北京市延慶區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市延慶區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意.故選：C．2.當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，函?shù)為指數(shù)函數(shù)，為對(duì)數(shù)函數(shù)，故指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)均為定義域內(nèi)的增函數(shù).故選：B.3.下列函數(shù)中是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】A選項(xiàng)，為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，滿足要求，A正確；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，又，故在0,+∞單調(diào)遞增，B正確；C選項(xiàng)，為指數(shù)函數(shù)，結(jié)合圖象可知其不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤.故選：AB.4.向量，，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于向量，且，則，解得故選：D.5.的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，，所以.故選：D.6.已知函數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因?yàn)椋?故選：C.7.甲，乙兩人在5天中每天加工零件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示如圖，中間一列的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.在這5天中，甲加工零件數(shù)的極差小于乙加工零件數(shù)的極差B.在這5天中，甲、乙兩人加工零件數(shù)的中位數(shù)相同C.在這5天中，甲日均加工零件數(shù)大于乙日均加工零件數(shù)D.在這5天中，甲加工零件數(shù)的方差小于乙加工零件數(shù)的方差【答案】C【解析】甲在5天中每天加工零件的個(gè)數(shù)為：，乙在5天中每天加工零件的個(gè)數(shù)為：，對(duì)于A，甲加工零件數(shù)的極差為，乙加工零件數(shù)的極差為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，甲加工零件數(shù)的中位數(shù)為，乙加工零件數(shù)的中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲加工零件數(shù)的平均數(shù)為，乙加工零件數(shù)的平均數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，甲加工零件數(shù)的方差為，乙加工零件數(shù)的方差為，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)攬出2個(gè)球，每次摸出一個(gè)球，設(shè)事件"第一次摸到紅球"，"第二次摸到紅球"，"兩次都摸到紅球"，"兩次都摸到綠球”，“兩球顏色相同”，“兩球顏色不同”.則下列說法錯(cuò)誤的是（）A. B.R與G互斥但不對(duì)立C. D.S與T相互獨(dú)立【答案】D【解析】對(duì)于A，“兩球顏色相同”，“兩球顏色不同”是對(duì)立事件，所以，故A正確；對(duì)于B，"兩次都摸到紅球"和"兩次都摸到綠球”，不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，所以R與G互斥但不對(duì)立，故B正確；對(duì)于C，"兩次都摸到紅球"，"兩次都摸到綠球”，“兩球顏色相同”，所以，故C正確；對(duì)于D，從袋中不放回地依次隨機(jī)攬出2個(gè)球，不同的結(jié)果有：，共12種結(jié)果，事件S包含這6種結(jié)果，，事件T包含這6種結(jié)果，，事件ST包含這2種結(jié)果，，，所以S與T不是相互獨(dú)立事件，故D錯(cuò)誤.故選：D.9.已知等邊的邊長(zhǎng)為6，D在上且，E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，，設(shè)，又，則，，，，所以時(shí)，取得最小值12，時(shí)，取得最大值28，所以的取值范圍是.故選：B．10.假設(shè)有機(jī)體生存時(shí)碳14的含量為，那么有機(jī)體死亡x年后體內(nèi)碳14的含量滿足的關(guān)系為（其中m?，a都是非零實(shí)數(shù)）.若測(cè)得死亡5730年后的古生物樣品，體內(nèi)碳14的含量為0.5，又測(cè)得死亡11460年后這類古生物樣品.體內(nèi)碳14的含量為0.25.如果測(cè)得某古生物樣品碳14的含量為0.3，推測(cè)此古生物的死亡時(shí)間為（?。ǎ〢.10550年B.7550年C.8550年D.9550年【答案】D【解析】由已知，解得，即，推測(cè)此古生物的死亡時(shí)間為年，則，，所以，．故選：D．二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開________.【答案】【解析】函數(shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?12._______.【答案】15【解析】.13.已知，則=________.【答案】10【解析】由題意，所以.14.甲同學(xué)進(jìn)行投籃練習(xí)，每次投中的概率都是，連續(xù)投3次.每次投籃互不影響.則該同學(xué)恰好只有第3次投中的概率為________；該同學(xué)至少兩次投中的概率為_________.【答案】【解析】因?yàn)榧淄瑢W(xué)每次投中的概率都是，連續(xù)投3次，則投不中的概率為，所以甲同學(xué)恰好只有第3次投中的概率為，至少兩次投中的概率為.15.設(shè)，函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)存在最大值時(shí)，；③存在，，使得；④若存在兩個(gè)不同的x，使得，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】②④【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖，可見函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則，①錯(cuò)誤；在時(shí)，沒有最大值，在時(shí)，有最大值，因此有最大值，則，，②正確；由題意知點(diǎn)在圖象中間一段拋物線上，點(diǎn)在右下曲線上，取，，則，③錯(cuò)；若存在兩個(gè)不同的x，使得，則直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，解得，④正確．三、解答題：共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.如圖，在中，，D為中點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，且，的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)為F.（1）用向量與表示和；（2）用向量與表示（3）求出的值.解：（1）是中點(diǎn)，，.（2），則，.（3）設(shè)，則，，又向量共線，而不共線，所以，解得．17.為了了解某校高一學(xué)生一次體育健康測(cè)試的得分情況，一位老師采用分層抽樣的方法選取了20名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，來估計(jì)本校高一學(xué)生的得分情況，并以，，，，分組，作出了如圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定成績(jī)不低于90分為“優(yōu)秀”.（1）從該學(xué)校高一學(xué)生中隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生本次體育健康測(cè)試成績(jī)“優(yōu)秀”的概率；（2）從樣本成績(jī)優(yōu)秀的，兩組學(xué)生中任意選取2人，記為，中的學(xué)生為，中的學(xué)生為，求這2人來自同一組的概率；（3）從成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中任取3名學(xué)生記為A組，從成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生它任取3名學(xué)生記為B組，這兩組學(xué)生的得分記錄如下：A組：；B組：.寫出a為何值時(shí)，A、B兩組學(xué)生得分的方差相等（結(jié)論不要求證明）.解：（1）頻率分布直方圖中，成績(jī)優(yōu)秀的兩組學(xué)生，頻率為，所以估計(jì)這名學(xué)生本次體育健康測(cè)試成績(jī)“優(yōu)秀”的概率為0.3.（2）樣本中，組中有人，組中有人，從樣本成績(jī)優(yōu)秀的，兩組學(xué)生中任意選取2人，其樣本空間可記為：共包含15個(gè)樣本點(diǎn)，記事件A：兩人來自同一組，則，共包含7個(gè)樣本點(diǎn)，所以這2人來自同一組的概率.（3）這兩組學(xué)生的得分記錄：A組：；B組：.方差反映的是數(shù)據(jù)的離散程度，要使A、B兩組學(xué)生得分的方差相等，對(duì)比兩組數(shù)據(jù)，可知：或.18.已知函數(shù)①；②.從這兩個(gè)函數(shù)中選擇一個(gè)、并完成以下問題.（1）求的解：（2）在x軸上取兩點(diǎn)和，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C，過點(diǎn)A，B，C分別作x軸的垂線，與函數(shù)fx的圖象交于，線段中點(diǎn)為M.（i）求（ii）判斷與的大小.并說明理由.解：（1）選擇①，.選擇②，.（2）選擇①，線段的中點(diǎn)為C為，分別為，，，線段中點(diǎn)M為，；所以，所以，即.選擇②，線段中點(diǎn)為C為，分別為，，，線段中點(diǎn)M為，；，又，所以，即.19.函數(shù)的圖像如圖所示，定義域?yàn)?，其中，，?dāng)時(shí).圖像是二次函數(shù)的一部分，其中頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圖像是指數(shù)函數(shù)的一部分.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求不等式的解集；（3）若對(duì)于，恒有恒成立.求出的取值范圍（不要求計(jì)算過程）.解：（1）當(dāng)時(shí)，圖像是二次函數(shù)的一部分，設(shè)解析式為，根據(jù)題意可知：，解得：，當(dāng)時(shí)，圖像是指數(shù)函數(shù)的一部分，設(shè)解析式為，根據(jù)題意可知：，所以，所以.（2）由（1）可化為：，解得，或，解得，綜上，不等式的解集為.（3）在坐標(biāo)系中再作出的圖象，如圖，由圖象可知不等式的解集為，所以由題意，，所以，即的范圍是．20.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，若，求x的值；（2）若是偶函數(shù)，求出m的值；（3）時(shí)，討論方程根的個(gè)數(shù).并說明理由.解：（1）當(dāng)時(shí)，若.（2）若是偶函數(shù)，所以，即，所以.（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知，令，設(shè)，則，因?yàn)?，則，所以，即在0,+∞上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在0,+∞上單調(diào)遞減，又是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，易知，所以為偶函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程，有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，取，則，所以在上，且在0,+∞上單調(diào)遞減，由零點(diǎn)存在性定理可知在上，有1個(gè)實(shí)數(shù)根，所以時(shí)，方程，有2個(gè)實(shí)數(shù)根.綜上所述：當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根.21.已知集合A為非空數(shù)集.定義：.（1）若集合，直接寫出集合S，T；