河北省省級聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省省級聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題.，故.故選：B2.在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】A【解析】根據(jù)題意，的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以的二項(xiàng)展開式中，含的項(xiàng)為，所以系數(shù)為5.故選：A．3.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，若，則（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列前n項(xiàng)積為，則，所以.故選：B．4.已知圓被直線所截，則截得的弦長為（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】根據(jù)題意，圓，可變形為，所以圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，所以弦長為.故選：D．5.設(shè)函數(shù)，已知，，且的最小值為，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，在正弦函數(shù)中，，，則的最小值為，又，因?yàn)楹瘮?shù)，已知，，且的最小值為，所以，所以函數(shù)的最小正周期為，所以，解得.故選：C．6.已知某一指數(shù)（其中數(shù)據(jù)M為常數(shù)，且）可以用來檢測某一特殊海域的水質(zhì)情況，其中指數(shù)d的值越大，水質(zhì)越好．若數(shù)據(jù)N由變化為，對應(yīng)的指數(shù)d由2.15提高到3.225，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，，，兩式相除可得，，所以，可得，故選:D．7.已知四棱錐中，底面為邊長為2的正方形，，，則直線到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，如圖，因?yàn)?，，則，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因?yàn)榈酌鏋檫呴L為2的正方形，則，平面，平面，所以平面，則直線到平面的距離為點(diǎn)N到平面的距離，即點(diǎn)N到直線的距離，又，，，在中，，則，所以點(diǎn)N到直線的距離為.故選：A．8.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，所以，令，則，所以為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，由，可得，所以，由，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，由可得，，即，解得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)z，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則z的虛部為C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，對于選項(xiàng)A，設(shè)，由于，所以，則復(fù)數(shù)不確定，故選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B，設(shè)，由于，可得，則，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，設(shè)，由于，所以，則，所以，，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)，由于，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的集合為以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓，即單位圓，因?yàn)楸硎締挝粓A上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，所以的最小值為，最大值為，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD．10.已知正數(shù)a，b滿足，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】對于選項(xiàng)A，由于正數(shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，由于正數(shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，故選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C，由于正數(shù)a，b滿足，所以，，可得，，并且，所以，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，由于正數(shù)a，b滿足，所以，，可得，，并且，所以，所以當(dāng)，所以，故選項(xiàng)D不正確，故選：AC.11.已知拋物線C：，直線l：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；若，兩點(diǎn)在拋物線C上，則下列說法正確的是（）A.B.拋物線C的準(zhǔn)線方程為C.若直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，則D.若直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，則的最小值為【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，是拋物線C：上的兩點(diǎn)，所以則，整理得，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，不合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，故選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B，可得拋物線C的方程為，故拋物線C的準(zhǔn)線方程為，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，可得拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)橹本€l的方程為，所以直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，聯(lián)立得，必有，設(shè)，，則，，，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知公差大于0的等差數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為______．【答案】8【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則．由可得，．又，則，故，又，則，所以，因此數(shù)列的前8項(xiàng)和．故答案為：8.13.在邊長為2的等邊三角形中，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在三角形所在的平面內(nèi)，且滿足，則的最大值為______．【答案】【解析】已知等邊三角形的邊長為2，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，如圖，建立直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點(diǎn)Px,y，則，則，又因?yàn)椋?，設(shè)，，則，所以的最大值為．故答案為：．14.最近全國各地的旅游十分火爆，某旅游公司根據(jù)市場調(diào)研的情況推出了A，B兩個(gè)旅游路線方案，通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，選擇方案A旅游路線與選擇方案B旅游路線的游客比為3:1，該公司為了激勵(lì)大家消費(fèi)，設(shè)立優(yōu)惠項(xiàng)目，即選擇方案A旅游路線優(yōu)惠200元，選擇方案B旅游路線優(yōu)惠100元（每位游客的選擇相互獨(dú)立），已知旅游公司的總優(yōu)惠金額恰為的概率為，，則的關(guān)系式為______．【答案】【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，累計(jì)優(yōu)惠金額恰為的概率為，累計(jì)優(yōu)惠金額恰為的概率為，累計(jì)優(yōu)惠金額恰為的概率為，優(yōu)惠金額恰為，則是優(yōu)惠金額恰為時(shí)再有一個(gè)人選擇方案或優(yōu)惠金額恰為再有一個(gè)人選擇方案，所以，設(shè)，令，則，即，解得或．①當(dāng)時(shí)，可得，所以為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，根據(jù)題意，，，，所以可得，，，…，，疊加可得，故，，也符合該式，故.②當(dāng)時(shí)，可得，所以，即，而，則為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，．綜上，，．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知角B為鈍角，，．（1）求角B；（2）若過B作BH垂直AC于點(diǎn)H，求BH的最大值．解：（1）由可得，，因?yàn)榻荁為鈍角，所以，所以，即，根據(jù)正弦定理可得，因?yàn)椋裕纸荁為鈍角，所以．（2）根據(jù)題意可知，，可得，根據(jù)余弦定理可得，，即，可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以BH的最大值為．16.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，點(diǎn)E在線段上，滿足，點(diǎn)F為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若平面，求直線與平面所成角正弦值；（3）在（2）的條件下，求平面與平面所成角的余弦值．（1）證明：取點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)F為的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，，又，則，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，又，平面平面，所以平面，所以直線與平面所成角為，設(shè)，則，因?yàn)?，又，所以，，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．（3）解：在（2）的條件下，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，過點(diǎn)A作平行于的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A0,0,0，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=則，即，令，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，所以，設(shè)平面與平面所成的角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為．17.已知點(diǎn)，分別為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足直線PA與直線PB的斜率之積為．（1）求橢圓C的離心率；（2）若，直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，且直線與直線相交于點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）由題知，，，設(shè)點(diǎn)Px1,y1又，即，所以，所以，所以，即，則，故橢圓C的離心率．（2）由（1）可得，又因?yàn)?，可得，所以，，，則橢圓C的方程為，則A-2,0，，設(shè)Qx2,y2直線的方程為：，聯(lián)立，兩式相除可得，即，設(shè)直線PQ：，所以，，代入可得，聯(lián)立，整理得，，所以，所以，即，所以，則，解得，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與重合，不滿足題意，所以點(diǎn)M不取，可得點(diǎn)M的軌跡為，所以的取值范圍為．18.已知函數(shù)，，．（1）若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，可得，令，上，，，所以在上的最小值為，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）當(dāng)，時(shí)，，可得，，設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，又，，所以，使得，在上,在上，所以f'x在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，，使得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，由得，，又因?yàn)?，所以，使得，綜上，函數(shù)在上有，0兩個(gè)零點(diǎn)．19.已知有限數(shù)列滿足，若給定一個(gè)正整數(shù)k，在數(shù)列中存在一項(xiàng)或一些連續(xù)項(xiàng)的和為i，其中i的值可以取遍中的所有元素，則稱數(shù)列為k級可分解數(shù)列．（1）數(shù)列3，1，2是否為4級可分解數(shù)列？是否為5級可分解數(shù)列？請說明理由；（2）若有限數(shù)列為8級可分解數(shù)列，則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)最少為多少？（3）若有限數(shù)列為20級可分解數(shù)列，且，判斷數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是否最少為6項(xiàng)，請說明理由．解：（1）數(shù)列，，，因此，，，，所以該數(shù)列為4級可分解數(shù)列；由于沒有連續(xù)的項(xiàng)的和為5，所以不是5級可分解數(shù)列.（2）由有限數(shù)列為8級可分解數(shù)列，得至少有8組數(shù)列組合，分別等于1，2，3，…，8，設(shè)該有限數(shù)列共k項(xiàng)，則數(shù)列組合中一個(gè)元素的共k種；數(shù)列組合中兩個(gè)連續(xù)元素的共種；數(shù)列組合中三個(gè)連續(xù)元素的共種；…；數(shù)列組合中k個(gè)連續(xù)元素的共1種，因此，則，而，解得，當(dāng)k取最小值4時(shí)，構(gòu)造數(shù)列為1，4，1，2，此數(shù)列，，，，因此，，，，，，，，即存在成立滿足題意，所以數(shù)列的項(xiàng)數(shù)最少為4.（3）由（2）得，，則，當(dāng)時(shí)，的數(shù)列組合至多可表示組，又，則其中必有負(fù)數(shù)的項(xiàng)，從而中的一項(xiàng)或一些連續(xù)項(xiàng)的和可表示1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)（恰21組），這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒有0，且這個(gè)負(fù)的在中絕對值最小，同時(shí)中沒有兩數(shù)相同，設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為，則所有數(shù)之和大于等于，，解得，取，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足20個(gè)，由（僅一種方式），得與2相鄰，若不在兩端，在第2，3，4