人教版八年級數(shù)學(xué)常見題型專練：三角形全等的判定“角邊角與角角邊”（6種題型）（解析版）

第10講三角形全等的判定“角邊角與角角邊”（6種題型）

因,【知識梳理】

一、全等三角形判定一一“角邊角”

兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

要點詮釋：如圖，如果/A=N4,AB=A'B',ZB=ZB',則△ABC也△A'3'。.

二、全等三角形判定——“角角邊”

1.全等三角形判定一一“角角邊”

兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）

要點詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定

兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.

2.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.

如圖，在△ABC和4ADE中，如果DE〃BC,那么/ADE=NB,ZAED=ZC,又/A=NA,但△ABC和4ADE不

全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.

B----------------------------C

【考點剖析】

題型一：用“角邊角"直接證明三角形全等

例1.如圖，ZA=ZB,AE=BE,點D在AC邊上，Z1=Z2,AE和BD相交于點0.

求證：△AECgZkBED；

B

E

【詳解】；AE和BD相交于點0,

ZA0D=ZB0E.

在AAOD和△BOE中，

ZA=ZB,.\ZBE0=Z2.

又

.".Zl=ZBE0,

ZAEC=ZBED.

在AAEC和ABED中,

NA=NB

<AE=BE

ZAEC=ZBED

：.AAEC^ABED(ASA).

【變式1】如圖，AB=AD,Z1=Z2,DA平分/BOE.求證：AABC%dADE.

【解答】證明：：/l=N2,

：.Z1+ZDAC=Z2+ZDAC,

：.ZBAC=ZDAE,

"：AB=AD,

：.ZADB=ZB,

'：DA平分/8DE.

NADE=NADB,

：.ZADE=ZB,

在△ABC和△ADE中，

ZADE=/B

AB=AD，

ABAC=/LDAE

.?.△AB&ZVWE(.ASA).

【變式2】如圖，已知N1=N2,N3=N4,要證BC=CD,證明中判定兩個三角形全等的依據(jù)是（）

C.邊角邊D.角角邊

【分析】已知兩角對應(yīng)相等，且有一公共邊，利用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理即可.

【解答】解：在△ABC與△ADC中,

=2

AC=AC，

Z3=Z4

貝!]△AB0ZVWC(ASA).

：.BC=CD.

故選：B.

【變式3】（2022?長安區(qū)一模）已知：點B、E、C、F在一條直線上，AB//DE,AC//DF,BE=CF.求證：△

【解答】證明：；AB〃DE,

：.ZB=ZDEF,

"：AC//DF,

：.NACB=/F,

"：BE=CF,

：.BE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在△ABC和△0￡下中,

/B=/DEF

JBC=EF，

i^ACB=ZF

:.AABC咨ADEF(ASA).

題型二：用“角邊角”間接證明三角形全等

例2.如圖，已知AB=CD,NA=ND.求證：AF=DE.

【詳解】證明：

:"B=NC,

在△力郎和方中，

ZA=ZD

<AB=CD,

NB=NC

:.△AB&ADCE(4￡4),

：.AF=DE.

【變式1】已知：如圖，E,F在AC上，AD〃CB且AD=CB,ZD=ZB.求證：AE=CF.

【答案與解析】

證明：：AD〃CB

/.ZA=ZC

在4ADF與4CBE中

ZA=ZC

<AD=CB

ZD=ZB

/.△ADF^ACBE(ASA)

AAF=CE,AF+EF=CE+EF

故得：AE=CF

【變式2】如圖，48=AC,ABLAC,ADLAE,且紙求證：BD^CE.

【詳解】瓦LAGADVAE,

：.ZBAE+ZCAE^90Q,/BAE+NBAg9Q°,

：.ACAE=ABAD.

又AB=AC,/ABD=/ACE,

J.BD^CE.

【變式3】如圖，要測量河兩岸相對兩點A、B間的距離，在河岸BM上截取BC=CD,作EDLBD交AC的

延長線于點E,垂足為點D.（DEWCD）

（1）線段的長度就是4B兩點間的距離

（2）請說明（1）成立的理由.

【解答】解：（1）線段DE的長度就是A、8兩點間的距離;

故答案為：DE；

(2)'：AB±BC,DE±BD

/ABC=NEDC=90°

又：NACB=/DCE,BC=CD

AABC^ZXCDE(ASA)

：.AB=DE.

【變式4】如圖，G是線段AB上一點，AC和DG相交于點E.請先作出/ABC的平分線BF,交AC于點F；然

后證明：當(dāng)AD〃BC,AD=BC,NABC=2NADG時，DE=BF.

【答案與解析】

證明：VAD//BC,

/.ZDAC=ZC

：BF平分/ABC

ZABC=2ZCBF

,/ZABC=2ZADG

/CBF=/ADG

在ADAE與ABCF中

ZADG=ZCBF

<AD=BC

ADAC=AC

：.ADAE^ABCF(ASA)

；.DE=BF

【變式5】已知：如圖,在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點，且MQ=NQ.求證：HN=PM.

【答案】

證明：YMQ和NR是AMPN的高，

AZMQN=ZMRN=90°,

又：Nl+/3=/2+N4=90°,Z3=Z4

；.N1=N2

在△MPQ和△NHQ中，

Z1=Z2

<MQ=NQ

ZMQP=ZNQH

.,.△MPQ^ANHQ(ASA)

.\PM=HN

【變式6］如圖，已知名.c=24m?,A。平分ZR4C,且ADLBD于點〃貝US.c=

【詳解】解：如圖，延長初交〃于點￡,

「AO平分NBAC,ADLBD,

二ZBAD=/FAD,ZADB=ZADE=90°.

,?AD=AD,

.ADB^ADE(ASA).

BD=DE.

??S^ABD<?=q

=S&AED，2BCD~uECD?

即1Szl￡zv=—S./1AZ5BVC?

2

?ABC=24m,

??^/\ADC=12m.

故答案為：12.

【變式7】(2022秋?蘇州期中)如圖，ZkABC中，AD是BC邊上的中線，E,F為直線AD上的點，連接BE,

CF,且BE〃6.

(1)求證：ABDE注ACDF；

(2)若AE=13,AF=7,試求DE的長.

【解答】(1)證明：是BC邊上的中線，

：.BD=CD,

；BE〃CF,

：.ZDBE=ZDCF,

^EASDfffACDF41,

，ZDBE=ZDCF

■BD=CD，

ZBDE=ZCDF

:.ABDE2ACDF(ASA)；

(2)解：'：AE=13,AF=7,

：.EF=AE-AF=13-7=6,

VABDE^ACDF,

DE=DF,

DE+DF=EF=6,

：.DE=3.

題型三：用“角角邊”直接證明三角形全等

例3.如圖，在四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，AD//BC,ZADC=ZACD,ZCED+ZB=180°.求

證：4ADE%LCAB.

：.AD^AC,

"."AD//BC,

：.ZDAE=ZACB,

VZCED+ZB=180°,ZCED+ZAED=180o,

/AED=NB,

在△ADE與△CA8中，

(ZDAE=ZACB

JZ.AED-Z.B'

Gw=AC

.,.△ADE絲△CAB(AAS).

【變式】(2022秋?泗陽縣期中)王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂

直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板(AC=BC,Z4CB=90°),點C在OE上，點八和B

【解答】(1)證明：由題意得：AC=BC,ZACB=90°,AD±DE,BE±DE,

：.ZADC=ZCEB=90°,

ZACD+ZBCE=90°,ZACD+ZDAC=90°,

：.ZBCE=ZDAC

fZADC=ZCEB

在△ADC和△CEB中，ZDAC=ZBCE>

AC=BC

...△AD0ACEB(A4S)；

(2)解：由題意得：AD=2X3=6(cm),BE=7X2=14(cm),

△ADCQ^CEB,

.\EC=AD=6cm,DC=BE=14cmf

:,DE=DC+CE=20(cm),

答：兩堵木墻之間的距離為20cm.

題型四：用“角角邊”間接證明三角形全等

例4、已知：如圖，AB±AE,AD±AC,ZE=ZB,DE=CB.求證：AD=AC.

【答案與解析】

證明：VAB±AE,AD±AC,

.".ZCAD=ZBAE=90°

AZCAD+ZDAB=ZBAE+ZDAB,即NBAC=/EAD

在ABAC和AEAD中

ZBAC=ZEAD

<ZB=ZE

CB=DE

.,.△BAC^AEAD(AAS)

AAC=AD

【變式】已知：如圖，ZACB=90°,AC=BC,CD是經(jīng)過點C的一條直線，過點A、B分別作AELCD、

BFLCD,垂足為E、F,求證：CE=BF.

【答案與解析】

證明：???AE±CD,BFLCD

ZAEC=ZBFC=90°

ZBCF+ZB=90°

?：ZACB=9Q°,

：.ZBCF+ZACF=90°

：.ZACF=ZB

在ABCF和AG4E中

NAEC=NBFC

<NACE=NB

AC=BC

A5CF^AC4E(AAS)

CE=BF

【總結(jié)升華】要證CE=3/，只需證含有這兩個線段的ABCF2AC4￡.同角的余角相等是找角等的好方

法.

題型五：“邊角邊”與“角角邊”綜合應(yīng)用

例5.如圖，ZCAB+ZABD=120°,AD.BC分別平分NG4B、ZABD,AD與BC交于點。.

(1)求ZAOB的度數(shù)；

(2)說明的=47+8￡>的理由.

【答案】(1)120°；(2)見解析

【詳解】解：(1)'：AD,寬分別平分NC仿和//初，ZCAB+ZABD-12,Q0,

：.ZOAB^ZOBA=e>0°,

/.ZAOB=180°-60°=120°；

(2)在四上截取4斤47,

\'ZCAO=ZEAO,AO=AO,

.?.△49莊△/如(SAS),

:.S/AEO,

'：AC+ZD=(180°-ACAB-AABC)+(180°-/ABD-/BAD)=180°,

AZAE(KZD=180°,

?:NAE8NBEO=18Q°,

：.ZBEO=ZD,

又/EBW/DBO,BgBO,

:.X0B恒X0BD(AAS),

：.BI>BE,又AEE,

：.AC+BI^AE+B^AB.

（2）當(dāng)直線腑繞點。旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，DE、AD,龍又怎樣的關(guān)系？并加以證明.

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）D皆AlhBE,證明見解析.

【詳解】解：（1）①證明：???/〃，陽BEVDE,

：.ZAD（=ZBEC=9Q°,

9：ZACB^90°,

AZAOAZBCE=90o,ZDAaZACD=90°,

：.ADAOABCE,

在和AC班中，

/CDA=NBEC

<NDAC=NECB

AC=BC

:.XADgXCEB（A4S）.

②證明：由（1）知：△ADSXCEB,

：.AD=CE,CD=BE,

YDC+C序DE,

:?ADVB斤DE.

(2)成立.

證明：*：BELEC,AD1CE,

:./ADO/BEO9。。,

:./EBC+/EC&鄭)0,

VZACB=90°,

：.ZECB+ZAC^O°,

???ZACD=ZEBQ

在和△四中，

ZACD=ZCBE

</ADC=/BEC,

AC=BC

：.AADC^ACEB(A4S),

:?AD=CE,CD=BE,

:?D后EOCWAABE.

題型六：尺規(guī)作圖一一利用角邊角或角角邊做三角形

例6、已知三角形的兩角及其夾邊，求作這個三角形

已知：N。，N￡和線段c,如圖4—4—21所示.

圖4-4-21

求作：AABC,使NZ=N。，N8=N￡,AB=c,

(2)在射線4分上截取線段AB=c；

E'

D

圖4-4-24

⑶以6為頂點，以掰為一邊，在力6的同側(cè)作//應(yīng)'=/￡,座交4?于點C△/比就是所求作的三角形.

［點析］我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.

例7.已知：角。，￡和線段a,如圖4一4一29所示，求作：4ABC,使BC=a.

［解析］本題所給條件是兩角及其中一角的對邊，可利用三角形內(nèi)角和定理求出/G再利用兩角夾邊作圖.

解：如圖4—4—30所示：(1)作/尸=180°—/a—/￡；(2)作線段6C=a；(3)分別以6,。為頂點,

圖4-4-30

【變式】(2022春?陜西?七年級陜西師大附中?？计谥?尺規(guī)作圖

已知：Z(z,和線段°,求作ABC,使NA=Na,N3=2N￡,AB=a.

【詳解】解：如圖，0/12C即為所求.

a

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023春?黑龍江哈爾濱?七年級校考階段練習(xí)）如圖，小明把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現(xiàn)在要

到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（）

C.帶③去D.①②③都帶去

【答案】A

【分析】根據(jù)全等三角形的判定可進(jìn)行求解

【詳解】解：第①塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻

璃.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定方法的開放性的題，要求學(xué)生將所學(xué)的知識運用于實際生活

中，要認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法.

2.（2023春?廣東佛山?七年級?？计谥校┤鐖D，在用尺規(guī)作圖得到DBC/4ABe過程中，先作

NDBC=ZABC,再作NOCB=NACB,從而得到DBC&ABC,其中運用的三角形全等的判定方法是

B

D

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【答案】B

【分析】根據(jù)題意分析可得/D3C=ZABC,NDCB=ZACB,再加上公共邊3C=3C,根據(jù)AAS,即可

判斷一空.一A5C.

【詳解】解：團(tuán)得ND3C=NABC,BC=BC,ZDCB=ZACB,

0DBC空ABC（ASA）,

故選：B.

【點睛】本題考查了作一個角等于已知角，全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的

關(guān)鍵.

3.（2023春?重慶沙坪壩?七年級重慶一中?？计谀┤鐖D，OC平分點尸是射線OC上一點，

尸河，03于點點N是射線。4上的一個動點，連接PN,若PM=6,則PN的長度不可能是（）

【答案】D

【分析】如圖所示，過點P作于〃，證明△「四絲△尸ON得到尸〃=PM=6,由垂線段最短可

知PNNPH,由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過點P作尸于〃，

^\PM±OB,

團(tuán)ZPHO=ZPMO=90°,

EIOC平分NAO3,

QNPOH=NPOM,

又EIOP=OP,

0APOH^APOM（AAS）,

團(tuán)PH=PM=6,

由垂線段最短可知尸N之P”,

回（8函）2=640>36,

國8師>6,

團(tuán)四個選項中，只有D選項符合題意,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短，實數(shù)比較大小，正確作出輔助線構(gòu)造全

等三角形是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春,陜西咸陽?七年級統(tǒng)考期末）如圖，AD〃BC,/ABC的平分線BP與-54。的平分線AP相

交于點尸，作PELM于點E,若PE=4,則點尸到與3c的距離之和為（）

【答案】C

【分析】如圖所示，過點尸作尸GLAD與R延長EP交3c于G,先證明AO_L尸G,由角平分線的定義

得到N￡BP=NG3P,進(jìn)而證明△fBWaGB尸得到PG=PE=4,同理可得尸尸=PE=4,則

FG=PF+PG=8,由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過點尸作PG_LAD與凡延長FP交3c于G,

SAD//BC,

SAD1FG,

SPE1AB,

0ZPFA=ZPEA=ZPEB=ZPGB=90°,

回3尸平分NABC,

團(tuán)NEBP=NGBP,

5^BP=BP,

ElA￡BP^AGBP(AAS),

I3PG=_PE=4,

同理可得Pb=PE=4,

0FG=PF+PG=8,

團(tuán)點P到A￡＞與BC的距離之和為8,

故選C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，平行線間的距離等

等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?福建福州?七年級福建省福州第十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，ZC=90°,點以是3C的中點，

DM平分工ADC,且CB=8,則點M到線段AD的最小距離為（）

B

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】如圖所示，過點M作用ELAO于E,證明四△MOC,得到ME=MC,再根據(jù)線段中點

的定義得到ME=MC=1臺。=4,根據(jù)垂線段最短可知點M到線段AD的最小距離為4.

【詳解】解:如圖所示，過點〃'作ME_LA￡)于E,

ElZAffiD=ZC=90o,

團(tuán)DM平分，ADC,

SZMDE=ZMDC,

y^\MD=MD,

0AMDE^AMDC(AAS),

SME^MC,

回點/是BC的中點，C3=8,

SME=MC=-BC=4,

2

回點/到線段AD的最小距離為4,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂線段最短等等，正確作出輔助線

構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?全國?八年級假期作業(yè))如圖，點￡在一ABC外部，點。在..ABC的3C邊上，DE交AC于F,若

Z1=Z2=Z3,AE=AC,貝!I().

A.AABZ^AAFEB.AAFE^AADCC.AAFE^ADFC

D.AABC沿AADE

【答案】D

【分析】首先根據(jù)題意得到=NE=NC,然后根據(jù)ASA證明△ABC/.

【詳解】解：0Z1=Z2,

EIZ1+Z22AC=Z2+ZJDAC,

0ZfiAC=ZZME,

0/2=/3,ZAFE=ZDFC,

0ZE=ZC,

13在4ABe和VADE中，

ABAC=ZDAE

<AC=AE,

ZC=NE

0AABC^AAD￡（ASA）,

故選：D.

【點睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理.

7.（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、

2、3、4的四塊）你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶（）

A,帶①去B.帶②去C.帶③去D.①②③都帶去

【答案】B

【分析】本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗證.

【詳解】解：①、③、④塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶它們

去，

只有第②塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA,滿足題目要求的條件，是符合題意的.

故選：B.

【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定.判定兩個三角

形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.

8.（2023春?浙江寧波?七年級?？计谀┤鐖D，ABC的兩條高AD和助相交于點E,AD=BD=8,

AC=10,AE=2,則跳"的長為（）

【答案】A

【分析】先證明四△ADC,可得DE=DC=6,3c=14,而AC=10,再由等面積法可得答案.

【詳解】解：回.ABC的兩條高4D和8尸相交于點￡,

0ZADB=ZADC=9O°=ZBM,

S\ZAEF=ZBED,

^\ZDBE=ZDAC,

SAD=BD=8,AE=2,

^ABDE^AADC,DE=6,

SDE=DC=6,

0BC=14,而AC=10,

由等面積法可得：

1X14X8=-X10XBF,

22

解得：BE=11.2；

故選A

【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等面積法的應(yīng)用，證明

是解本題的關(guān)鍵.

9.（2023春?遼寧沈陽?七年級沈陽市第一二六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀敵人的

碉堡，需要測出我軍陣地與敵人碉堡的距離.我軍戰(zhàn)士想到一個辦法，他先面向碉堡的方向站好，然后調(diào)

整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點脫然后轉(zhuǎn)過身保持剛才的姿勢，這時視線落在了我軍陣

地的點E上；最后，他用步測的辦法量出自己與￡點的距離，從而推算出我軍陣地與敵人碉堡的距離，這

A.SSSB.SASC.ASAD.AAA

【答案】C

【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：團(tuán)士兵的視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點8,然后轉(zhuǎn)過身保持剛才的姿勢，這時視線落在

了我軍陣地的點E上，

0ZA=ZD,

^AC-LBC,DF人EF,

^ZACB=ZDFE=90°,

SAC=DF,

團(tuán)判定△ABC^ADEF的理由是ASA.

故選C.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，分析題意找到相等的角和邊判定三角形的全等是解題的關(guān)

鍵.

10.(2023春?四川達(dá)州?八年級統(tǒng)考期末)如圖，已知的是NABC的平分線，AP±BP,若

2

SABPC=12cm,則yWC的面積（）

C.36cm2D.不能確定

【答案】A

【分析】延長AP交BC于點C,根據(jù)題意，易證，ABPaDBP(ASA),因為和△DPC同高等底,

2

所以面積相等，根據(jù)等量代換便可得出Swe=2sBPC=24cm.

【詳解】如圖所示，延長”，交8C于點D,

BDC

團(tuán)APLBP,

^ZAPB=ZDPB=90°,

回的是/ABC的角平分線，

⑦ZABP=ZDBP,

在.A8P和QBP中，

NABP=NDBP

<BP=BP,

/APB=ZDPB

團(tuán)ABP^ASA）,

⑦AP=DP,

回S4ABP~S^DBP，

團(tuán)AAPC和ADPC同底等高，

=

團(tuán)S^APCSDPC，

團(tuán)S&PBC=SDPB+S^DPC=S^ABP+^AAPC，

2

團(tuán)SABC=2SBPC=24cm,

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形的角平分線和全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運用三角形的角平分線和

全等三角形的判定.

二、填空題

11.（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，。在上，E在AC上，且NB=NC,補(bǔ)充一個條件后,

可用〃AAS〃判斷一ABEMACD.

【答案】BE=CD或AE=AD

【分析】由于兩個三角形已經(jīng)具備NB=NC,ZA=ZA,故要找邊的條件，只要不是這兩對角的夾邊即

可.

【詳解】解：0ZB=ZC,ZA=ZA,

團(tuán)若用"AAS"判斷一ABE空ACD,可補(bǔ)充的條件是BE=CD或AE=AD；

故答案為：BE=CD^AE=AD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.

12.（2023春?廣東揭陽?七年級期末）如圖，在ABC中，ADJ.BC,4D平分/B4C,則

△ABD^Z^ACD的根據(jù)是.

【答案】ASA

【分析】由AD13C、AD平分-54C、4）=4?？傻贸鰞蓚€三角形對應(yīng)的兩個角及其夾邊相等，于是

可以利用ASA判定這兩個三角形全等.

【詳解】^ADIBC,

0ZBDA=ZCDA=90°.

EIAD平分/BAC,

S\^BAD=ZCAD.

ABDA=ZCDA

在△ABD與.’ACO中，IAD=AD

NBAD=ACAD

0ABD^,ACD（ASA）.

故答案為：ASA

【點睛】本題考查了三角形全等的判定條件，解題的關(guān)鍵是找到兩個三角形對應(yīng)的邊角相等.

13.（2023春?陜西榆林?七年級統(tǒng)考期末）如圖，ABLCD,且AB=CD,連接AD,CELAD于點E,

M_L4>于點/.若CE=8,BF=5,EF=4,則AD的長為.

c

【分析】只要證明-AB產(chǎn)"ACDE(AAS),可得AF=CE=8,BF=DE=5,推出AD=AF+D9即可得出

答案.

【詳解】解：SAB1.CD,CE1AD,BF±AD,

^ZAFB=ZCED=90°,ZA+Z￡>=90°,ZC=ZD=90°,

azA=zc,

SAB=CD,

0ABF^CDE(AAS),

0AF=CE=8,BF=DE=5,

EIEF=4,

sAD=AF+DF=8+(5-4)=9,

故答案為：9.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考

題型.

14.(2023春?山東棗莊?七年級統(tǒng)考期末)如圖，A,8兩個建筑物分別位于河的兩岸，為了測量它們之間

的距離，可以沿河岸作射線所，且使在所上截取3C=CD,過。點作使

E,C,A在一條直線上，測得止=16米，貝IJ/,8之間的距離為米.

【答案】16

【分析】根據(jù)已知條件可得△ABC絲△EDC,從而得到。E=從而得解.

【詳解】SBF1AB,DELBF,

0ZB=ZEr）C=9Oo,

EINB=/EDC=90,BC=CD,NBCA=ZDCE,

aZ\ABC/△EDC（ASA）,

^DE=AB.

又回。石=16米，

0AB=16米,

即A8之間的距離為16米.

【點睛】此題主要考查全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定方法.

15.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模）如圖，點A、D、C、廠在同一直線上，AB//DE,AD=CF,添加一

個條件，使△ABCdDEF,這個條件可以是.（只需寫一種情況）

【答案】BC〃EF或ZB=/E或ZBCA=NEFD或AB=DE(答案不唯一)

【分析】先證明/4=/的及AC=E>尸，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解.

【詳解】解回3C〃EF或=或=或=理由是回

^AB//DE,

^ZA^ZEDF,

0AD=CF,

0AD+CD=CF+Cr>BPAC=DF,

當(dāng)3c〃斯時，有ZBCA=ZEFD,貝kABCWDEF(ASA),

當(dāng)ZBCA=ZEFD時,則ABCgDEF(ASA),

當(dāng)NB=NE時，貝UABC沿DEF(AAS),

當(dāng)=時，貝IABCmDEF(SAS),

故答案為回3C〃EF或NB=NE或/3C4=NEED或A5=DE.

【點睛】本題考查了對全等三角形的判定定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理有SAS,ASA,

AAS,SSS是解題的關(guān)鍵.

16.（2023春?上海虹口?七年級上外附中?？计谀┤鐖D，有一種簡易的測距工具，為了測量地面上的點〃

與點。的距離（兩點之間有障礙無法直接測量），在點。處立豎桿PO,并將頂端的活動桿對準(zhǔn)點

固定活動桿與豎桿的角度后，轉(zhuǎn)動工具至空曠處，標(biāo)記活動桿的延長線與地面的交點N,測量點N與點。

的距離，該距離即為點M與點。的距離.此種工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是.

【答案】兩個角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法進(jìn)行分析，即可得到答案.

【詳解】解：在，尸OM和△PON中，

ZOPQ=ZOPQ'

<OP=OP,

ZPOM=ZPON=90°

POM.PON（ASA）,

???判定理由是兩個角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，

故答案為：兩個角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

17.（2023春?湖南岳陽?八年級統(tǒng)考期末）直線CO經(jīng)過N3C4的頂點C,CA=CB.E、歹分別是直線

8上兩點，且NBEC=NCFA=Na.若直線CO經(jīng)過/BC4的內(nèi)部，且E、尸在射線8上，請解決下面

兩個問題：

①如圖1,若NBC4=90。，Z?=90°,貝尸\BE-AF\（填"<"或"="號）；

②如圖2,若0。<々。1<180。，若使①中的結(jié)論仍然成立，則與/BC4應(yīng)滿足的關(guān)系是

圖2

【答案】Na+ZBC4=180。

【分析】①求出N5￡C=NAFC=90。，ZCBE=ZACF,根據(jù)AAS證,推出班=C尸,

CE=AF即可得出結(jié)果；②求出NCSE=NACF,由AAS證△3C￡Igz\C4尸，推出班=CF,CE=AF即

可得出結(jié)果.

【詳解】解：①N5C4=90。，Na=90。,

:.NBCE+NCBE=90。，/BCE+ZACF=90。，

:.ZCBE=ZACF,

在，_BCE和VC4r中,

ZCBE=ZACF

</BEC=ZCFA,

CB=CA

ABCE^ACAFCAAS),

:.BE=CF,CE=AF,

EF^CF-CEHBE-AF\,

②/。與ZBCA應(yīng)滿足Na+ZBCA=180°,

在.5CE中，ZCBE+ZBCE=180°-ZBEC=180°-Za,

ZBCA=1800-Zaf

ZBCA=ZCBE+ZBCE,

ZACF+NBCE=ZBCA,

:.ZCBE=ZACF,

在,BCE和VC4F中，

ZCBE=ZACF

<ZBEC=ZCFA,

CB=CA

ABCE^AC4F(AAS),

:.BE=CF,CE=AF,

EF=|CF-CE|=|BE-AF\,

故答案為：=,Ziz+ZBG4=180o.

【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積計算、三角形的外角

性質(zhì)等知識；解題的關(guān)鍵是判斷出ABCE沿ACAF.

18.（2023春?廣東深圳?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，ZBAC=90°,AB=AC,BD為

ABC的角平分線，過點C作CELBD交5。的延長線與點E,若CE=；,則3。的長為.

【答案】4

【分析】延長CE與54的延長線相交于點尸，利用ASA證明△ABD和△ACF全等，進(jìn)而利用全等三角形

的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：如圖，延長CE與54的延長線相交于點產(chǎn)，

ZEBF+ZF=90°,ZACF+ZF=90°,

ZEBF=ZACF,

在△ABD和△ACF中，

ZEBF=ZACF

<AB=AC,

ABAC=NCAF

ABD^ACF(ASA),

:.BD=CF,

Q3D是NABC的平分線,

:.NEBC=NEBF.

在.3CE和中,

ZEBC=ZEBF

<BE=BE,

NCEB=ZFEB

BCEWBFE（ASA）,

:.CE=EF,

:.CF=2CE,

：.BD=CF=2CE=4.

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，理解題意、靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

三、解答題

19.（2023春?江蘇蘇州?七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,過點C作

CDLAB,垂足為在射線8上截取CE=C4,過點￡作EFLCE,交CB的延長線于點足

（2）若AB=9,EF=4,求跳■的長.

【答案】⑴見解析

（2）5

【分析】（1）首先根據(jù)垂直判定回〃￡F,得到NABC=",再利用AAS證明即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得M=CF=9,BC=EF=4,再利用線段的和差計算即可.

【詳解】（1）解：BCD1AB,EFLCE,

SAB//EF,

BZABC=ZFf

在，IBC和一CEE中，

/ABC=NF

vZACB=ZE,

AC=CE

團(tuán)AABC名△CFE（AAS）；

（2）團(tuán)△ABC2△BE1,

團(tuán)AB=CF=9,BC=EF=4,

^\BF=CF-BC=5.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)條件，證明三角

形全等.

20.（2023春?陜西西安?七年級西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D，A,C,。三點共線，ABC和一CDE落在

AD的同側(cè)，AB//CE,BC=DE,ZB=ZD.求證：AB+CE=AD.

E

A-

CD

【答案】見解析

【分析】證明」ABCZcCDE（AAS）,得出AB=CD,BC=CE,即可證明結(jié)論.

【詳解】解：^\AB//CE,

SZA=ZDCE,

SZB=ZD,BC=DE,

0ABC^CDE（AAS）,

S\AB=CD,BC=CE,

團(tuán)AB+CE=CD+AC=AD.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的

判定方法證明A4BC絲ACDE.

21.（2022秋?八年級課時練習(xí)）已知Nc,和線段。（下圖），用直尺和圓規(guī)作ABC,使

ZA=Za,ZB=Z/3,AB=a.

a

【答案】見解析

【分析】先作出線段9=。，再根據(jù)作與已知角相等的角的尺規(guī)作圖方法作/DA8=Nz/班4=/尸即可

得到答案.

【詳解】解：作法如下圖.

1.作一條線段鉆=。.

2.分別以42為頂點，在A3的同側(cè)作=ZEBA=Zj3,D4與座相交于點C.

MBC就是所求作的三角形.

【點睛】本題主要考查了三角形的尺規(guī)作圖，熟知相關(guān)作圖方法是解題的關(guān)鍵.

22.（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，已知工ABC,請根據(jù)“ASA"作出_DEF,使_DEF與ABC.

【答案】見解析

【分析】先作/MEN=NB,再在EN上截取團(tuán)=54,在EN上截取￡F=3C,從而得到

DEF瑪ABC.

【詳解】解：如圖，J>EF為所作.

M

c

“xA.4—V-

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基

本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了全等三角形的判定.

23.（2023春?山西太原?七年級校考階段練習(xí)）如圖，點8、F、C、￡在同一條直線上，已知FB=CE,

AB//DE,ZACB^ZDFE,試說明：AC^DF.

【答案】見解析

【分析】利用ASA定理證明三角形全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)分析求解.

【詳解】解：回FB=CE,

SFB+FC=CE+FC,即3C=EF,

^AB//DE,

?/R=/E,

NB=NE

在，ABC和_DEF中<BC=EF

NACB=ZDFE

SAC=DF.

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL.三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全

等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去

證什么條件.

24.（2020秋?廣東廣州?八年級海珠外國語實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知：EC=AC,

NBCE=NDCA,ZA=NE.求證：AB=ED.

A

C

BD

【答案】見解析

【分析】先求出ZACB=N￡CD,再利用"角邊角"證明ABC和△EDC全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊

相等證明即可.

【詳解】證明：^\ZBCE=ZDCA,

0/BCE+ZACE=ZDCA+ZACE,即ZACB=AECD.

在，IBC和△EDC中,

ZACB=ZECD

AC=EC

ZA=ZE

fflAABC^A￡DC(ASA).

SABRED.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

25.（2023春?福建寧德?七年級校考階段練習(xí)）如圖，點8,F,C,￡在直線/上（F,C之間不能直接測

量），點/,。在/異側(cè)，測得=AB//DE,ZA=ZD.

⑴求證：Z\ABC咨Z\DEF；

（2）若3E=10,BF=3,求尸。的長度.

【答案】⑴見解析

（2）4

【分析】（1）由得ZABC=/DEF,而=ZA=ZD,即可根據(jù)全等三角形的判定定理

"ASA"證明△ABC學(xué)公DEF；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得3C=EF,則3/=CE=3,即可求得尸C的長度.

【詳解】（1）解：證明：^AB//DE,

SZABC=ZDEF,

在「ABC和一一DEF中，

ZA=ZD

<AB=DE

/ABC=ZDEF

El△（ASA）；

（2）解：由（1）知aABC咨ADEWASA）,

團(tuán)BC=EF,

BBF+FC=CE+FC,

團(tuán)BF=CE=3,

團(tuán)3E=10,

FC=BE-BF-CE=10-3-3=4f

團(tuán)廣。的長度是4.

【點睛】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明

/ABC=NDEF是解題的關(guān)鍵.

26.（2023,浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，ABC中，BD=CD,連接BE,CF,且成〃CF.

⑴求證：BDE'CDF；

⑵若AE=15,AF=8,試求OE的長.

【答案】⑴證明見解析

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得？BED2CFD,根據(jù)全等三角形的判定即可證明;

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE=DP,即可求得.

【詳解】（1）證明：團(tuán)BE〃CF,

51?BED2CFD,

國NBDE=NCDF,BD=CD,

團(tuán)BDE'CDF(AAS)；

（2）由（1）結(jié)論可得DE=DE,

SEF=AE-AF=15-8=1,

7

0DE=-

2

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.（2023春?江西鷹潭?七年級校考階段練習(xí)）將兩個三角形紙板ABC和一DBE按如圖所示的方式擺放，

連接0c.已知ZD￡L4=/C3E,ZBDE=ZBAC,AC=DE=DC.

⑴試說明△ABCdDBE.

（2）若NACO=72。，求/BE