第四章 三角恒等變換 單元測試卷（含解析）-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊

第四章三角恒等變換單元測試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知，，則（

）A． B． C． D．2．某中學(xué)開展結(jié)合學(xué)科知識的動手能力大賽，參賽學(xué)生甲需要加工一個外輪廓為三角形的模具，原材料為如圖所示的是邊上一點(diǎn)，，要求分別把的內(nèi)切圓，裁去，則裁去的圓的面積之和為（

）A． B．C． D．3．已知，且，則的值為A． B． C． D．4．若是函數(shù)圖象的一個對稱中心，則的一個取值是A．2 B．4 C．6 D．85．已知，則（

）A． B． C． D．6．求值：（

）A． B． C．1 D．二、多選題7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點(diǎn)，，定義，，則（

）A． B．的最大值為2C． D．8．下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．的最小正周期為C．函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象D．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為三、填空題9．已知函數(shù)的圖象在上有且僅有3條對稱軸，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.10．已知,,則．11．已知，，，，則.12．.四、解答題13．已知向量，向量，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，其中常數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，求出函數(shù)對稱中心．14．如圖所示，某開發(fā)區(qū)有一塊邊長為的正方形空地．當(dāng)?shù)卣媱潓⑺脑斐梢粋€體育公園，在半徑為的扇形上放置健身器材，并在剩余區(qū)域中修建一個矩形運(yùn)動球場，其中是弧上一點(diǎn)，分別在邊上．設(shè)，球場的面積．(1)求的解析式；(2)若球場平均每平方米的造價為元，問：當(dāng)角為多少時，球場的造價最低．15．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)求角C的大小；(2)已知，的面積為6，求的值．16．在中，，邊滿足，求的值.參考答案：題號12345678答案DCCCBDACDABD1．D【分析】先利用誘導(dǎo)公式和差角公式求出正切值，再利用齊次式可求答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，即，解得或，因?yàn)椋?，所以．故選：D2．C【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件在中利用正弦定理及三角公式求出，分別在內(nèi)用等面積法求出內(nèi)切圓半徑即可得解.【詳解】在，設(shè)，則，，所以，在中，，由正弦定理得,即，即，化簡得或，因?yàn)?，所以（?fù)值舍去），，故為等邊三角形，為等腰三角形，,在中，設(shè)圓的半徑為，根據(jù)等面積有，即，化簡得，在中，設(shè)圓的半徑為，根據(jù)等面積有，即，化簡得，所以圓的面積之和為，故選：C.3．C【分析】由平方得，利用角的象限判斷出正弦余弦的正負(fù)，然后求得，利用二倍角余弦公式求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，又∵，∴，∴，∴，，．故選：C.4．C【詳解】，所以，，所以可能的一個取值是6，故選C．5．B【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式計算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：B.6．D【分析】利用湊角及兩角和的正弦公式，結(jié)合降冪公式及兩角和的正弦公式的逆用，然后再利用二倍角的正弦公式即可求解.【詳解】，．故選：D．7．ACD【分析】計算，，代入數(shù)據(jù)計算A正確，，B錯誤，計算得到，C正確，根據(jù)誘導(dǎo)公式得到D正確，得到答案.【詳解】，，對選項(xiàng)A：，正確；對選項(xiàng)B：，錯誤；對選項(xiàng)C：，正確；對選項(xiàng)D：，正確.故選：ACD8．ABD【分析】對于A選項(xiàng)，利用降冪公式求解即可；對于B選項(xiàng)，利用正切的二倍角公式即可；對于C選項(xiàng)，利用函數(shù)的平移變換即可；對于D選項(xiàng)，利用正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】對于A，，，故A正確；對于B，，最小正周期：，故B正確；對于C，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)，，故C錯誤；對于D，函數(shù)，令，解得：，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，D正確.故選：ABD9．【分析】先利用輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性結(jié)合整體思想即可得出答案.【詳解】，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在上有且僅有3條對稱軸，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.10．【分析】將已知兩式平方相加,結(jié)合兩角差的余弦公式,即可求得答案.【詳解】因?yàn)?,故,,以上兩式相加可得,即,故.故答案為:.11．/【分析】由題先利用兩角和正切公式求出，再利用的范圍求出角即可.【詳解】因?yàn)椋?，，，所以，因?yàn)?，所?故答案為：12．【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式的逆用得出結(jié)果.【詳解】.故答案為：.13．(1)(2)【分析】（1）先通過向量的數(shù)量積及降冪公式進(jìn)行化簡，利用關(guān)于直線對稱，求出參數(shù)，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間求解；（2）直接將函數(shù)進(jìn)行平移得到，再按照正弦函數(shù)的對稱中心求解.【詳解】（1）∵向量，向量，∴.

∵圖象關(guān)于直線對稱，其中常數(shù).∴，得，結(jié)合，可得，

∴，

∵令，得，

∴的單調(diào)減區(qū)間為．（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得.

再向下平移1個單位后得到函數(shù).

令，則有，對稱中心為.14．(1)(2)，球場的造價最低【分析】（1）如圖，過點(diǎn)作的垂線，垂足為.由三角函數(shù)的定義表示出，進(jìn)而表示出，即可求解；（2）令，則，由題意可得球場的造價為，結(jié)合基本不等式計算即可求解.【詳解】（1）過點(diǎn)作的垂線，垂足為.

由題意得：，，所以，，所以.（2）依題意得球場的造價，令，因?yàn)?，所以，所以，故，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，球場的造價最低.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變形，求角的值；（2）首先根據(jù)面積公式求，再根據(jù)余弦定理和正弦定理，即可求解的值.【詳解】（1）即，則,且，則；，（2），所以，根據(jù)余弦定理可知，,即，根據(jù)正弦定理，，即，解得：.16．.【分析】方法一：由余弦定理及已知可得，再根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角性質(zhì)及差角正弦公式得，即可求.【詳解】［方法一］：