福建省廈門市多校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省廈門市多校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】觀察數(shù)字規(guī)律可知：每項(xiàng)的符號(hào)是交替出現(xiàn)，故有，除去符號(hào)則為一個(gè)以為公比，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以通項(xiàng)公式為：，故整個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為：，故選：B.2.在等差數(shù)列中，，且，則等于（）A.－3 B.－2 C.0 D.1【答案】A【解析】根據(jù)題意,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,首項(xiàng)為a1，若,則有+4d=9，又由,則2(+2d)=(+d)+6，解可得d=3,=?3；故選A.3.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，所以，則，則，即.故選：A.4.如圖，正四棱錐中，為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影，為側(cè)棱的中點(diǎn)，且，則直線與平面的夾角是（）A.45° B.90° C.30° D.60°【答案】C【解析】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，以為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，則A（0，﹣a，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0），S（0，0，a），P（，0，），則（0，﹣2a，0），（，a，），（﹣a，﹣a，0），設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，，∴，可?。?，0，1），設(shè)直線與平面的夾角為，則，由，，故選：C5.若雙曲線的漸近線與已知圓相切，則（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑r=1，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）.所以故選：A.6.若拋物線過焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成長(zhǎng)為m和n兩部分，則m與n的關(guān)系式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令過焦點(diǎn)的弦為，與拋物線交點(diǎn)分別為A、B，聯(lián)立拋物線整理得：，則，，故，，若，，所以，，故.故選：C7.過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)(異于坐標(biāo)原點(diǎn)),若，則該直線的方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線的方程為聯(lián)立整理化簡(jiǎn)可得：，，也即（*）因?yàn)椋?，則，或滿足（*）但是當(dāng)直線方程為時(shí)，與拋物線的交點(diǎn)其中一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，不滿足，故舍去．

∴，該直線的方程為即，

故選：.8.在一個(gè)數(shù)列中，如果，都有（為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列,且，，公積為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，則對(duì)任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.如圖，在正方體中，分別是中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（）A.與垂直 B.與平面C.與所成的角為 D.平面【答案】ABD【解析】對(duì)A：連接，，則交于，又為中點(diǎn)，可得，由平面，平面，可得，故，故A正確；對(duì)B：連接，，由正方體性質(zhì)可知平面，可得平面，故B正確；對(duì)C：與所成角就是，連接，由正方體性質(zhì)可知，即為等邊三角形，故，即與所成的角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，平面，平面，故平面，故D正確．故選：ABD．10.下列說法正確的是（）A.過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為B.過點(diǎn)且在x、y軸截距相等的直線方程為C.曲線過點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為；D.直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】AC【解析】A：與直線垂直的直線斜率為，故所求直線為，即，對(duì)；B：若截距不為0時(shí)，令直線為，則，此時(shí)直線方程為，錯(cuò)；C：由，是焦點(diǎn)為的拋物線，故過點(diǎn)的最短弦為通徑，長(zhǎng)度為，對(duì)；D：由過定點(diǎn)，圓上半部分，如下圖，當(dāng)動(dòng)直線與半圓的左上方相切時(shí)，有，即，得，當(dāng)動(dòng)直線過半圓左側(cè)端點(diǎn)時(shí)，即，結(jié)合圖知，，D錯(cuò).故選：AC11.若數(shù)列滿足，則稱為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是“平方遞推數(shù)列” D.是“平方遞推數(shù)列”【答案】BC【解析】對(duì)A，因?yàn)槭恰捌椒竭f推數(shù)列”，所以.又，所以，則，所以不是等差數(shù)列，A不正確.對(duì)B，因?yàn)?，所以是等比?shù)列，B正確.對(duì)C，因?yàn)?，所以以是“平方遞推數(shù)列”，C正確.對(duì)D，因?yàn)?，所以不是“平方遞推數(shù)列”，D不正確.故選：BC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則=___________．【答案】8【解析】=故答案為813.已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線在第一象限與雙曲線相交于點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，且，，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】因?yàn)榍?，可設(shè)，則，由雙曲線的定義，可得，所以，所以，，，分別在和中，可得，整理得：，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.14.已知為正方體外接球的球心，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為___________.【答案】【解析】如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則所以設(shè)異面直線與所成角為，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖所示，三個(gè)正方形的邊AB、BC、CD的長(zhǎng)組成等差數(shù)列，且AD＝21cm，這三個(gè)正方形的面積之和是179cm2.（1）求AB、BC、CD的長(zhǎng)；（2）以AB、BC、CD的長(zhǎng)為等差數(shù)列的前三項(xiàng)，以第10項(xiàng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積是多少？解：（1）設(shè)公差為，，則，.由題意得，解得或(舍去)．所以，，．（2）正方形的邊長(zhǎng)組成首項(xiàng)是，公差是的等差數(shù)列，所以，所求正方形的面積為.16.已知橢圓，焦距為2，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的左焦點(diǎn)為，橢圓上A點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)及的面積.解：（1）由題意得，解得，故，故橢圓方程為；（2）由題意得F1橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，將代入中得，，不妨設(shè)，顯然⊥軸，故.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，平面平面ABCD.（1）求證：；（2）直線PB與平面APD所成角的正弦值；（3）求平面APD與平面PCD夾角的余弦值.解：（1）如圖，取CD的中點(diǎn)，連接OP，，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，在菱形ABCD中，，則為等邊三角形，所以，又，，平面OPB，所以平面OPB，又平面OPB，所以；（2）由（1）得，，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面PCD，所以平面ABCD，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因，則，，，設(shè)平面PAD的法向量為，則有，令，則，，所以，所以PB與平面APD所成角的正弦值為；（3）因?yàn)檩S平面PCD，所以可取平面PCD的法向量為，由（2）得平面PAD的法向量為，則，所以平面APD與平面PCD夾角的余弦值為.18.等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為，，其中成等比數(shù)列，且數(shù)列{an}（1）求數(shù)列通項(xiàng)；（2）設(shè)，的前項(xiàng)和記為，求證：.解：（1）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得或（舍去），所