勾股定理的實際應用模型（原卷版+解析）

專題17勾股定理的實際應用模型

勾股定理將圖形與數(shù)量關(guān)系有機結(jié)合起來，在解決實際問題和幾何應用中有著廣泛的應用。運用勾股

定理解決實際問題的一般步驟：（1）從實際問題中抽象出幾何圖形（建模）；（2）確定要求的線段所在

的直角三角形；（3）確定三邊，找準直角邊和斜邊：①若己知兩邊，則根據(jù)勾股定理直接計算第3邊；②若

已知一邊,則根據(jù)勾股定理列方程間接求解。（挖掘兩個未知邊之間的數(shù)量關(guān)系，設出一邊為未知數(shù)，把另

一邊用含有未知數(shù)的式子表示出來）。

模型1、梯子滑動模型

相關(guān)模型背景：梯子滑動、繩子移動等。

解題關(guān)鍵：梯子的長度為不變量、墻與地面垂直。

梯子滑動模型解題步驟：

1）運用勾股定理求出梯子滑動之前在墻上或者地面上的距離；

2）運用勾股定理求出梯子滑動之后在墻上或者地面上的距離；

3）兩者相減即可求出梯子在墻上或者地面上滑動的距離。

例1.（2023?福建龍巖?八年級校考階段練習）一架梯子AC長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端C離墻7

米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米到A,那么梯子的底端在水平方向滑

動了幾米？

A

A'

例2.（2023秋?廣東佛山?八年級?？茧A段練習）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，巷子寬5米，一架梯子

斜靠在左墻時，梯子頂端到地面的距離AC為3米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯

子頂端到地面的距離即為2米，則CB的長度為多少？

例3.（2023秋?河南鄭州?八年級?？计谀﹫D中的兩個滑塊48由一個連桿連接，分別可以在垂直和水

平的滑道上滑動.開始時，滑塊A距。點20厘米，滑塊B距。點15厘米.問：當滑塊A向下滑13厘米

時，滑塊8滑動了____厘米.

例4.（2023春?廣東廣州?八年級?？计谥校┪挥谔K州樂園的漂流項目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作

人員把偏離的游船從點A拉回點8的位置（如圖）.在離水面垂直高度為8m的岸上點C,工作人員用繩子

拉船移動，開始時繩子AC的長為17m,工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過20秒后游船移動到點。

的位置，問此時游船移動的距離AO的長是多少？

模型2、輪船航行模型

相關(guān)模型背景：輪船航行等。

解題關(guān)鍵：輪船航行的模型要注意兩船終點之間的距離通常為直角三角形的斜邊長。

航行模型解題步驟：

1）根據(jù)航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；

2）根據(jù)航行速度和時間表示出直角三角形兩直角邊長；

3）根據(jù)勾股定理列方程求解航行角度、速度或距離。

例1.（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，某天下午2時，兩艘船只分別從港口。點處出發(fā)，其中快船沿

北偏東30。方向以2海里/時的速度行駛，慢船沿北偏西60。方向以1海里/時的速度行駛，當天下午4時，兩

艘船只分別到達A,3兩點，則此時兩船之間的距離等于（）

6海里C.26海里D.2行海里

例2.（2023春?陜西渭南?八年級統(tǒng)考期中）如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16海里/時的速度

向北偏東40。航行，乙船向南偏東50。航行，g小時后，甲船到達C島，乙船到達2島，若C8兩島相距17

海里，問乙船的航速是多少？

北

南

例3.（2023春?重慶巴南?八年級統(tǒng)考期末）在海平面上有A,B,C三個標記點，其中A在C的北偏西54。

方向上，與C的距離是800海里，2在C的南偏西36。方向上，與C的距離是600海里.

⑴求點A與點8之間的距離；⑵若在點C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時

會發(fā)射一次信號，此時在點B處有一艘輪船準備沿直線向點A處航行，輪船航行的速度為每小時20海里.輪

船在駛向A處的過程中，最多能收到多少次信號？（信號傳播的時間忽略不計）.

A

r

S

B

模型3、信號站（中轉(zhuǎn)站）選擇模型

相關(guān)模型背景：信號塔、中轉(zhuǎn)站等。

解題關(guān)鍵：信號塔和中轉(zhuǎn)站模型要注意兩個目的地到信號塔或中轉(zhuǎn)站的距離是相等的。

信號塔、中轉(zhuǎn)站模型解題步驟：

1）根據(jù)問題設出未知量（一般求誰設誰），并根據(jù)設出的未知量表示出兩個直角三角形的直角邊長；

2）在兩個直角三角形中分別用勾股定理表示出斜邊長；

3）根據(jù)斜邊長相等建立方程求解。

例1.（2023春?廣東汕頭?八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，A、8兩點相距14歷〃，C、。為兩村莊，DA^AB

于A,C80AB于8,已知D4=8hw,CB=6km,現(xiàn)在要在A8上建一個供水站￡,使得C、。兩村到供水站￡

站的距離相等，貝U：（1）E站應建在距A站多少千米處？（2）DE和EC垂直嗎？說明理由.

例2.（2023?江蘇?八年級專題練習）如圖，NAOB=90。，點C在。4邊上，OA=36cm,OB=12cm,點尸從

點A出發(fā)，沿著49方向勻速運動，點。同時從點2出發(fā)，以相同的速度沿2C方向勻速運動，P、。兩點

恰好在C點相遇，求BC的長度？

P

OA

例3.（2023春?廣東八年級課時練習）如圖鐵路上A,8兩點相距40千米，C,。為兩村莊，DASAB,CBSAB,

垂足分別為A和8,D4=24千米，C8=16千米.現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個煤棧E,使得C,。兩村到煤棧

的距離相等，那么煤棧E應距A點（）

A.20千米B.16千米C.12千米D.無法確定

模型4、臺風（噪音）、爆破模型

相關(guān)模型背景：有爆破、臺風（噪音）等。

解題關(guān)鍵：通常會用到垂線段最短的原理。

臺風、爆破模型解題步驟：

1）根據(jù)勾股定理計算爆破點或臺風中心到目的地的最短距離；

2）將計算出的最短距離跟爆破或臺風的影響范圍的半徑作比較；

3）若最短距離大于影響半徑則不受影響，若最短距離小于半徑則受影響。

例L（2023春?河南商丘?八年級統(tǒng)考期末）在王屋山景區(qū)附近的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一C處

需要爆破，已知點C與公路上的?？空続的距離為150米，與公路上的另一?？空?的距離為200米，且

CAYCB,如圖所示.為了安全起見，爆破時點C周圍半徑125米范圍內(nèi)不得進入，則在進行爆破時，公

路A3段是否需要暫時封鎖？請說明理由.

AB

例2.（2023秋?重慶?八年級專題練習）為了積極響應國家新農(nóng)村建設的號召，遂寧市某鎮(zhèn)政府采用了移動

宣講的形式進行廣播宣傳.如圖，筆直的公路的一側(cè)點A處有一村莊，村莊到公路的距離為600m,

假使宣講車尸周圍1000m以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車尸在公路上沿PN方向行駛.

（1）村莊能否聽到廣播宣傳？請說明理由.（2）已知宣講車的速度是200m/min,如果村莊能聽到廣播宣傳，那

么總共能聽多長時間？

A

MPRN

例3.（2023秋?河南周口?八年級?？计谀┤鐖D，公路A2和公路CD在點尸處交匯，且NAPC=45。，點

。處有一座火箭發(fā)射塔，Pe=120V2km,假設龍卷風來臨時，周圍150km內(nèi)都會受到大風影響.

（1）若龍卷風恰好沿公路AB由8向A處行進，火箭發(fā)射塔是否會受到影響？請說明理由；

⑵已知龍卷風的速度為300km/h,若受影響，那么火箭發(fā)射塔受影響的時間為多少分鐘？

例4.（2023春?湖南八年級期中）如圖，某城市接到臺風警報，在該市正南方向260kw的8處有一臺風中

心，沿8C方向以15萬九//?的速度移動，已知城市A到BC的距離AD=100Mw.（1）臺風中心經(jīng)過多長時間

從8移動到。點？（2）已知在距臺風中心30A”的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到不同程度的影響，若在點。的工作

人員早上6:00接到臺風警報，臺風開始影響到臺風結(jié)束影響要做預防工作，則他們要在什么時間段內(nèi)做預

防工作？

B

模型5、超速模型

相關(guān)模型背景：有汽車超速、信號干擾、測河寬等。

解題關(guān)鍵：要將速度統(tǒng)一單位后再進行比較。

超速模型解題步驟：

1）根據(jù)勾股定理計算行駛的距離；

2）根據(jù)行駛距離和時間求出實際行駛速度；

3）比較實際行駛速度和規(guī)定速度。

例L（2023春?湖北咸寧?八年級期中）交通安全是社會關(guān)注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載.某

中學八年級數(shù)學活動小組的同學進行了測試汽車速度的實驗.如圖，先在筆直的公路1旁選取一點P，在公

路工上確定點0、B,使得POEILP0=100米，0PBO=45°.這時，一輛轎車在公路1上由B向A勻速駛來，

測得此車從B處行駛到A處所用的時間為3秒，并測得回APO=60。.此路段限速每小時80千米，試判斷此

車是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：＞/2=1,41,73=1.73）.

例2.（2023秋?重慶,八年級專題練習）小王與小林進行遙控賽車游戲，終點為點A,小王的賽車從點C出

發(fā)，以4米/秒的速度由西向東行駛，同時小林的賽車從點8出發(fā)，以3米/秒的速度由南向北行駛（如圖）.已

知賽車之間的距離小于或等于25米時，遙控信號會產(chǎn)生相互干擾，AC=40米，AB=30米.出發(fā)3秒鐘時，

遙控信號是否會產(chǎn)生相互干擾？

例3.（2023秋?江蘇蘇州?八年級統(tǒng)考期中）某人欲從點A橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C

偏離預到達點B240m,結(jié)果他在水中實際游了510m.求該河的寬度.

模型6、風吹蓮動模型

相關(guān)模型背景：蓮花、蘆葦、吸管、筷子、秋千等。

解題關(guān)鍵：“蓮花”高度為不變量。

風吹蓮動模型解題步驟：

1）根據(jù)問題設出“水深”或者“蓮花”的高度；

2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長；

3）根據(jù)勾股定理列方程求解。

例L（2023春?廣西南寧?八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一個水池，水面是邊長為10尺的正方形，在水池中

央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池的一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面，這根

蘆葦?shù)拈L度是（）

A.11尺B.12尺C.13尺D.14尺

例2.（2022秋?廣東深圳?八年級?？计谀┯幸患芮锴В斔o止時，踏板離地的垂直高度DE=0.5m,

將它往前推送2m（水平距離8c=2m）時，秋千的踏板離地的垂直高度3b=1.5m,秋千的繩索始終拉得很

直，求繩索AD的長度.

.7

例3.（2023?廣東潮州?統(tǒng)考模擬預測）如圖，一根長為18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓

柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長度//cm,則的取值范圍為.

模型7、折竹抵地模型

相關(guān)模型背景：竹子、旗桿（風箏）拉繩等。

解題關(guān)鍵：“竹子”高度為不變量。

折竹抵地模型解題步驟：

1）根據(jù)問題設出“竹子”折斷之前或者折斷之后距離地面的高度；

2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長；

3）根據(jù)勾股定理列方程求解。

例L（2023春?山東德州?八年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中的"折竹抵地"問題：今有竹高二丈，末折抵地，

去根九尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高兩丈（一丈=10尺），一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好

抵地，抵地處離竹子底部9尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷后垂直地面的竹子高度為無尺，則

可列方程為（）

A.x2-92=（20-x）2B.X2-92=（10-X）2C.X2+92=（20-X）2D.X2+92=（10-X）2

例L（2023春?江蘇南通?九年級統(tǒng)考階段練習）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，記載著"折竹抵地"問

題："今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?"意思是：一根筆直生長的竹子，高一丈（一丈

=10尺），因蟲害有病，一陣風吹來將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠，求折斷處離

地面的高度是多少尺?設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）

A.x2+32=（10-x）2B.X2+32=102C.x2+（10-x）2=32D.（10-x）2+32=x2

例2.（2022秋?吉林長春?八年級校考期末）某地遭臺風襲擊，馬路邊豎有一根高為8m的電線桿AC,被

大風從離地面2m的2處吹斷裂，倒下的電線桿頂部C1,是否會落在與它的底部A距離5m的快車道上?

Cr-

例3.（2023,山東德州,八年級統(tǒng)考期末）如圖1,同學們想測量旗桿的高度.他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩

子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知.小明和小亮同學應用勾股定理分別提出解決這個

問題的方案如下：小明：①測量出繩子垂直落地后還剩余L5米，如圖1；②把繩子拉直，繩子末端在地面

上離旗桿底部6米，如圖2.小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到點。處，如圖3.

⑴請你按小明的方案求出旗桿的高度；（2）已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿6.75米遠，此時繩結(jié)離地面多高？

圖1圖2圖3

模型8、不規(guī)則圖形面積模型

相關(guān)模型背景：有草坪面積、土地面積、網(wǎng)格等。

解題關(guān)鍵：一般所求圖形面積為不規(guī)則的四邊形，要注意轉(zhuǎn)換為兩個直角三角形的面積進行求解。

面積模型解題步驟：

1）連接兩點作輔助線，將四邊形分為兩個直角三角形；

2）根據(jù)已知條件運用勾股定理求出所連線段長度；

3）運用勾股定理逆定理判定另一個三角形為直角三角形；

4）分別求出兩個直角三角形的面積相加或相減即為所求四邊形面積。

例1.（2022?河北保定?八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，CD=AD=4垃,ZD=90°,AB=10,BC=6.

⑴求NC的度數(shù)；（2）求四邊形ABCD的面積.

例2.（2022?遼寧鞍山?八年級期中）如圖，每個小正方形的邊長都為1.求出四邊形ABC。的周長和面積.

例3.（2023?江西景德鎮(zhèn)?八年級期中）（1）已知AABC三邊長分別為2&，岳,舊，小迪在解決這一

問題時有以下思路：先畫如圖①的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為1）,再畫出格點三角形ABC,利用外

接長方形面積減去周圍三個直角三角形的面積，即可求出AA5c的面積.請你幫助小迪計算出入4BC的面積;

（2）若ADE尸三邊長分別為小a,回a,J瓦，在圖②的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為a）中，畫出

格點三角形DEF,并求出ADEF的面積；（3）若△。尸。三邊長分別為2石帝7，V9m2+16?2，J療+36/，

在圖③的長方形網(wǎng)格（小長方形長均為m,寬均為n）中，畫出格點三角形。PQ,并求出△OP。的面積.

圖①圖②圖③

課后專項訓練3

1.（2023秋?廣東?八年級專題練習）如圖所示的是一個長方體筆筒，底面的長、寬分別為8cm和6cm,高

為10cm,將一支長為18cm的簽字筆放入筆筒內(nèi)，則簽字筆露在筆筒外的的長度最少為（）

A.10cmB.（18-10五）cmC.8cmD.100cm

2.（2023春?安徽淮南?八年級統(tǒng)考期中）如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在豎直的墻面AO上，此時

AO^2.4m.若梯子的頂端A沿墻下滑05m至位置C,那么梯子底端8右移了（）

A.大于0.5mB.0.5mC.小于0.5mD.不確定

3.（2023春?河北邢臺?八年級校考期末）如圖，釣魚竿的長為6m,露在水面上的魚線BC長為2m.釣

魚者想看魚鉤上的情況，把釣魚竿轉(zhuǎn)到的位置，此時露在水面上的魚線3'C'長為30m,則CC'的

C.6mD.26m

4.（2023春?北京懷柔?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在我軍某次海上演習中，兩艘航母護衛(wèi)艦從同一港口。同

時出發(fā)，1號艦沿東偏南60。方向以9節(jié)（1節(jié)=1海里/小時）的速度航行，2號艦沿南偏西60。方向以12節(jié)

的速度航行，離開港口2小時后它們分別到達A,B兩點，此時兩艦的距離是（）

C.15海里D.30海里

5.（2023春?湖北武漢?八年級?？茧A段練習）如圖，小明站在離水面高度為8米的岸上點C處用繩子拉船

靠岸，開始時繩子BC的長為17米，小明以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動到點。的位置，問船向岸

邊移動了米（8。的長）（假設繩子是直的）.

6.（2023?浙江,八年級假期作業(yè)）如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當它靠在一側(cè)墻上時,

梯子的頂端在B點；當它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在。點.已知NBAC=60。，NZME=45。，點。

到地面的垂直距離DE=3y/2m.則點B到地面的垂直距離BC是.m

7.（2023?浙江溫州?八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，8船位于A船正東方向5km處.現(xiàn)在A船以2km/h

的速度朝正北方向行駛，同時8船以1km/h的速度朝正西方向行駛，當兩船相距最近時，行駛了h.

A'B'B

8.（2023春?山東臨沂?八年級校考階段練習）如右圖，小旭放風箏時線斷了，風箏掛在了樹上.他想知道

風箏距地面的高度.于是他先拉住風箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風箏線多出1米，然后把風箏線沿直線向后

拉開5米，發(fā)現(xiàn)風箏線末端剛好接觸地面.則風箏距離地面的高度A3為米.

9.（2023春?廣東肇慶?八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面3米C

處折斷，樹尖8恰好碰到地面，經(jīng)測量=4米，則樹原高為一米.

10.（2023秋?江蘇?八年級專題練習）某工程隊負責挖掘一處通山隧道，為了保證山腳A,B兩處出口能夠

直通，工程隊在工程圖上留下了一些測量數(shù)據(jù)（此為山體俯視圖，圖中測量線拐點處均為直角，數(shù)據(jù)單位：

米）.據(jù)此可以求得該隧道預計全長米.

11.（2023春?重慶忠縣?八年級統(tǒng)考期末）如圖是某幼兒園樓梯的截面圖，擬在樓梯上鋪設防撞地段，若防

撞地毯每平方米售價為40元，樓梯寬為2米，則幼兒園購買防撞地毯至少需要元.

12.（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級統(tǒng)考期末）如圖，一根長18cm的筷子置于底面直徑為5cm,高為12cm

圓柱形水杯中，露在水杯外面的長度/zcm,貝必的取值范圍是.

13.（2023春?新疆昌吉?八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是重要的數(shù)學定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的

最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶.

⑴應用場景一一在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點.如圖1,在數(shù)軸上找出表示3的點4過點A作直線乙垂直

于Q4,在工上取點8,使AB=2,以原點。為圓心，為半徑作弧，求弧與數(shù)軸的交點C表示的數(shù).

（2）應用場景2一—解決實際問題.如圖2,秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=lm,將它往前推6m至C

處時，水平距離CD=6m,踏板離地的垂直高度CF=4m,它的繩索始終拉直，求繩索AC的長.

14.（2023春?遼寧鞍山?八年級校考階段練習）七年級松松同學學習了"勾股定理”之后,為了測量如圖所示

的風箏的高度CE,測得如下數(shù)據(jù)：①測得BD的長度為8米：（注：BD1CE）；

②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為17米；③牽線放風箏的松松身高1.6米.

⑴求風箏的高度CE;（2）若松松同學想風箏沿CD方向下降9米，則他應該往回收線多少米?

15.（2023秋?山西晉城?八年級統(tǒng)考期末）折竹抵地（源自《九章算術(shù)》）：今有竹高一丈，末折抵地，去

本三尺、問折者高幾何?大意是：在點C處生長的一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風將竹子在點A處

折斷，其竹梢點8恰好抵地，BC=3尺，求竹子折斷后，留在原處的竹子AC的長為多少尺？（1丈=10尺）.

16.（2023秋?山西?八年級統(tǒng)考期末）如圖，為了測量湖泊兩側(cè)點A和點B間的距離，數(shù)學活動小組的同學

過點A作了一條A3的垂線，并在這條垂線的點C處設立了一根標桿（即ACLAB）.量得AC=160m,

BC=200m,求點A和點B間的距離.

17.（2022秋?江蘇?八年級專題練習）印度數(shù)學家什迦羅在其著作中提出過"荷花問題J"平平湖水清可鑒，

面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解

題，湖水如何知深淺？”此題的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被風一吹，荷花傾斜，正好與

湖面持平，且荷花與原來位置的水平距離為二尺，問湖水有多深.

18.（2023春?湖南湘西?八年級統(tǒng)考階段練習）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小鵬等三位

同學在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路1的距離為100米的P

處.這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得NAPO

=60°,/BPO=45。，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？

19.（2023秋?四川成都,八年級?？计谥校┤鐖D，一架25m的云梯AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO

為24m.（1）求這個梯子的底端距墻的垂直距離有多遠；（2）當BD=8m,且AB=CD時，AC的長是多少

米；（3）如果梯子AB的底端向墻一側(cè)移動了2米，那么梯子的頂端向上滑動的距離是多少米？

BD

20.（2022秋?重慶?八年級專題練習）如圖，在甲村到乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有C處需要爆

破.已知點C與公路上的?？空続3的距離分別為300機和400帆，且AC13C,為了安全起見，如果爆破

點C周圍半徑250%的區(qū)域內(nèi)不能有車輛和行人，問在進行爆破時，公路段是否需要暫時封閉，為什么？

C

21.（2023,江蘇?八年級專題練習）如圖，筆直的公路上A、8兩點相距17km,C,。為兩村莊于

點A,CBVAB于點8,已知ZM=12km,CB=5km,現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個公交車站E,使得C,

。兩村到公交車站E的距離相等，則公交車站E應建在離A點多遠處?（請用勾股定理的知識解決問題）

22.（2022春?山東臨沂?八年級統(tǒng)考期末）釣魚島及其附屬島嶼是中國固有領(lǐng)土，我國對釣魚島的巡航已經(jīng)

常態(tài)化.如圖，甲、乙兩艘海警船同時從位于南北方向的海岸線上某港口P出發(fā)，各自沿一固定方向?qū)︶烎~

島巡航，若甲船每小時航行12海里，乙船每小時航行16海里，它們離開港口2小時后分別位于點Q、R處,

且相距40海里，如果知道甲船沿北偏東75。方向航行，你知道乙船沿哪個方向航行嗎？請說明理由.

23.（2023春?重慶?八年級專題練習）如圖第4號臺風"黑格比”的中心于2023年8月5日下午位于浙江省

紹興市境內(nèi)的8處，最大風力有9級（23m/s）,中心最低氣壓為990百帕，臺風中心沿東北（BC）方向以

25km/h的速度向。移動在距離3地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距離AO=70km,那么臺

風中心經(jīng)過多長時間從B點移到。點？如果在距臺風中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風破壞的危險,

正在。點休閑的游人在接到臺風警報后的幾個小時內(nèi)撤離才可脫離危險?

北

B

24.（2023春?廣東東莞?八年級?？茧A段練習）如圖，鐵路MN和公路PQ在點。處交匯，ZQON=30°.公

路PQ上A處距。點240米.如果火車行駛時，周圍200米以內(nèi)會受到噪音的影響.那么火車在鐵路上

沿ON方向以72千米/時的速度行駛時，A處受噪音影響的時間為多少？（補充知識：在直角三角形中，30°

所對的直角邊是斜邊長的一半）

25.（2022?浙江麗水?七年級期末）如圖，4x4方格中每個小正方形的邊長都為1.

⑴求圖①中正方形ABCD的面積.（2）在圖②中畫一個邊長為而的正方形，使它的頂點在格點上.

26.（2023秋?廣東?八年級專題練習）【問題情境】某數(shù)學興趣小組想測量學校旗桿的高度.

【實踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學興趣小組實地勘查發(fā)現(xiàn)：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子

的長度未知

【實踐探究】設計測量方案：第一步：先測量比旗桿多出的部分繩子的長度，測得多出部分繩子的長度是1

米；第二步：把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點C,再測量繩子底端C與旗桿根部8點之間

的距離，測得距離為5米；

【問題解決】設旗桿的高度為x米，通過計算即可求得旗桿的高度.

⑴依題知3C=米，用含有x的式子表示AC為米，（2）請你求出旗桿的高度.

地面

27.（2023春?遼寧葫蘆島?八年級統(tǒng)考期末）如圖，某天上午海岸瞭望塔C接到位于其北偏西60。方向且相

距12海里的漁船A的求救信號，于是立即通知處在瞭望塔正西方向2處的北斗救援隊前往救援，救援隊測

得漁船A位于8的東北方向，求此時救援隊與漁船之間的距離A3.（結(jié)果保留根號）

28.（2023?廣東?八年級專題練習）如圖所示，以左為我國領(lǐng)海，以右為公海，上午9時50分我國緝私

艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時13海里的速度偷偷向我國領(lǐng)海開來，便立即通知距其5海

里，并在線上巡邏的緝私艇8密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇8測得C與其距

離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時間進入我國海域？

29.（2023?江蘇八年級期中）南海是我國的南大門，如圖所示，某天我國一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域正在

進行常態(tài)化巡航，在A處測得北偏東30。方向上，距離為20海里的B處有一艘不明身份的船只正在向正東

方向航行，便迅速沿北偏東75。的方向以20海里/小時的速度前去攔截.問：經(jīng)過多少小時，海監(jiān)執(zhí)法船恰

好在C處成功攔截.

30.（2023春?云南昭通?八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABC。為某街心花園的平面圖，經(jīng)測量

AB=3C=AD=50m,CD=506m,且？B90?.⑴試判斷AACD的形狀，并說明理由；⑵若射線剛為

公園的車輛進出口道路（道路的寬度忽略不計），工作人員想要在點。處安裝一個監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路54

的車輛通行情況,且被監(jiān)控的道路長度要超過65m.已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍50m（包含50m）,

請問該監(jiān)控裝置是否符合要求?并說明理由.（參考數(shù)據(jù)0x1.4，73?1.7）

31.（2022?山東八年級專題練習）問題背景：

在"BC中，AB,BC,AC三邊的長分別為斯，3日歷,求這個三角形的面積.

小軍同學在解答這道題時，先建立了一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）,再在網(wǎng)格中畫出格點AABC

（即AABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示.這樣不需要求出AABC的高，借用網(wǎng)格就能計

算出它的面積.（1）請你直接寫出AABC的面積;

思維拓展：（2）如果a/WNP三邊的長分別為亞，26，后，請利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形

圖1國2

專題17勾股定理的實際應用模型

勾股定理將圖形與數(shù)量關(guān)系有機結(jié)合起來，在解決實際問題和幾何應用中有著廣泛的應用。運用勾股

定理解決實際問題的一般步驟：（1）從實際問題中抽象出幾何圖形（建模）；（2）確定要求的線段所在

的直角三角形；（3）確定三邊，找準直角邊和斜邊：①若己知兩邊，則根據(jù)勾股定理直接計算第3邊；②若

已知一邊,則根據(jù)勾股定理列方程間接求解。（挖掘兩個未知邊之間的數(shù)量關(guān)系，設出一邊為未知數(shù)，把另

一邊用含有未知數(shù)的式子表示出來）。

模型1、梯子滑動模型

相關(guān)模型背景：梯子滑動、繩子移動等。

解題關(guān)鍵：梯子的長度為不變量、墻與地面垂直。

梯子滑動模型解題步驟：

1）運用勾股定理求出梯子滑動之前在墻上或者地面上的距離；

2）運用勾股定理求出梯子滑動之后在墻上或者地面上的距離；

3）兩者相減即可求出梯子在墻上或者地面上滑動的距離。

例1.（2023?福建龍巖?八年級?？茧A段練習）一架梯子AC長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端C離墻7

米，⑴這個梯子的頂端距地面有多高？⑵如果梯子的頂端下滑了4米到A,那么梯子的底端在水平方向滑

動了幾米？

【答案】⑴梯子的頂端距地面24米；⑵梯子的底端在水平方向滑動了8米；

【分析】（1）利用勾股定理直接得出4B的長即可；

（2）根據(jù)條件求出A3,再利用勾股定理直接得出的長，進而得出答案..

【詳解】（1）解：由題意得：AC=25米，BC=1米,回AB=j252-72=24米，

答：梯子的頂端距地面24米；

（2）解：由（1）得：AB=24米,

團梯子的頂端下滑了4米到A,回3A=20米,

團AC=25米，回BC=j252—2(y=15米，貝|8'=15-7=8米,

答：梯子的底端在水平方向滑動了8米；

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，熟練利用勾股定理是解題關(guān)鍵.

例2.（2023秋?廣東佛山?八年級?？茧A段練習）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，巷子寬5米，一架梯子

斜靠在左墻時，梯子頂端到地面的距離AC為3米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯

子頂端到地面的距離即為2米，則CB的長度為多少？

【答案】CB的長度為2米.

【分析】根據(jù)勾股定理4。2+屈2=4笈，BD2+DE2=BE2,列方程即可得到結(jié)論.

（詳解］解：根據(jù)勾股定理得，AC2+BC2=AB2,BD2+DE-=BE。，

SAB=BE,SAC2+BC2=BD2+DE2,032+BC2=（5-BC）2+22,回BC=2,

答：CB的長度為2米.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理.

例3.（2023秋?河南鄭州,八年級?？计谀﹫D中的兩個滑塊A,8由一個連桿連接，分別可以在垂直和水

平的滑道上滑動.開始時，滑塊A距。點20厘米，滑塊8距。點15厘米.問：當滑塊A向下滑13厘米

時，滑塊B滑動了厘米.

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，再求出下滑后的Q4,利用勾股定理求出下滑后的OB,繼而求出滑塊

2滑動的距離.

【詳解】解：依題意得：NAC?=90。，設滑動后點A、8的對應位置是4、B,

由勾股定理得，==厘米），

當滑塊A向下滑13厘米時，。4'=20-13=7（厘米）,

回OB'=，252-72=24（厘米）,

回滑塊3滑動的距離為：CE-OB=24-15=9（厘米），故答案為：9.

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，善于觀察題目的信息，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023春?廣東廣州?八年級校考期中）位于蘇州樂園的漂流項目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作

人員把偏離的游船從點A拉回點2的位置（如圖）.在離水面垂直高度為8m的岸上點C,工作人員用繩子

拉船移動，開始時繩子AC的長為17m,工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過20秒后游船移動到點。

的位置，問此時游船移動的距離AD的長是多少？

【答案】此時游船移動的距離AO的長是9m

【分析】在RtZXABC中用勾股定理求出AB=15,在RtaOBC中用勾股定理求出3。=6,再根據(jù)

=8D的出結(jié)果.

【詳解】解：在Rt^ABC中，ZABC=90°,3C=8m,AC=17m,EAS=VAC2-BC2=V172-82=15m-

團工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過20秒后游船移動到點。的位置，BCD=17-0.35x20=10m,

0BD=^CDT-BC2=V102-82=6m>^\AD=AB-BD=9m.

答：此時游船移動的距離AD的長是9m.

【點睛】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應用，從題中抽象出勾股定理這一

數(shù)學模型是解題關(guān)鍵.

模型2、輪船航行模型

相關(guān)模型背景：輪船航行等。

解題關(guān)鍵：輪船航行的模型要注意兩船終點之間的距離通常為直角三角形的斜邊長。

航行模型解題步驟：

1）根據(jù)航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；

2）根據(jù)航行速度和時間表示出直角三角形兩直角邊長；

3）根據(jù)勾股定理列方程求解航行角度、速度或距離。

例L（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，某天下午2時，兩艘船只分別從港口。點處出發(fā)，其中快船沿

北偏東30。方向以2海里/時的速度行駛，慢船沿北偏西60。方向以1海里/時的速度行駛，當天下午4時，兩

艘船只分別到達48兩點，則此時兩船之間的距離等于（）

括海里C.2月海里D.2人海里

【答案】D

【分析】根據(jù)方位圖和勾股定理解題即可.

【詳解】由題可知：ZBOA=9Q0,03=1x2=2,04=2x2=4,

0AB=VOA2+O52=A/22+42=2A/5WM,故選D.

【點睛】本題考查方位角和勾股定理，正確識別方位角是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023春?陜西渭南?八年級統(tǒng)考期中）如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16海里/時的速度

向北偏東40。航行，乙船向南偏東50。航行，1?小時后，甲船到達C島，乙船到達8島，若C8兩島相距17

海里，問乙船的航速是多少？

北

南

【答案】30（海里/時）

【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理求得AB的長，再利用速度=路程+時間即可求得答案.

【詳解】解：依題意可知：0￡?AC=90%

在R/0ABC中，0BAC=90°,AC=1xl6=8（海里），BC=17海里，

0AS=y/BC2-AC2=7172-82=15（海里），團乙船的航速為15彳=30（海里/時）?

【點睛】本題考查了利用勾股定理解決直角三角形的實際問題，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023春?重慶巴南?八年級統(tǒng)考期末）在海平面上有A,B,C三個標記點，其中A在C的北偏西54。

方向上，與C的距離是800海里，8在C的南偏西36。方向上，與C的距離是600海里.

⑴求點A與點2之間的距離；⑵若在點C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時

會發(fā)射一次信號，此時在點8處有一艘輪船準備沿直線向點A處航行，輪船航行的速度為每小時20海里.輪

船在駛向A處的過程中，最多能收到多少次信號？（信號傳播的時間忽略不計）.

【答案】（1）48=1000海里⑵最多能收到14次信號

【分析】（1）由題意易得/ACB是直角，由勾股定理即可求得點A與點B之間的距離；

（2）過點（7作8,45交AB于點在A3上取點N,使得CV=CW=500海里，分別求得NH、MH

的長，可求得此時輪船過時的時間，從而可求得最多能收到的信號次數(shù)；

【詳解】（1）由題意，得：ZNC4=54°,ZSCB=36°；0ZACB=9O°；

El4c=800,BC=600；AB=ylAC2+BC2=1000WB;

（2）過點C作SLAB交A3于點兒在A3上取點M,N,使得CV=C0=5OO海里.

SCH1.AB-EINCHB=90°；ES=-AC-BC=~ABCH-0CH=48O；

AA/IOBC22

0CZV=CM=5OO；?NH=MH=,CM。-C/=140；

則信號次數(shù)為140x2+20=14（次）.

答：最多能收到14次信號.

【點睛】本題考查了勾股定理的應用，直角三角形的判定等知識，涉及路程、速度、時間的關(guān)系，熟練掌

握勾股定理是關(guān)鍵.

模型3、信號站（中轉(zhuǎn)站）選擇模型

相關(guān)模型背景：信號塔、中轉(zhuǎn)站等。

解題關(guān)鍵：信號塔和中轉(zhuǎn)站模型要注意兩個目的地到信號塔或中轉(zhuǎn)站的距離是相等的。

信號塔、中轉(zhuǎn)站模型解題步驟：

1）根據(jù)問題設出未知量（一般求誰設誰），并根據(jù)設出的未知量表示出兩個直角三角形的直角邊長；

2）在兩個直角三角形中分別用勾股定理表示出斜邊長；

3）根據(jù)斜邊長相等建立方程求解。

例1.（2023春?廣東汕頭?八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，A、8兩點相距14人加，C、。為兩村莊，DA^AB

于A,C80AB于8,已知D4=8hw,CB=6km,現(xiàn)在要在A8上建一個供水站E,使得C、。兩村到供水站E

站的距離相等，則：（1）E站應建在距A站多少千米處？（2）DE和EC垂直嗎？說明理由.

【答案】（］）￡站應建在距A站6千米處；（2）和EC垂直，理由見解析

【分析X1）根據(jù)使得C,。兩村到E站的距離相等，需要證明DE=CE,再根據(jù)aDAEaaEBC,得出AE=BC=6而;

（2）DE和EC垂直，利用ODAEEHEBC,得出國r）EC=90。，進而可以證明.

【詳解】解：（1）回使得C,。兩村到E站的距離相等.回DE=CE,

EIZMEAB于A,C8EL4B于8,0a4=回8=90°,

^AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=EC2,^AE2+AD2=BE2+BC2,

設AE=x,則_BE=A_B-AE=（14-x）,^iDA=8km,CB=6km,

瞄+82=（i4-.r）2+62,解得：尤=6,SAE^Gkm.答：E站應建在距A站6千米處；

（2）DE和EC垂直，理由如下：

AD=BE=8

在EIZME與mEBC中，|NA=NB,^DAES^EBC（SAS）,SBDEA^ECB,^D^CEB,

AE=BC=6

00Z）EA+0D=9O°,EHQEA+[3CEB=90°,00￡>EC=9O°,即DESEC.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，證明線段相等利用全等得出SDAEfflEBC是解決問題的關(guān)鍵.

例2.（2023?江蘇?八年級專題練習）如圖，NAOB=90。，點C在。4邊上，0A=36cm,OB=12cm,點P從

點A出發(fā)，沿著AO方向勻速運動，點。同時從點B出發(fā)，以相同的速度沿BC方向勻速運動，P、。兩點

【分析】由題意知：BC=AC,設3cBem,貝U0C=（36-尤）cm.在RfABOC中，由勾股定理列出方程，解

方程即可.

【詳解】解：回點尸、。同時出發(fā)，且速度相同，^\BC=CA,

設3C=xcm,則C4=xcm,0OA=36cm,EOC=（36—%）cm,

S\ZAOB=90°,SOB2+OC2=BC2