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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西2025屆高三上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】由,則.故選:C2.復(fù)數(shù)的實(shí)部為()A. B. C. D.【答案】C【解析】,故實(shí)部為故選:C3.若非零向量,滿足,且,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】,,即,又,.故選:D.4.已知,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】,,,.故選:A.5.如圖,一個(gè)圓臺(tái)形狀的杯子的杯底厚度為1cm,杯內(nèi)的底部半徑為3cm,當(dāng)杯子盛滿水時(shí),杯子上端的水面直徑為12cm,且杯子的容積為,則該杯子的高度為()A.12cm B.13cm C.14cm D.15cm【答案】B【解析】當(dāng)杯子盛滿水時(shí),該杯子中水的高度為cm,則杯子的容積為,可得,所以該杯子的高度為cm.故選:B6.已知函數(shù),,,,則()A. B.C. D.【答案】D【解析】由,則,而,所以,又,顯然上,即在上遞減,所以.故選:D7.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象,若曲線關(guān)于直線對(duì)稱,則的最小正周期的最大值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù),函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以,得所以的最小值是4,則的最小正周期的最大值為.故選:A8.已知函數(shù),若函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3或4,則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即為的交點(diǎn)個(gè)數(shù),畫出與的大致圖像,結(jié)合圖像可知:當(dāng)?shù)慕稽c(diǎn)個(gè)數(shù)為3或4時(shí),的取值范圍是,故選:D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn),若點(diǎn)在圓:上,則()A.點(diǎn)在直線上 B.點(diǎn)可能在圓上C.的最小值為1 D.圓上至少有2個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)的距離為1【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A:點(diǎn),代入直線得,故點(diǎn)在直線上,A正確對(duì)于選項(xiàng)B:圓心到直線的距離為,故直線與圓相離,結(jié)合選項(xiàng)A可知,點(diǎn)不可能在圓上,故B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C:結(jié)合選項(xiàng)B可知,,故C正確對(duì)于選項(xiàng)D:由選項(xiàng)C可知圓上只有1個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)的距離為1,故D錯(cuò)誤.故選:AC10.下列命題是真命題的是()A.若隨機(jī)變量,則B.若隨機(jī)變量,則C.數(shù)據(jù),,,,與數(shù)據(jù),,,,的中位數(shù)可能相等D.數(shù)據(jù),,,,與數(shù)據(jù),,,,的極差不可能相等【答案】ABC【解析】A:由二項(xiàng)分布的方差公式有,真命題;B:由題設(shè),隨機(jī)變量的分布曲線關(guān)于,根據(jù)對(duì)稱性知,真命題;若,,,,依次為,則,,,,依次為,顯然兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)都是3,極差都是4,C為真,D為假.故選:ABC11.已知函數(shù),則()A.為偶函數(shù)B.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為C.,D.不等式對(duì)恒成立【答案】ABD【解析】對(duì)于A,函數(shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又,故為偶函數(shù),A正確,對(duì)于B,,故,故在點(diǎn)處的切線斜率為,B正確,對(duì)于C,,當(dāng)時(shí),,則,故C錯(cuò)誤,對(duì)于D,令,則,令,得;令,得;所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以,故D正確,故選:ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若雙曲線:與雙曲線:的焦距相等,則的離心率為______.【答案】2【解析】由題設(shè),可得,則,所以,即離心率為2.故答案為:213.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,,則______.【答案】【解析】由正弦邊角關(guān)系,可得,又,,所以.故答案為:14.數(shù)學(xué)中有時(shí)會(huì)采用十進(jìn)制以外的進(jìn)制進(jìn)行計(jì)數(shù),比如二進(jìn)制,五進(jìn)制.五進(jìn)制是“逢五進(jìn)一”的進(jìn)制,由數(shù)字0,1,2,3,4來表示數(shù)值,例如五進(jìn)制數(shù)324轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)為.若由數(shù)字1,2,3,4組成的五位五進(jìn)制數(shù),要求1,2,3,4每個(gè)數(shù)字都要出現(xiàn),例如12334,則不同的五位五進(jìn)制數(shù)共有______個(gè).若從由數(shù)字2,3,4(可重復(fù))組成的三位五進(jìn)制數(shù)中隨機(jī)取1個(gè),則該數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)能被3整除的概率為______.【答案】①.240②.【解析】由數(shù)字組成的五位五進(jìn)制數(shù),要求每個(gè)數(shù)字都要出現(xiàn),則需要先從中選取一個(gè)數(shù)字作為重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字,再將不重復(fù)出現(xiàn)的3個(gè)數(shù)字從五個(gè)位置中選3個(gè)進(jìn)行排列,最后剩余兩個(gè)位置排重復(fù)數(shù)字,故所求不同的五位五進(jìn)制數(shù)共有個(gè),數(shù)字組成的三位五進(jìn)制數(shù)總共有個(gè),設(shè)這個(gè)三位五進(jìn)制數(shù)從左到右的數(shù)字分別為,轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)后此數(shù)為,此數(shù)能被3整除等價(jià)于能被3整除,因?yàn)椋阅鼙?整除的只有三種情況,若,則的取值有、兩種,若,則的取值有、、、、五種,若,則的取值有、兩種,故能被3整除的數(shù)共有個(gè),則所求概率為.故答案為:240,四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.某企業(yè)有甲,乙兩條生產(chǎn)線,每條生產(chǎn)線都有,,三個(gè)流程,為了比較這兩條生產(chǎn)線的優(yōu)劣,經(jīng)過長期調(diào)查,可知甲生產(chǎn)線的,,三個(gè)流程的優(yōu)秀率分別為0.9,0.9,0.8,乙生產(chǎn)線的,,三個(gè)流程的優(yōu)秀率分別為0.8,0.85,0.92.已知每個(gè)流程是否優(yōu)秀相互獨(dú)立.(1)求甲生產(chǎn)線的三個(gè)流程中至少有一個(gè)優(yōu)秀的概率.(2)為了評(píng)估這兩條生產(chǎn)線哪個(gè)更優(yōu)秀,該企業(yè)對(duì),,三個(gè)流程進(jìn)行賦分.當(dāng)流程優(yōu)秀時(shí),賦30分,當(dāng)流程不優(yōu)秀時(shí),賦0分;當(dāng)流程優(yōu)秀時(shí),賦40分,當(dāng)流程不優(yōu)秀時(shí),賦0分;當(dāng)流程優(yōu)秀時(shí),賦50分,當(dāng)流程不優(yōu)秀時(shí),賦0分.記甲生產(chǎn)線的,,流程的賦分分別為,,,乙生產(chǎn)線的,,流程的賦分分別為,,,計(jì)算與,并據(jù)此判斷甲、乙哪條生產(chǎn)線更優(yōu)秀.解:(1)設(shè)甲生產(chǎn)線的流程優(yōu)秀分別記為事件,甲生產(chǎn)線的三個(gè)流程中至少有一個(gè)優(yōu)秀為事件,則,所以.(2)由題設(shè),易知;;由,即乙生產(chǎn)線更優(yōu)秀16.已知拋物線:的焦點(diǎn)為橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn),且的短軸長為4.(1)求的方程;(2)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于,兩點(diǎn),線段AB的中垂線與軸交于點(diǎn),求的面積.解:(1)由拋物線:的焦點(diǎn),所以,即,又的短軸長為,所以,則,故;(2)依題意有,聯(lián)立,整理得,設(shè),,顯然,則,,所以,設(shè)線段的中點(diǎn)為,則,,故線段的中垂線為,令有,故,所以到直線的距離為,所以的面積.17.如圖,在四棱錐中,底面ABCD是菱形,,PD,BC的中點(diǎn)分別為,,,,且平面平面ABCD.(1)證明:平面PAF.(2)若直線PB與平面PAF所成角的正弦值為,求棱PB的長.(1)證明:取的中點(diǎn),連接,則且,由底面為菱形,為的中點(diǎn),則且,所以且,即四邊形為平行四邊形,所以,由面,面,故平面PAF.(2)解:取的中點(diǎn),連接,又,所以,因?yàn)槊婷鍭BCD,面面ABCD,面,所以面ABCD,由底面為菱形,,則為正三角形,所以,以為原點(diǎn),所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,所以,,,令面的一個(gè)法向量為,則,令,則,設(shè)直線與平面的夾角為,則,可得或,故或.18.設(shè)函數(shù).(1)證明:曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(2)已知為增函數(shù).①求的取值范圍.②證明:函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn).③若不等式對(duì)恒成立,求的取值范圍.(1)證明:因?yàn)?,所以曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(2)①解:因?yàn)樵龊瘮?shù),所以恒成立,即恒成立,因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,則的最大值為,所以,即的取值范圍是.②證明:因?yàn)椋詾樵龊瘮?shù),又,,而,,,所以在上存在唯一的零點(diǎn),當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn).③解:由(1)知,曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以為奇函數(shù),由,,得,則,即,因?yàn)闉樵龊瘮?shù),所以為增函數(shù),則,即,,設(shè)函數(shù),則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,所以的取值范圍為.19.定義:若存在,,使得數(shù)列(,均為常數(shù))是公差為的等差數(shù)列,則稱是和比等差數(shù)列,也稱是和比等差數(shù)列,且稱為該和比等差數(shù)列的系數(shù).(1)若數(shù)列是和比等差數(shù)列,且,求的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.①試問是否為和比等差數(shù)列?若是,求該和比等差數(shù)列的系數(shù);若不是,請(qǐng)說明理由.②證明:.(1)解:
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