福建省福州市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期元月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期元月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的.）1.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C.2.已知集合，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由題意可得，解得．故選：B.3.已知向量，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，解得．故選：A4.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，解得或，所以由可以得到，反之則不然，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知圓臺的母線長為，高為，體積為，則圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【解析】如下圖所示，設(shè)圓臺上底面半徑為，下底面半徑為，則，設(shè)為圓臺的一條母線，連接、，則四邊形為直角梯形，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，根據(jù)題意，，，，，因?yàn)椋?，，則四邊形為矩形，所以，，，則，由勾股定理可得，即，可得，①又因?yàn)閳A臺的體積為，可得，②所以，，解得，所以，圓臺的側(cè)面積為.故選：C.6.已知函數(shù)的圖像向左平移后所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，所以，又，所以，解得，因?yàn)?，所以時(shí)，取得最小值，最小值為8.故選：D7.為豐富學(xué)生的校園文化生活，哈爾濱市第九中學(xué)每年冬天都會在操場上澆筑滑冰場，現(xiàn)欲測量操場兩側(cè)C，D兩點(diǎn)之間的距離，甲同學(xué)選定了與C，D不共線的兩處觀測點(diǎn)，如圖所示，并知，設(shè)，以下是測量數(shù)據(jù)的不同方案：①測量；②測量；③測量；④測量．若甲同學(xué)選擇的方案能唯一確定C，D兩點(diǎn)之間的距離，則這樣方案的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】因?yàn)?，即唯一確定對于①：已知，由三角形全等可知是唯一確定的，則唯一確定，若已知，則唯一確定，且已知，由三角形全等可知是唯一確定的，即唯一確定，符合題意；對于②：由①可知：唯一確定，若已知，由三角形全等可知是唯一確定的，則唯一確定，由三角形全等可知是唯一確定的，即唯一確定，符合題意；對于③：由①可知：是唯一確定的，則唯一確定，因?yàn)楹臀ㄒ淮_定，可知點(diǎn)在以線段為弦的圓上，又因?yàn)楹臀ㄒ淮_定，可知點(diǎn)在以線段為弦的圓上，若圓與圓可能重合，此時(shí)不唯一確定，不合題意；對于④：由①③可知：是唯一確定的，點(diǎn)在以線段為弦的圓上，如圖所示：雖然確定，但直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)，所以不唯一確定，不合題意；綜上所述：符合題意的方案的有2個(gè).故選：B.8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?因?yàn)椋?，即，又，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即.故選:A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個(gè)選項(xiàng)是符合題意的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的不得分.）9.在中，角所對的邊分別為，若，且，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.B.的面積為C.的周長為D.外接圓半徑為【答案】BC【解析】，，可得，可得外接圓半徑，故D錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)時(shí)，即，所以，，可得；當(dāng)時(shí)，即，由正弦定理得；故A不一定成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，所以，，所以的周長為：，的面積為：；當(dāng)時(shí)，，，，解得，，所以的周長為：，的面積為：；故BC一定成立.故選：BC.10.已知角滿足，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，故B正確；由，，兩式相除可得，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD11.法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過圓上的動點(diǎn)作橢圓的兩條切線，交圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的離心率為B.若點(diǎn)在橢圓上，將直線斜率分別記為，則C.點(diǎn)到橢圓的左焦點(diǎn)的距離的最小值為D.面積的最大值為【答案】BCD【解析】對于A，依題意，過橢圓的上頂點(diǎn)作軸的垂線，過橢圓的右頂點(diǎn)作軸的垂線，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)都在圓上，且，所以為圓的直徑，則，所以面積的最大值為，故D正確；對于C，設(shè)，橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?，所以，又，所以，所以則到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為，故C正確；對于B，由直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，則，又，所以，所以，所以，故B正確；故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，各項(xiàng)系數(shù)和為729，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】240或3840【解析】由于的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，即，解得n＝6．又由于展開式系數(shù)和為729，令得，即，解得或-4，的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故答案為：240或384013.若動直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長為__________．【答案】【解析】直線，則，令，解得，所以動直線恒過點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑，所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)直線時(shí)直線與圓相交的弦長最短，最短弦長為.故答案為：14.已知在斜二測畫法下的直觀圖(其中A與對應(yīng)，B與對應(yīng))為下圖所示的，其中，，則的面積為______；以該為底面的三棱錐中，，，則三棱錐的外接球半徑為______.【答案】①.②.【解析】由斜二測畫法原理可知中，，邊上的高，所以；由勾股定理得，故為等邊三角形，由得是邊長為2的等邊三角形.設(shè)D，E分別為，的外心，的中點(diǎn)為F，連接，，過點(diǎn)D，E分別作平面、平面的垂線，設(shè)兩垂線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為該三棱錐外接球的球心，連接，，則為外接球的半徑，依題意，且，，由余弦定理得，所以，由E為的外心，所以，，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，所以，即外接球的半?故答案為：，四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.）15.良好的用眼習(xí)慣能夠從多方面保護(hù)眼睛的健康，降低近視發(fā)生的可能性，對于保護(hù)青少年的視力具有不可替代的重要作用．某班班主任為了讓本班學(xué)生能夠掌握良好的用眼習(xí)慣，開展了“愛眼護(hù)眼”有獎知識競賽活動，班主任將競賽題目分為兩組，規(guī)定每名學(xué)生從兩組題目中各隨機(jī)抽取2道題作答．已知該班學(xué)生甲答對組題的概率均為，答對組題的概率均為．假設(shè)學(xué)生甲每道題是否答對相互獨(dú)立．（1）求學(xué)生甲恰好答對3道題的概率；（2）設(shè)學(xué)生甲共答對了道題，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）學(xué)生甲恰好答對3道題有以下兩種情況：第一種情況是學(xué)生甲答對組的2道題和組的1道題，其概率；第二種情況是學(xué)生甲答對組的l道題和組的2道題，其概率．故學(xué)生甲恰好答對3道題的概率．（2）由題意可知的所有可能取值為．，，，，由（1）可知，則的分布列為01234故．16.已知是雙曲線的一條漸近線，點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）已知直線的斜率存在且不經(jīng)過原點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)在直線上.若，的面積為，求的方程.解：（1）由題可得，所以的方程為.（2）設(shè)，由得，由題意得，設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所以.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線上，所以，即，因?yàn)?，所以故的方程為，且，又點(diǎn)到的距離，所以，解得，所以的方程為.17.三棱臺中，，平面平面ABC，，與交于D．（1）證明：平面；（2）求異面直線與DE的距離．（1）證明：三棱臺中，，則，有，得，所以，又，所以在平面內(nèi)，，有，平面平面，所以平面．（2）解：已知平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面，由平面，得，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，由平面ABC，得.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．則有，，因?yàn)?，所以，設(shè)向量，且滿足：，則有，令，在的投影數(shù)量為，異面直線與DE的距離.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）.（i）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（ii）若在上恒成立，求的取值范圍.解：（1），若，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則，而，若在上恒成立，故同理可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）（i）,當(dāng)時(shí)，，則，其中，因在0,+∞上增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；故.（ii），設(shè)，則，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，故在為增函數(shù)，故，若，則即在上恒成立，故即在上為增函數(shù)，故，故在上為增函數(shù)，故恒成立.若，，而，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)，故時(shí)，，故在為減函數(shù)，故時(shí)，，這與題設(shè)矛盾，綜上，.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．定義：若存在，使得對任意的，恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．（1）若，且為“2數(shù)列”，求．（2）若，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)的平方和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，求的值和的通項(xiàng)公式．（3）若，，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)和為，證明：．（1）解：由，且為“2數(shù)列”，得，即，則，，，．（2）解：設(shè)