福建省漳州市長泰第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁長泰二中2024-2025學(xué)年上學(xué)期月考3數(shù)學(xué)科考卷2024-12-19考試范圍：高中課程；考試時間：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息；2.請將答案正確填寫在答題卡上.一、單選題：本題共8題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，若，則所有整數(shù)的取值構(gòu)成的集合為（）A.{1，2} B.{1} C. D.【答案】C【解析】【分析】對進(jìn)行分類討論，根據(jù)來求得正確答案.詳解】當(dāng)時，，滿足.當(dāng)時，，由于且，所以或.綜上所述，整數(shù)的取值構(gòu)成的集合為.故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，一個正方形的3個頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋2i，－2＋i，0，則第4個頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A.－1＋2i B.－1＋3i C.3i D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義及向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求解.【詳解】復(fù)數(shù)1＋2i，－2＋i，0所對應(yīng)的點(diǎn)分別是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），由題意可知，正方形以為鄰邊，設(shè)另一點(diǎn)為D（x，y），所以則，解得，∴.故選：B．3.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，計(jì)算出答案.【詳解】∵各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，∴.故選：C.4.算盤是我國一類重要的計(jì)算工具．下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左前四位分別表示個位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，即五粒下珠的代表數(shù)值等于同組一粒上珠的代表數(shù)值，例如，個位撥動一粒上珠至梁上，十位未撥動，百位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字105．現(xiàn)將算盤的千位撥動一粒珠子至梁上，個位、十位、百位至多撥動一粒珠子至梁上，其它位置珠子不撥動．設(shè)事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，事件“表示的四位數(shù)大于5050”，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合題目條件，分別算出，，然后代入公式，即可得到本題答案.【詳解】千位有1、5兩種選擇，百位、十位、個位有0、1、5三種選擇，事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，要使得表示的四位數(shù)為偶數(shù)，則末位應(yīng)該是0，可得，事件“表示的四位數(shù)大于5050”，要使得表示的四位數(shù)為偶數(shù)且四位數(shù)大于5050，則千位是5，百位應(yīng)該是1或5，個位是0，可得，故.故選：A5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可/【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因此，故選：B6.如圖是函數(shù)的大致圖象，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圖確定是的極小值點(diǎn)，求得，即可求解.【詳解】由圖可知，是的極小值點(diǎn)，由已知得，令，得，得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以，由，，可得，解得.故選：D7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩角和與差的正弦和半角公式，二倍角余弦公式，結(jié)合拆角計(jì)算即可.【詳解】由，可得，即，可得，所以.故選：B.8.若函數(shù)在上恰有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡函數(shù)，再根據(jù)在上恰有兩個零點(diǎn)得，，化簡即可得到答案.【詳解】在上恰有兩個零點(diǎn)，故故選：D.二、多選題：本題共3題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，則下列說法正確的是（）A. B.C.與同向的單位向量為 D.與的夾角余弦值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)表示平行，垂直，夾角，以及單位向量，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.，故A錯誤；B.，，所以，故B正確；C.，所以與向量同方向的單位向量為，故C正確；D.，故D錯誤.故選：BC10.為了預(yù)測某地的經(jīng)濟(jì)增長情況，某經(jīng)濟(jì)學(xué)專家根據(jù)該地2023年1～6月的GDP的數(shù)據(jù)y（單位：百億元）建立了線性回歸模型，得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其中自變量x指的是1～6月的編號，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：時間2023年1月2023年2月2023年3月2023年4月2023年5月2023年6月編號x123456y/百億元11.107參考數(shù)據(jù)：．則下列說法正確的是（）A.經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)B.C.根據(jù)該模型，該地2023年12月的GDP的預(yù)測值為14.57百億元D.相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為0.103【答案】AC【解析】【分析】求得數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，即可判斷A；結(jié)合回歸直線方程求出可判斷B；將代入回歸直線方程求得預(yù)測值，可判斷C；根據(jù)殘差的計(jì)算可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：由題意得：，因?yàn)?，，所以，得，因此該?jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，故A正確；選項(xiàng)B：由A知，，得，故B錯誤；選項(xiàng)C：由B得，則當(dāng)時，，故該地2023年12月的GDP的預(yù)測值為14.57百億元，故C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時，，相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為，（相應(yīng)于點(diǎn)的殘差），故D錯誤，故選：AC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱B.函數(shù)是周期函數(shù)C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性可得的圖象關(guān)于對稱，結(jié)合函數(shù)變換可推出函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合對稱性與周期性逐項(xiàng)判斷即可得答案.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，所以，則函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故A正確；因?yàn)棰?，②，則①+②得：，即③，②-①得：，即④，由③得代入④得，所以，則，則函數(shù)是周期為的函數(shù)，故B正確；由于的圖象關(guān)于對稱，是周期為的函數(shù)，無法確定是否關(guān)于點(diǎn)對稱，故C不正確；將③代入①可得，所以，，，，，，，，累加得：，故可得，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)_____________.【答案】（1,3）【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】令，可得，所以，即圖象恒過定點(diǎn)（1,3）.故答案為：（1,3）13.若（，為有理數(shù)），則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，為有理?shù)）所以故答案為：14.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，過點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，且，則雙曲線的離心率為________．【答案】【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程和點(diǎn)到直線的距離公式得到，再由雙曲線的定義和向量的數(shù)量積為零得到，最后結(jié)合三角形的面積公式求出離心率即可.【詳解】設(shè)，則，即，雙曲線C的漸近線方程為，則，又，則，在中，由，得，則，于是，，而，因此，解得，所以雙曲線離心率為.故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，，函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在銳角中，，，為的內(nèi)角，，的對邊，BC邊上的中線，且，求面積的最大值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的性質(zhì)得到，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最小正周期和單調(diào)減區(qū)間即可.（2）法一利用向量中線定理得到，再結(jié)合基本不等式求解最值，法二利用多次余弦定理得到，再結(jié)合基本不等式求解最值即可.【小問1詳解】依題意得，，因此函數(shù)的最小正周期，由，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，，即，在銳角中，，則，即，法一：由向量中線定理得，所以，所以，化簡得，由重要不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以，解得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故面積的最大值為.法二：在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，因?yàn)椋?，兩式子相加得，在中，由余弦定理得，化簡得到，代入中，整理得，由重要不等式得，?dāng)且僅當(dāng)時取等，所以，解得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故面積的最大值為.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，【解析】【詳解】試題分析：（1）由面面垂直性質(zhì)定理知AB⊥平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知，再由線面垂直判定定理可知平面；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)，根據(jù)平面，即，求的值，即可求出的值.試題解析：（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以平面；?）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平?因平面，所以.因，所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.因此點(diǎn).因?yàn)槠矫?，所以平面?dāng)且僅當(dāng)，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時.考點(diǎn)：1.空間垂直判定與性質(zhì)；2.異面直線所成角的計(jì)算；3.空間向量的運(yùn)用.17.對于數(shù)列，，的前n項(xiàng)和，在學(xué)習(xí)完“錯位相減法”后，善于觀察的小周同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于此類“等差×等比數(shù)列”，也可以使用“裂項(xiàng)相消法”求解，以下是她的思考過程：①為什么可以裂項(xiàng)相消？是因?yàn)榇藬?shù)列的第n，n＋1項(xiàng)有一定關(guān)系，即第n項(xiàng)的后一部分與第n＋1項(xiàng)的前一部分和為零②不妨將，也轉(zhuǎn)化成第n，n＋1項(xiàng)有一定關(guān)系的數(shù)列，因?yàn)橄禂?shù)不確定，所以運(yùn)用待定系數(shù)法可得，通過化簡左側(cè)并與右側(cè)系數(shù)對應(yīng)相等即可確定系數(shù)③將數(shù)列，表示成形式，然后運(yùn)用“裂項(xiàng)相消法”即可！聰明的小周將這一方法告訴了老師，老師贊揚(yáng)了她的創(chuàng)新意識，但也同時強(qiáng)調(diào)一定要將基礎(chǔ)的“錯位相減法”掌握．（1）（鞏固基礎(chǔ)）請你幫助小周同學(xué)，用“錯位相減法”求的前n項(xiàng)和；（2）（創(chuàng)新意識）請你參考小周同學(xué)的思考過程，運(yùn)用“裂項(xiàng)相消法”求的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)錯位相減法的解題步驟求解求的前n項(xiàng)和即可；（2）根據(jù)裂項(xiàng)法，設(shè)，結(jié)合已知比較系數(shù)求得，再代入，即可求得.【小問1詳解】因?yàn)樗寓賱t②所以①-②得：所以；【小問2詳解】因?yàn)?，設(shè)，比較系數(shù)得：，得，所以，所以18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論f（x）的單調(diào)性.（2）設(shè)，當(dāng)時，有，求a的取值范圍.【答案】（1）f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）【解析】【分析】(1)先求導(dǎo)函數(shù),因?yàn)樵谏线f增，因?yàn)?則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，分情況討論證明最大值小于等于0即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，，設(shè)，因?yàn)?，得h（x）在上遞增，即在上遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】由得，，整理得，設(shè)，則1°當(dāng)時，即，t（x）在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則，得，不存在；2°當(dāng)時，即，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，t（0）=0，只要即可，得，即；3°當(dāng)，即，在（0，2）單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，此時由2°得，所以成立；綜上所述，符合題意.19.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，長軸長為，直線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上的兩動點(diǎn)，均在軸上方，且，求證：的值為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓長軸以及直線的傾斜角即可得橢圓方程；