2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)7從平面向量到空間向量含解析北師大版選修2-1

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(七)(建議用時(shí)：40分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．若空間隨意兩個(gè)非零向量a，b，則|a|＝|b|，且a∥b是a＝b的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[a＝b?|a|＝|b|，且a∥b，所以，必要；當(dāng)b＝－a時(shí)，有|a|＝|b|且a∥b，但a≠b，所以，不充分．故選B.]2．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①假如a，b是兩個(gè)單位向量，則|a|＝|b|；②兩個(gè)空間向量共線，則這兩個(gè)向量方向相同；③若a，b，c為非零向量，且a∥b，b∥c，則a∥c；④空間隨意兩個(gè)非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)C[對于①：由單位向量的定義即得|a|＝|b|＝1，故①正確；對于②：共線不肯定同向，故②錯(cuò)；對于③：正確；對于④：正確，在空間任取一點(diǎn)，過此點(diǎn)引兩個(gè)與已知非零向量相等的向量，而這兩個(gè)向量所在的直線相交于此點(diǎn)，兩條相交直線確定一個(gè)平面，所以兩個(gè)非零向量可以平移到同一平面內(nèi)．]3．如圖所示，三棱錐A-BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，則在全部的棱表示的向量中，夾角為90°的共有()A．3對 B．4對C．5對 D．6對C[夾角為90°的共有eq\o(BA,\s\up8(→))與eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))與eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))與eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))與eq\o(DC,\s\up8(→)).]4．在如圖所示的正三棱柱中，與〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉相等的是()A．〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉 B．〈eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))〉C．〈eq\o(C1B1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉 D．〈eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(B1A1,\s\up8(→))〉D[∵eq\o(B1A1,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))，∴〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(B1A1,\s\up8(→))〉＝60°，故選D.]5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ACC1AA.eq\o(BD,\s\up8(→)) B.eq\o(BC1,\s\up8(→))C.eq\o(BD1,\s\up8(→)) D.eq\o(A1B,\s\up8(→))A[∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥面ACC1A1故eq\o(BD,\s\up8(→))為平面ACC1A1的法向量．]二、填空題6．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)為起止點(diǎn)的向量中，與向量eq\o(AB,\s\up8(→))平行的向量為________，與eq\o(AB,\s\up8(→))相反的向量為________．eq\o(A1B1,\s\up8(→))，eq\o(B1A1,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(D1C1,\s\up8(→))，eq\o(C1D1,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(C1D1,\s\up8(→))，eq\o(B1A1,\s\up8(→))[∵AB∥A1B1∥DC∥D1C1，∴與eq\o(AB,\s\up8(→))平行的向量為eq\o(A1B1,\s\up8(→))，eq\o(B1A1,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(D1C1,\s\up8(→))，eq\o(C1D1,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，其中與eq\o(AB,\s\up8(→))相反的向量為：eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(C1D1,\s\up8(→))，eq\o(B1A1,\s\up8(→)).]7．正四面體S-ABC中，E，F(xiàn)分別為SB，AB中點(diǎn)，則〈eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝________．eq\f(2π,3)[如圖所示，∵E，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴EF∥SA，而△SAC為正三角形，∴∠SAC＝eq\f(π,3)，∴〈eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(2π,3).]8．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與60°[要求異面直線EF與GH所成的角就是求〈eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(GH,\s\up8(→))〉，因?yàn)閑q\o(FE,\s\up8(→))與eq\o(BA1,\s\up8(→))同向共線，eq\o(GH,\s\up8(→))與eq\o(BC1,\s\up8(→))同向共線，所以〈eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(GH,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(BC1,\s\up8(→))〉，在正方體中△A1BC1為等邊三角形，所以〈eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(GH,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(BC1,\s\up8(→))〉＝60°.]三、解答題9．如圖，四棱錐V-ABCD，底面ABCD為正方形，VA⊥平面ABCD，以這五個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，求：(1)直線AB的方向向量；(2)求證：BD⊥平面VAC，并確定平面VAC的法向量．[解](1)由已知得，在以這五個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，直線AB的方向向量有eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))這4個(gè)．(2)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD.又∵VA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥VA.又AC∩VA＝A，∴BD⊥平面VAC.∴平面VAC的法向量有eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))這2個(gè)．10．在正方體ABCD－A1B1C1D1(1)〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))〉；(2)〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CD1,\s\up8(→))〉；(3)〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(A1D,\s\up8(→))〉；(4)〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(BD1,\s\up8(→))〉．[解](1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱DD1⊥底面ABCD，AC面ABCD，∴AC⊥DD1，∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,2).(2)連接AD1，則AC＝CD1＝AD1，故△ACD1為正三角形，∠ACD1＝eq\f(π,3)，∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CD1,\s\up8(→))〉＝eq\f(2π,3).(3)法一：連接AB1，B1C，則有eq\o(A1D,\s\up8(→))＝eq\o(B1C,\s\up8(→))，∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(A1D,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(B1C,\s\up8(→))〉，又AC＝CB1＝AB1，∴△AB1C為等邊三角形，∠ACB1＝eq\f(π,3)，∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(B1C,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,3)＝〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(A1D,\s\up8(→))〉，法二：連接A1C1，C1D，則eq\o(A1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))，且△A1C1D為正三角形．∴∠C1A1D＝eq\f(π,3)＝〈eq\o(A1C1,\s\up8(→))，eq\o(A1D,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(A1D,\s\up8(→))〉．(4)法一：連接BD，則AC⊥BD，又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D.∴AC⊥面BD1D，∵BD1面BDD1，∴AC⊥BD1，∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(BD1,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,2).法二：連接BD交AC于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)M，則eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD1,\s\up8(→))，∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(BD1,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(OM,\s\up8(→))〉，在△MAC中，MA＝MC，O為AC的中點(diǎn)，∴MO⊥AC.∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(OM,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,2)，即〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(BD1,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,2).[實(shí)力提升練]1．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，各條棱所在的向量中，與向量eq\o(AD,\s\up8(→))相等的向量共有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)C[與eq\o(AD,\s\up8(→))相等的向量有eq\o(A1D1,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(B1C1,\s\up8(→))，共3個(gè)．]2．在正四面體ABCD中，〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉的大小為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,6)C[因?yàn)檎拿骟w的對棱垂直，故〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉的大小為eq\f(π,2).]3．兩非零向量共線是兩向量方向相同的________條件．必要不充分[兩向量共線就是這兩向量方向相同或相反兩種狀況．]4．下列命題正確的序號(hào)是________．①若a∥b，〈b，c〉＝eq\f(π,4)，則〈a，c〉＝eq\f(π,4)；②若a，b是同一個(gè)平面的兩個(gè)法向量，則a＝b；③異面直線的方向向量不共線．③[①〈a，c〉＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)，①錯(cuò)；②a∥b，②錯(cuò)；③由于異面直線既不平行也不重合，所以它們的方向向量不共線，③對．]5．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD為正方形且PD＝AD＝CD，E、F分別是PC、PB的中點(diǎn).(1)試以F為起點(diǎn)作直線DE的方向向量；(2)試以F為起點(diǎn)作平面PBC的法向量．[解](1)∵E、F分別是PC、PB的中點(diǎn)，∴EFeq\f(1,2)BC，又BCAD，∴EFeq\f(1,2)AD，取AD的