福建省南平市某校2025屆高三上學(xué)期第二次段考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市某校2025屆高三上學(xué)期第二次段考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，因此?故選：B.2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，解得：.故選：D.3.某班有5名男同學(xué)，4名女同學(xué)報(bào)名參加辯論賽，現(xiàn)從中選取4名同學(xué)組成一個(gè)辯論隊(duì)，要求辯論隊(duì)不能全是男同學(xué)也不能全是女同學(xué)，則滿足要求的辯論隊(duì)數(shù)量是（）A.120 B.126 C.210 D.420【答案】A【解析】若總的辯論隊(duì)數(shù)量是，則全是男生的辯論隊(duì)數(shù)量是，全是女生的辯論隊(duì)數(shù)量是，故滿足的辯論隊(duì)數(shù)量是，故選：A．4.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信通帶寬?信道內(nèi)信號的平均功率?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，帶寬在原來的基礎(chǔ)上增加20%，信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（）（附：）A.22% B.33% C.44% D.55%【答案】C【解析】由題意可知：大約增加了，故選：C5.在△中，內(nèi)角的對邊分別為，已知向量共線，則△的形狀為（）A.等邊三角形 B.鈍角三角形C.有一個(gè)內(nèi)角是的直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，共線，則，由正弦定理可得：，則，因?yàn)?，則，可知，，，均不為，可得，則，即；同理由向量，共線可得：；綜上所述：.所以形狀為等邊三角形.故選：A6.定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且成立，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闀r(shí)，，所以可化為，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以，即，所?故選：B.7.函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，故，所以，故，由可得，又，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故，而，故在上的取值范圍為，即的取值范圍為.故選：D.8.已知向量，且，則與夾角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知向量，a→·即,即，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，則，，，又，則，即N的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，由圖可知，當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)，則的最大值為，即與夾角的最大值為.故選：二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知點(diǎn)是的中線上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）且，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.的最小值是【答案】ACD【解析】由題知，設(shè)，則，因?yàn)椋?，則，且，A正確，B不正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，C正確；又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，D正確.故選：ACD10.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.，在上單調(diào)遞增B.若且，則C.若在上有且僅有個(gè)不同的解，則的取值范圍為D.存在，使得的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以，，在上單調(diào)遞增，A對；對于B選項(xiàng)，若，則函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)?，則，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，若在上有且僅有個(gè)不同的解，且當(dāng)時(shí)，，由可得，則，解得，所以，的取值范圍為，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)椋瑢⒑瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，可得，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，合乎題意，D對.故選：ACD.11.已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的取值范圍是 B.C. D.【答案】BCD【解析】令，令，由題可知，，，令，得，顯然，當(dāng)x∈0,1時(shí)，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，，所以單調(diào)遞増；，得示意圖所以都符合題意，故A錯(cuò)誤；由示意圖可知，顯然，當(dāng)且時(shí)，易知取兩個(gè)互為倒數(shù)的數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等，因?yàn)椋曰榈箶?shù)，即，故B正確；，等且僅當(dāng)時(shí)等號成立，因?yàn)?，所以，故C正確；因?yàn)?，要證，即證，因?yàn)?，所以，即證，我們分別證明，，證明：因?yàn)?，所以，證明：要證，即證，不妨設(shè)，得，顯然，當(dāng)時(shí)，h'x<0，此時(shí)當(dāng)時(shí)，h'x>0，此時(shí)故，故，即，所以證得，即證得，即得，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】在方向上的投影向量為，故答案為：.13.若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則__________，該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_________．【答案】①.②.【解析】令，則展開式各項(xiàng)系數(shù)和為，解得：；展開式通項(xiàng)為，令，解得：，此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為；令，解得：，此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為；展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：；.14.對于函數(shù)，若對任意的，存在唯一的使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】函數(shù)，求導(dǎo)，令，求導(dǎo)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，即；在上單調(diào)遞增，此時(shí)，即，由對任意的，存在唯一的使得，得是的子集，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，其中，若函數(shù)的最小正周期為．（1）求的值，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到的圖象，若，求滿足的的取值集合．（1）解：由題意，所以，解得，所以，令，所以所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）解：將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得，再將得到圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得，即，由，得或，所以或，故的取值集合．16.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在處取得極大值，求的極值及單調(diào)區(qū)間；（2）若，不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1），定義域?yàn)?,+∞，則，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值，所以，解得或2，當(dāng)時(shí)，，令得或，令得，故在上單調(diào)遞增，在12,1上單調(diào)遞減，此時(shí)為極小值點(diǎn)，不合要求，當(dāng)時(shí)，，令得或，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)為極大值點(diǎn)，滿足要求，綜上，，有極大值，極小值，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），定義域?yàn)?,+∞，則，因?yàn)?，所以，令?x>0得，令φ'故φx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，令得，，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.17.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.（1）求角的大小；（2）若為銳角三角形且，求面積的取值范圍.解：（1）由正弦定理得，，所以，即，化簡得：，即，又，所以.（2）由正弦定理得：，所以，，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，所以，所以，所以.18.為研究“眼睛近視是否與長時(shí)間看電子產(chǎn)品有關(guān)”的問題，對某班同學(xué)的近視情況和看電子產(chǎn)品的時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的列聯(lián)表：近視情況每天看電子產(chǎn)品的時(shí)間合計(jì)超過一小時(shí)一小時(shí)內(nèi)近視10人5人15人不近視10人25人35人合計(jì)20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷眼睛近視是否與長時(shí)間看電子產(chǎn)品有關(guān)；（2）在該班近視的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過一小時(shí)的概率是多少？（3）以頻率估計(jì)概率，在該班所在學(xué)校隨機(jī)抽取2人，記其中近視的人數(shù)為X，每天看電子產(chǎn)品超過一小時(shí)的人數(shù)為Y，求的值．解：（1）零假設(shè)為：學(xué)生眼睛近視與長時(shí)間使用電子產(chǎn)品無關(guān)．計(jì)算可得，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為眼睛近視與長時(shí)間使用電子產(chǎn)品有關(guān)．（2）每天看電子產(chǎn)品超過一小時(shí)的人數(shù)為，則，所以在該班近視的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過一小時(shí)的概率是．（3）依題意，，，事件包含兩種情況：①其中一人每天看電子產(chǎn)品超過一小時(shí)且近視，另一人既不近視，每天看電子產(chǎn)品也沒超過一小時(shí)；②其中一人每天看電子產(chǎn)品超過一小時(shí)且不近視，另一人近視且每天看電子產(chǎn)品沒超過一小時(shí)，于是，所以．19.已知函數(shù)．（1）若，求的圖象在處的切線方程；（2）若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)．①求的取值范圍；②證明