滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二十二章 四邊形（10類題型）（60道壓軸題專練）（解析版）

第二十二章四邊形(10大題型)(60道壓軸題專練)

壓軸題型一多邊形

1.(23-24七年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試)(1)如圖1,這是一個(gè)五角星ABCDE,求++++

的度數(shù).

(2)如圖2,如果點(diǎn)3向右移動(dòng)到/C上，直接寫出/4+ND8E+/C+/D+/￡的度數(shù).

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)3向右移動(dòng)到ZC的另一側(cè)時(shí)，直接寫出N/+/D8E+/C+/D+/E的度數(shù).

(4)如圖4,求44+NB+/C+/D+/E+/F的度數(shù).

AAA

【答案】(1)180°(2)180°(3)180°(4)360°

【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，解答此類題目時(shí)利用三角形內(nèi)角與

外角的關(guān)系把多個(gè)角劃到同一個(gè)三角形中，再利用三角形內(nèi)角和定理解答即可.

(1)先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出NC+NE=4M7V,NB+ND=NANM,再由三角形內(nèi)角和定理即可得出

結(jié)論；

(2)先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出NC+N8EC=N4ME,NB+ND=NAEM,再由三角形內(nèi)角和定理即可得出

結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)班交NC于點(diǎn)N,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出NC+NBEC=NMVE,ZB+ZD=ZANM,再由三

角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

(4)連接BC,利用三角形內(nèi)角和定理結(jié)合四邊形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：(1)如圖，

ZAMN是ACEM的外角,

/.ZC+ZE=ZAMN.

???ZANM是ABDN的外角,

ZB+ZD=ZANM.

???NZ+ZAMN+ZANM=18CP,

:.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=18CP；

（2）如圖，

???ZAMB是ABDM的外角，

ADBM+ZADB=4AMB.

QN/5”是MCE的外角，

:.NC+NE=NABM.

???ZA+/ABM+ZAMB=180°,

.?Z+Z￡+NC+NO+ZDBE=180°；

（3）如圖，延長(zhǎng)E5交/C于點(diǎn)N,

'/ZAMN是ABDM的外角，

ZDBE+ZD=ZAMN.

vZANM是KNE的夕卜角,

/C+ZE=ZANM,

-/+ZANM+ZAMN=18（F,

ZA+ZDBE+ZC+ZD+ZE=180°；

（4）如圖，連接5C,

D

貝l|NFBC+ZECB=ZE+ZF,

：.ZA+ZABF+ZDCE+ZD+ZE+ZF

=ZA+ZABF+ZDCE+ZD+ZFBC+ZECB

=ZA+ZABC+ZBCD+ZD

=360°.

2.(2023八年級(jí)下?浙江?專題練習(xí))

(1)如圖1,設(shè)4=x,貝!]/1+/2=；

(2)把三角形紙片Z8C頂角N沿DE折疊，點(diǎn)/落到點(diǎn)4處，記N4DB為N1,ZA'EC為N2.

①如圖2,ZBN2與/N的數(shù)量關(guān)系是—；

②如圖3,請(qǐng)你寫出Nl,N2與//的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖4,把一個(gè)三角形紙片N3C的三個(gè)頂角分別向內(nèi)折疊之后，3個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=.

圖2C

圖1

A

BL----------------

圖3

圖4

【答案】(l)180°+x

(2)①Nl+/2=24,@Z1-Z2=2NZ,理由見詳解

(3)360°

【分析】（1）表示出N1=N/+//C2，N2=/4+ZABC,用三角形內(nèi)角和定理即可求解；

（2）①由折疊可求得/1=180。-2N/OE,/2=180。-2//￡。，用三角形內(nèi)角和定理即可求解；②由①可

求ZDFC=ZA+2ZADE和ZDFC=ZA+18O°-Z1,即可求解；

（3）由（2）得：Z1+Z2=2ZA,可同理求出/3+/4,Z5+Z6,即可求解.

【詳解】（1）解：由題意得：

N1=NA+NACB,Z2=ZA+ZABC,

Z1+Z2=ZA+ZACB+ZA+ZABC

=（ZA+NACB+ZABC）+NN

=180°+x.

故答案：180°+x.

（2）解：①如圖2,由折疊得：ZADE=ZA'DE,ZAED=ZA'ED,

，/1=180°-24。￡,/2=180°-2//￡。，

Z1+Z2=180°-2ZADE+180°-2ZAED

=360°-2（ZADE+ZAED）,

NADE+ZAED=18（F-N/,

Zl+Z2=360°-2（1800-

=2ZA.

故答案：Z1+Z2=2Z^.

②如圖3,Nl-N2=2乙4,

圖3

理由如下：設(shè)4。與/C交于F，

ZDFE=Z2+ZA'

由①得：Zl=180°-2ZX￡>￡,N4=/A,

2N4DE=18O°-N1,

NDFE=N2+NA，

■：NDFC=18Q°-NDFE,

ZDFC=180°-ZA-Z2,

ZDFC=ZA+2ZADE,

ZDFC=Z^+180P-Z1,

+180°-Z1=180°-ZA-Z2,

Z1-Z2=2ZA.

(3)解：由(2)得：N1+N2=2NN,

同理可得：Z3+Z4=2Z5,Z5+Z6=2ZC,

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6

=22/+2N8+2/C

=2(N/+/3+NC)

=360°.

故答案：360°.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角與內(nèi)角關(guān)系，四邊形的內(nèi)角和，掌握相

關(guān)的性質(zhì)及定理，正確進(jìn)行整體代換是解題的關(guān)鍵.

3.(21-22八年級(jí)上?江西贛州?期中)如圖，四邊形4BCD,BE、。廠分別平分四邊形的外角/MBC和/NDC,

若NB4D=a,ZBCD=p.

(1)如圖1,若￡+尸=120。，求NM3C+NNDC的度數(shù)；

(2)如圖1,若8E與。下相交于點(diǎn)G,/BGD=30°,請(qǐng)求出a、￡所滿足的等量關(guān)系式;

(3)如圖2,若BE〃DF,請(qǐng)求出°、產(chǎn)所滿足的等量關(guān)系式.

【答案】(1)120。

(2)尸-a=60。，理由見解析

(3)a=/，理由見解析

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線，多邊形的內(nèi)角和公式，平行線的性質(zhì)，利用多邊形的內(nèi)角

和公式是解題關(guān)鍵.

(1)^ABC+ZADC=360P-(a+P),再根據(jù)乙四。+乙\?。=180。一乙18。+180。一//。?？傻么鸢?；

(2)連接8。，由(1)知NMBC+NNDC=a+/3,利用角平分線和外角的性質(zhì)可得

；(a+/7)+180°-77+30。=180°,整理可得結(jié)論；

(3)由(1)知，ZMBC+NNDC=a+。,由BE〃DE,得NCBE=NCHD,由/C8E+/CDH=；(</+?),

彳導(dǎo)NCHD+NCDH=；(a+m,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)則有尸=；(。+￡),進(jìn)而可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：由四邊形內(nèi)角和得，

ZABC+ZADC=360P-(a+p),

ZMBC+ZNDC

=180°-/ABC+180°-ZADC

=360°-(NABC+ZADC)

=360?！?60。+。+p

=a+f3

=120°；

(2)解：如圖1,連接BQ,

由（1）得，ZMBC+ZNDC=a+/3,

-BE,。/分別平分四邊形的外角和/MX?,

ZCBG=-ZMBC,ZCDG=-ZNDC,

22

ZCBG+ZCDG=；ZMBC+1ZNDC=1（/MBC+ZNDC）=；（a+力）,

在中，NBDC+NCBD=\8b—/BCD=\8（r—0

在△MG中，AGBD+ZGDB+ABGD=180°,

/.ZCBG+ZCBD+ZCDG+ZBDC+ZBGD=180。，

/.(ZCBG+ACDG)+(/BDC+ZCBD)+Z.BGD=180°,

/.1(cr+/7)+180°-/7+30o=180°,

ft-a=60°；

由(1)得，ZMBC+ZNDC=a+/3,

-BE,。尸分別平分四邊形的外角NMBC和NNDC,

/.ZCBE=iZMBC,/CDH=-ZNDC,

22

ZCBE+ZCDH=；/MBC+；/NDC=+NNDC)=1(a+/3),

BE//DF,

/CBE=ZCHD,

ACHD+ZCDH=3(a+夕)，

/BCD=ZCDH+ZCHD,

4=5(0+/)，

:.a=，.

4.（23-24八年級(jí)上?山東威海?期末）在四邊形中，乙4=100。，25=120。，點(diǎn)E、尸分別是邊40,BC

上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PF,令NPED=Nl,ZPFC=Z2,ZEPF=Za.

初探:

(1)如圖①，若點(diǎn)P在線段。上運(yùn)動(dòng)，試探究/1+N2與/a之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

再探：

(2)如圖②，若點(diǎn)P在線段。C的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，試探究/l,22,Na之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到四邊形/BCD的內(nèi)部，在備用圖中畫出此時(shí)的圖形，并直接寫出此時(shí)/a之間的關(guān)系

【答案】(1)N1+N2=4(T+Na,理由見解析

(2)Zl-Z2=Za+40°,理由見解析

(3)Z1+Z2=40°+Za

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角等知識(shí).熟練掌握多邊形內(nèi)角和定理,

三角形外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角是解題的關(guān)鍵.

(1)由題意知，乙4+48+(180。一N2)+Na+(180。-21)=540。，進(jìn)而可求/1+/2=40。+〃；

(2)如圖②，記PE、的交點(diǎn)為貝IJN8〃E=N2+Na,由//+/8+/9出+(180。一/1)=360。，可

MZl-Z2=Za+40°；

(3)如圖備用圖，同理(1)求解作答即可.

【詳解】(1)解：Z1+Z2=40°+Z￡Z,理由如下；

o

由題意知，Z^+ZJB+(180°-Z2)+Za+(180-Zl)=540°,

VZA=100°,ZB=120°,

Zl+Z2=40°+Za；

(2)解：Zl-Z2=Ztz+40°,理由如下;

如圖②，記PE、8C的交點(diǎn)為“，

B

F

ER

H

D

圖②

由題意知，NBHE=N2+Na,

,/ZA+ZB+NBHE+（180°-Zl）=360°,

100°+120°+Z2+Za+（180°-Zl）=360°,即N1-N2=Na+40°；

(3)解：如圖備用圖,

備用圖

由題意知，/4+/8+（180。一/2）+/￡+（180。一/1）=540。，

Zl+Z2=40°+Za,

故答案為：Zl+Z2=40°+Z?.

5.（22-23八年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期末）如圖，在四邊形48co中，4=150°,"=80°.

(1)如圖1,若NB=/C,則/C=度；

(2)如圖2,若的平分線BE交DC于點(diǎn)E,且成〃4D,試求出/C的度數(shù);

⑶①如圖3,若/4BC和/DC8的平分線交于點(diǎn)尸，試求出N8PC的度數(shù);

②如圖4,P為五邊形4BCDE內(nèi)一點(diǎn);DP,CP分別平分/EDC,/BCD,試探究/尸與NN+N8+NE的數(shù)

量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）65

（2）ZC=70°

⑶①/8PC=115°,②NP-士N；+NE_9o。,理由見解析

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的

關(guān)鍵.

（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360。，結(jié)合已知條件求解即可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N/2E的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義得到//BC的度數(shù)，進(jìn)一步根據(jù)四邊

形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得出答案；

（3）①先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得出ZABC+ZBCD=130。，由角平分線的定義得出ZPBC+ZPCB=65°,

再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得出答案；②由五邊形的內(nèi)角和定理得出

540+Zg

NEDC+ZBCD=540°-（/A+/B+NE）,由角平分線的定義得出ZPDC+ZPCD=°~）,

即可得出答案.

【詳解】（1）解：?.?Z/l+Z3+/C+Zr）=360°,ZA=15O°,ZD=80°,ZB=ZC,

3600-ZA-ZD360°-150°-80°i

??.^―———o5,

22

故答案為：65；

（2）解：BE//AD,

/.ZABE+ZA=1SO°,

：.ZABE=180°-=180°-150°=30°,

ZABC的平分線BE交DC于點(diǎn)、E,

：.ZABC=60°,

??./C=360°-（150°+80°+60°）=70°；

（3）解：①???四邊形中，44二150。，/。=80。

NABC+NBCD=360?！?50。+80°）=130。，

。和N5CZ）的平分線交于點(diǎn)尸，

.??ZPBC+ZPCB=65°,

：.Z5PC=180o-65°=115°；

②：五邊形/BCDE的內(nèi)角和為180°義（5—2）=540°,

NEDC+NBCD=540°-(ZA+/B+NE),

VZEDC和ZBCD的平分線交于點(diǎn)P,

540°-(ZA+ZB+ZE]

..NPDC+ZPCD=--------------------------,

2

540°-(ZA+ZB+ZE}ZA+ZB+ZE

/尸=180°---------i------------------2=一乙。十"-90；

22

6.(23-24八年級(jí)上?河南駐馬店?期末)(1)已知：如圖1,^ABC.求證：Z^+ZJ8+ZC=180°

圖1圖2圖3

分析：方法①延長(zhǎng)3c到。，過(guò)點(diǎn)C作射線CE〃以（圖2）,這樣就相當(dāng)于把//移到了N1的位置，把

移到了N2位置.

方法②過(guò)點(diǎn)/作直線PQ〃BC（圖3）,把三個(gè)角“湊”到/處.

從上面選一種你喜歡的方法寫出證明過(guò)程.

解決問題：

（2）如圖4,一BC外一點(diǎn)、D,連接CD.求證：NBAD+NB+/BCD+ND=360°.

（3）如圖5,“3C外兩點(diǎn)。、E,連接/E、ED、CD.沿著九W折疊得到圖6,點(diǎn)E落在點(diǎn)?貝U

ZMAB+ZB+/BCD+ZD+ZDNM+ZNMA=_（答案直接寫在橫線上）.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）720°

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理的證明及應(yīng)用，涉及四邊形內(nèi)角和，五邊形內(nèi)角和，折疊問題等，解

題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì).

（1）方法①延長(zhǎng)3C到D,過(guò)點(diǎn)C作射線CE〃氏4,結(jié)合平行線的性質(zhì)與平角的定義可得結(jié)論；方法②過(guò)

點(diǎn)/作直線尸2〃8C,結(jié)合平行線的性質(zhì)與平角的定義可得結(jié)論；

(2)由(1)的結(jié)論可得/A4C+/8+44cB=180。，ACAD+ZD+Z^C￡>=180°,再相加可得結(jié)論;

(3)連接AD,由(1)知，ZBAC+ZB+ZACB=180°,ZCAD+ZACD+ZADC=180°,由(2)知,

ADAM+NAMN+ZMND+ZADN=360°,再相加可得答案.

【詳解】證明：(1)方法①延長(zhǎng)3c到。，過(guò)點(diǎn)C作射線C￡〃ZB,如圖：

/.ZA=Z1,ZB=Z2,

'：ZL4CS+Z1+Z2=18O°,

/.4+Z8+//C8=180°；

方法②過(guò)點(diǎn)A作直線PQ//BC,如圖:

NB=APAB,NC=AQAC,

?：ZPAB+ABAC+NCAQ=180°,

：.ZC+ZB+ZBAC=1800-

(2)由(1)知，ZBAC+Z5+Z^C5=180°,ZCAD+ZD+ZACD=180°,

：.ZBAC+NB+ZACB+ZCAD+ZD+NACD=360°,

：.(ZBAC+ZCAD)+NB+(ZACB+N4CD)+ND=360°,

即ABAD+ZB+NBCD+ND=360°；

(3)連接NO,如圖：

B

由（1）知，ZBAC+ZB+ZACB=180°,ACAD+AACD+ZADC=180°,

由（2）知，ZDAM+ZAMN+ZMND+ZADN=360°,

ABAC+ZB+ZACB+ZCAD+ZACD+ZADC+ZDAM+ZAMN+AMND+ZADN=180。+180°+360°

=720°,

/MAB++/BCD+ZD+ADNM+ANMA=720°.

壓軸題型二平行四邊形的判定與性質(zhì)

7.（22-23八年級(jí)下?上海浦東新?期末）如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=h+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)-4,0）,5（0,3）.

(1)求直線N5的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)C在直線N8上，點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于〉軸對(duì)稱，如果以。，A,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求

點(diǎn)C的坐標(biāo).

【答案】(1)"1+3

⑵點(diǎn)C的坐標(biāo)是1-2,0或12,

【分析】(1)由直線y=h+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(-4,0),5(0,3),再利用待定系數(shù)法求解解析式即可；

(2)設(shè)。與y軸相交于點(diǎn)“，證明證明4O=CD=4.①當(dāng)點(diǎn)C在線段48上時(shí)，CH=2.如

圖，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是-2,②當(dāng)點(diǎn)C在線段45的延長(zhǎng)線上時(shí)，CH=2.如圖，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是2,再

利用函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：由題意得，直線、=6+方經(jīng)過(guò)點(diǎn)-4,0),5(0,3),

(a

,,［一4后+6=0,k=-

代入得入,解得4.

Ib=3'=3

.??直線48的的表達(dá)式是廣，+3.

4

(2),??點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)與歹軸相交于點(diǎn)H,

CH=DH,

?.?以。、/、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

A0=CD=4.

綜上所述，如果以。，/、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)C的坐標(biāo)是,21］或

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，

利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.

8.(22-23八年級(jí)下?上海寶山?期末)平行四邊形48CD中，￡是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡作EGL/3,垂足

為點(diǎn)G,尸是邊的中點(diǎn)，連接跖、FG.

(1)如圖甲，當(dāng)E是邊8c的中點(diǎn)時(shí)，如果四邊形48CD的面積為10,求AEFG的面積;

(2)如圖乙，點(diǎn)E移動(dòng)至點(diǎn)C處，試判斷AE『G形狀，并說(shuō)明理由；

(3)如圖丙，如果N8=4D=2,ZB=60°,設(shè)BE=x,=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域.

【答案】(1g

(2)AEFG是等腰三角形，理由見解析

(3)y=-^-x2+^^-x(O<x<2)

88

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定定理得出四邊形ABEF是平行四邊形，設(shè)平行四邊形ABEF邊EF

上的高為〃，根據(jù)面積之間的關(guān)系求解即可；

(2)取BC中點(diǎn)連接切與CG交于點(diǎn)P,根據(jù)平行線的性質(zhì)及垂直平分線的判定和性質(zhì)得出FG=FC,

即可得出結(jié)果；

(3)過(guò)點(diǎn)G作GN,3c于N,過(guò)點(diǎn)/作于根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理

11/?

得出3G=；尤，BN=-x,NG=—x,AM=43,結(jié)合圖形得出兀雙？=$梯形4的一尸G一18G上代入求解

244

即可.

【詳解】(1)解：?.?平行四邊形/BCD,

AB//CD,AF//BE,

是邊8c的中點(diǎn)時(shí)，尸是邊的中點(diǎn)，

EF//AB,

四邊形ABEF是平行四邊形，

設(shè)平行四邊形ABEF邊所上的高為〃，

,,S.EFG=QEF-A=-S平行四邊形HBEF=IS平行四邊形/BCD=彳；

(2)取BC中點(diǎn)X,連接尸〃與CG交于點(diǎn)尸，

EG1AB,

尸是CG中點(diǎn)，NFPG=NBGC=90。,

：.FH垂直平分CG,

：.FG=FC,

:.是等腰三角形；

(3)過(guò)點(diǎn)G作GN_L3C于N,過(guò)點(diǎn)4作力M_L5C于

JZBEG=30°,

：.BG=-BE=-x,

22

在必△BNG中，NBGN=30。,

：.BN=-BG=-x,

24

_______巧

：.NG=y/BG2-BN2=—x,

4

在R￡4BM中，

NBAM=30。,

：.BM=-AB=\,

2

,,AM=VAB2—BM2=>/3,

n

???點(diǎn)G到AD的距離為AM-NG=^--X,

4

y=S梯形45既一S^AFG-S^BGE

=—(x+l)xyj3-—6-------Xjx1-^—x-——X

2V72(4J24

=--x2+—A：(0<X<2).

88

【點(diǎn)睛】題目主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線

段垂直平分線的判定和性質(zhì)及確定函數(shù)解析式等，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)

鍵.

3

9.(22-23八年級(jí)下?上海靜安?期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=.x-6與x軸和y軸分別相

交于點(diǎn)/和點(diǎn)3,/OA4的平分線5尸交CM于點(diǎn)C,點(diǎn)。坐標(biāo)（小,0）,點(diǎn)尸與點(diǎn)3關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱.

（2）求圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式;

（3）已知點(diǎn)。是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，如果四邊形408尸是平行四邊形，那么點(diǎn)。的坐標(biāo)是..（請(qǐng)將點(diǎn)。

的坐標(biāo)直接填寫在空格內(nèi)）

【答案】（1）3

36

(2)y=—

X

(3)(2,-12)

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作"±AB與點(diǎn)、M,證明得出△08C之AW3C,再根據(jù)邊長(zhǎng)之間的關(guān)系利用勾股定理

即可得到答案;

（2）點(diǎn)尸與點(diǎn)2關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，據(jù)此可求出尸（6,6）,代入反比例函數(shù)中即可求得解析式;

（3）根據(jù)題意求出平行四邊形四條邊長(zhǎng)所在的直線方程，然后求直線8。和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作。/1AB與點(diǎn)、M,如圖所示:

.??令x=0得y=-6,

令V=0得x=8,

.?./(8,0),5(0,-6),

OB=6,OA=8,

根據(jù)AB=yJOB2+OA2=V82+62=10,

TBP是/O"的平分線，

.??/OBC=ZMBC,

在△QBC和△MBC中，

ZCOB=ZCMB=90°

</OBC=/MBC,

BC=BC

：.AOBC^AMBC(AAS),

OC=CM=m,OB=BM=6,

45=10,

???AM=AB-BM=\Q-6=^,AC=AO-OC=8-mf

.?.在中，得(8-加)2=療+42,

解得；m=3；

(2)解：由(1)可得C(3,0),

:點(diǎn)P與點(diǎn)2關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，

二點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2x3-0=6,縱坐標(biāo)為2x0-(-6)=6,

二尸(6,6),

設(shè)反比例函數(shù)為>=七"為常數(shù)，D,

X

???圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,

6=—,解得：左=36,

6

經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式為y=非；

（3）解：連接尸/,過(guò)點(diǎn)8作〃尸過(guò)點(diǎn)/作4D〃P3,RD與AD交于一點(diǎn)、D,連接5D,AD,如

圖所示：

由（1）（2）可得/（8,0）,3（0,-6）,尸（6,6）,

?.?四邊形ADBP是平行四邊形，

，設(shè)3尸所在的直線為:y=kxx+bx,

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入進(jìn)去可得尢=2,4=-6,

BP//AD,

.?.設(shè)40所在的直線為：了=2尤+4，

將點(diǎn)/的坐標(biāo)代入可得4=76,

，40所在的直線為：y=2x-16,

設(shè)AP所在的直線為：y=k2x+b3,

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入進(jìn)去可得&=-3也=24,

,：AP//BD,兩直線斜率相同，

.?.設(shè)3。所在的直線為：y=-3x+b4,

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入計(jì)算可得以=-6,

3Z）所在的直線為：y=_3x-6,

[y=2x-16fx=2

聯(lián)立廣.A得

[y=-3x-o[y=-12

.?.0（2,-12）.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、勾股定理、反比例函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)，準(zhǔn)確找到邊長(zhǎng)之間的

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.（22-23七年級(jí)上?上海青浦?期末）小明在學(xué)習(xí)了中心對(duì)稱圖形以后，想知道平行四邊形是否為中心對(duì)稱

圖形.于是將一張平行四邊形紙片平放在一張紙板上，在紙板上沿四邊畫出它的初始位置，并畫出平行四

邊形紙片的對(duì)角線，用大頭針釘住對(duì)角線的交點(diǎn).將平行四邊形紙片繞著對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，平行

四邊形紙片與初始位置的平行四邊形恰好重合.通過(guò)上述操作，小明驚喜地發(fā)現(xiàn)平行四邊形是中心對(duì)稱圖

形，對(duì)角線的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.

請(qǐng)你利用小明所發(fā)現(xiàn)的平行四邊形的這一特征完成下列問題:

圖①圖②圖③

（1）如圖①，四邊形NBCD是平行四邊形，過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O的直線/與邊AS、CD分別相交于點(diǎn)M、N,則四

邊形48cZ）與四邊形的面積之比的比值為______；

（2）如圖②，這個(gè)圖形是由平行四邊形48CD與平行四邊形ECG尸組成的，點(diǎn)E在邊上，且B、C、G在

同一直線上.

①請(qǐng)畫出一條直線把這個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)部分（不要求寫出畫法，但請(qǐng)標(biāo)注字母并寫出結(jié)論）；

②延長(zhǎng)G廳與邊/￡）的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,延長(zhǎng)FE與邊AB交于點(diǎn)、H.聯(lián)結(jié)EB、EK、BK,如圖③所示，當(dāng)

四邊形N//ED的面積為18,四邊形CEFG的面積為4時(shí)，求三角形E8K的面積.

【答案】（1）2:1

（2）①見解析,S四邊形二S四邊形4MND+S四邊形慟H；②7

【分析】（1）由四邊形/BCD是平行四邊形，對(duì)角線4C、8。相交于點(diǎn)。，得AB〃CD,OA=OC,從而得

到/H4O=/NCO,即可證明出zJl"。g△NCO,同理可證明出△M3。名△M）。，KOB均AOD,因此得到

S&COB=S4AOD，SAMBO-SANDO,SAMAO=SANCO，又因?yàn)镾四邊形+SA4OO+SAN°O,

S四邊形NBC。=S^AMO+S&CNO+S&MBO+S.ADO+SNNDO+S.COE，所以得到S四邊形4MM）=5s四邊形48co，從而即可得到答案;

（2）①根據(jù)（1）中的結(jié)論畫出圖并寫出相關(guān)結(jié)論即可;

②由四邊形48CD是平行四邊形得48〃CDAD//BC,由四邊形ECG廠為平行四邊形，得

EC//GF,EF//CG,從而可得/K〃8G,AB//GK,進(jìn)而可得四邊形A8GK為平行四邊形，同理可得，四

邊形DEFK、四邊形ZffiCE均為平行四邊形，在根據(jù)平行四邊形的面積與三角形的面積關(guān)系，即可得到三

角形EBK的面積為.

【詳解】（1）解：???四邊形是平行四邊形，對(duì)角線/C、8。相交于點(diǎn)O,

AB//CD,OA=OC,

ZMAO=ZNCO,

在△跖1O和ANCO中

'/MAO=ZNCO

<ZAOM=ZCON,

AO=CO

△M4OdNCO（AAS）,

同理可得AMB。名ANDO,KOB均AOD,

?V—Vs二sV-V

-3cOB-^AAOD'Q&MBO3NDO'.UANCO，

S四邊形.NO^AMO+S./DO+S.M）。，S四邊形MC。=^AAMO+￡oVO+_1_2c（?，

.e=le

一口四邊形4M2VD—2°四邊的BCD，

即四邊形4BCD的面積與四邊形/MND的面積之比為2:1,

故答案為：2:1：

（2）①根據(jù)（1）中的結(jié)論畫出圖如圖所示，

圖②

平行四邊形/BCD的對(duì)角線/C、5。相交于點(diǎn)。，平行四邊形ECG廠的對(duì)角線EG、CF相交于點(diǎn)。，過(guò)

點(diǎn)。、。的直線/將圖形分為面積相等的兩個(gè)部分，直線/與N3相交于點(diǎn)M,直線/與GF相交于N,直線/

與C。相交于H，

其中§四邊形M8CH=§四邊形，S四邊形"CGN=§四邊形"EFN，

?**S四邊形NG8M=S四邊形M5C”+S四邊形"GCN~S四邊形ZMHO+'四邊形"EFN，

即S四邊形NG5M=S四邊形NMHD+S四邊形"EFN；

②???四邊形48C。是平行四邊形，

/.AB//CD,AD//BC,

???四邊形ECG廠為平行四邊形，

EC//GF,EF//CG,

/.AK//BG,AB//GK,

二?四邊形ZBGK為平行四邊形，

同理可得，四邊形。￡相、四邊形均為平行四邊形,

,S四邊形⑷=18,S四邊形CEFG=4,

，?

S四邊形45GK=S四邊形4〃即+S四邊形CMG+'四邊形":即十§四邊形尸長(zhǎng)，

=18+4+S四邊形BCEH+S四邊形OEFK，

=22+S四邊形BCE4+S四邊形DEFK，

???SsGK=；Mq邊形，BGK

=5（22+S四邊形BCEH+S四邊形DEFK）

=11+萬(wàn)S四邊形BCEH+5S四邊形DEFK，

,**S&BCE四邊形6CE//，S^EFK=四邊開外qK，

S&EBK=S.BGK-S-CE~AEFK-'四邊形田燈

=11+5S四邊形BCEH+萬(wàn)S四邊形OEFK~萬(wàn)四邊形8CEH~務(wù)S四邊形。底尸K-

二7,

???三角形EBK的面積為7.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解決問題的關(guān)

鍵，難度較大，綜合性較強(qiáng).

11.（21-22七年級(jí)上?上海金山?期末）如圖，已知正方形/BCD,點(diǎn)M是線段C8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接

（1）將線段沿著射線方向平移，使得點(diǎn)/與點(diǎn)。重合.用代數(shù)式表示線段掃過(guò)的平面部分的

面積.

（2）將三角形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使得AB與AD重合,點(diǎn)M落在點(diǎn)N,連接跖V.用代數(shù)式表示三角形

的面積.

（3）將三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的三角形有一邊與正方形的一邊完全重合（第（2）小題的情況除

外）.請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫出符合條件的3種情況，并寫出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

⑵工1+"

22

(3)見解析

【分析】（1）首先得到線段掃過(guò)的平面部分為平行四邊形然后根據(jù)平行四邊形的面積公式求

解即可；

（2）根據(jù)題意利用國(guó)AMN=‘VAMB+*^WABCD~ADN-MNC求解即可；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，線段掃過(guò)的平面部分為平行四邊形㈤

:.線段AM掃過(guò)的平面部分的面積為ABAD=〃;

(2)解：由題意可得，

SyAMN=S%AMB.S'MNC

ABCDADN

——ab+/——ab—-(tz+6)(。-b)

(3)解：如圖所示:

旋轉(zhuǎn)中心為邊的中點(diǎn)。，旋轉(zhuǎn)角405=180。；

旋轉(zhuǎn)中心為ZC中點(diǎn)。，旋轉(zhuǎn)角乙4。。二180。；

旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)5,旋轉(zhuǎn)角乙4BC=90。；

N

旋轉(zhuǎn)中心為NC中點(diǎn)。，旋轉(zhuǎn)角N/OD=90。；

旋轉(zhuǎn)中心為/C中點(diǎn)。，旋轉(zhuǎn)角為360。-4408=270。.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)

點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角解答.

12.(2022八年級(jí)下?上海?專題練習(xí))如圖，在直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)”(2,0)和點(diǎn)8(-2,0),直線與V軸

正半軸交于點(diǎn)。(0力)，過(guò)點(diǎn)A作ND垂足為。，聯(lián)結(jié)OD.

⑴求0。的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)/。。/=30。時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，已知點(diǎn)￡在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果以A、C、D、￡為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)

直接寫出點(diǎn)￡的坐標(biāo).

【答案】(1)2

(2)C(0,2V3).

⑶耳(3,9，^(-3,373),￡,3(l,-V3)

【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出答案；

(2)根據(jù)含30。角的直角三角形△48。及3=03=0?？汕蟪黾啊?CO及邊長(zhǎng)，即可求出答案;

(3)根據(jù)題意作圖，結(jié)合直角三角形，角度，勾股定理，即可求出答案.

【詳解】(1)解：如圖所示，

VAD1BC,

：.ZADB=90°,

?.?/(2,0),5(-2,0),

?：OA=OB=2,即點(diǎn)。是的中點(diǎn)，在RMABD,

：.OD=-AB=2.

2

(2)解：ZODA=30°,OD=OA,

：.ZODA=ZOAD=30°,

：.NOBD=60°,

在歷AOBC中，OC=OB.tan600=2C，

AC(0,2V3).

故點(diǎn)C的坐標(biāo)是：(0,26).

(3)解：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)A作/E"/DC,

丁四邊形NOC&是平行四邊形，由(2)可知AD=Cr>=；8C=；x4=2,

AEl=DC=2,且ZE"ADC,過(guò)點(diǎn)用作用M，無(wú)軸于M,AMAEX=60°,

.?.瓦（3,現(xiàn)

如圖2所示，聯(lián)結(jié)/C,過(guò)點(diǎn)。作DE?/"。，

?；四邊形ACDE2是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)用作芻〃，x軸于//,

.?.當(dāng)（1,-百）.

如圖3所示，聯(lián)結(jié)NC,過(guò)點(diǎn)。作。&/"。，

?.?四邊形NC&。是平行四邊形，

同理得自卜3,36），

故點(diǎn)E的坐標(biāo)是：（3,6）,（-3,373）,（1,-V3）.

圖3

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系，直角三角形，勾股定理考查坐標(biāo)點(diǎn)

的確定，理解和掌握平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

壓軸題型三矩形的判定與性質(zhì)

13.(22-23八年級(jí)下?上海徐匯?階段練習(xí))己知矩形Z8CD中，48=8,點(diǎn)M在邊BC上，且8河=6,點(diǎn)P

在邊/。或DC上，連接4W、AP、MP,設(shè)40=尤.

(1)如圖1,當(dāng)S4ABM-S四迦加=3.7時(shí),求X的值；

(2)如圖2,當(dāng)x=8時(shí)，如果為等腰三角形，求的面積；

(3)直接寫出使得A/龍。為等腰三角形的點(diǎn)P最多有幾個(gè)？并指出使得點(diǎn)尸個(gè)數(shù)最多時(shí)x的取值范圍.

【答案】⑴x=10

25-

⑵彳或14

(3)使得A/MP為等腰三角形的點(diǎn)P最多有4個(gè)，此時(shí)12<x<16

【分析】(1)根據(jù)題意得到四邊切研=3：10,然后分別求出工/府、S四邊/B8的面積，從而建立方程

求解即可；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，△4所不可能是等腰三角形，再分圖2-1和圖2-2兩種情況，利用勾股定理求出

DP、C尸的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)=S矩形4BCO—-S△尸CM-S△皿)求出對(duì)應(yīng)的面積即可；

(3)根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的示意圖，確定點(diǎn)尸個(gè)數(shù)最多時(shí)的情況，再求出對(duì)應(yīng)的臨界情況下X的值即可得到

答案.

【詳解】(1)解：SZ\ABM-S四邊形4OCN=3:7,

??S^ABM,S四邊形45CD=3.10,

???四邊形是矩形，

??￡)8=90，S矩形Z8CD=AB-AD=8x

：

.SI/.\A.DRMM.=-2AB-BM2=-x8x6=24,

???24:8x=3:10,

x=10；

(2)解：如圖2,過(guò)點(diǎn)刊作于凡連接則四邊形力團(tuán)團(tuán)是矩形,

MH=AB=8,

*.*AD=BC=x=8,

:?CM=BC—BM=2,

在RtAA/CD中，由勾股定理得DM=VcAf2+CD2=2JF7，

在Rt中，由勾股定理得AM=dAB?+BM?=10，

...當(dāng)點(diǎn)尸在上時(shí)，AD^MH<PM<AM,

又：當(dāng)?■=M"=8時(shí)，AH<AD=S,

...當(dāng)點(diǎn)尸在上時(shí)，△4所不可能是等腰三角形；

如圖2-1所示，當(dāng)點(diǎn)P在C。上，且=時(shí)，

設(shè)。尸=x,貝!]CP=CD-DP=8-x,

由勾股定理得PA2=AD2+DP2,PM2=CM2+CP2，

/.X2+82=22+(8-X)2,

解得x

4

131

：.DP=-CP=—

4f4f

S^^APM=$矩形Z8CD-‘叢ABM~$APCM~~^ADP

l,?l.3111

=8ox8o——x6x8x2x---------x8ox—

22424

25

4

圖2“

如圖2-2所示，當(dāng)4P=/M=10時(shí),

DP=』AP。-AD?=6，

：.CP=2,

??^AAPM=S矩膝（8CD-S/^BM-S/VPCM-^AADP

=8x8——x6x8-—x6x8--x2x2

222

=14；

25

綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的面積為二或14

4

(3)解：如圖所示，當(dāng)滿足/〃'=/尸2=〃^=〃^=10,/4=孫時(shí)，^AMR、AAMP2,2MP3、MMP4

都是等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)最多，

,使得為等腰三角形的點(diǎn)P最多有4個(gè)，

,必須要保證A在4D上，R在CD上,

過(guò)點(diǎn)M作于"，則四邊形48MH是矩形，

AH=BM=6,

：.Afi,=2AH=12,

當(dāng)心恰好與點(diǎn)。重合時(shí)，此時(shí)4D=3C=16,

12<x<16；

綜上所述，使得ANMP為等腰三角形的點(diǎn)P最多有4個(gè)，此時(shí)12<xW16.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的現(xiàn)在，勾股定理，等腰三角形的定義，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想求

解是解題的關(guān)鍵.

14.（22-23八年級(jí)下?上海浦東新?期末）如圖，在矩形N3CD中，AB=2,40=3,點(diǎn)尸在邊AD上，連接

8尸，點(diǎn)/關(guān)于直線5尸為對(duì)稱點(diǎn)為4,

--------------1。

--------------1。

（備用圖）

（1）點(diǎn)4落在8C邊上，求/P的長(zhǎng)

（2）點(diǎn)4落在線段PC上，求4P的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)4到直線CD的距離等于4B的長(zhǎng)，求4P的長(zhǎng).

【答案】⑴2

⑵3M

⑶4-26

【分析】（1）依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)即可求得/尸的長(zhǎng).

（2）由勾股定理先求得?C的長(zhǎng)，再在中利用勾股定理列出方程，求解x即可（見圖）.

（3）過(guò)?作8C的垂線，構(gòu)造多個(gè)矩形與直角三角形，然后將所求的量與已知的量集中在同一個(gè)直角三角

形&即可求解.（見圖）

【詳解】（1）點(diǎn)4落在3c邊上，如下圖所示.

?.?點(diǎn)N與點(diǎn)4關(guān)于8P對(duì)稱，

ZABP=ZA'BP.

由4D〃BC得，ZA'BP=ZAPB,

：.ZABP=ZAPB.

：.AP=AB=2.

(2)點(diǎn)4落在線段尸c上，如下圖.

根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得：AD=BC=3,CD=AB=2.

設(shè)4P=x.貝i]DP=4D-4P=3-x.

?.?點(diǎn)/與點(diǎn)4關(guān)于3P對(duì)稱，

ZBA'P=ZBAP=90P,則ABAC=90°.

在直角ABA'C中，A'C=yjBC2-A'B2=V32-22=卡■

在直角△尸CD中，由勾股定理得：

PC2=PD2+CD2,BP(PA'+A'C)2=PD2+CD2

：.(x+V5)2=(3-X)2+22,

解得：x=3-45-

(3)點(diǎn)4到直線CD的距離等于45的長(zhǎng)，自點(diǎn)/，作4HLCD,垂足為X,則依題意知，A'H=A'B.自

點(diǎn)4作的垂線交于點(diǎn)M、交BC于點(diǎn)、N,垂足為點(diǎn)N.則因/D〃8C,

：.MN1BC,垂足為點(diǎn)N.

?點(diǎn)/與點(diǎn)4關(guān)于AP對(duì)稱，

/.AB=A'B=A'H=2,并設(shè)/尸=4P=x.

又四邊形4HW、四邊形4NCH、四邊形CDMN均有三個(gè)角為直角，故均是矩形.

:.MD=AH=NC=2,DH=M4AN=HGMN=CL.

在直角A/'3N中，BN=BC-NC=BC-A'H=BC-AB=3-2=1,

A'N=yjA'B1-BN2=V22-I2.

貝|JW=AGV-4N=/8-4N=2-g.

PM=AD-AP-MD=3-x-2=1-x.

在直角中，HM=2-日PM=\-x,A'P=x,

由勾股定理得：X2=（2-V3）2+（1-X）2.

解得：x=4-2A/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)應(yīng)用、矩形的性質(zhì)應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵將已知

條件與待求結(jié)果集中在同一個(gè)直角三角形內(nèi)即可求解.

15.（22-23八年級(jí)下?上海普陀?期中）如圖，現(xiàn)有矩形/BCD和一個(gè)含30。內(nèi)角的直角三角形2跖按圖1所

示位置放置（45和■重合），其中NB=25,4D=48.將尸繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)&。（0<</<90）,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程

中，直線好與邊4D交于點(diǎn)G,如圖2所示.

（1）求證：AG=EG；

（2）連接CE、DE,當(dāng)DE=CE時(shí)，求出此時(shí)。的度數(shù);

(3)如圖3,以NB為邊的矩形內(nèi)部作正方形九W,直角邊EF所在直線交線段跖V于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)0.設(shè)

AG=x,PN=y,寫出了關(guān)于x的函數(shù)解析式.

【答案】(1)見解析

(2)60°

,、、50x

⑶“石石

【分析】(1)連接8G,根據(jù)矩形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出RMA4G絲RtABEG(HL),即可得證；

(2)當(dāng)DE=CE時(shí)，可知點(diǎn)E在CD的垂直平分線上，過(guò)點(diǎn)E作，8C于點(diǎn)H,E0LDC于點(diǎn)。，可

得四邊形E8C0是矩形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出根據(jù)矩形的性質(zhì)得出E8=m，取BE

125125

的中點(diǎn)M,則8A/=