廣東省潮州市2023-2024學年高三年級上冊期末教學質(zhì)量檢測 數(shù)學試卷

廣東省潮州市2023-2024學年高三上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、單項選擇題(本題共8道小題，每小題只有一個選項正確，每小題5分，共40分)

1.設集合M={%|%(久—2)<0},N={-1,0,1,2,3},則MClN=()

A.1,0,1}B.1,3}

C.{1}D.{3}

2.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z=圣”對應的點在復平面的虛軸上，則實數(shù)a=()

2+i

A.-|B.|C.6D.-6

3.已知圓錐的側面展開圖是半徑為2且面積為兀的扇形，則這個圓錐的底面半徑為()

A.1B.JC.1D.2

4L

4.命題3],/—。>0，，為假命題的一個充分不必要條件是()

A.a>9B.a<9C.a>10D.a<10

5.已知單位向量房B滿足恒+加=百口-瓦，貝皈在3方向上的投影向量為()

A.gbB._abC.bD.—b

6.若函數(shù)/(%)=+E%在(0,2)上有極值，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[2,|]B.(2,|]C.[2,+8)D.(2,+8)

7.已知雙曲線C：鳥—瑪=l(a>0,b>0)的左焦點為F,M、N,P是雙曲線C上的點，其中線段MN的中

點恰為坐標原點0,且點M在第一象限，若沛=3而，^OFM=^OMF,則雙曲線C的離心率為()

8.已知函數(shù)/'(%)=sin(2x+0)(0<(p<兀)滿足/(久)<|/(^)|,若。</<久2<兀且/'(/)=/(%2)=-|?則

sin(%2-％i)的值為()

A.YB.|C.ID.i

5545

二'多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分，每小題有多個選項正確，每小題全部選對

得5分，部分選對得2分，有選錯得。分)

9.下列說法中正確的是()

A.某射擊運動員在一次訓練中10次射擊成績(單位：環(huán))如下：6,5,7,9,6,8,9,9,7,5,則這

1

組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8

B.若隨機變量X?3(100,p),且E(X)=20,則。(X)=16

C.若隨機變量X?N(〃，(T2),且P(X>4)=P(X<-2)=p,則P(—2WXW1)=^—p

D.對一組樣本數(shù)據(jù)(久i，%),(x2,y2),(xn,%)進行分析，由此得到的回歸方程為？=fee+@,則

至少有一個數(shù)據(jù)點在回歸直線上

10.已知a=log34,b=I，c=log45,則()

A.c<aB.b<cC.a<bD.c<b<a

11.設過點M(2,0)的直線與圓C：(久一4)2+y2=16相交于A,B兩點，若點P(0,4),貝-刀+麗|的值可

能為()

A.8B.8V2C.12D.12V2

12.如圖，已知正方體ABC。-AiBiGA頂點處有一質(zhì)點Q,點Q每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂點

移動，且向每個頂點移動的概率相同.從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為移動一次.若質(zhì)點Q的初始

位置位于點A處，記點Q移動n次后仍在底面ABCD上的概率為Pn,則下列說法正確的是()

A-P2=|

=

B.Pn+1+I

c.點Q移動4次后恰好位于點Cl的概率為0

D.點Q移動10次后仍在底面ABCD上的概率為；(1)10+1

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.將編號為1,2,3,4的四個小球全部放入甲、乙兩個盒子內(nèi)，若每個盒子不空，則不同的方法總數(shù)有

種.(用數(shù)字作答)

14.O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：『=4%的焦點，P為C上一點，若|PF|=4|,則APOF的面積

為.

15.設等差數(shù)列｛時｝的前n項和為Sn,且Sio=O,S15=25,^bn=n-Sn,則數(shù)列｛%｝中最小項的值

為.

2

x—a,%v0

16.設函數(shù)f(%)=一，已知直線y=t與函數(shù)y=y（x）的圖象交于A、B兩點，且|4B|的最小值

Inx,%>0

為e2（e為自然對數(shù)的底），貝必=.

四'解答題（本題共6道小題，第17題10分，第18-22題每小題12分，共70分）

71

17.公比為q的等比數(shù)列｛&J的前n項和Sn=2+a.

（1）求a與q的值；

,,.111

（2）若bn=log?an,記數(shù)列｛"｝的前?1項和為7\，求證：T^+/+—卜.+】<2?

18.2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，首期共有70個攤位，集聚了潮州各

式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑.為了解游客對潮州美食的

滿意度，隨機對100名游客進行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名游客的評分分別落在區(qū)間[50,60）,

[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]內(nèi)，統(tǒng)計結果如頻率分布直方圖所示.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代

表）；

（2）為了進一步了解游客對潮州美食的評價，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組[50,60）,

[60,70）,[80,90）的游客中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到滿意度評分位于[80,90）的人數(shù)

f的分布列和數(shù)學期望.

19.在矩形中，AB=4,AD=2（如圖1）,將△4CD沿2C折起到△AC%的位置，使得點小在平面△

ABC上的射影E在AB邊上，連結BDi（如圖2）.

3

D

A

圖1圖2

(1)證明：ADr1BC；

(2)過直線0述的平面a與BC平行，求平面a與平面AC%夾角的余弦值.

20.在△力BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2acosB=2c-b.

(1)求角4的大??；

(2)若D為線段BC延長線上一點，且BA1AD,BD=3CD,求tanZ力CD.

21.已知函數(shù)/'(久)=x(lnx+a)+6,曲線y=/(%)在點(1,f(l))處的切線為2久一y—1=0.

(1)求a,b的值；

(2)若對任意的久e(1,+oo),f(%)2m(無一1)恒成立，求正整數(shù)m的最大值.

22.設圓％2+y2+2%-15=0的圓心為4直線/過點B(l,0)且與K軸不重合，［交圓4于C,D兩點，過B作

AC的平行線交/。于點E.

(1)證明：|瓦4|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(2)設點E的軌跡為曲線J,直線［交Ci于M,N兩點，過B且與/垂直的直線與圓2交于P,Q兩點，求四

邊形MPNQ面積的取值范圍.

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：因為集合”={刈%(％-2)<0}={久|0<尤<2},N={-1,0,1,2,3},則MCN=

{1}.

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結合一元二次不等式求解方法得出集合M,再結合交集的運算法則得出集合M和集合

N的交集.

2.【答案】D

2

【解析】【解答】解：因為z=密=(爰用二?=6—3i+2'-山=6+a+(")i=§+￡線心

2+i(2+。(2-。4-r555

(6+a_°

所以，復數(shù)z=4巖對應的點(半，/衛(wèi))在復平面的虛軸上，所以，二二一，

2+i55Za—3n

(a=—6

則，實數(shù)a=6

故答案為：D.

【分析】利用已知條件結合復數(shù)的乘除法運算法則和復數(shù)的幾何意義得出復數(shù)Z=舞對應的點的坐標，再結

合復數(shù)z=舞對應的點在復平面的虛軸上判斷出復數(shù)為純虛數(shù)，進而結合純虛數(shù)的定義得出實數(shù)a的值.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：因為圓錐的側面展開圖是半徑為2且面積為兀的扇形，設扇形的弧長為1,扇形的半徑r

為2,

由扇形面積公式得出5扇=g/r=x2=1=兀，設圓錐底面半徑為r',又因為1=2兀廠'=兀，

則這個圓錐的底面半徑為今

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結合扇形的面積公式得出扇形的弧長，再利用圓的周長與圓錐側面對應的扇形的弧長

的關系式，進而得出圓錐底面圓的半徑的長.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：因為命題F久G[1,3],x2-a>0”為假命題，

所以，命題3],/—a<0”為真命題，所以，(/一a/axW°，

即9—a〈0,可得a29,所以，命題FKC[1,3],/—。>o”為假命題的一個充分不必要條件

6

對應的集合是[9,+8)的真子集，所以，只有選項C中a210符合題意.

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結合全稱命題與特稱命題真假性相反的關系，進而得出命題，久€[1,3],x2-a<0"

為真命題，再利用不等式恒成立問題求解方法，所以，(久2-。"狽30,再結合二次函數(shù)的圖象求最值的方法

得出實數(shù)a的取值范圍，再利用充分條件和必要條件的判斷方法，進而找出集合[9,+8)的真子集，從而找出

正確的選項.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：因為單位向量1石滿足口+瓦=舊口一瓦，所以向+訴=3而一&2

所以'|a+b/=(a+b)=a2+2a-h+h2?3|a—b\2=3(a—bj=3a2—6a-b+3b2>

_.2—->—>2__..2_?->―>2__>i_

所以，a—4a,b+b=|a|-4a-b+b=0,則。,6=2,貝皈在b方向上的投影向量為

故答案為：A.

【分析】利用已知條件結合數(shù)量積求向量的模的公式得出：工的值，再結合數(shù)量積求投影向量的方法得出五在

不方向上的投影向量.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：因為函數(shù)/(久)=#—a久+lnx,所以，/⑺=%—a+詈三戶”(0,2),

令g(x)="—ajc+l,得出g(0)=l，根據(jù)函數(shù)f(x)在(0,2)上取得極值，則在(0,2)存在x使得(⑺=0,

27

即g(x)=l,由于函數(shù)g(x)對稱處的值為=0—ax?+l=—}+L

函數(shù)g(x)要存在零點且g(0)=1>0,根據(jù)零點存在性定理，g<0,即a>2,當a>2時，則號>1,

若多C(0,2)且a>2,即2<a<4,則在(0,2)必存在一點使得g(x)=0,即f(x)在(0,2)上有極值；

若aN4,即對稱軸位于區(qū)間(0,2)右側，即g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，要函數(shù)g(x)在(0,2)上至少有一點為

零點，

由于g(0)=1>0則要g⑵=4-2a+1=5-2a<0,即a>|

所以，在當a24時，函數(shù)g(x)在(0,2)有零點恒成立，綜上所述，當a>2時，函數(shù)f(x)在(0,2)有極值.

故答案為：D.

7

【分析】利用導數(shù)求極值點的方法和二次函數(shù)的圖象的對稱性以及零點存在性定理，從而分類討論得出實數(shù)a

的取值范圍.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：設雙曲線C的右焦點為廣，連接PF',MF',NF'如圖所示：

因為NOFM=NOMF,所以，\0M\=\0F\=\0F'\,所以，MF'1MF,

又因為O為MN的中點，所以，四邊形MFNF'為矩形，設|NF|=K,

貝!J|PF|=2x,\PN\=3%，所以,\NF'\=2a+x,\PF'\=2a+2x,

因為|PN|2+\NF'\2=|P/'|2,所以,9x2+(2a+%)2=(2a+2x)2,

解得/=|a,又因為師|2+|出|2=四|2,所以，押+號。2=*2,

得出烏=景，所以，雙曲線C的離心率為e—二里.

。乙va3

故答案為：B.

【分析】利用已知條件易證四邊形MFNF'為矩形，設|NF|=x,再結合雙曲線的定義和直角三角形中的勾股定

理，進而得出a,c的關系式，再利用雙曲線的離心率公式變形得出雙曲線C的離心率的值.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：因為函數(shù)/(久)=sin(2支+0)(0＜0(兀)滿足〃尢)W|鹿)|,所以，/雋)=±1,

所以2x著+0=1+k兀,keZ,又因為0＜0＜兀，所以9=看,得出/(%)=sin(2%+1),

因為。＜/＜久2＜兀且/(%1)=/(久2)=—1，所以，曰＜2%i+5＜竽＜2X2+5＜片生，

所以cos(2久1+=—耳，cos(2久2+=9，

COS[2(X2-xx)]=cos[(2X2+1)-(2%i+1)]=(-1)+(一|)x1)=-,,

因為0＜久2—〈兀，則sin(%2-%i)的值為p-。網(wǎng)2y2-"1)]=4

\25

故答案為：D.

【分析】由"%)W|f(今|得出函數(shù)在％時取最值，得出函數(shù)的解析式，再由三角恒等變換計算sin(X2-勺)

的值.

9.【答案】B,C

8

【解析】【解答】解：對于A,某射擊運動員在一次訓練中10次射擊成績(單位：環(huán))如下：

6,5,7,9,6,8,9,9,7,5,再從小到大排列，即5,5,6,6,7,7,8,9,9,9,

則10X70%=7,則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第7個數(shù)和第8個數(shù)的平均數(shù)，

則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為竽=8.5,所以A錯；

對于B,因為隨機變量X?B(100,p),且E(X)=20,則100p=20,則p=蓋=當，

則。(X)=100p(l-p)=100xjx1=16,所以B對；

對于C,因為隨機變量X?NQ,a2),且P(X>4)=P(X<—2)=p,則(z=與2=1,

則P(—2MX<4)=1—2p,

111

則P(—2MXW1)=P(1MXW4)=/(一2WXW4)=](1—2p)=寺一p,所以C對；

對于D,對一組樣本數(shù)據(jù)(當，yD，(%2,y2),(xn,%)進行分析，由此得到的回歸方程為y=B久+右，

可能沒有一個數(shù)據(jù)點在回歸直線上，所以D錯.

故答案為：BC.

【分析】利用已知條件結合百分位數(shù)求解方法、二項分布的期望和方差求解公式、正態(tài)分布對應的曲線的對

稱性求概率的方法、回歸方程與樣本數(shù)據(jù)的位置關系，進而找出說法正確的選項.

10.【答案】A,C

.4

c

【解析】【解答】解：因為a=logs4，b=-=log333=log3V3^=log3V81/~】og45，

又因為43=64,(V81)3=81,所以4?=64V(弼=81，所以4<遮T，

則a=log34<log3V81=b,所以C對；

又因為b=/=log443=log40=]og4Vl苑53=125,(V256)=256,

31

所以5，=125<(V256)=256，所以5<七256,貝Jc=log45<log4V256=b,所以B錯；

因為a<b,c<b,所以D錯；

a—c=log34-log45=-log45=1\朋;。845,因為匾3>0,log45>0,

103105

所以，10g43.10g45<(§4+§4^=(log,5)<2_=1,所以a—c>0,所以c<a,所以A對.

故答案為：AC.

【分析】利用已知條件結合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式求最值的方法，進而比較出a,b,c的大小，從而

找出正確的選項.

n.【答案】A,B,C

9

【解析】【解答】解：由題意可知圓心C(4,0),半徑r為4,設AB的中點。(久,田，則1CD,

則靛-CD=0,又因為/=(%-2,y),CD=(久—4/),所以(％-2)(久一4)+)72=0；

所以，點D的軌跡方程為圓E：(久—3)2+y2=1,圓心E(3,0),半徑為1,

所以，|PD|的最大值為|尸身+1=V32+42+1=6,最小值為|PE|-1=V32+42-1=4,

因為血+誦=2叵卜所以，應+而|e[8,12]>所以同+而|的值可能為8,8vLi2。

故答案為：ABC.

【分析】利用中點坐標求出AB的中點D的軌跡方程為圓心為E(3,0),半徑為1的圓，從而得出|PD|的最大

值和最小值，再結旬易+而|=2]西得出畫+畫的取值范圍，從而得出同+畫可能的值。

12.【答案】A,C,D

【解析】【解答】在正方體中，每一個頂點由3個相鄰頂點，其中兩個在同一底面，所以當點Q在下底面時，

隨機移動一次仍在下底面的概率為多在上底面時，隨機移動一次回到下底面的概率為全所以P2=,x,+

ixi=|,A符合題意，PM.Pn+hl—PQB不符合題意，點Q由點A移動到點Ci處最少

J。JJJJ。

需要3次，任意折返都需要2次移動，所以移動4次后不可能到達點Ci，C符合題意，由于pn+i=gpn+g=

p—=n

n+lII(P*_,且P]=\nP]_:=I，所以Pn_3=得X=>Pn=^(1)+-所以Pio=

D符合題意.

故答案為：ACD.

【分析】利用已知條件結合獨立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，進而得出點Q移動兩次后

仍在底面ABCD上的概率；利用已知條件結合歸納推理的方法，進而推出Pn+i=9n+熱點Q由點A移動

到點的處最少需要3次，任意折返都需要2次移動，所以移動4次后不可能到達點J；由于pn+]=^p.+

}=>Pn+l—4=/(Pa—》且Pl=,=Pl—/=。所以Pn=；(["+會再結合代入法得出點Q移動1。次后

仍在底面ABCD上的概率，進而找出說法正確的選項。

13.【答案】14

【解析】【解答】解：由題意，每個盒子有兩種放法：一個盒子放1個，另一個盒子放3個；

一個盒子放2個，另一個盒子放2個。

一個盒子放1個，另一個盒子放3個有酸及=8種放法；

10

一個盒子放2個，另一個盒子放2個有"=6種放法;

則不同的方法總數(shù)有8+6=14種放法。

故答案為：14.

【分析】利用已知條件結合組合數(shù)和排列數(shù)公式，再結合平均分組求解放法和分類加法計數(shù)原理，進而得出

不同的方法總數(shù)。

14.【答案】V3

【解析】【解答】解：因為O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：)/2=4%的焦點，所以，F(xiàn)(1,O),

因為P為C上一點，設p(3,a),因為|PF|=4,所以，(+1=4,所以，a=±2遮，

所以，P(3,2⑹班(3,-2⑹,由拋物線的圖象的對稱性，則APOF的面積為SAPOF=%|X\0F\=1X2V3X

1=V3.

故答案為：V3.

【分析】利用已知條件結合拋物線的標準方程得出焦點F坐標，再由點P在拋物線上設出點P的坐標，再利

用兩點距離公式得出點P的坐標，從而由拋物線的圖象的對稱性和三角形的面積公式得出三角形△POF的面

積.

15.【答案】-49

【解析】【解答】解：因為等差數(shù)列的前幾項和為%,且Si°=0,Si5=25,

lOaiH--5d=2al+9d=0=—3

設公差為d,

15x14H--

15al+產(chǎn)d=3%+21d=5a-3

則等差數(shù)列｛a九｝的前n項和S九=71al+膽弓')d=^n2—學力

3

因為勾=幾0,所以，bn=nSn=^n-nEN*,

令y=1x3—學光2,%eN*，貝Uy，=x2—冬%=%(%—竽)，%eN*,

當y=%(%—豹>0時，則％之7/eN*，函數(shù)單調(diào)遞增，

當y'=%(%—岑)<0時，則0<%<7且xEN*，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)y=^%3—學％2,%eN*在X=7時取得最小值，

則數(shù)列｛跖｝中最小項的值為g=27?-學x7?=-49.

故答案為：-49.

11

【分析】利用已知條件結合等差數(shù)列前n項和公式建立方程組得出首項和公差的值，再利用等差數(shù)列的前n

項和公式得出等差數(shù)列的前n項和和bn=LS?,進而得出數(shù)列｛0｝的通項公式，再利用構造法和導數(shù)求函

數(shù)的最值的方法得出數(shù)列｛0｝中最小項的值.

16.【答案】Id

x—a,XV0

【解析】【解答】解：作出函數(shù)/(%)=-的圖象如圖所示:

Inx,%>0

設4(久1，%),8(久2，、2)，K1<%2,則久1-a=t,lnx2=t,t<-a,

l

所以，久1=a+匕牝=e。所以，\AB\-x2—x-^=e—t—a,

令g(t)=el-t-a,t<-a,則g'(t)=ef-1,

a2

當aNO時，g'(t)〈O,g(t)在(一8,-a］上單調(diào)遞減，g^t)min=g(-a)=e~=e,即a=-2(舍),

當a<0時，g'(t)單調(diào)遞增且g'(0)=0,所以，g(t)在(一8,0］上單調(diào)遞減，在(0,-a］上單調(diào)遞增，

所以g(t)M譏=g(0)=1-a=e?,所以，a=1-e?.

故答案為：1七2.

f

【分析】先設4(久1，%),8(%2，了2)，久1<%則久1-a=t,lnx2=t,t<-a,即=a+t,x2=e,\AB\=x2-x1=

/-t-a,構造函數(shù)g(t)=/-t-a,t<-a,再利用求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)的最值，再

結合已知條件得出a的值。

檢查意見：少知識點，利用導數(shù)研究單調(diào)性等

17.【答案】(1)解：VSn=2八+0

工當n=1時，/=Si=2+a；

n-1

當n>2時，Sn_i=2+a,

所以斯=Sn—Sn-1=2"—2-1=2"T，

2+a,n=l

所以冊=

2nT,n>2

???a2=2,%=4,

12

2

又數(shù)列為等比數(shù)列，則q=^=1=2，

a22

T7_a2—2

又q=可=用，

2+a=1,解得a=-1；

（2）解：由（1）可得冊=2幾T,

rl

所以0=log2an=log22t=n-1,

）

Tn=瓦+%+…+b九=0+1+…+（7i—1=（2—

i211

???當n22時，五=而二叮=2（口一兀），

111111

■'>^+T；+-+T^=2［Tx2+23<3+-+nx（n+l）］

111111

=2（1-4+4-4+-+--^7）=2（1—士）<2.

'223nn+17'n+17

【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列求和公式結合等比數(shù)列公式求出a的值；

（2）根據(jù)（1）得出數(shù)列等式，從而得出“等式；從而得出數(shù)列求和公式，從而得出;列式之和的范圍。

18.【答案】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖得：

%=(55x0.01+65x0.02+75x0.045+85x0.02+95x0.005)x10=74

（2）解：由于［50,60）,［60,70）和［80,90）的頻率之比為:1：2：2,

故抽取的10人中［50,60）,［60,70）和［80,90）分別為：2人，4人，4人，隨機變量f的取值可以為0、1、

2、3,

P(e=0)=-^=1,P(f=l)=%=[P(f=2)=卡=磊，P(f=3)=#=白，6的分布

L10L10L10L10

列為:

0123

1131

p621030

11316

E(C)=0XN+1X7Y+2X彳k+3X/=E

【解析】【分析】（I）利用已知條件結合頻率分布直方圖求平均數(shù)公式得出這100名游客評分的平均值;

（2）利用已知條件結合分層抽樣的方法得出抽取的10人中［50,60）,［60,70）和［80,90）的人數(shù)，進而得出

隨機變量f可能的取值，再結合組合數(shù)公式古典概型求概率公式得出隨機變量，的分布列，再根據(jù)隨機變量的

分布列求數(shù)學期望公式得出隨機變量，的數(shù)學期望.

19.【答案】（1）證明：由題意知：。速1平面力BC,BCc平面ABC,所以DiElBC

XBC1AB,ABc平面MB,%Eu平面且力BCiDiE=E

13

所以BC1平面DrAB.

又皿u平面CiAB,所以仍1BC

(2)解：過E作EF〃BC交AC于凡連結D,F

由于EF//BC,BCsz平面D]EF,EFc平面DrEF

所以BC〃平面DiEF.

故平面D,EF即為平面a

建立如圖所示空間直角坐標系如圖所示：

由(l)D^1BC,又DiAlDiC,BCGZ)iC=C,BC,DXCc平面BCD「

所以小AJ.平面BC%,ABU平面BCD〉所以。遇J.。聲，

22

則在AABi中可得，BDI=IAB-ADr=2V3,%E=坐&=8，

2

BE=JB/-DrE=3

則2(0,4,0),C(2,0,0),。式0,3,b)，

■.AC=(2,-4,0),麗=(0,-1,V3),BA=(0,4,0)

由于AB_LBC,EF||BC,故AB1EF.

又AB1D]E,EFua,ca,D,EAEF=E.

因此481a,故瓦5是。的一個法向量

設面ACD,的一個法向量v=(%,y,z)

v-AC^O2%—4y=0l―

由=，-y+Oz=0'取"⑹3,遍)

y-AD^=0

12

設平面a與平面ACD,夾角的。，則cos。=I,,德J=

4-V36+9+3-4

故所求平面a與平面ACD,夾角的余弦值為好

4

【解析】【分析】(1)由題意知：。止1平面4BC,再利用線面垂直的定義得出線線垂直，即DiElBC,再

利用BC14B結合線面垂直判定定理得出BCL平面DXAB,再根據(jù)線面垂直的定義證出線線垂直，從而證

出AD11BCo

14

（2）過E作EF〃BC交AC于F,連結D,F,再利用線線平行證出線面平行，則BC//平面DiEF,故平

面DEF即為平面a,從而建立空間直角坐標系，由（I）DMIBC和1以C結合線面垂直的判定定理，所

以。遇1平面再利用線面垂直的定義證出線線垂直，所以DiALDiB,在AABi中結合勾股定理和直

角三角形的面積公式得出BD「D±E,BE的長，從而得出點的坐標和向量的坐標，再利用1

BC,EF\\BC,故AB1EF,再結合力B_L￡）/和線面垂直的判定定理，因此力B1a,故瓦5是a的一個法向

量，再由數(shù)量積為。兩向量垂直的等價關系和數(shù)量積的坐標表示，從而得出平面ACD的一個法向量，再由

數(shù)量積求向量夾角余弦值公式得出平面a與平面ACD的夾角的余弦值。

20.【答案】（1）解：在AABC中，由已知條件及正弦定理可得2sinAcosB=2sinC-sinB

2sinAcosB=2sin（A+B）-sinB

2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsin8-sinB

2cosAsinB=sinB

因為sinBW0,所以cos力=

因為力是△力BC的內(nèi)角，所以力=掾

另解：因為2acos3=2c-b,由余弦定理有2a.次+浮-b=2c-b

2ac

整理得b2+c2—a2=be,

2c2a2

由余弦定理得，cosX=b+-=I

2bc2

因為4是AABC的內(nèi)角，所以4=與

（2）解：設^ACB=3

CDAC

在^",。中，sin專一sin（8-5y①

一—BCAC

在△4C3中，-②

〉1113oin[c/?3）

Qsin（6i+g）

②,sin（e-.）2

與sin8+亨cos?？?/p>

空sin。-；cos82

分子、分母除以cos0后可解得tan。=3A/3,:.tanZ-ACD=tan（7r—0）=—3A/3

【解析】【分析】（1）利用兩種方法求解.

15

方法一：在△ABC中，由已知條件及正弦定理和三角形內(nèi)角和為180。的性質(zhì)，再結合兩角和的正弦公式和三

角形中角A的取值范圍，進而得出角A的值；

方法二：利用2acosB=2c-b結合余弦定理得b2+c2-a2=be，再由余弦定理和三角形中角A的取值范

圍，進而得出角A的值.

(2)設AACB=3,在AACO中結合(1)中求出的角A的值和三角形內(nèi)角和為180。的性質(zhì)，再利用正弦定

CDAC

=①，在中由正弦定理得出g^()再由作商法和兩角和的正弦

理得出sinj-sinCe-g),AACB—g=sin(+2,

公式以及同角三角函數(shù)基本關系式得出角。的正切值，再根據(jù)兩角互補和誘導公式得出tan乙4CD的值.

21.【答案】(1)解：由/(久)=x(lnx+a)+b得：f(x)=lnx+a+1>

由切線方程可知：f(1)=2—1=1已

???f(1)=a+1=2,/(l)=a+b=1，

解得：a=l,b=0

(2)解：由⑴知/(%)=x(lnx+1),則％e(1,+oo)時，/(%)>-1)恒成立

等價于Xe(1,+8)時，mW*；1)恒成立

令則g0)="

令八(%)=%-Inx-2,貝!J/i(%)=1-

.-?當久e(1,+00)時，h(%)>0，則八0)單調(diào)遞增：似3)=1-ln3<0,以4)=2-21n2>0

???3%0E(3，4),使得九(%。)=0

當％e(1,%o)時，g(%)<o；xe(x0,+8)時，g(%)>o

x0(lnx0+1)

*<,<9(%)min=0(、0)=~4

/i(%0)=x0—ln%0—2=0,lnx0=x0—2

%o(%0-2+1)

???gMmin=g(%0)=e(3,4)

%o一1

m<x0&(3,4),即正整數(shù)m的最大值為3

【解析】【分析】(1)利用已知條件結合導數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，再利用代入法得出切點的坐標，再

結合點斜式方程得出曲線在切點處的切線方程，進而得出a,b的值；

(2)由(1)知/(%)=久(Inx+1),則當％C(1,+oo)時，/(%)>m(x-1)恒成立等價于當％e(1,+oo)

時，<雙-葉1)恒成立，再利用構造法，令g(%)=%>i，再結合求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)

mx—1