人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)常見(jiàn)幾何模型解讀與提分訓(xùn)練：三角形中的特殊模型-雙角平分線模型（解析版）

專題08.三角形中的特殊模型-雙角平分線模型

模型1、雙角平分線模型

1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型

條件：如圖1,在0ABe中，和0AC8的平分線BE,CF交于點(diǎn)G；結(jié)論：ZBGC=90°+1ZA.

圖1圖2圖3

2）兩外角平分線的夾角模型

條件：如圖2,在0ABe中，BO,C。是0ABe的外角平分線；結(jié)論：NO=90。—

3）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型

條件:如圖3,在團(tuán)ABC中,BP平分0ABC,CP平分0AC3的外角,兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：ZP=|zA.

圖4圖5圖6

4）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型

條件：如圖4,BP、CP平分0ABC、0DCB,兩條角平分線相交于點(diǎn)尸；結(jié)論：2NF=N4+ND

5）兩內(nèi)角平分線的夾角模型

條件：如圖5,BP、。尸平分勖CD、SCDE,兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：2ZP=ZA+ZB+ZE-1800

6）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型（累計(jì)平分線）

條件：如圖6,ZA=a,NABCNACD的平分線相交于點(diǎn)片，的平分線相交于點(diǎn)外，ZP2BC,

的平分線相交于點(diǎn)鳥(niǎo)……以此類推；結(jié)論：/匕的度數(shù)是最.

7）旁心模型

旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)

條件：如圖，BD平分/ABC,C￡＞平分NACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)D；結(jié)論：平分/CW

例1.（2023?綿陽(yáng)市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在AABC中，ZABC=80°,ZACB=50°,3P平分/ABC,CP

平分NACB,貝!|ZBPC=.

【答案】115°

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出ZP8C+ZPCB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：回8尸平分/ABC,CP平分/ACB,

0ZPBC+ZPCB=-（80°+50°）=65°,回ZBPC=180°-65°=115°.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?河南周口?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，ZA+ZD=6,/ABC的平分線與/BCD

的平分線交于點(diǎn)P,則NP=（）

D.1800--5

2

【答案】C

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求得NABC+NBCD=360。-。，再根據(jù)角平分線的定義求得ZPBC+N尸CB,再

根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解.

【詳解】解：在四邊形ABCD中，ZA+ZD=S,0ZABC+ZBCD=360°-d,

由題意可得：平分NABC,CP平分/BCD,^\ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZBCD,

22

ia1

0NPBC+NPCB=-（ZABC+ZBCD）=180°--,0ZBPC=180°-（ZPBC+NPCB）=d故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形內(nèi)角和的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握

并靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.

例3.（2023秋?山西太原?八年級(jí)校考期末）已知：如圖，尸是A45c內(nèi)一點(diǎn)，連接PB,PC.

⑴猜想：NBPC與NABP、ZACP./A存在怎樣的等量關(guān)系？證明你的猜想.（2）若NA=69。，PB、PC分

別是/ABC、/ACB的三等分線，直接利用（1）中結(jié)論，可得NBPC的度數(shù)為.

【答案】（1）NBPC=/A+/ABP+/ACP,證明見(jiàn)解析⑵106°

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NA+NABC+NACB=180。，ZBPC+ZCBP+ZBCP=180°,再結(jié)合

ZCBP=ZABC-ZABP,ZBCP=ZACB-ZACP即可得到結(jié)論；

（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角三等分線的定義得到ZABC+ZACB=U1。，ZABP=ZABC,

ZACP=|ZACB,再代入（1）中結(jié)論求解即可.

【詳解】（1）解：猜想：ZBPC=ZA+ZABP+ZACP,

證明：由題意得：ZA+ZABC+ZACB=180°,ZBPC+ZCBP+ZBCP=180°,

ZCBP=ZABC-ZABP,ZBCP=ZACB-ZACP,

SZBPC+ZABC-ZABP+ZACB-ZACP=180P,

0ZBPC+(ZABC+ZACB)-(NABP+ZACP)=180°,

0ZBPC+180°-ZA-(ZABP+ZACP)=180°,

0ZBPC=ZA+ZABP+ZACP；

(2)解：EZA=69°,PB、PC分別是/ABC、—ACB的三等分線,

0ZABC+ZACB=18O°-ZA=111°,ZABP=-ZABC,ZACP=-ZACB,

33

0ZBPC=ZA+!(ZABC+ZACB)=69°+37°=106°.

故答案為：106。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角三等分線的定義，熟知三角形內(nèi)角和為180度是解題的關(guān)鍵.

例4.(2023秋?成都市?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，在"RC中，ZB=58°,三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)

E,則=.

【答案】61。

【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角定義求得SDAC+0Ab的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得

SEAC+團(tuán)ECA的度數(shù)，即可解答.

【詳解】解：fflB+EBAC+0BCA=18O°,回8=58°,0EBAC+0BCA=18O°-EIB=180o-58°=122°,

00BAC+0DAC=180°,SBCA+^ACF=180°,

EBD4C+0ACF=36O--(ELBAC+EBCA)=360°-122°=238°,

0AE平分EIZMC,CE平分財(cái)CP,a3E4C=；E￡)AC,BECA^^SACF,

00EAC+0ECA(EIDAC+EACF)=119°,00EAC+0￡CA+E1AEC=180°,

00A￡C=18O--(EEAC+0ECA)=180°-119°=61",故答案為：61°.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、平角定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角

平分線的定義是解答的關(guān)鍵.

例5.(2023?綿陽(yáng)市?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，已知在AABC中，NB、NC的外角平分線相交于點(diǎn)G,若

ZABC=m°,ZACB=n0,求/3GC的度數(shù).

【分析】運(yùn)用角平分線的知識(shí)列出等式求解即可.解答過(guò)程中要注意代入與之有關(guān)的等量關(guān)系.

【詳解】解：回B、回C的外角平分線相交于點(diǎn)G,

在ABCG中，EIBGC=180°-(y0EBC+1-0BCF)=180°-y(EEBC+EIBCF)

=180°-1(18O°-EIABC+18OO-0ACB)=180°-：(180°-m°+180o-n°)；=-(m°+n°\

222V'

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的知識(shí).此類題的關(guān)鍵是找出與之相關(guān)的等量關(guān)系

簡(jiǎn)化計(jì)算得出.

例6.(2023春?廣西?七年級(jí)專題練習(xí))如圖，在回ABD中，回ABD的平分線與回ACD的外角平分線交于點(diǎn)E,

0A=8O°,求既的度數(shù)

【分析】由題意：設(shè)團(tuán)ABE=^EBC=x,回ACE=^ECD=y,利用三角形的外角的性質(zhì)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題即可.

【詳解】由題意：設(shè)I3ABE=EIEBC=X,0ACE=0ECD=y,

,.12y=2尤+NA,1

貝I]有〈"?,①-2x②可得國(guó)A=2IBE,00E=-0A=4O°.

[y=x+ZE②2

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組

解決問(wèn)題.

例7.(2023春?山東泰安?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，在AABC中，ZA=?,NABC與—ACD的平分線

交于點(diǎn)4,得NA8C與NA。。的平分線相交于點(diǎn)兒,得&；L；/Aoi/c與/AmgC。的平分線相

父于點(diǎn)4020，得N4020，則N4020=

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)角平分線、三角形外角、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，得/A=gzA,同理得

/；再根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)分析，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，NA=c,—ABC與/ACD的平分線交于點(diǎn)4回幺=180。一;乙48。一乙4。8-（乙4。。

I3ZACD=ZA+ZABCEIZA=180°-ZABC-ZACB-1

0+XABC+^ACB—180°回N4=—NA同理,得N4=—/4——x—NA=；

,4I.111."/,I.Illi.0

————x-x-_z!A=~~；/——=-x-x-x-/A=——；...

^2222232222224

1（Vex,a

/4=5/4-=才回/&網(wǎng)=尹故答案為：聲?

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形和數(shù)字規(guī)律的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、三角形外角、角平

分線、數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，從而完成求解.

例8.（2023?河北?九年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題情境：如圖1,點(diǎn)。是財(cái)BC外的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上，

3。平分0ABC,CD平分0ACE.試探究回。與0A的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖1圖3

⑴特例探究：如圖2,若0ABe是等邊三角形，其余條件不變，則回。=；

如圖3,若EABC是等腰三角形，頂角m=100。，其余條件不變，貝崛。=；這兩個(gè)圖中，與她度數(shù)的

比是;（2）猜想證明：如圖1,0ABe為一般三角形，在（1）中獲得的回。與她的關(guān)系是否還成立？

若成立，利用圖1證明你的結(jié)論；若不成立，說(shuō)明理由.

【答案】（1）30。；50。；1:2（2）成立，見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和用/A和/￡>表示出NACE,再根據(jù)

角平分線的定義得到NACE=2NOCE,ZABC=2NDBC,然后整理即可.

（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和用/A和一。表示出-ACE,再根據(jù)角平分線

的定義得到NACE=2NDCE,ZABC=2ZDBC,然后整理即可.

【詳解】（1）解：如圖2,?.,AABC是等邊三角形，，ZABC=60。，ZACE=120°,

Q3D平分/ABC,8平分/ACE...NO3c=30。，Z￡>CE=60°,

ZDCE=ZD+ZDBC,：.ZD=30°；

如圖3,?.■AABC是等腰三角形，ZA=100°,ZABC=ZACB=40°,ZACE=140°,

QBD平分/ABC,CD平分/ACE.:.ZDBC=2Oa,ZDCE=70°,

?;NDCE=ND+NDBC,ZD=50°；故答案為30。，50°,1:2；

(2)解：成立，如圖1,在AABC中，ZACE=ZA+ZABC,

在ADBC中，ZDCE=ZD+ZDBC,…(1)

?.?CD平分/ACE,3。平分/ABC,:.ZACE=2ZDCE,ZABC=2ZDBC,

^-.-ZACE=ZA+ZABC,2ZDCE=ZA+2ZDBC,…(2)

由⑴x2-(2),.?.2ZD+2N￡>BC_(ZA+2"8C)=0,;.ZA=2ZD.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、利用三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義解

答是關(guān)鍵.

例9.(2023?重慶?七年級(jí)專題練習(xí))認(rèn)真閱讀下面關(guān)于二角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提

出的問(wèn)題.

探究1：如圖1,在S48C中，。是E1ABC與0ACB的平分線8。和CO的交點(diǎn)，分析發(fā)現(xiàn)乙BOC=9(T+：NA,

理由如下：而。和CO分別是0A8C、0ACB的角平分線

0Z1=-ZABC,Z2=-ZACB

22

團(tuán)Z1+Z2=1(ZABC+ZACB)=1(180°-NA)=90。-gZA

0ZBOC=18O°-(Z1+Z2)=180°-(90°-1zA)=90°+1zA

(1)探究2：如圖2中，。是0ABe與外角0ACZ)的平分線8。和CO的交點(diǎn)，試分析SBOC與0A有怎樣的

關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)探究3：如圖3中，。是外角SD8C與外角aea的平分線3。和co的交點(diǎn)，則__50。與一一4有怎

樣的關(guān)系？(直接寫(xiě)出結(jié)論)

(3)拓展：如圖4,在四邊形A8CD中，。是EABC與回。。2的平分線8。和C。的交點(diǎn)，則I3BOC與&4+回。

有怎樣的關(guān)系？(直接寫(xiě)出結(jié)論)

(4)運(yùn)用：如圖5,五邊形ABCDE中,BBC。、I3EOC的外角分別是跖CD、0GDC,CP、OP分別平分跖CZ)

和EIGDC且相交于點(diǎn)P,若0A=140。，132=120。，0￡=90°,則EICPZ)=度.

【答案】(1)MOC=；/A；(2)團(tuán)BOC=90°—g/A；(3)ZBOC=^(ZBAD+ZCDA)；(4)95

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)求解即可；

(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及三角形外角的性質(zhì)求解即可；

(3)由角平分線的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和及三角形內(nèi)角和定理即可求得兩者的關(guān)系；

(4)由角平分線的性質(zhì)、五邊形內(nèi)角和及三角形內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)探究2結(jié)論：SBOC=；/A

理由如下：SBO和C。分別是0ABe和她。的角平分線

Zl=-ZABC,Z2=-ZACD

22

HMCD是S48c的一個(gè)外角ZACD=ZA+ZABC

Z2=-ZACD=-(ZA+ZABC)=-ZA+Z1

222

022是回BOC的一個(gè)外角ZBOC=Z2-Z1=-ZA+Z1-Z1=-ZA

22

(2)探究3結(jié)論：0BOC=9O°--ZA

2

0BO和CO分別是前BC和EIECB的角平分線

SZOBC=-ZDBC,ZOCB=-ZECB

22

00DBC=2[3OBC=0ABC+0A,^\ECB=2^OCB=^ACB+^A

兩式相加得：2EIOBC+21aoe2=EIABC+EACB+21aA

即ZOBC+ZOCB=-(ZABC+ZACB)+ZA01800-NBOC=-(l80°-NA)+NA整理得：0B(9C=9OO--ZA

222

(3)拓展結(jié)論：ZBOC-1(ZA+ZD)

WO和CO分別是E1ABC和回BCD的角平分線回NOBC=|ZABC,ZOCB=|ZBCD

00OBC+0OCB=~(ZABC+ZBCD)=(360°-ZA-ZD)=180°-1(ZA+ZD)

在EIBOC中，180°—ZBOC=Z.OBC+ZOCB

01800-NBOC=180°-1(NA+ND)ENBOC=1{ABAD+ZCDA)

(4)運(yùn)用：回CP和。P分別是團(tuán)DC尸和回GOC的角平分線回NPCD=L/DCRZPDC=-ZGDC

22

0NPCD=1(180°-NDCB),ZPDC=1(180°一ZEDC)E/PCD+ZPDC=g(360°-ZDCB-NEDC)

0NDCB+NEDC=540°-ZA-Z5-ZE=19O00NPCD+ZPDC=J(360°—190°)=85°

在EICP。中，/。尸￡)=180。-(4尸8+/尸￡＞。)=180。-85。=95。故答案為：95

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)，難度不大，掌握角平分線

的性質(zhì)及多邊形內(nèi)角和定理是關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，OG平分/MON,點(diǎn)A3是射線CW,QV上的點(diǎn)，連接A2.按

以下步驟作圖：

①以點(diǎn)8為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)C,交BN于點(diǎn)。；

②分別以點(diǎn)C和點(diǎn)。為圓心，大于《。長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E；

③作射線BE,交OG于點(diǎn)P.若/ABN=140。，ZMON=50°,則NOP3的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】B

【分析】根據(jù)條件可知8尸平分ZABN,則可求出NPBN,根據(jù)OG平分NMON求出/30G,進(jìn)而利用

APBN=NPOB+Z.OPB即可求出答案.

【詳解】由作法得BP平分ZABN,：.NPBN=-ZABN=1x140°=70°,

22

,/OG平分ZMON,：.ZBOP=-ZNOM=-x50°=25°,

22

/PBN=ZPOB+ZOPB,：.ZOPB=ZPBN-ZPOB=70°-25°=45°.故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義及作法，三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)題目條件發(fā)現(xiàn)角平分線是解題

的關(guān)鍵.

2.（2023?江蘇?八年級(jí)月考）AA5C中，點(diǎn)O是AA5c內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)。到AA5c三邊的距離相等；NA=4O。，

貝30c=（）

【解答】解：到三角形三邊距離相等，是內(nèi)心,

即三條角平分線交點(diǎn)，AO,BO,CO都是角平分線,

NCBO=ZABO=-ZABC,Z.BCO=ZACO=-ZACB,

22

ZABC+ZACB=180?！?0。=140°,/.ZOBC+Z.OCB=70°,

ZBOC=180°-70°=110°.故選：A.

3.(2023?成都?八年級(jí)月考)如圖，AABC的外角/ACD的平分線CP與內(nèi)角NA6C的平分線3P交于點(diǎn)尸,

若N3PC=40。，貝!JNC4P=()

A.40°B.45°C.50°D.60°

【解答】解：延長(zhǎng)54,作PN上BD,PFrBA,PMVAC,設(shè)NPCD=x°,

?.?CP平分ZACD,:.NACP=NPCD=x°,PM=PN,

?.?6尸平分ZABC,:.ZABP=ZPBC,PF=PN,:.PF=PM,

ZBPC=40°,ZABP=NPBC=NPCD-NBPC=(x—40)0,

ABAC=ZACD-ZABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,/.ZCAF=100°,

[PA—PA

在RtAPFA和RtAPMA中，\pM_pF'..RtAPFA=RtAPMA(HL),:.ZFAP=ZPAC^50°.故選：C.

4.（2023?重慶?八年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖，AABC中，ZABC=48。，NACB=84。，點(diǎn)。、E分別在明、

BC延長(zhǎng)線上，BP平分/ABC,CP平分NACE,連接AP,則/PAC的度數(shù)為（)

A.45°B.48°C.60°D.66°

【答案】D

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得PF=PH,PF=PG,進(jìn)而得出PH=PG,從而判定AP平分ZCAD,

再利用外角的性質(zhì)求出ZCAD即可.

【詳解】解：作尸尸于點(diǎn)尸，PH_LBD于點(diǎn)H,PGLAC于點(diǎn)G,

EI3P平分/ABC,CP平分NACE,QPF=PH,PF=PG,SPH=PG,

^PH±BD,PGLAC,EIAP平分/C4。，

0ZABC=48°,ZACB=84°,0ACAD=ZABC+ZACB=48°+84°=132°,

0ZPAC=-ZCAD=66°.故選：D.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知添加適當(dāng)?shù)妮o助線.

5.（2023秋?綿陽(yáng)市?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在“BC中，ZABC=50°,NACB=60。，點(diǎn)E在8C的延長(zhǎng)

線上，/ABC的平分線8。與NACE的平分線C￡＞相交于點(diǎn)。，連接A。，下列結(jié)論中不正確的是（）

A.ZBAC=70°B.ZDOC=90°C.NBDC=35。D.ADAC=55°

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求出N54C,即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)角平分線的定義求出

ZABO,再利用三角形的內(nèi)角和定理求出然后利用對(duì)頂角，即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義

和角平分線的定義求出NOCO,再利用三角形的內(nèi)角和定理求出NBDC,即可判斷C選項(xiàng)；利用角平分線

的性質(zhì)，推出AD為"1BC的外角平分線，然后列式計(jì)算求出/D4C,即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】解：?.?ZABC=50。，ZACB=60°,

.■.ZBAC=1800-ZABC-ZACB=180°-50°-60°=70°,故A選項(xiàng)正確，不符合題意;

QBD平分/ABC,ZABO=|zABC=ix50°=25°,

在AABO中，ZAOB=180°-ABAC-ZABO=180°-70°-25°=85°,

.-.ZDOC=ZAOB=85°,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

?JCD平分/ACE,ZACD=|ZACE=1（1800-ZACB）=1（180°-60°）=60°,

在△（%）￡）中，ZBDC=180°-Z.COD-ZACD=180°-85°-60°=35°,故C選項(xiàng)正確，不符合題意；

QBD、8分別是—ASC和，ACE的平分線，.：￡）到A3、AC,8c的距離相等，

.?.&￡＞是AABC的外角平分線，.?./。4。=；（180。-/84。）=；。80。-70。）=55。,

故D選項(xiàng)正確，不符合題意.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記定理和概念是解題關(guān)鍵.

6.（2022春?重慶黔江?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，己知AB〃CD,點(diǎn)E在兩平行線之間，連接BE,CE,/ABE

的平分線與-3EC的平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)/，若NBFE=50°,則/C等于（）.

A.70°B.80°C.85°D.90°

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)8E交。C的延長(zhǎng)線于G,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得aE8RaBE/WL30。，根據(jù)2BE的平

分線與NBEC的平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F可得0ABE+EIBEF+l3f'EC=26O。，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

0ECG=1OO°,進(jìn)而可求解.

【詳解】解：延長(zhǎng)BE交。C延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

00BF￡=5O°,0EBF+0F￡B+0BFE=180°,00EBF+0B￡F=18O°-5O°=13O°,

EEIABE的平分線與EIBEC的平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,EEL4BE+0BEF+[3FEC=26OO,

BAB//CD,EBABE=I38GC,^\BGC+^BEF+SFEC=260°,

EB8EF+團(tuán)FEG=180°,EBBGC+EICEG=80°,回團(tuán)ECG=100°,fflECZ）=180°-100°=80".故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查有關(guān)角平分線的計(jì)算，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

7.（2022春?北京海淀?七年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線4B與y軸在正半軸、無(wú)軸正半

軸分別交A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在8A的延長(zhǎng)線上，平分國(guó)C4。，2。平分HAB。，貝幅。的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】由OA回。3即可得出回O4B+EABO=90。、媯。3=90°,再根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理

即可求出ao的度數(shù).

【詳解】解：EOA0OB,E0OAB+0ABO=9O°,13Ao8=90°.

團(tuán)/M平分[3C4O,團(tuán)回。4。=1回OAC=1（18OO-0OAB）.回。8平分EAB。，^EABD=-SABO,

222

^ED=180°-^DAO-SOAB-SABD=180°--（18O0-0OAB）-0OAB--0ABO=9O°--（EIOAB+EIABO）=45°.

222

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是找出aD=90。-；（回。4B+0ABO）.本題屬于基礎(chǔ)題,

難度不大，解決該題型題目時(shí)，熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題是關(guān)鍵.

8.（2023?江蘇?八年級(jí)月考）如圖，AABC的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角NABC平分線交于點(diǎn)P,

若ZBPC=40°,則ABAC的度數(shù)是.

D

【解答】解：在AABC中，ZACD=ZA+ZABC,在AP5C中，ZPCD=ZP+/PBC,

;PB、尸C分別是NABC和NACD的平分線，ZPCD=-ZACD,ZPBC=-ZABC,

22

:.ZP+ZPCB^-(ZA+ZABC)=-ZA+-ZABC=-ZA+ZPCB,

2222

:.ZPCD=-ZA,:.ZBPC=40°,:.ZA=2x40°=80°,即ZS4c=80。.故答案為：80°.

2

9.(2023春?河北?七年級(jí)專題練習(xí))如圖，在EIABC中，13ABe和EIACB的角平分線交于點(diǎn)0,延長(zhǎng)BO與I3ACB

的外角平分線交于點(diǎn)D,若回BOC=130。，貝崛D=

【答案】40。

【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：03ABe和EIACB的角平分線交于點(diǎn)O,00ACO=1[3ACB,

[BCD平分EIACE,a3ACD=；ISACE,HBACB+回ACE=180°,

00OCD=0ACO+[3ACD=(0ACB+SACE)=；xl80°=90°,

EHBOC=130°,E0D=0BOC-0OCD=13O°-9O°=4O°,故答案為：40°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和概念正確推理計(jì)算是解題

的關(guān)鍵.

10.(2022秋?浙江八年級(jí)課時(shí)練習(xí))(2018育才單元考)如圖，在0ABe中，/ABC和NACD的角平分

線交于點(diǎn)A,得/A，NABC和NACD的角平分線交于點(diǎn)&,得N4,......,NA-BC和NATCD的角平分

線交于點(diǎn)4,得

(1)若ZA=80。，貝!|N4=,N4=,N4=

(2)若NA=AH°,貝1」40]5=.

A

0

B一正二D

c

【答案】40。20。10°（鼻

【分析】（1）利用角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)，易證EIAi=：EIA,進(jìn)而可求ElAi,同理易證國(guó)A2=gEIAi,

0A3=y0A2,進(jìn)而可求13A2和EIA3;

（2）利用角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)，易證回Ai=1l3A,進(jìn)而可求ElAi,同理易證OA2=TEIAI,EIA3=!EIA2,...,

以此類推可知回A2015即可求得.

【詳解】解：（1）00A=0ACD-EABC,EIAi=[3AiCD-0AiBC

EI-ABC和/ACD的角平分線交于點(diǎn)A-ZA=80°00AiCD=y0ACD,0AiBC=y0ABC

00AI=0AICD-0AIBC=|EIACD-1-0ABC=y（0ACD-0ABC）=1-0A=4OO

o

同理可證：IBA2=；E1AI=20°,0A3=y0A2=lO故答案為：40°；20°；10°.

（2）EHA=I3ACD—IBABC,0Ai=0AiCD-EAiBC

回,ABC和—ACD的角平分線交于點(diǎn)A-ZA=m°fflAiCD=^-0ACD,EIAiBC=10ABC

1111（rrT\

釀Ak國(guó)AiCD一回AiBC二不回ACD—不回ABC二不（回ACD一團(tuán)ABC）=-[?]A=-°

同理可證：0A2=^-0Ai=^y,回A3=1■回A2=（縈卜回A2O15=（/y）。故答案為：（尚

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義和三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出國(guó)團(tuán)A,并依此找出規(guī)律.

11.（2023?浙江杭州?八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABC。中，ZA+ZD=m°,/ABC的平分線與NBCD的

平分線交于點(diǎn)P,則NP=.（用含字母機(jī)的代數(shù)式表示）

B'C

【答案】y。

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360。，求出團(tuán)ABC+回BCD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義及三角形的內(nèi)角

和定理求出那的度數(shù)即可.

【詳解】解：H3A+回D=m°,且四邊形內(nèi)角和為360°,HH3ABC+0BCD=36Oo-m°,

EIPB、PC是IBABC、EIBCD的角平分線，00PBC=-ZABC,SBCP=-ZBCD,

22

EIEIPBC+0BCP=1NABC+g(NABC+ZBCD)=1(360°-m。)

fflP=180°-(fflPBC+HBCP)=180°-1(360°-m°)=1m°故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和及三角形的內(nèi)角和與角平分線相關(guān)的角度計(jì)算問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是表

達(dá)出13PBe+I3BCP的度數(shù).

12.(2023春?河南,七年級(jí)專題練習(xí))如圖，點(diǎn)〃是0ABe兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)N是0ABe兩外角平

分線的交點(diǎn)，如果國(guó)CMB：回CNB=3：2,那么回CAB=.

【答案】36。

【分析】由角平分線的定義得EINCM=E]MBN=gxl8(r=90。，再比的關(guān)系可求得I3CMB=1O8。，再由內(nèi)角平分線

及三角形內(nèi)角和即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意得：^NCM=^MBN=xl80°=90°,EBCMB+[3CN8=180°,

又EICM8：SCNB=3：2,B3CMB=108°,國(guó)；(EACB+EABC)=180°-13cM8=72°,

0EACB+EL4BC=144°,EEICAB=180o-(0ACB+0ABC)=36°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形角平分線的定義等知識(shí)，由條件得到四VCW=MBN=90。是關(guān)

鍵.

13.(2023?甘肅隴南?統(tǒng)考一模)在AABC中，AB=AC,NA=100。.點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上，/A3C的

平分線交AC于點(diǎn)DNMC4的平分線與射線BD交于點(diǎn)E.

A

D

MCB

⑴依題意補(bǔ)全圖形；用尺規(guī)作圖法作NMC4的平分線；⑵求/BEC的度數(shù).

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵50°

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖法可作NMC4的平分線；（2）根據(jù)角平分線的定義可得加D=NCBD=20。,

ZMCE=NDCE=70。,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】（1）解:如圖，CE即為所求；

（2）解：=ZA=100°,回NACB=NAfiC=40°,

El30是，ABC的平分線，ZABD=ZCBD=20°,

0ZACM=180°-40°=140°,CE是NMC4的平分線，

0ZMCE=ZDCE=70°,fflZBEC=ZMCE-Z.CBD=70°-20°=50°.

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖-角平分線、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和

相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

14.（2023?山東八年級(jí)期中）如圖，在AABC中，角平分線AD、BE、CF相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)8作BGLCP

于點(diǎn)G,NOBG=gzBAC成立嗎？說(shuō)明理由.

【答案】NOBG=—BAC成立，見(jiàn)解析.

2

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的交角的基本圖形和結(jié)論和三角形外角的性質(zhì)定理即可得出答案

【詳解】解：/OBG=；NBAC成立.

理由如下：團(tuán)在AABC中，角平分線AD、BE、CF相交于點(diǎn)。，

由三角形內(nèi)角平分線的交角的基本圖形和結(jié)論得，ZBOC=90°+1ZBAC.

2

由三角形的外角性質(zhì)得，NBOC=ZG+ZOBG=90°+ZOBG,

90°+-ZBAC=90°+ZOBG,ZOBG=-ABAC

22

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，及三角形的角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

15.（2023?黑龍江八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖（1）所示，已知在AABC中，。為E1ABC和0ACB的平分線

BO,C。的交點(diǎn).試猜想asoc和S4的關(guān)系，并說(shuō)明理由.（2）如圖（2）所示，若。為a48c的平分線

8。和0ACE的平分線CO的交點(diǎn)，貝峋BOC與0A的關(guān)系又該怎樣？為什么？

圖(2)

【答案】⑴0BOC=g她+90。；理由見(jiàn)解析；(2)aBOC=；0A；理由見(jiàn)解析

【分析】⑴根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出朋+HABC+a4cB=180。，&B0C+國(guó)08C+回。CB=180°,根據(jù)角平分線的

性質(zhì)得出a4BC=2EIOBC,0ACB-2EOCB,然后得出EIBOC+；a4BC+；0ACB=18O。，最后得出結(jié)論；(2)根據(jù)外

角的性質(zhì)得出EA+a4BC=fflACE,^OBC+^BOC^OCE,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出EABC=2回OBC,

0ACE=20OCE,最后根據(jù)MOC=[3OCE-EIOBC得出答案.

【詳解】(1)0BOC=^-EIA+9OO.在AABC中，EL4+ElABC+EIACB=180o,

在ABOC中，EBOC+EK9BC+0OCB=18OO,

X0BO,CO分另J是10ABC,I3AC8的平分線，0SABC=2SOBC,a4CB=20OCB.

回EIBOC+；0ABe+ga4CB=：180°.00BOC=18O°-(EL4BC+0ACB)=18Oo-y(18O°-E1A)=90°+y[2A.

(2)0BOC=10A.

0a4+EL4BC=EACE,SOBC+SBOC^OCE,0a4=EL4CE-EABC,SBOC^OCE-SOBC

X0BO,CO分另lj是EABC和0ACE的平分線，0fflABC=20OBC,0ACE=2回OCE.

0EIBOC=0OCE-EI(?BC=y0ACE-0ABC=1(EACE-0ABe)=1a4.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握外角性質(zhì)并能正確計(jì)算是解題關(guān)鍵.

16.(2023春?八年級(jí)單元測(cè)試)如圖，0CBF,0ACG是回ABC的外角，0ACG的平分線所在的直線分別與EIABC,

0CBF的平分線BD,BE交于點(diǎn)D,E.

(1)若鼬=70°,求回D的度數(shù)；(2)若[3A=a,求既；(3)連接AD,若E1ACB=A,貝I]E1ADB=.

【答案】(1)35°；(2)90°-1a；(3)，

【分析】(1)由角平分線的定義得到回DCG=1■回ACG,團(tuán)DBC=g回ABC,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到

結(jié)論；(2))根據(jù)角平分線的定義得到EJDBC=3E]ABC,0CBE=1[3CBF,于是得到EIDBE=90。，由(1)知即=：

團(tuán)A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得至靦E=90jga；

(3)根據(jù)角平分線的定義可得，0ABD=10ABC,BDAM=10MAC,再利用三角形外角的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：(1)EICD平分I3ACG,BD平分團(tuán)ABC,

00DCG=^-0ACG,0DBC=1-0ABC,

00ACG=0A+0ABC,02EDCG=0ACG=0A+0ABC=[2IA+20DBC,

EIEDCG=ED+EDBC,02EIDCG=20D+20DBC,

00A+20DBC=20D+20DBC,EHD=1E1A=35°；

(2)EIBD平分13ABC,BE平分E1CBF,EBDBC=；I3ABC,0CBE=1-0CBF,

fflDBC+0CBE=^-(0ABC+ECBF)=90°,00DBE=9O",

團(tuán)團(tuán)D二g團(tuán)A,回A=a,回RID=ga,團(tuán)團(tuán)DBE=90°,團(tuán)團(tuán)E=90°-ga；

(3)如圖,

OBD平分I3ABC,CD平分回ACG,[3AD平分13MAC,0ABD=y0ABC,E0DAM=1-0MAC,

EHDAM=I3ABD+E]ADB,EMAC=0ABC+0ACB,HACB=P，

00ADB=1-0ACB=1p.故答案為：yp.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的角平分線，三角形外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

71.（2023,福建泉州?七年級(jí)階段練習(xí)）在AABC中，已知NA=c.

（1）如圖1,ZABC、NACB的平分線相交于點(diǎn)D.①當(dāng)々=80。時(shí)，N3DC度數(shù)=_度（直接寫(xiě)出結(jié)果）；

②/aJC的度數(shù)為一（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）如圖2,若/ABC的平分線與/ACE角平分線交于點(diǎn)尸，求NBFC的度數(shù)（用含。的代數(shù)式表示）.

（3）在（2）的條件下，將AF3C以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到AG8C,NGBC的角平分線與NGCB的角平

分線交于點(diǎn)M（如圖3）,求一加紇的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.

【答案】(1)①130。；@90°+1a:(2)ZBFC=1a(3)ZBMC=90°+^a

【詳解】：(1)①130。；②900+；&；

(2)回砥和CP分別平分ZABC和NACE團(tuán)NFBC=-NABC/FCE=-ZACE

22

0ZBFC=ZFCE-ZFBC=|(ZACE-ZABC)=^ZAgpZBFC=^a

(3)由軸對(duì)稱性質(zhì)知：ABGC=ABFC=-a

2

由(1)②可得=90。+；ZBGCSZBMC=90°+^a.

18.（2023,江蘇鹽城?七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，EIABC的角平分線相交于P,0A=mo,（1）若鼬=40。,求EIBPC的

度數(shù)；（2）設(shè)回ABC的外角IBCBD、回BCE的平分線相交于Q,且EIA=m。，求EIBQC的度數(shù)

(3)設(shè)EIABC的外角E1CBD、EIBCE的n等分線相交于R,且OA=m°,13CBR=/l3CBD,EIBCR^EIBCE,求回BRC的

度數(shù)

iH—1m

【答案】（1）110。（2）9（r+3m°（3）—X18O0--（此結(jié)果形式可以不同,只要正確皆可）

2nn

【詳解】試題分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)解答即可;

（2）（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)解答即可.

試題解析:解:(1)014=40°,aiL4BC+[3ACB=180J40°=140°.I3BP、CP是角平分線，EEL4BC=2EPBC,SACB^PCB,

00PBC+EIPCB=y(0ABC+0ACB)==yxl40°=70°,釀尸=180°—70°=110°.

(2)aaQBC=EIA+a4CB,EBCE=EA+EL4BC,fflr)BC+EBCD=2EA+a4BC+ElACB=EA+180o=/7H180°.SBQ,C。是

角平分線，^BDBC^QBC,SBCE^ISBCQ,^QBC+BBCQ^^-(0DBC+EIECB)+180°)=90°+1〃2.在

EIBC。中，02=180°-(回Q2C+EIBC0)=180°-(90°+；W)=90°-^m.

(3)由(2)得：SDBC+SBCD=m+180°,SRBC+S\BCR=-(0DBC+EIECB)=-(m+180°).在EIBCR中，07?=180°

nn

Itt—1m

-(0KBC+0BC7?)=180°—(利+180°)=——xl80.

nnn

點(diǎn)睛：本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：三

角形內(nèi)角和等于180。.根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

19.(2023?江西上饒?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))⑴探究1:如圖1,P是EIABC的內(nèi)角I3ABC與EIACB的平分線BP和

CP的交點(diǎn)，若回A=70。，則回BPC=度；

（2）探究2:如圖2,P是EIABC的外角I3DBC與外角I3ECB的平分線B