福建省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，且，所以.故選：B.2.已知非零向量滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)非零向量夾角為，向量在向量方向上的投影向量是，則，又，解得．故選：C.3.展開式中項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B.40 C. D.80【答案】A【解析】的通項(xiàng)是令則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為故選：A.4.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為3，且它們彼此的夾角都是，則對(duì)角線長為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖，由已知，，，∵，∴，∴，即，故選：A.5.若一個(gè)圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知圓錐的母線長，底面圓周長為，底面圓面積為，所以圓錐側(cè)面積為，故該圓錐表面積為.故選：C6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，，則，，.故選：D7.把液體A放在冷空氣中冷卻，如果液體A原來的溫度是℃，空氣的溫度是℃，則tmin后液體A的溫度℃可由公式求得.現(xiàn)把溫度是60℃的液體A放在13℃的空氣中冷卻，液體A的溫度冷卻到37℃和25℃所用的時(shí)間分別為min，min，則的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.2.3 B.2.7 C.3.7 D.4.7【答案】A【解析】由已知，，所以，，所以.故選：A8.對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)的一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”.若函數(shù)的圖象存在“隱對(duì)稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由隱對(duì)稱點(diǎn)的定義可知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，所以，所以，因?yàn)椋?，所以函?shù)的圖象存在“隱對(duì)稱點(diǎn)”等價(jià)于與在上有交點(diǎn)，即方程有零點(diǎn)，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，所以.故選：.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個(gè)選項(xiàng)是符合題意的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的不得分.）9.若復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部是B.的共軛復(fù)數(shù)是C.的模是D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，這里，，所以的虛部是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以的共軛?fù)數(shù)，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于，則，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，先計(jì)算.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，這個(gè)點(diǎn)在第四象限，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A.若為銳角三角形，則B.若，，則是等邊三角形C.若，則是等腰三角形D.若為鈍角三角形，且，，，則的面積為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，若為銳角三角形，則，所以，所以即，故A正確；對(duì)于B，若，，則，所以，所以，所以，所以即，所以，即是等邊三角形，故B正確；對(duì)于C，由余弦定理可得，若，則，即是等腰三角形，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉殁g角三角形，且，，，所以，所以由余弦定理得即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，故A為鈍角，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，故B為鈍角，滿足題意，的面積為或.故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)上方），且，延長，分別交橢圓于點(diǎn)，，連接交軸于點(diǎn)，若的面積是的面積的3倍，則下列說法正確的有（

）A.橢圓的離心率為 B.的周長為C. D.直線的斜率是直線的斜率的倍【答案】ACD【解析】如圖，因的面積是的面積的3倍，則，不妨設(shè)，則，，在中，由余弦定理，，解得或（舍去）故，，，，則由，可得為等腰直角三角形，則，，于是橢圓方程為.對(duì)于A，由上知，橢圓的離心率為，故A正確；對(duì)于B，的周長為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意，，則直線代入，整理得，解得，代入，得，又直線，即代入，整理得，由解得，代入，即得，又直線，代入，整理得，解得，代入，即得,故直線，即，令，解得，故，C正確；對(duì)于D，由C已得，而,故直線的斜率是直線的斜率的倍，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.某校四個(gè)植樹小隊(duì)，在植樹節(jié)這天種下柏樹的棵數(shù)分別為，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，那么_____.【答案】或【解析】當(dāng)時(shí)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，得到，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，當(dāng)時(shí)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，得到，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，與范圍不符，故排除當(dāng)時(shí)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，得到，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，和均符合題意.故答案為：或.13.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_____________.【答案】【解析】令，可得：，結(jié)合，令，可得，得，解得，再令，可得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：.14.在四面體中，，，，若四面體的體積最大時(shí)，則四面體的外接球的表面積為__________．【答案】【解析】如圖，作的中點(diǎn),連接，因?yàn)?，，所以該三棱錐以為底，點(diǎn)到底面的距離為高，因?yàn)?，要使體積最大，則高最大為，此時(shí)平面，故,平面平面設(shè)則底面積由余弦定理可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，此時(shí)，所以當(dāng)四面體底面為等邊三角形，,平面平面時(shí)，四面體體積最大，此時(shí)底面的外接圓圓心為，連接由正弦定理可知，顯然所以所以所以故點(diǎn)為該三棱錐外接球球心，外接球半徑所以外接球表面積為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.）15.已知數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：（1）因?yàn)椋?，又，所以，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，?因此，易知為等比數(shù)列；所以，（2）由（1）知，.，16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，點(diǎn)、為分別為、的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)、E分別為、的中點(diǎn)，所以是的中位線所以且，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面．?）解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，可得，且，又因?yàn)?，且，所以，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得，則，設(shè)是平面的法向量，則，取，可得，所以，設(shè)是平面的法向量，則，取，可得，所以；設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．17.某中學(xué)舉辦“數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”，初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)班級(jí)派出兩個(gè)小組，且每個(gè)小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格.高三（6）班派出甲?乙兩個(gè)小組參賽，在初賽中，若甲?乙兩組通過第一輪比賽的概率分別是，通過第二輪比賽的概率分別是，且各個(gè)小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.（1）若高三（6）班獲得決賽資格的小組個(gè)數(shù)為，求的分布列；（2）已知甲?乙兩個(gè)小組在決賽中相遇，決賽以三道搶答題形式進(jìn)行，搶到并答對(duì)一題得100分，答錯(cuò)一題扣100分，得分高的獲勝.假設(shè)這兩組在決賽中對(duì)每個(gè)問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，且甲?乙兩個(gè)小組搶到該題的可能性分別是，假設(shè)每道題搶與答的結(jié)果均互不影響，求乙已在第一道題中得100分的情況下甲獲勝的概率.解：（1）設(shè)甲?乙通過兩輪制的初賽分別為事件，則，由題意可得，X的取值有，，，，分布列如下：012（2）依題意甲?乙搶到并答對(duì)一題的概率分別為，，乙已得100分，甲若想獲勝情況有：甲得200分：其概率為；②甲得100分，乙再得分，其概率為；③甲得0分，乙再得分，其概率；故乙先得100分后甲獲勝的概率為.18.已知為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)作一條直線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，且直線MF的斜率為的面積為1.（1）求拋物線的方程；（2）試問在上是否存在定點(diǎn)，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）過焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，求證：直線AP與BQ的交點(diǎn)在一條定直線上.（1）解：由題意得，直線方程為：，令，則，故，于是，解得（負(fù)值舍去），故拋物線方程為.（2）解：設(shè)的方程為，，，由題意得，，即，可得，通分可得，聯(lián)立和拋物線，得到，，由，代入可得，整理可得，解得或，故，滿足題意.（3）證明：由題意，，則直線，直線，兩直線方程相減得到：，由（2）知，，于是，即，即，即，于是，解得，即直線AP與BQ的交點(diǎn)在一條定直線上19.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域都為R，設(shè)直線：是曲線的任意一條切線，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，則稱函數(shù)滿足“性質(zhì)”.（1）判斷是否滿足“性質(zhì)”，并說明理由；（2）若f'x是單調(diào)增函數(shù)，證明：滿足“性質(zhì)”；（3）若函數(shù)滿足“性質(zhì)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）解：滿足“性質(zhì)”，理由如下：因?yàn)?，設(shè)曲線的一條切線，其切點(diǎn)為，則直線的方程為：，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，由的任意性可知，滿足“性質(zhì)”.（2）證明：設(shè)直線是曲線y=fx的任意一條切線，切點(diǎn)為則直線方程為：，設(shè)，則，因?yàn)閒'則當(dāng)時(shí)，，遞減，；當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，，遞增，即對(duì)任意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).由的任意性可知，函數(shù)滿足“性質(zhì)”.（3）解：①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，設(shè)，因?yàn)?，所以hx在R上單調(diào)遞增，即在R上單調(diào)遞增，由（2）可知，函數(shù)滿足“性質(zhì)”.②下證當(dāng)時(shí)，函數(shù)不滿足“性質(zhì)”.方法一：設(shè)直線與曲線y=gx切于點(diǎn)則直線的方程為：，設(shè)，根據(jù)“性質(zhì)”的定義，要證不滿足“性質(zhì)”，只要證存在，使得.因?yàn)?，設(shè)，則，設(shè)，則遞