且與拋物線(xiàn)。交于M,N兩點(diǎn)，若△PMN為阿基米德三角形，則\OP\=

O

（）

A.VHB.2V3C.V13D.V14

2.（2024?青海西寧?二模）拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形常被稱(chēng)為阿基米德三角形.

阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如:若拋物線(xiàn)的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的斜率之積為

定值.設(shè)拋物線(xiàn)y2=2Pxe>0），弦AB過(guò)焦點(diǎn),/\ABQ為阿基米德三角形，則的面積的最小值

為（）

12

A.yB.pC.2pD.4P2

3.（23-24高二"全國(guó)?課后作業(yè)）圓錐曲線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形常被稱(chēng)為阿基米

德三角形,其中拋物線(xiàn)中的阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線(xiàn)的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)

的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線(xiàn)上.設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px[p>0）,弦過(guò)焦點(diǎn)尸，AABQ為阿基米德三角

形，則△人8。為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨著點(diǎn)4,8位置的變化,前三種情況都有可能

4.（2024.河北.三模）拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形稱(chēng)為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)

展的歷史長(zhǎng)河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個(gè)兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì).已知拋物

線(xiàn)才=4為過(guò)焦點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的切線(xiàn)相交于點(diǎn)則下列說(shuō)法正確的是（）

A.河點(diǎn)必在直線(xiàn)①=—2上，且以48為直徑的圓過(guò)M點(diǎn)

B.河點(diǎn)必在直線(xiàn)必=-1上，但以48為直徑的圓不過(guò)河點(diǎn)

C.河點(diǎn)必在直線(xiàn)?=—2上，但以48為直徑的圓不過(guò)河點(diǎn)

D.河點(diǎn)必在直線(xiàn)必=—1上，且以4B為直徑的圓過(guò)河點(diǎn)

5.（23-24高三上?河南濮陽(yáng)?階段練習(xí)）我們把圓錐曲線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)所圍成

的三角形△ELB（P為兩切線(xiàn)的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”.拋物線(xiàn)有一類(lèi)特殊的“阿基米德三角

形”，當(dāng)線(xiàn)段經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F時(shí)，4PAB具有以下性質(zhì)：

①P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；：

②弘,服

...................................由

③尸F(xiàn)LAB.

已知直線(xiàn)l-.y=fc（x-l）與拋物線(xiàn)才=4n交于4口點(diǎn)，若\AB\=8，則拋物線(xiàn)的“阿基米德三角形”

頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（）

A.±1B.±2C.±3D.±^-

6.（23-24高三?云南昆明?階段練習(xí)）過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)斤作拋物線(xiàn)的弦與拋物線(xiàn)交于A(yíng)、B

兩點(diǎn)，河為AB的中點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)1卜h相交于點(diǎn)P△上又常被稱(chēng)作阿基米德

三角形.下面關(guān)于的描述：

①P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；

②A(yíng)P_LPB；

③設(shè)A（x1,y1）＞B（x2,y2）,則ARIB的面積S的最小值為%；

?PF±AB；

⑤PAf平行于刀軸.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

7.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線(xiàn)「："=加的焦點(diǎn)為F,直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)「在第一象限相切于點(diǎn)

P,并且與直線(xiàn)y=-2和T軸分別相交于A(yíng),B兩點(diǎn),直線(xiàn)P9與拋物線(xiàn)r的另一個(gè)交點(diǎn)為Q.過(guò)點(diǎn)B作

〃/斤交P斤于點(diǎn)。，若|PC|=|QR|,則|P川等于（）

附加結(jié)論:拋物線(xiàn)上兩個(gè)不同的點(diǎn)8的坐標(biāo)分別為%）,8（如例），以入，8為切點(diǎn)的切線(xiàn)

相交于點(diǎn)P，我們稱(chēng)弦為阿基米德APAB的底邊.

定理:點(diǎn)P的坐標(biāo)為（苦包,筍）；

推論:若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線(xiàn)內(nèi)定點(diǎn)。（0,m）（巾＞0），則另一頂點(diǎn)P的軌跡方程為

y=-m.

A.V5-1B.2+V5C.3+V5D.5+V5,

8.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）阿基米德（公元前287年?公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家

和天文學(xué)家.他研究拋物線(xiàn)的求積法得出著名的阿基米德定理,并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào).拋物線(xiàn)的弦

.........由

與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形被稱(chēng)為阿基米德三角形.如圖，△Q4B為阿基米德三角形.拋

物線(xiàn)〃=2py（p>0）上有兩個(gè)不同的點(diǎn)人（如%）,口（狽統(tǒng)），以人，B為切點(diǎn)的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)相交

于P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（）

（1）若弦4B過(guò)焦點(diǎn)，則△4BP為直角三角形且ZAPB=90°；

（2）點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（三丁,爺

（3）/\PAB的邊AB所在的直線(xiàn)方程為（x1+x2）x—2py—xrx2=0；

（4）ZVMB的邊AB上的中線(xiàn)與沙軸平行（或重合）.

A.⑵⑶⑷B.⑴⑵C.⑴⑵⑶D.⑴⑶⑷

二、多選題

9.（2024.山東.模擬預(yù)測(cè)）拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已

知拋物線(xiàn)C：x2=8y，阿基米德三角形上,弦AB過(guò)。的焦點(diǎn)尸,其中點(diǎn)A在第一象限，則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為一2B.。的準(zhǔn)線(xiàn)方程為劣=—2

C.若|人m=8,則AB的斜率為V3D.面積的最小值為16

10.（2024?湖南長(zhǎng)沙?二模）過(guò)拋物線(xiàn)C：d=2py（p>0）的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)。相交于A(yíng),B兩點(diǎn)，以

A，B為切點(diǎn)作拋物線(xiàn)。的兩條切線(xiàn)L，3設(shè)21，L的交點(diǎn)為河，稱(chēng)為阿基米德三角形.則關(guān)于阿

基米德三角形人上歸,下列說(shuō)法正確的有（）

A.是直角三角形B.頂點(diǎn)河的軌跡是拋物線(xiàn)。的準(zhǔn)線(xiàn)

C.是的高線(xiàn)D.面積的最小值為功2

11.（23-24高三下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）拋物線(xiàn)的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)形成的三角形稱(chēng)為阿基米德

三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力.設(shè)是拋物線(xiàn)。:d=向上兩個(gè)不

同的點(diǎn)，以A（g,%）,B（g,紡）為切點(diǎn)的切線(xiàn)交于P點(diǎn).若弦人口過(guò)點(diǎn)F（0,l）,則下列說(shuō)法正確的有

（）.

A.X1X2=—4：B.若0=2,則A點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為①一0一1=0

C.存在點(diǎn)P,使得次?萬(wàn)>0D.面積的最小值為4

....................0

三、填空題

12.（2024高三.全國(guó).專(zhuān)題練習(xí)）拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形被稱(chēng)為阿基米德三角形.

設(shè)拋物線(xiàn)為=4c,弦AB過(guò)焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則的面積的最小值為.

13.（24-25高二上?上海?單元測(cè)試）我們把圓錐曲線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)4、口處的兩條切線(xiàn)所圍成的

△a4B（p為兩切線(xiàn)的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”.拋物線(xiàn)有一類(lèi)特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線(xiàn)段

48經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)斤時(shí)，具有以下性質(zhì)：

①P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上;②上4，P8；③PF，4B.

已知直線(xiàn)Z：V=—1）與拋物線(xiàn)才=42交于48兩點(diǎn)，若|人引=8,則拋物線(xiàn)的“阿基米德三角形”

△MB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1,2）（-1,-2）.

14.（23—24高三下.江西.階段練習(xí)）圓錐曲線(xiàn)。的弦AR與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)P所圍成的

三角形叫做阿基米德三角形，若曲線(xiàn)。的方程為"=4,，弦過(guò)。的焦點(diǎn)歹，設(shè)4（電,納），

B（T2,紡），P（g,y°），則有g(shù)=*生，%=學(xué)，對(duì)于。的阿基米德三角形給出下列結(jié)論:①點(diǎn)P

在直線(xiàn)y=-1上；②甌4?=1；③心4+八?=0；④|P*2=|必||尸8|，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為

四、解

15.（23-24高三上?河北衡水?階段練習(xí)）著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的

面積公式S=a版，（a,b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)）為后續(xù)微積分的開(kāi)拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓

（i）求。的面積；

（2）若直線(xiàn)Z：rr+2夕—3=0交。于A(yíng),B兩點(diǎn)，求\AB\.

.............恨

16.（23-24高二下?重氏階段練習(xí)）過(guò)拋物線(xiàn)外一點(diǎn)P作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為4我們稱(chēng)

為拋物線(xiàn)的阿基米德三角形，弦48與拋物線(xiàn)所圍成的封閉圖形稱(chēng)為相應(yīng)的“冏邊形”，且已知

“冏邊形”的面積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二.如圖，點(diǎn)P是圓Q-.x2+（y+5）2=4上的動(dòng)

點(diǎn)，/XPAB是拋物線(xiàn)r：?2=2py（p>0）的阿基米德三角形，尸是拋物線(xiàn)「的焦點(diǎn)，且