數(shù)學(xué)物理方法(第3版)課件：拉普拉斯變換

拉普拉斯變換本章將繼續(xù)討論積分變換，介紹另一個(gè)重要的積分變換—拉普拉斯變換。首先給出了拉普拉斯變換的定義；接著討論了指數(shù)階函數(shù)的拉普拉斯變換存在定理；分析了拉普拉斯變換的基本性質(zhì)和卷積定理，最后給出了如何用拉普拉斯變換求解常微分方程。2§

3.1

拉普拉斯變換的基本原理§

3.2

拉氏變換的性質(zhì)

§

3.3

拉氏變換的卷積定理

§

3.4

拉氏逆變換及其應(yīng)用

拉普拉斯變換3§3.1.1

拉普拉斯變換的概念§3.1.2

周期脈沖函數(shù)拉普拉斯變換的計(jì)算方法3.1

拉普拉斯變換的基本原理4函數(shù)h(x)、cosx

、sin

x

、Re(s

)>p

、x

sin

x

、ex

這樣一些常見函數(shù)都是指數(shù)階函數(shù)。滿足f

(x)

Mepx就稱f

(x)是指數(shù)階函數(shù)。定義

對于函數(shù)f

(x)，若存在著正數(shù)p和M

，當(dāng)x

>0時(shí)，使得f

(x)3.1.1

拉普拉斯變換的概念(3.1-1)5指數(shù)階函數(shù)傅立葉積分的收斂性。由于f(x)定義在x

>0區(qū)間上，因此f

(x)的傅立葉積分可以寫成f

(o)=j

h(x)f

(x)e_jox

dx=j0

f

(x)e_jox

dx

(3.1-2)為了保證積分的收斂性，令o

=a

_jb(b

>0)，將此式代入式(3.1-2),有f

(o)=j0

f

(x)e_bx

e_jax

dx

(3.1-3)對于指數(shù)階函數(shù)而言，xl

f

(x)e_bx

=0，符合傅立葉積分存在的條件，即式(3.1-3)是收斂的。的++的的++的的的3.1.1

拉普拉斯變換的概念6上述討論說明，若對傅立葉積分中函數(shù)所乘的因子e

jOx

做

一些變動(dòng)，可以使常見的指數(shù)階函數(shù)的積分變換存在且收斂。

受到啟發(fā)，取s

=+jO

，用e

一sx

代替傅立葉積分中的e

一

jOx

就可以得到拉普拉斯變換，下面是它的數(shù)學(xué)定義。3.1.1

拉普拉斯變換的概念73.1.1

拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)定義

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(0,+的)上的實(shí)值函數(shù)，如果對于復(fù)參數(shù)s

=b+jo，積分f

(s)=j0

f

(x)e-sx

dx

(3.1-4)在復(fù)平面s

的某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂，稱f

(s)為f(x)的拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換，記作

f

(s)=L[f

(x)]稱f

(x)是f

(s)的拉普拉斯逆變換，簡稱為拉氏逆變換，記作f

(x)=L-1

[f

(s)]稱f

(x)與f

(s)分別為象原函數(shù)和象函數(shù)。拉氏變換對也記作f

(x)一f

(s)的++的8由于f

(x)e

sx

=f

(x)e

x

，雖然f

(x)有時(shí)不滿足絕對可積的條件，但是f

(x)e

x

很容易滿足絕對可積的條件，這樣函數(shù)的拉氏變換比傅氏變換更容易收斂，特別是常見的指數(shù)階函數(shù)的拉氏變換基本上都是存在的。3.1.1

拉普拉斯變換的概念93.1.1

拉普拉斯變換的概念定理

3.1

指數(shù)階函數(shù)拉普拉斯變換存在定理。若實(shí)值函數(shù)f(x)滿足條件：(1)在x

>0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；(2)在x

充分大后，f

(x)是指數(shù)階函數(shù)，即f

(x)共Mepx

(M

>0,p

>0)。那么f

(x)的拉氏變換f

(s)在半平面Re(s)>p上一定存在，并且f

(s)是收斂域上的解析函數(shù)。證：在Re(s)=b>p以后，由條件(2)可知

f(s)=

j0

f

(x)e_sx

dx

共

j0

f

(x)e_bx

dx

共

Mj0

epx

e_bx

dx

=

上式左端的積分絕對收斂，即積分收斂，這意味著f

(s)是存在的。由于

與s無關(guān)，所以積分也是一致收斂的。+w+w+w++w103.1.1

拉普拉斯變換的概念現(xiàn)在考慮f

(s)的解析性。

f

(s)的導(dǎo)數(shù)是f

,

(s)=j0

一xf

(x)e一sx

dx在半平面上取Re(s)>s1

>p，有j0

一

xf

(x)e一sx

dx

共

j0

xMe一(s1

一p

)x

dx

=

(s

M一p)2上式的左端仍然與s無關(guān)，所以f

(x)是一致收斂的。根據(jù)一致收斂性定理可知，f

(s)在半平面Re(s)>p的每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，即f

(s)是Re(s)>p上的解析函數(shù)。[證畢]+1w+w++ww++w11定理3.1并沒有完全解決拉氏變換的求解。因?yàn)橐话阌龅降闹笖?shù)階函數(shù)都是定義在(-,+)區(qū)間上的，而拉氏變換的定義域是[0,+)半?yún)^(qū)間上的，所求的拉氏變換只是函數(shù)某一部分的拉氏變換，對于沒有求拉氏變換的那一部分的函數(shù)是怎么處理呢？這個(gè)問題可以根據(jù)拉氏變換的唯一性做出約定。為了保持象函數(shù)和象原函數(shù)是唯一對應(yīng)的關(guān)系，可以約定函數(shù)超出拉氏變換所定義區(qū)間的那部分值為零。3.1.1

拉普拉斯變換的概念123.1.1

拉普拉斯變換的概念例如h(x)；sign(x)；常數(shù)1，這三個(gè)函數(shù)有同一個(gè)象函數(shù)。因?yàn)榘凑赵谏厦鎸瘮?shù)求拉氏變換時(shí)所做的約定，這三個(gè)函數(shù)在求拉氏變換時(shí)已經(jīng)被重新定義為1=〈

;h(x)=〈

;sgn(x)=〈所以這三個(gè)函數(shù)已經(jīng)自動(dòng)成為h(x)，對同一個(gè)象原函數(shù)而言，它的象原函數(shù)自然相同。例3.2例3.1例3.3133.1.1

拉普拉斯變換的概念拉氏逆變換的求法。由本節(jié)開始關(guān)于變換的定義可以看到，并沒有定義拉氏逆變換的求解公式。因此，求解逆變換的方法有兩個(gè)：一是找出逆變換的公式求

解，后面專門有一節(jié)去談這個(gè)問題，但由于計(jì)算過于繁雜，

很少被采用；二是承認(rèn)拉氏逆變換與拉氏變換是唯一對應(yīng)的(盡管證明這個(gè)問題不是一件很容易的事)，應(yīng)用一些已知的變換和后面要談到的拉氏變換性質(zhì)去反推，這是工程廣泛采用的求解方法。14L[sin

kx]

=

L[6(x)]=1L[xm

]=

(m

>

-

1)(3.1-5)(3.1-6)(3.1-7)(3.1-8)(3.1-9)3.1.1

拉普拉斯變換的概念已經(jīng)求過的拉氏變換列舉如下：L[eax

]=

L[h(x)]=

15周期脈沖函數(shù)的拉氏變換定理

3.2

設(shè)f(x)是以T

為周期的函數(shù)，則有L[f

(x)]=j0

f

(x)e-sx

dx

(3.1-10)TT3.1.2

周期脈沖函數(shù)拉普拉斯變換的計(jì)算方法163.1.2

周期脈沖函數(shù)拉普拉斯變換的計(jì)算方法證根據(jù)式(3.1-4)有f

(s)=j0

f

(x)e

sx

dx

=j0

f

(x)e

sx

dx

+j

f

(x)e

sx

dx

(3.1-11)上式右邊第二個(gè)積分中做變量代換t

=x

T

，根據(jù)f(x)周期性可得f

(s)=j0

f

(x)e

sx

dx

+e

sT

j0

f

(x)e

sx

dx

(3.1-12)對比式(3.1-11)和式(3.1-12)，可以得到TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT+

+TT

T

++

f

(s)

=

j0

f

(x)e

sx

dx

=

j0

f

(x)e

sx

dxTT

++

例3.4[證畢]173.2

拉氏變換的性質(zhì)性質(zhì)1

拉氏變換是線性變換性質(zhì)2

拉氏變換具有相似性性質(zhì)3

拉氏變換的微分性質(zhì)性質(zhì)4

象函數(shù)的微分性質(zhì)性質(zhì)5

積分的象函數(shù)性質(zhì)6

象函數(shù)的積分性質(zhì)7

延遲定理性質(zhì)8

拉氏變換的位移定理183.2

拉氏變換的性質(zhì)性質(zhì)

1

拉氏變換是線性變換。設(shè)f

(s)=L[f

(x)],g(s)=L[g

(x)]，

常數(shù)a和b，則有L[af

(x)+bg

(x)]=af(s)+bg

(s)L-1

[af

(s)+bg

(s)]=aL-1

[f

(s)]+bL-1

[g

(s)]性質(zhì)

2

拉氏變換具有相似性，若L[f(x)]=f

(s)，則有L[f

(ax)]=f

))|(3.2-1)(3.2-2)例3.5(3.2－3)19性質(zhì)

3

拉氏變換的微分性質(zhì)。下面涉及到的函數(shù)f(x)和它的導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)或分段連續(xù)，并且都是指數(shù)階的。設(shè)L[f(x)]=f

(s)，則有L[f

(x)]=sL[f

(x)]f

(0+

)=sf

(s)f

(0+

)式中的f

(0+

)=f

(x)|x=0+

。3.2

拉氏變換的性質(zhì)(3.2-4)20=f

(x)e一sx

|

+sj0

f

(x)e一sx

dxx)w按照拉氏變換存在定理3.1可知，若s

=b+jO，則有0

共|

f

(x)e一sx

|共

Mepx

.e一bx

=

Me一(b一p

)xx)+w

x)+w由于xl

Me一(b一p

)x

=0，所以xl

f

(x)e一sx

=0，于是得到wwwwwwwwwwwww+w+w當(dāng)b>p時(shí)有0共limf

(x)e一sx

共lim

Me一(b一p

)xL[f

,(x)]=sf

(s)一f

(0)[證畢]=limf

(x)e一sx

一f

(0+

)+s

f(s)L[f

,(x)]=j0

f

,(x)e一sx

dxw++w3.2

拉氏變換的性質(zhì)證21用證性質(zhì)3的方法可以證明，若f

(x)和它的f

(x)，…，f

(n

1)

(x)都是連續(xù)的，或分段連續(xù)的，并且都是指數(shù)階函數(shù)，則有L[f

(

n

)

(x)]=sn

L[f

(x)]sn

1f

(0)sn

2

f

(0)…

f

(n

1)

(0)

(3.2-5)實(shí)際應(yīng)用中二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換求解最常見，將公式列在下面L[f

(x)]=s2L[f(x)]sf(0)f'(0)(3.2-6)式(3.2－5)和(3.2－6)中的0都應(yīng)當(dāng)理解為0＋。3.2

拉氏變換的性質(zhì)223.2

拉氏變換的性質(zhì)性質(zhì)

4

象函數(shù)的微分性質(zhì)。假設(shè)f(x)是指數(shù)階的，并且是連續(xù)或分段連續(xù)的，若L[f

(x)]=f

(s)，則有L[xf

(x)]=

L[f

(x)]=

更一般的n階導(dǎo)數(shù)公式是L[xn

f

(x)]=

(1)n

L[f

(x)]=

(1)n

例3.7例3.6例3.8(3.2-8)(3.2-7)23L[j0xf

(x)dx]=

更一般，有性質(zhì)

5

積分的象函數(shù)。設(shè)f

(s)=L[f

(x)]，對f

(x)的積分則有L

[j0

dxj0

dx

…

j0

f

(x)dx]=

f

(s)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3.2

拉氏變換的性質(zhì)(3.2-10)(3.2-9)24證設(shè)f

(s)=L[f

(x)]，有L

[j0

f

(x)dx]=j0

e

sx

[j0

f

(x)dx]dx=j0

[j0

f

(x)dx]de

sx=[e

sx

j0

f

(x)dx]+j0

f

(x)e

sx

dx=

0

+

j

+

f

(x)e

sx

dx

=

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明式(3.2－10)。[證畢]00xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

+

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+x

+x

+x3.2

拉氏變換的性質(zhì)25性質(zhì)

6

象函數(shù)的積分。設(shè)L[f(x)]=f

(s)，則有js

f

(s)ds

=L

一般地，有

sjs—

=L

nw++w性質(zhì)6的證明過程與性質(zhì)5證明過程類似，用分部積分可以得到式(3.2-11)，反復(fù)利用式(3.2-11)可以得到式(3.2-12)。3.2

拉氏變換的性質(zhì)(3.2-11)(3.2-12)例3.10例3.926L[f(x

-x0

)h(x

-x0

)]=j

f(x

-x0

)h(x

-x0

)e-sx

dx

=j

f(x

-x0

)e-sx

dx

=j0

f(T)e-s(x0

+T

)dT=e-sx0

j

f

(T)e-sTdx=e-sx0

f(s)式(3.2-13)得證。式(3.2-14)是式(3.2－13)的一個(gè)直接推證。wwww+ww性質(zhì)

7

延遲定理：設(shè)f

(s

)=L

[f

(x

)]，有L[h(x

-x0

)f

(x

-x0

)]=e-x0s

f(s)反之，若L-1

[f

(s

)]=f

(x

)，則有L-1[e-x0sf

(s)]=h(x-x0

)f(x-x0

)證下面來證明這個(gè)非常有用的定理。3.2

拉氏變換的性質(zhì)(3.2-14)(3.2-13)27這里簡要地討論一下g(x)=h(x

x0

)f

(x

x0

)(x

>0)的意義。設(shè)函數(shù)f

(x)定義在(,+)，其圖形如圖3.2(a)所示的曲線ABC。如果將f(x)向右平移x0

，得到的圖像如圖3.2(b)所示，

f

(x

x0

)把不在拉普拉斯變換區(qū)域中的圖像AB一段也平移到了

x

>0的區(qū)域，所以計(jì)算平移函數(shù)f(x

x0

)拉氏變換時(shí)，

不能直接用f

(x

x0

)來做象原函數(shù)。3.2

拉氏變換的性質(zhì)28(b)

f

(x

x0

)

的圖像；

x圖

3.2

(a)

f

(x)

圖像；(c)

h(x

x0

)

的圖像；3.2

拉氏變換的性質(zhì)(d)

f

(x

x0

)h(x

x0

)的圖像f(x

x0

)h(x

x0

)f(x

x0

)h(x

x0

)29x0x0x003.2

拉氏變換的性質(zhì)圖3.2(c)的圖像與圖3.2(a)圖像相乘以后得到圖像如圖

3.2(d)所示。從圖3.2(d)可見，這樣得到的圖像正是x

>0的f(x)

圖像完整的移動(dòng)，這個(gè)圖像意味著g(x)=h(x

x0

)f

(x

x0

)是x

>

0的f(x)圖像的平移函數(shù)，這正好符合拉氏變換對象原函數(shù)的要求。上述討論說明h(x

x0

)f(x

x0

)是在拉氏變換定義下的象原平移函數(shù)。例3.12例3.1130注意，性質(zhì)8表面上有點(diǎn)像性質(zhì)7，前面已經(jīng)指出了性質(zhì)7是關(guān)于位移函數(shù)的拉氏變換，若x

是空間坐標(biāo)，性質(zhì)7就是x坐標(biāo)平移

后的函數(shù)的拉氏變換。而性質(zhì)8則是關(guān)于象函數(shù)的平移，即f(x)乘

以e

ax

，相當(dāng)于f(x)的象函數(shù)在s

域內(nèi)平移了a

。圖3.3是性質(zhì)8的解釋。性質(zhì)8也可以簡化象函數(shù)的求解。L[eax

f

(x)]=f

(s

a)反之，若f

(x)=L

1

[f

(s)]，則有L

1

[f

(s

a)]=eax

f

(x)3.2

拉氏變換的性質(zhì)性質(zhì)

8

拉氏變換的位移定理。設(shè)L[f(x)]=f

(s)，則有(3.2-16)(3.2-15)313.2

拉氏變換的性質(zhì)(a)L(x)

一

圖像；(b)L[xe

]

一

(s

一1a)2axax(s

一

1

2s例3.13(x)=

xeax圖

3.3eax

fa)2321§3.3.1

卷積的意義和它的運(yùn)算規(guī)則

§3.3.2

卷積定理3.3

拉氏變換的卷積定理33卷積是一個(gè)用積分表示出來的函數(shù)，定義如下。定義

設(shè)f

(x)和g(x)在x

<0時(shí)，f

(x)=g(x)=0，則稱是f

(x)與g(x)的卷積，記作f

(x)*g(x)。3.3.1

卷積的意義和它的運(yùn)算規(guī)則f

(x)*g

(x)=j0

f

(x

T)g

(T)dTxx(3-1)343.3.1

卷積的意義和它的運(yùn)算規(guī)則卷積的意義：考慮下面的常微分方程的解。y

一y

=x

(3.3-2)上式的x

稱為強(qiáng)迫函數(shù)。式(3.3-2)的伴齊次方程是y

一y

=0上式的解是yc

=

c1ex

+

c2

e一x

。在這個(gè)解中取c1

=,c2

=0和c1

=0,c2

=一，可以得到伴齊次方程的兩個(gè)特解是11yc1

=

2

e

;

yc2

=

一

2

ex

一x353.3.1

卷積的意義和它的運(yùn)算規(guī)則分別求伴齊次方程的特解與強(qiáng)迫函數(shù)的卷積，得到y(tǒng)1

=yc1

*f

(x)=ex

*x

=j0

Tex一T

dT

=(ex

一x

一1)y2

=yc2

*f

(x)=一ex

*x

=一j

Te一(x一T

)dT

=一(ex

+x

一1)將y1

與y2

迭加在一起，得到y(tǒng)t

=y1

+y2

。yt

代入式(3.3-2)后，有”yt

一yt

=

x即yt

=yc1

*f

(x)+yc2

*f

(x)是方程的一個(gè)解，這說明方程(3.3-2)的解可以用卷積線性表示出來。0xxx36不難驗(yàn)證對應(yīng)的伴齊次方程解yc

=e-ax

與f(x)的卷積是yc

*f

(x)=j0

f

(T)e-a(x-T

)dT而上式也是式(3.3-3)的解，所以方程(3.3-3)的解也可以用卷積表示。xx3.3.1

卷積的意義和它的運(yùn)算規(guī)則對于一階常系數(shù)線性微分方程ly

x=0

=

0〈(y,+ay

=f

(x

)(3.3-3)373.3.1

卷積的意義和它的運(yùn)算規(guī)則常系數(shù)線性微分方程伴齊次方程的特解與方程強(qiáng)迫

函數(shù)的卷積是方程的一個(gè)解，或者說常系數(shù)線性微分方程的一個(gè)解可以用卷積線性表示出來，這就是卷積的意義。卷積的代數(shù)屬性與普通函數(shù)的代數(shù)屬性相似，卷積滿足交換律、結(jié)合律和分配律。有f

(x)*g(x)=g(x)*f

(x)f

(x)*(g(x)*s(x))=(f

(x)*g(x))*s(x)

f

(x)*(g(x)+s(x))=f

(x)*g(x)+f

(x)*s(x)383.3.2

卷積定理拉氏變換的卷積定理

3.3設(shè)f

(s)=L[f

(x)],g

(s)=L[g

(x)]在Re(s)p時(shí)都存在，則有L[f

(x)*g(x)]=f

(s).g(s)當(dāng)Re(s)p也有其逆變換L-1

[f

(s).g

(s)]=f

(x)*g

(x)(3.3-4)(3.3-5)393.3.2

卷積定理證對卷積求拉氏變換，得到L[f

(x)*g(x)]=j0

f

(x)*g(x)e_sxdx

=j0

[j0

f

(T)g(x

_T)dT]e_sx

dT上式可以看成一個(gè)二重積分，積分區(qū)域如圖3.4陰影區(qū)所示。改變積分次序，先積分x

，后積分T

，則有x:T

)+w;T:0)+w，所以卷積的拉氏變換是+xw+w++w圖

3.4

卷積的積分區(qū)域0xT

=

x40T3.3.2

卷積定理L[f

(x)*g(x)]=j0

f

(T)[jT

g

(x

-T)e-sx

dx]dT再令u

=x

-T,x:T

)w,u:0)+w

，上式化簡為L

f

(x

)*g

(x

)=

j

f

(T)j

g

(u

)e-s(u

+T)du

dT=

j

f

(T)e-sTdT

.

j

g

(u

)e-su

du=f

(s

).g

(s

)+w+w++w這就證明了式(3.3-4)。上式兩邊同時(shí)取逆變換可以證明式(3.3-5)。例3.14[證畢]413.3.2

卷積定理作為卷積的應(yīng)用，下面解一個(gè)一般的二階常系數(shù)線性微分方程。設(shè)微分方程是(

ay,

+by,+cy

=f

(x)〈ly

x=0

=

y(0),

y,

x=0

=

y,(0)

(3.3-6)其中a,b,c

都是實(shí)常數(shù)，并且a

豐0，f

(x)是定義在[0,+w]上的已知函數(shù)。為了看出解的規(guī)律性，將上述方程分為二個(gè)方程。它們是(

ay,

+by,+cy

=0〈lyc

x=0

=y(0),y,c

x

0

=y,(0)l

yp

x=0

=

0,

y

x=0

=

0

原方程的解是y(x)=yc

(x)+yp

(x)p,cccccccccccccccccccc(3.3-8)(3.3-9)〈(ay

+by

+cyp

=f

(x)p,p,,(3.3-7)423.3.2

卷積定理對方程(3.3-7)求拉氏變換，得到y(tǒng)

c

(s

)

=

y(0)

+

y,(0)實(shí)際上方程(3.3-7)的兩個(gè)線性無關(guān)解是yc1(x)

=

L

；yc2

(x)

=

L-1

注意到L[6(x)]=1，可以得到y(tǒng)c

(x

)

=

L

.

1

y

(0)+

L

.

1

y,(0)=yc1(x)*[y(0)6(x)]+yc2

(x)*[y,(0)6(x)](3.3-10)-1-1--11--1433.3.2

卷積定理方程(3.3-8)的拉氏變換是y

p

(s)

=

f

(s)

=

.

f

(s)其解為上式的逆變換，應(yīng)用卷積定理得到y(tǒng)p

(x)

=

L一1

f

(s)

=

yc2

(x)*

f

(x)

(3.3-11)根據(jù)式(3.3-10)，可以得到微分方程的解是y(x)=yc

(x)+yp

(x)=yc1(x)*[y(0)6(x)]+yc2

(x)*[y，(0)6(x)]+yc2

(x)*f

(x)(3.3-12)從上式可以看出，方程的解是幾個(gè)函數(shù)卷積的和。44§3.4.1

拉氏逆變換的反演積分原理§3.4.2

用拉氏逆變換求常微分方程3.4

拉氏逆變換及其應(yīng)用45一些復(fù)雜的場合，只知道象函數(shù)，無法去反推象原函數(shù)。在這些情況下，可以將拉氏逆變換化成梅林－里曼公式，再用復(fù)變函數(shù)的留數(shù)理論去求象原函數(shù)。3.4.1

拉氏逆變換的反演積分原理463.4.1

拉氏逆變換的反演積分原理定理

3.4

里曼－梅林公式。設(shè)a,s0

為實(shí)數(shù)，若函數(shù)f

(s)在半平面Re(s)>s0

上是解析的，在任意半平面Re(s)>a

>s0

上，當(dāng)s

)

w時(shí)，arg

s一致收斂于0，且積分jb

jw

f

(s)ds存在，則f

(s)是函數(shù)f

(x)=

j

f

(s)esx

ds

(3.4-1)的象，即有拉氏變換對f

(x)

=

jb

jwf

(s)esx

ds

一

f

(s)

=

j0

f

(x)e-sx

dx-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+w+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+473.4.1

拉氏逆變換的反演積分原理定理3.4的證明是繁瑣的，下面給出一個(gè)形式上的證明，而略去定理3.4的證明過程。假設(shè)f(x)的拉氏變換存在，那么它的象函數(shù)為f

(s)，設(shè)s

=b+jO，則有f

(s)=f

(b+jO)=j0

f

(x)e-sx

dx根據(jù)3.1討論可知，在拉氏變換中f(x)在x

想0時(shí)是零，所以上式中的f

(x)可以寫成f(x)h(x)，因而積分區(qū)間也擴(kuò)展為(-w,+w)，這樣就得到f

(s)=f

(b+jO)=j

h(x)f

(x)e-sxdx=j-

w

h(x)f

(x)e-bx

.e-jOxdx+++++++++++++++++ww+www++w483.4.1

拉氏逆變換的反演積分原理對比傅立葉變換公式(2.2-2)可以知道，上式是f(x)h(x)e-bx

的傅立葉變換，根據(jù)式(2.2-3)可以寫出f

(x)h(x)e-bx

=j-

w

f

(b+jO)e-jOx

dO上式兩邊同乘以ebx

，可以得到f

(x)h(x)=j-

w

f

(b+jO)e(b+jO)x

dO在上式中作變量代換s

=b+jO，則ds

=jdO，且s:b-jw)b+

jw因此f

(x

)可以寫成+++++++++++++ww+++++++++++++ww+f

(x)

=

jb

jw

f

(s)esx

ds-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+(x

>0)49一般情況下，由于里曼－梅林公式過于復(fù)雜，因此很少使

用。但是，在某些無理函數(shù)的象函數(shù)計(jì)算中，使用它有一定的簡便性。下面是里曼－梅林公式一個(gè)充分存在條件，即反演積分定理。3.4.1

拉氏逆變換的反演積分原理50定理

3.5

反演積分定理。設(shè)f

(s)在半平面Re(s)共C內(nèi)，除了有限個(gè)孤立奇點(diǎn)s1

,s2

,…sn

外，其余區(qū)域內(nèi)都是解析的，且當(dāng)s

)w

時(shí)，

f

(s))0，則有f

(x)

=

jb

jwf

(s)esx

ds

=

Re

s[f

(s)esx

,

sk

](x

>

0)

(3.4-2)反演公式的計(jì)算過程也很復(fù)雜，所以這種方法大部分只用于一些象函數(shù)比較簡單的場合，其中最常見到的是象函數(shù)為分式的

情況，下面是有理分式函數(shù)的象原函數(shù)的計(jì)算公式。-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+3.4.1

拉氏逆變換的反演積分原理513.4.1

拉氏逆變換的反演積分原理定理

3.6

有理分式象函數(shù)的拉氏逆變換運(yùn)算法則。設(shè)象函數(shù)為f

(s)其中A(s)和B(s)均為不可約多項(xiàng)式，f

(s)為真分式，它的拉氏逆變換有以下計(jì)算公式：(1)設(shè)s1

是B(s)的m

重零點(diǎn)，即s1

是的m

階極點(diǎn)。有f

(x)

=

(m

1-

1)!ls

(s

-

s1

)

esx

(3.4-3)(2)設(shè)B(s)的n

次多項(xiàng)式，只有單零點(diǎn)s1

,s2

,…sn

。有f

(x)

=

esk

x

,

x

>

0

(3.4-4)))sksk)s1im523.4.1

拉氏逆變換的反演積分原理證(1)由于s1

是多項(xiàng)式B(s)的m

重零點(diǎn)，所以s1

是

的m

階孤立奇點(diǎn)，且s

)w

時(shí)，f

(s))0，因此可用定理3.5求它的拉氏逆變換，即f

(x

)=

Re

s

esx

,

s1

A(s)

sx把B

(

S

)

e

展開成羅朗級數(shù)，有

e

=

+

+

…

+

(sc--

)

+

c0+

c1(s

-

s1)+

c2(s

-

s1)

+

…sxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsx121sxs1))ss((BA))ss((BA533.4.1

拉氏逆變換的反演積分原理(s

-

s1

)+

c-(m-1)

(s

-

s1

)+…

+

c-

1

(s

-

s1

)+

…c0

(s

-

s1

)

+c1

(s

-s1

)m+1

+c2

(s

-s1

)m+2

+…對上式兩邊同時(shí)求導(dǎo)(m-1)次，再令s

)s1

，并求極限，則有l(wèi)s

(s

-

s1

)

esx

=

(m-

1)!c-1c-1

是留數(shù)，所以有f

(x)

=

Res

esx

,s1

=

c-1

=

(m

1-

1)!ls

(s-

s1

)

esx

mm))ss((BA)s1im))ss((BA)s1imm-m-m-m-m-m-m-m-m-m-m1m-m-543.4.1

拉氏逆變換的反演積分原理(2)容易看出符合定理3.5的條件，所以有f

(x)

=

Re

s

esx

,

sk

(3.4-5)由于B(sk

)=0，根據(jù)(1)所證可知，對于任意一個(gè)奇點(diǎn)sk

有

B

(

B

(s

)

ls

ss()s

__

s

)

上式代入(3.4-5)可得式(3.4-4)。[證畢]ResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResxkse，=k)e)ek=ksxsx)e)e)ks

_ss

_ss

_s(sl=ks,sxeResRes))sksk((BA)(skBskx((BA)skim_s)(sA)skim))ss((BA例3.15553.4.2

用拉氏逆變換求常微分方程有初始問題的常系數(shù)微分方程及其常微分方程組比較適合用拉氏變換求解，大致有以下三個(gè)步驟：(Ⅰ)對微分方程求拉氏變換，將微分方程變換成代數(shù)方程；(Ⅱ)求象函數(shù)的顯式表達(dá)式；(Ⅲ)求拉氏逆變換，所得的結(jié)果就是微分方程的解。另一類適合用拉氏變換求解的方程是難于直接積分的方程，例如強(qiáng)迫函數(shù)中含有函數(shù)的方程。工程上最常見的是用拉氏變換求解常系數(shù)線性微分方程，對于常系數(shù)線性微分方程組的拉氏變換解法原則上是可行的，但是運(yùn)算量較大。例3.16例3.18例3.19例3.1756本章結(jié)束

拉普拉斯變換57h(s)=j0

h(x)e一sx

dx

=

sign(s)=j0

sign(x)e一sx

dx

=

1(s)=j0

1.e一sx

dx

=

+

++

++

例

3.1例3.1求函數(shù)h(x)；sign(x)；常數(shù)1的拉氏變換。拉氏變換求解的另一個(gè)問題是象函數(shù)的存在域問題。實(shí)際函數(shù)的拉氏變換得到的象函數(shù)的存在域會隨著象原函數(shù)的特性而變。(Re(s)0)(Re(s)0)(Re(s)0)返回解58例

3.2例3.2

求eax

，sinkx的拉氏變換(a,k都是實(shí)數(shù))。例3.2表明每一個(gè)象函數(shù)的定義域可能不同，通常約定可以略去Re(s)>a,Re(s)>0這樣的標(biāo)注，只有在特別需要時(shí)，才加以說明。下面考慮幾個(gè)特殊函數(shù)的拉氏變換。L[sin(kx)]=j0

sinkx

.e一sx

ds

=Imj0

e一sx

.ejkx

dx+w+w++w解L[eax

]=

j

一sx

dx

=s

1一

a(Re(s)>a)(Re(s)>0)返回s2

+k2k59=解(1)L[6(x)]=j0

6(x)e-sx

dx

=e-sx

x=0

=1(2)L[xm

]=j0

xm

e-sx

dx令sx

=t

，dx

=dt，將這兩式代入上式得到L

xm

=

j

e-

t

.dt

=j

tm

e-

t

dt

=j

e-

t

.t(m+1)-1dt

=T

(m

+1)w++ww++w例

3.3例3.3求(1)6(x)；(2)xm

(m

>-1)的拉氏變換。60例

3.3這個(gè)結(jié)果結(jié)合T(x)的性質(zhì)可以給出幾個(gè)有用的結(jié)論。當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)，根據(jù)T(x)的性質(zhì)可知T(m

+1)=m!，所以有

L[xm

]=

當(dāng)m

=_時(shí)，xm

=。對于此函數(shù)，x

)0時(shí)，函數(shù)不是指數(shù)階的，所以不能引用定理3.1。但是，這并不表示的拉氏變換不

存在，因?yàn)槎ɡ?.1只是拉氏變換存在的充分條件，而非必要條件。這時(shí)候的拉氏變換的積分是無界函數(shù)的積分，拉氏變換是L[x_

]=

j

e_sx

dx

=

=wwc)0lim返回

Ts611例3.4已知周期函數(shù)f(x)如圖3.1所示，求它的拉氏變換。T2T

3T

4T圖

3.1

周期三角波的圖形例

3.4T62例

3.4解從圖3.1中可以寫出一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式是f

(x)

=〈|

T

x

,

0

施

x

施

2|2A

-

2A

x

,

T

施

x

施

T一個(gè)周期內(nèi)的拉氏變換是j

f(x)e-sxdx=

j

xe-sxdx+j

2A

-

x))|e-sxdx

=

(1-e-

s

)上式代入(3.1-10)，可以得到函數(shù)的拉氏變換是222TT02T0Tf

(s)

=

(

1

-e

)

=

=11111111T2e-2e-2e-2T1sTs--tanh(2A

T返回l

T

263例

3.5例3.5求cos

kx的拉氏變換解這里用性質(zhì)1、性質(zhì)2和L[eax

]=來求解coskx的拉氏變換。設(shè)f

(s)=L[cosx]，則有f

(s)=L[cosx]=L

(ejx

+e-jx

)=L[ejx

]+L[e-jx

]s=

s2

+

1

s/k

1

s

(s/k)2

+1.

k

=

s2

+k2=

+

L[cos

kx]

=

1

f

(|

s

)|

=返回k

\k

)64例

3.6例3.6求解下面函數(shù)的拉氏變換(1)2；(2)an

xn

+an-1xn-1

+an-2

xn-2

+…

+a1x

+a0

(n

為正整數(shù))。解(1)設(shè)f

(x)=2

，則有f

(0)

=0，f

,(x)=

。f

,(x)的拉氏變換為L[f

,(x)]=sL[f

(x)]-f

(0)L

=

sf

(s)冗1冗1冗x冗x65由例

3.3

的結(jié)果L

=

，可以得到L[6(x)]=1(2)設(shè)f(x)

=

anxn

+an-1xn-1

+an-2xn-2

+

…+a1x+a0

，則有下面的等式成立：s冗例

3.666例

3.6f(x)=an

xn

+an

1xn

1

+an

2

xn

2

+…

+a1x

+a0

,f

(0)=a0

=0!a0

；f

'

(x)=nan

xn

1

+(n1)an

1xn

2

+…

+a1

，

f

(0)=a1

=1!a1f

''

(x)=n(n1)an

xn

2

+(n1)(n2)xn

3

+…

+2.1.a2

，f

(0)=2!a2

；對于f

(

n

)

(x

)

求拉氏變換，可得L[f

(

n

)

(x)]=snL[f

(x)]sn

1f

(0)sn

2

f

(0)sn

3f

(0)…

f

(

n

1)

(0)由于L[f

(

n

)

(x)]=L[n!an

]=n!an

L[1]=1s

an

n!將上式和f

(0)，f

(0)，…，f

(n

1)

(0)代入求導(dǎo)后的公式，有67：f

(

n

)

(x)=n(n1)…

1.an

=n!an

，f

(n

1)

(0)=(n1)!an

1；f

(n

)

(0)=

n!an

；1

s

an

n!=sn

f(s)sn

1

.0!a0

sn

2

1!a1

…

(n1)!an

1f

(s)

=

an

+

an

1

+

an

2

+

…

+

a1

+

a0例

3.6返回68例

3.7例3.7求(1)x2

sin2x

；(2)xn

(n為正整數(shù))的拉氏變換解

(1)

L[x2

sin

2x]

=

(一

1)2

=

(32ss

)(2)L[xn

]=L[xn

.1]=(一1)L[1]=(一1)n

=(一1)n

.(一1)n

=)344一(4返回69例

3.8例3.8求e一

x

的拉普拉斯變換a

2解這個(gè)拉氏變換的象函數(shù)e

2

是下面常微分方程的一個(gè)解：〈

a一exfa2x2(對上面常微分方程求拉氏變換，得到L[f

，(x)]+aL[xf

(x)]=0sf

(s)一

f

(0)+

a.

(一

1).

=

0

一

f

(s)

=

一

一一一xx一2270解上面一階線性方程，得到f(s)=e[j0

_e_

du

+c]上式中任意常數(shù)c可以用下式求出：

f

(0)=j0

e

.e_0.x

dx

=

將(2)代入(1)，得到下式：_2x_w++wssf

(s)

=

e

_

j

e

du

=

e

1

_

j0

e_u

du

(3)____________________a2a_2s0s例

3.8(2)(1)71例

3.8由于誤差函數(shù)erf

))|=

j0

e-u

du

，所以式(3)可以寫成

f

(s)

=

e

1-

erf

))|=

e

erfc

))|式中用了余誤差函數(shù)是erfc()=[j

e-u

du]例3.8給出了一個(gè)重要的拉氏變換對，是22swaaaaaa22a2s一e

erfc(

)返回a

2-

x2e722a例

3.9例3.9求正弦積分函數(shù)的拉氏變換，正弦積分Si

(x)是Si

(x)=j0

dt解

先求

的拉氏變換。L

=j

L[sint]ds

=j

=-arctans

=arctan因此正弦積分的拉氏變換是Si

(s)=L

j0

dt

=L

=arctanxxxx73利用拉氏變換所得到的一些等式，可以求解一些特殊情況下的廣義積分，下面是例3.10進(jìn)一步拓展應(yīng)用的例子。例

3.9返回74解(1)利用例3.9的結(jié)果可以寫出下面等式

=

j0

dx

=

-

arctan

sj0+

”

dx

=

j0+

”

dx

=

-

arctan

s

s=0

=

j

”

dx

=

j0+

”

dx

=

-

arctan

s

s=1

=

-

=

根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒根據(jù)上述恒+”+根據(jù)上述恒，xn等L例

3.10例3.10求下列積分的值(1)j0

si

x

dx

,

j0

e

sinx

x

dx

；(2)j

-3x

sinxdx+x-”+”++

”xns=0s=175(2)

利用

L[sin

x]=