人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題專練：全等三角形壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練（解析版）

第十二章全等三角形壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練

評(píng)卷入得分

一、單選題

1.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD.不能判定AABD三ACD3的條件是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.AD//BCD.ZA=ZC

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，分別添加選項(xiàng)進(jìn)行排查，即可完成解答；注意BD是公用邊這個(gè)條

件.

【詳解】解：A.若添力口AB=CD,根據(jù)ABE1CD,則回ABD=EICDB,依據(jù)SAS可得EIABDEBCDB,故A

選項(xiàng)正確；

B.若添力口AD=BC,根據(jù)ABEICD,貝I]EIADB=I3CBD,不能判定回ABDEECDB,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.若添加ATMABC,則四邊形ABCD是平行四邊形，能判定回ABDEBCDB,故C選項(xiàng)正確；

D.若添力口EIA=EIC,根據(jù)ABI3CD,貝l]EIABD=[3CDB,且BD公用，能判定I3ABDEHCDB,故D選項(xiàng)

正確；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法,

取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)

應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組

角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊.

2.在13ABe中，0C=9O°,D為AB的中點(diǎn)，ED0AB,EIDAE=[3CAE,貝（j0CAB=（）

A.30°B.60°C.80°D.50°

【答案】B

【詳解】試題解析：SD為AB的中點(diǎn)，ED^AB,

BDE為線段AB的垂直平分線，

E1AE=BE,

^\DAE=^\DBEf

^\DAE=^DBE=^\CAE,

在Rt0A8C中，

團(tuán)團(tuán)CA3+團(tuán)O3E=90°,

^\CAE^DAE^DBE=90°,

回3回D3E=90°,

團(tuán)回。38=30°,

00CAB=9O°-[?]Z)BE=9OO-3OO=6OO.

故選B.

3.如圖中，AEmAB且AE=AB,BC團(tuán)CD且BC=CD,若點(diǎn)E、B、D到直線AC的距離分別為6、

3、2,則圖中實(shí)線所圍成的陰影部分面積S是（）

A.50B.44C.38D.32

【答案】D

【分析】由已知和圖形根據(jù)“爛字形全等，用A4s可證廝E4加M43,^DHC^\CMB,推出

AM=EF=6,AF=BM=3,CM=DH=2,BM=CH=3f從而得出尸”二14,根據(jù)陰影部分的面積二S

梯形EFHD-S^EFA-S*BC-SQHC和面積公式代入求出即可.

【詳解】團(tuán)A畫(huà)43,EF^AF,BM^AM,

^\FEA^EAF=90°f團(tuán)E4a團(tuán)84M=90°,

團(tuán)團(tuán)/EA二回8AM,

在回尸E4和團(tuán)0A3中

ZF=ZBMA

<NFEA=NBAM,

AE^AB

^IFEA^iMAB(A4S),

0AM=EF=6,AF=BM=3,

同理CM=BM=CH=3f

團(tuán)產(chǎn)H=3+6+2+3=14,

國(guó)梯形EFHD的面積=--(EF+DH)?FH=-x(6+2)xl4=56,

22

團(tuán)陰影部分的面積=S梯燧EFHD-SAEFA-SAABC-SADHC=56-gx6x3-gx8x3-gx3x2=32.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，梯形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵

是把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積.

4.如圖，在4ABe中，-54C和—ABC的平分線AE,3歹相交于點(diǎn)O,AE交BC干E,BF

交AC于R過(guò)點(diǎn)。作OD，3C于Z),下列三個(gè)結(jié)論：?ZAOB=90°+1ZC；②當(dāng)

NC=60°時(shí)，AF+BE=AB；③若OD=aAB+5C+G4=勖,則5皿=".其中正確的是()

A.①②B.②③C.①②③D.①③

【答案】C

【分析】由角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可求解/AOB和NC的關(guān)系，即可判定①;

根據(jù)NC=60。得/出C+N8C4=120。，根據(jù)角平分線和三角形內(nèi)角和定理得N3QE=60。，

在AB上取一點(diǎn)“，使BH=BE,利用5人5證明47/80烏\￡80可得40//=/40尸=60。，

利用ASA可證明AH4O當(dāng)AE4O得AF=AH,進(jìn)而可判定②；作O"_LAC于H,OM_LAB于

M,根據(jù)題意得OH=OM=OD=a,根據(jù)AB+BC+C4=?,利用三角形面積即可判斷③

即可解答.

【詳解】解：回/BAC和NABC的平分線AE,M相交于點(diǎn)。，

0AOBA=-ZCBA,NOAB=-ZCAB,

22

0ZAOB=180°-ZOBA-ZOAB

=180°--ZCBA--ZCAB

22

=180°-1(180°-ZC)

=9O°+1ZC,故①正確;

0ZC=6O°,

回NBAC+NBC4=120。,

團(tuán)AE,砥分別是NB4。和/ABC的平分線,

團(tuán)ZOAB+ZOBA=1(ZBAC+ZABC)=60°

0ZAOB=120°,

0ZAOF=6O°,

團(tuán)NBQ石=60。，

如圖所示，在A5上取一點(diǎn)H,使BH=BE,

團(tuán)正是,ABC的角平分線,

⑦/HBO=NEBO,

在△HBO和LEBO中,

BH=BE

<ZHBO=ZEBO

BO=BO

團(tuán)△”30絲△EBO(SAS),

⑦ZBOH=NBOE=60。,

團(tuán)NAO"=60。，

^ZAOH=ZAOF=60°9

在/H4O和1E4O中，

ZHAO=ZFAO

<AO=AO

ZAOH=ZAOF

0AHAO^AK4O(ASA),

^\AF=AH,

ElAB=BH+AH=BE+AF，

故②正確；

如圖所示，作O”_LAC于H,于M,

團(tuán)N8AC和—ABC的平分線相交于點(diǎn)O,

回點(diǎn)。在—C的平分線上，

0OH=OM=OD=a,

0AB+BC+C4=2Z?,

0S=-AB.OM+-AC-OH+-BC-OD

△A4ABCr222

=1(AB+AC+BC)

?a

=ab，

故③正確；

綜上，①②③正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等

知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，AABC中,AC=BC,回ACB=90°,AE平分回BAC交BC于E,BDHAE于D,連CD,下歹!］結(jié)

論:①AB-AC=CE；（2）0CDB=135°；③SAACE=2SACDB;④AB=3CD,其中正確的有（）

【答案】B

【分析】①作高線EH,先根據(jù)角平分線定理得:CE=EH,再證明EIACEaaAHE（AAS）可得:AH=AC,

根據(jù)線段的和可得結(jié)論；

②先證明點(diǎn)A,B,D,C在以AB為直徑的圓上，得I3ADC=EIABC=45。，所以可得I3BDC=135。；

③作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明國(guó)ACE釀BCG,根據(jù)等腰三角形三線合一得BD=DG,知

道：國(guó)和國(guó)的面積相等，由此可得：S=S

BDCCDGACEBCG=2sBDC；

④根據(jù)③知：AB=AG=AC+CG,在EICDG中，可知CD>CG,從而得結(jié)論.

【詳解】①過(guò)點(diǎn)E作EH0AB于H,如圖1,

圖1

H3ABC=45",

fflBHE是等腰直角三角形，

EIEH=BH,

EIAE平分EICAB,

EIEH=CE,

0CE=BH,

在AACE和AAHE中，

ZCAE=ZHAE

Q\ZACB=ZAHE,

AE=AE

00ACE00AHE(AAS),

0AH=AC,

0AB-AC=AB-AH=BH=CE,

故①正確；

②H3ACB=90°,BD0AE于D,

G

圖2

a3ACB=!3ADB=9C)°,

回點(diǎn)A,B,D,C在以AB為直徑的圓上，

EBADC=EIABC=45°,

E0BDC=0ADB+0ADC=9O°+45°=135°

故②正確；

③如圖2,延長(zhǎng)BD、AC交于點(diǎn)G,

國(guó)AD平分回BAG,AD國(guó)BG,

團(tuán)BD=DG,

團(tuán)CD是RtABCG的斜邊的中線，

回CD=BD，SBCD=SCDG，

團(tuán)回DBC二團(tuán)DCB=22.5°,

團(tuán)團(tuán)CBG二團(tuán)CAE=22.5°,

回AOBC,團(tuán)ACE二團(tuán)BCG,

盟1ACE團(tuán)團(tuán)BCG,

=

團(tuán)SACESBCG=2sBDC,

故③正確；

④回AB=AG=AC+CG,

回BG=2CD>AC,CD>CG,

0AB*3CD,

故④錯(cuò)誤，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的形判定和性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線，掌握輔助

線的做法證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，AABC中，，ABC=45。，CD_LAB于。，BE平分/ABC,BE_LAC于E,與CD

相交于點(diǎn)尸，//是8C邊的中點(diǎn)，連接?？谂cBE相交于點(diǎn)G,下列結(jié)論：?AE=|SF;

②？A67.5?；③ADGR是等腰三角形；④S四邊形入皿=$四邊形GHCE.正確的有（）個(gè).

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】只要證明團(tuán)BDF釀CDA,團(tuán)BAC是等腰三角形，NDGF=NDFG=67.5。,可判斷①②③

正，作GM回BD于M,只要明G"<DG即可判斷④錯(cuò)誤.

【詳解】回郎平分/ABC,BE1AC

團(tuán)團(tuán)ABE二團(tuán)CBE,團(tuán)AEB二團(tuán)CEB,

團(tuán)團(tuán)A二團(tuán)ACB,

甌BAC是等腰三角形

0BE1AC

0AE=-AC

2

團(tuán)CD團(tuán)AB,BE團(tuán)AC,

REBDC=IEADC=I3AEB=9O°

團(tuán)團(tuán)A+團(tuán)ABE=90°,團(tuán)ABE+團(tuán)DFB=90°

甌A=I3DFB

團(tuán)團(tuán)ABC=45°,0BDC=9O°,

團(tuán)團(tuán)DCB=90°-45°=45°=團(tuán)DBC

團(tuán)BD=DC,

NBDF=/CDA

在團(tuán)BDF和團(tuán)CDA中，<ZA=ZDFB

BD=CD

團(tuán)團(tuán)BDF團(tuán)團(tuán)CDA(AAS)

0BF=AC,

團(tuán)尸故①正確，

團(tuán)團(tuán)ABE=IEEBC=22.5°,BE團(tuán)AC

RH1A=E]BCA=67.5°,

故②正確；

團(tuán)BE平分團(tuán)ABC,回ABC=45°,

團(tuán)團(tuán)ABE=(EEBC=22.5°,

團(tuán)回BDF=R1BHG=9O°

回團(tuán)BGH=[UBFD=67.5°

團(tuán)團(tuán)DGF=I2]DFG=67.5°

團(tuán)DG=DF,故③正確，

作GM團(tuán)AB于M,如圖所示：

H3GBM=I3GBH,GH0BC

0GH=GM<DG

回SADG；SAGHB

Gl^AABE

回S四邊形ADGE<S四邊形GHCE，

故④錯(cuò)誤;

故答案為B.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形

的性質(zhì)和判定，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵，難度很大.

7.如圖，已知，BD為13ABe的角平分線，且BD=BC,E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA.下

面結(jié)論：①EIABDEEEBC；②AC=2CD；③AD=AE=EC；（4）0BCE+0BCD=18O°.其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【詳解】已知8。為0ABe的角平分線，根據(jù)角平分線的定義可得0A回CBD,

在0A2D和EIE2C中,

BD=BC,SABD=BCBD,BE=BA,

由SAS可判定EIABOEBEBC,即可得①正確，符合題意；

根據(jù)已知條件，無(wú)法證明AC=2CD,②錯(cuò)誤，不符合題意;

已知為S4BC的角平分線，BD=BC,BE=BA,XT^BCD^BDC^BAE^BEA,

再由EI2CE=EIB￡M,BBCE=SBCD+SDCE,SBDA=S\DAE+SBEA,0BCZ)=0BEA,可得回。CE=EIZME,

所以AE=EC；

再由HABDEBEBC,可得AD=EC,

所以A￡?=AE=EC,即③正確，符合題意;

由財(cái)BDEBEBC,可得EIBCE=[3BZM,

所以EIBCE+EIBCr)=EIBZM+ElBZ)C=180°,④正確，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，

本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，RtlSACB中，0ACB=9O°,回ABC的平分線BE和回BAC的夕卜角平分線AD相交于點(diǎn)P,

分別交AC和BC的延長(zhǎng)線于E,D,過(guò)P作PFEIAD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,交BC的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)F,連接AF交DH于點(diǎn)G,貝!|下歹！]結(jié)論：①E1APB=45°；②PF=PA；③BD-AH=AB；④DG=AP+GH,

其中正確的是()

【答案】C

【分析】①根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和與角平分線的定義表示

出回CAP,再根據(jù)角平分線的定義I3ABP=g團(tuán)ABC,然后利用三角形的內(nèi)角和定理整理即可得解;

②先求出回APB=囪FPB,再利用"角邊角"證明國(guó)ABP和回FBP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等

得到AB=BF,AP=PF；

③根據(jù)直角的關(guān)系求出國(guó)AHPWFDP,然后利用“角角邊"證明回AHP與回FDP全等，根據(jù)全等三

角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=AH；

④根據(jù)PFI3AD,0ACB=9O°,可得AGEIDH,然后求出?ADG=[aDAG=45。，再根據(jù)等角對(duì)等邊可

得DG=AG,再根據(jù)等腰直角三角形兩腰相等可得GH=GF,然后求出DG=GH+AF,有直角三

角形斜邊大于直角邊，AF>AP,從而得出本小題錯(cuò)誤.

【詳解】解：①EEABC的角平分線BE和EIBAC的外角平分線，

00ABP=1-EIABC,

13cAp=；(90°+回ABC)=45°+：13ABC,

在EIABP中，0APB=18OO-0BAP-0ABP,

=180°-(45°+y0ABC+9O°-0ABC)-yEABC,

=180°-45°-y[?]ABC-90o+[2]ABC-0ABC,

=45°,故本小題正確；

②團(tuán)PF團(tuán)AD,團(tuán)APB=45°(已證)，

團(tuán)回APB=回FPB=45°,

盟1PB為團(tuán)ABC的角平分線，

團(tuán)團(tuán)ABP二團(tuán)FBP,

在團(tuán)ABP和團(tuán)FBP中，

NAPB=ZFPB

<PB=PB,

NABP=/FBP

釀ABP麗FBP(ASA),

回AB=BF,AP=PF；故②正確；

③團(tuán)團(tuán)ACB=90°,PF團(tuán)AD,

團(tuán)團(tuán)FDP+團(tuán)HAP=90°,團(tuán)AHP+團(tuán)HAP=90°,

RH1AHP二團(tuán)FDP,

0PF0AD,

配1APH二團(tuán)FPD=90°,

在回AHP與回FDP中，

ZAHP=ZFDP

<ZAPH=ZFPD=90°

AP=PF

ffiAHPfflFDP(AAS),

團(tuán)DF=AH,

團(tuán)BD=DF+BF,

團(tuán)BD=AH+AB,

團(tuán)BD-AH=AB,故③小題正確；

④團(tuán)PF團(tuán)AD,團(tuán)ACB=90°,

回AG團(tuán)DH,

回AP=PF,PF回AD,

00PAF=45°,

團(tuán)團(tuán)ADG二團(tuán)DAG=45°,

團(tuán)DG=AG,

團(tuán)團(tuán)PAF=45°,AG團(tuán)DH,

釀ADG與回FGH都是等腰直角三角形，

0DG=AG,GH=GF,

回DG=GH+AF,

0AF>AP,

0DG=AP+GH不成立，故本小題錯(cuò)誤，

綜上所述①②③正確.

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定與

性質(zhì)，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，做題時(shí)要分清角的關(guān)系與

邊的關(guān)系.

9.如圖，BD為ABC的角平分線，且=E為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA,過(guò)

E作F為垂足.下列結(jié)論：①ABD^EBC；（2）ZBCE+ZBCD=180°；③

AD=AE=EC；@BA+BC=2BF.其中正確的是（）

①③④C.①②④D.①②③④

【答案】D

【分析】易證。極左EBC（SAS）,可得NBCE=NBDA,=可得①②正確，再根據(jù)

角平分線的性質(zhì)可求得=即③正確，根據(jù)③可求得④正確.

【詳解】解：Q即為“1BC的角平分線，

:.ZABD=ZCBD,

在和aEBC中,

BD=BC

<ZABD=ZEBC,

BA=BE

ABD^EBC(SAS),①正確;

BD=BC,BE=BA,

180°-ZCBD180°-/ARD

4BDC=NBCD=NBEA=NBAE=

22

ZBCD=ZBDC=ZBAE=ZBEA,

△ABD咨AEBC,

:.ZBCE=ZBDA,

:.ZBCE+/BCD=/BDA+/BDC=18QP,②正確,

ZBCE=ZBDA,ZBCE=ZBCD+ZDCE,ABDA=ADAE+ABEA,/BCD=/BEA,

:.ZDCE=ZDAE,

AE=EC,

AABD^AEBC,

AD=ECJ

:.AD=AE=EC,③正確；

過(guò)E作EGL3C,交3C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

Q3￡>平分/ABC,

:.EF=EG,

在Rt^BEG和RtABEF中，

jBE=BE

[EG=EF，

.-.RtBEG^RtBE尸(HL),

:.BG=BF,

在RtZkCEG和Rt的'中，

[CE^AE

[EG=EF'

.-.RtCEG^RtAEF(HL),

:.AF=CG,

:.BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF,④正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本

題中熟練求證三角形全等和全等三角形對(duì)邊角、對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.在I3ABC中，ABAC=90°,AB=AC,D、E是斜邊8C上兩點(diǎn)，且EIZME=45。，將0Aoe

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到她加，連接EF.下列結(jié)論：②0ABe的面積等

于四邊形AFBD的面積；③當(dāng)BE=CD時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度最短.其中正確的個(gè)數(shù)()

A

F

BEDC

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得她2尸=0AC2=45。，可求回FBE=90。，可得故①正確；由

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AADCSEABF,由面積的和差關(guān)系可得AABC的面積等于四邊形AFBD的面

積，故②正確；由"SAS"可證△MEHBD4E,可得DE=EF,由勾股定理可得

即可求解.

【詳解】E0BAC=9O°,AB=AC,

EHABC=0ACB=45°,

團(tuán)將“OC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

H3AB尸=0ACB=45°,

00FBE=EIABF+EL4BC=9OO,

SBEHBR故①正確；

團(tuán)將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到“反，

^EADCSEABF,

^\S^ADC=S^AFB,

^S^ADB+S^ADC=S^ADB+S^ABF,

[ML4BC的面積等于四邊形AbBZ)的面積，故②正確；

mAFB^\ADCf

^\BF=DCf^CAD=^\BAFf團(tuán)DAF=90°,

團(tuán)團(tuán)A4C=90°,0Z)AE=45°,

團(tuán)團(tuán)A4E+團(tuán)D4C=45°,

^EAF=^BAF+^BAE=^DAC+^1BAE=45O,

BP0ME=[?]￡>AE=45O,

在△陰E和ADAE中

AE=AE

<NFAE=ZDAE,

AF=AD

^\FAE^\DAE(SAS),

國(guó)DE=EF,

在Rf△尸BE中,由勾股定理得：BE2+BF2=EF2,

SBF=DC,EF=DE,

^BE^D^DE2,

ffl(BE-DC)2>0,

^Be+D^IBE?DC,

SBE=DC時(shí)，BE2+DC2有最小值，

國(guó)當(dāng)8￡=CQ時(shí)，線段。E的長(zhǎng)度最短，故③正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵.

評(píng)卷人得分

----------------二、填空題

11.在RtAABC中，EIC=90。，回A的平分線AD分對(duì)邊BD,DC的長(zhǎng)度比為3：2,且BC=20cm,

則點(diǎn)D到AB的距離是cm.

【答案】8

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)D作DEMB于點(diǎn)E,由角平分線的性質(zhì)可知DE=CD,根

據(jù)角平分線AD分對(duì)邊BC為BD：DC=3：2,且BC=10cm即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE回AB于點(diǎn)E,

0AD是EIBAC的平分線，%=90°,

EDE=CD.

0BD：DC=3：2,且BC=10cm,

2,、

0CD=2Oxy=8(cm).

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解

答此題的關(guān)鍵.

12.如圖，AABC中，ZACB=90°,AC//BD,BC=BD,在A3上截取8E,使BE=BD,

過(guò)點(diǎn)8作A3的垂線，交8于點(diǎn)尸，連接DE,交BC于點(diǎn)交融于點(diǎn)G,3c=7,BG=4,

則AB=.

【答案】萼

O

【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM0BD,與BF延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,先證明團(tuán)BHE釀BGD得至膽1EHB二團(tuán)DGB,

再由平行和對(duì)頂角相等得到回MDG二回MGD,即MD=MG,在加BDM中利用勾股定理算出MG

的長(zhǎng)度，得至!JBM,再證明回ABC團(tuán)團(tuán)MBD,從而得出BM二AB即可.

【詳解】解：團(tuán)AC團(tuán)BD,0ACB=9O°,

fflCBD=90°,即團(tuán)1+團(tuán)2=90°,

又回BFR1AB,

釀ABF=90°,

即團(tuán)8+國(guó)2=90°,

團(tuán)BE=BD,

008=01,

在團(tuán)BHE和團(tuán)BGD中，

'/8=N1

<BE=BD,

Z4=Z3

釀BHE麗BGD(ASA),

RH1EHB二團(tuán)DGB

團(tuán)團(tuán)5二團(tuán)6,團(tuán)6二團(tuán)7,

RIMDRIBD

團(tuán)團(tuán)BDM=90°,

團(tuán)BC團(tuán)MD,

005=E]MDG,

團(tuán)團(tuán)7二團(tuán)MDG

團(tuán)MGnMD,

團(tuán)BC=7,BG=4,

設(shè)MG=x,在EIBDM中，

BD2+MD2=BM2,

即7?+尤2=(4+%)2,

解得x二三33,

o

在回ABC和回MBD中

'/ACB=/MDB

<BC=BD,

Z8=Z1

團(tuán)團(tuán)ABC團(tuán)團(tuán)MBD(ASA)

3365

AB=BM=BG+MG=4+—=—.

88

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造全等三角形，

利用全等三角形的性質(zhì)求出待求的線段，難度中等.

25

13.如圖，已知OP平分MOB,CP^OA,尸?；?。4于點(diǎn)。，于點(diǎn)E.CP=—,PD=

4

6.如果點(diǎn)M是。尸的中點(diǎn)，則。/的長(zhǎng)是.

【分析】由角平分線的性質(zhì)得出EIAOP=I3BOP,PC=PD=6,ElPDO=iaPEO=90°,由勾股定理得出

CE='CP2-PE?=-,由平行線的性質(zhì)得出EIOPC=I3AC)P,得出回OPC=I3BOP,證出

4

25__________

CO=CP=—,得出OE=CE+CO=8,由勾股定理求出OP=《OE2+PE，=10,再由直角三角

形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】EIOP平分MOB,于點(diǎn)D,于點(diǎn)E,

圓孔40尸=回80尸，PC=PD=6,國(guó)PDO=EPEO=90°,

?CE=<CP2—PE2=/0）—62=1,

0CP0OA,

團(tuán)團(tuán)0。。=園40尸，

團(tuán)團(tuán)02。=團(tuán)3。尸，

25

0CO=CP=—,

4

725

0OE=CE+CO=-+—=8,

44

?OP=7OE2+PE2=A/82+62=10^

在RSOPO中，點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，

^\DM=-OP=5；

2

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、直角三角形斜

邊上的中線性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí);熟練掌握勾股定理和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，

證明CO=CP是解題的關(guān)鍵.

14.如圖,C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A.E重合），在AE同側(cè)分別作等邊AABC和等邊ACDE,AD

與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連接PQ,以下五個(gè)結(jié)論：

①AD=BE;②PQE1AE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤回AOB=60。，一定成立的有（填序號(hào)）

【答案】①②③⑤

【分析】①根據(jù)全等三角形的判定方法，證出團(tuán)ACD盟BCE,即可得出AD=BE.

③先證明團(tuán)ACPEBBCQ,即可判斷出CP=CQ,③正確；

②根據(jù)EIPCQ=60°,可得回PCQ為等邊三角形，證出回PQC=EIDCE=60。，得出PQI3AE,②正確.

④沒(méi)有條件證出BO=OE,得出④錯(cuò)誤；

⑤回AOB=I3DAE+I3AEO=I3DAE+E]ADC=EIDCE=60。，⑤正確；即可得出結(jié)論.

【詳解】解：03ABC和回CDE都是等邊三角形，

0AC=BC,CD=CE,0ACB=0DCE=6O°,

00ACB+0BCD=0DCE+0BCD,

EHACD=EIBCE,

AC^BC

在I3ACD和I3BCE中，＜ZACD=ZBCE,

CD=CE

EEACDEEBCE(SAS),

0AD=BE,結(jié)論①正確.

EHACDEHBCE,

00CAD=ECBE,

又EEACB=EIDCE=60°,

EBBCD=180°-60°-60°=60°,

EHACP=I3BCQ=6O°,

ZACP=ZBCQ

在回ACP和EIBCQ中，＜/CAP=ZCBQ,

AC=BC

0BACP00BCQ(AAS),

團(tuán)CP=CQ,結(jié)論③正確；

又EEPCQ=60°,

fflPCQ為等邊三角形，

EHPQC=EIDCE=60°,

0PQ0AE,結(jié)論②正確.

EHACD回回BCE,

00ADC=0AEO,

00AOB=0DAE+0AEO=0DAE+0ADC=0DCE=6O°,

團(tuán)結(jié)論⑤正確.沒(méi)有條件證出BO=OE,④錯(cuò)誤；

綜上，可得正確的結(jié)論有4個(gè)：①②③⑤.

故答案是：①②③⑤.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用、等邊三角形的性

質(zhì)和應(yīng)用、平行線的判定;熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

15.如圖，AC=BC,0ACD=9O°,AE平分I3BAC,BF0AE,交AC的延長(zhǎng)線于F,且垂足為E,貝1|

下列結(jié)論：①AD=BF；②BF=AF；③AB=BF；④AC+CD=AB；⑤AD=2BE.其中正確的結(jié)論

有.

【答案】①、④、⑤

【分析】利用ASA證明EIADCEBBFC判斷①正確；由AF>AD,推出BF-AF判斷②錯(cuò)誤；利

用角平分線的性質(zhì)及垂直的定義證明EIAEBEBAEF,得到AB=AF,BE=FE,即可判斷③錯(cuò)誤；

根據(jù)OADCEEIBFC推出CF=CD,由AF=CF+AC判斷④正確；由AD=BF,BF=2BE,判斷⑤正確.

【詳解】EBF0AE,

EEIAEF=0BCF=0ACD=9O°,

aSF+EIFAE=90°,0F+0FBC=9O°,

aBFAE=EIFBC,

又I3AC=BC,

00ADC00BFC,

回AD=BF,故①正確；

0AF>AD,

回BFRAF,故②錯(cuò)誤；

0AE平分EIBAC,

aSBAE=l3FAE,

0AE0BF,

EHAEB=EIAEF=90°,

EAE=AE,

00AEB00AEF,

0AB=AF,BE=FE,

0BF*AF,

EIBFWAB,故③錯(cuò)誤；

00ADC00BFC,

ECF=CD,

0AF=CF+AC,

回AB=CD+AC,故④正確；

回AD=BF,BF=2BE,

0AD=2BE,故⑤正確；

故答案為：①、④、⑤.

【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)，垂直的定義，三角形全等的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角

形全等的判定定理并運(yùn)用解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在EIABC中，0ABe=50。，0ACB=6O。，點(diǎn)E在8C的延長(zhǎng)線上，I3ABC的平分線8。

與財(cái)CE的平分線C。相交于點(diǎn)。，連接AQ,以下結(jié)論：①E1BAC=7O。；②回。OC=90。；

③SBDC=35。；④SDAC=55。，其中正確的是.（填寫(xiě)序號(hào)）

4

D

【答案】①③④

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)解

答即可.

【詳解】解：00ABC=5O°,SACB=60°,0EfiAC=18O--50°-60°=70°,①正確；

138。是0A2C的平分線，00DBC=1-0ABC=25O,00DOC=25°+6O°=85°,②錯(cuò)誤；

EBDC=60°-25°=35°,③正確；

團(tuán)0ABe的平分線80與朋CE的平分線C。相交于點(diǎn)D,0AO是SBAC的外角平分線，

EBD4c=55°,④正確.

故答案為①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相

等是解題的關(guān)鍵.

17.在aABC中給定下面幾組條件:

①BC=4cm,AC=5cm,團(tuán)ACB=30°；

②BC=4cm,AC=3cm,回ABC=30°；

③BC=4cm,AC=5cm,回ABC=90°；

④BC=4cm,AC=5cm,回ABC=120'

若根據(jù)每組條件畫(huà)圖，則ABC能夠唯一確定的是（填序號(hào)）.

【答案】①③④

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到答案.

【詳解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS,即能畫(huà)出唯一三角形，正確；

②根據(jù)BC=4cm,AC=3cm,E1ABC=3O。不能畫(huà)出唯一三角形，如圖所示E1ABC和I3BCD,

錯(cuò)誤;

③符合全等三角形的判定定理HL,即能畫(huà)出唯一三角形，正確;

④?chē)?guó)ABC為鈍角，結(jié)合②可知，只能畫(huà)出唯一三角形，正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定方法；解答此題的關(guān)鍵是要掌握三角形全等判定的

幾種方法即可，結(jié)合已知逐個(gè)驗(yàn)證，要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B分別為x軸和y軸上一點(diǎn)，且Q4=OB,過(guò)

點(diǎn)B作于點(diǎn)E,延長(zhǎng)8E至點(diǎn)。，使得比＞=AC,連接OC、OD,若點(diǎn)C在第一象

限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,1.5),連接CD,AC與0。交于點(diǎn)R則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

【分析】如圖，先證明N1=N2再根據(jù)S4S證明&AOC絲&3OD,即得

OC=OD,ZAOC=NBOD,接著再證明一OK。四,dC(A4S),即可得出

DK=OL,KO=CL,從而求得結(jié)果.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作OKLx軸于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)C作CLLx于點(diǎn)L3。與x軸相交于點(diǎn)H,

:.ZAEH=90°,

在H中，Zl=900-ZAHE,

在HBOH中,Z2=900-ZBHO,

ZAHE:ZBHO,

.-.Z1=Z2,

在瓜OC和BOD中,

AO=BO

</1=N2

AC=BD

AO8.BOD(SAS),

:.OC=OD,ZAOC=ZBOD,

又二ZAOC=90°+Z3,ZBO￡>=90°+Z4,

.*.Z3=Z4,

Z4+Z5=90°,

/.Z3+Z5=90°,

即/DOC=90。，

/.Z4+ZCOL=90°,

Z4+ZXDO=90°,

/.ZCOL=ZKDO,

在△DKO和-OLC中，

ZDKO=ZOLC

<ZCOL=ZKDO,

OD=OC

DKCROLC(AAS),

:.DK=OL,KO=CL,

點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,1.5),即級(jí)=2,CL=1.5,

:.DK=ZKO=1.5f

/.0(-1.5,2)；

故答案為：(-1.5,2).

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.

評(píng)卷人|得分|

----------------三、解答題

19.已知，在RtZXABC中，NBAC=90。，點(diǎn)。為邊A5的中點(diǎn)，AELCD分別交8,BC

于點(diǎn)尸，E.

AA

BECBEC

圖1圖2

(1)如圖1,①若AB=AC,請(qǐng)直接寫(xiě)出/￡AC—ZBCD=；

②連接DE,若AE=2DE,求證：ZDEB=ZAEC；

(2)如圖2,連接fB,若EB=AC,試探究線段b和。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)①45。；②見(jiàn)解析；(2)CF=2DF,理由見(jiàn)解析

【分析】(1)①利用直角三角形兩個(gè)銳角相加得90。和三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角

和的性質(zhì)結(jié)合題干已知即可解題.

②延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G,使得DG=DE,連接AG,從而可證明△">G回△BDE(SAS),再利

用全等的性質(zhì)，可知/￡>G4=/O￡B,即可知道AG〃臺(tái)C,所以NG4E=NAEC,根據(jù)題干

又可得到AE=EG,所以/Z)G4=/G4E,從而得出結(jié)論.

(2)延長(zhǎng)。至點(diǎn)7/,使得=連接3",從而可證明HDB^AFDA(SAS),再

利用全等的性質(zhì)，可知=N"=NAFD=NAFC=9O。，根據(jù)題干即可證明RtAHB/

ERtAfXC(HL),即得出結(jié)論.

【詳解】(1)00ZEAC+ZACD=90°,ZAEC+ZBCD=90°

SZEAC-ZBCD=ZAEC-ZACD

ElZE4C+ZBAE=90o

BZACD=ZBAE

又回ZAEC=ZB+ZBAE

0ZEAC-NBCD=N3+NBAE-ZACD

0ZEAC-ZBCD=N3=45°

故答案為45。.

②如圖，延長(zhǎng)瓦>至點(diǎn)G,使得DG=OE,連接AG,

回點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)，

團(tuán)BD=AD,

又團(tuán)NADG=NBDE,

回Z\ADG@ABDE,

B1ZDGA=ZDEB,

AG/IBC,

SZGAE^ZAEC,

又回AE=2DE,

^AE=EG,

S\ZDGA=ZGAE,

S\ZDEB=ZAEC.

(2)CF=2DF.

如圖，延長(zhǎng)8至點(diǎn)〃，使得￡>H=Db,連接BH,

fflHDB包BDA,

SBH=AF,NH=ZAFD=ZAFC=90。,

SBF=AC.

0RtA/ffiF0RtAJXC,

0CF=HF=2DF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)以及平行線的性質(zhì).綜合性較強(qiáng)，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

20.問(wèn)題背景：

圖1圖2

(1)如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=9Oa,E,尸分別是

BC,CO上的點(diǎn)，且ZE4F=60。，探究圖中線段8E、EF、ED之間的數(shù)量關(guān)系，嘉琪同學(xué)

探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明空△ADG,

再證明.AE尸學(xué)&AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

(2)探索延伸：①如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別

是3C,CD上的點(diǎn)，且上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由.

②如圖2,若五邊形ABEED的面積為30,BE=4,DF=6,直接寫(xiě)出A點(diǎn)到E尸的距離.

【答案】(1)BE+DF=EF

(2)①成立，理由見(jiàn)解析②3

【分析】(1)由題意可直接得出BE+DF=EF;

(2)①延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE四△ADG,再證明

AEF^AGF,即可得出結(jié)論；②利用①中的結(jié)論，再用三角形的面積公式即可得出答案.

【詳解】(1)解：,AEF^^AGF

SEF=FG,

?FG=DF+DG,

BEF=FD+BE

BE+DF=EF

(2)解：①結(jié)論仍然成立

延長(zhǎng)見(jiàn)到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,

EZB+ZAT>C=180°,ZADC+ZADG=180°,

SZB=ZADG

在和△A￡?G中，

AB=AD

0]/ABE=ZADG,

BE=DG

El△ABE密AT>G(SAS),

SZBAE=ZDAG,NEAF=—BAD,

2

^ZEAF=-ZEAG

2f

^ZEAF=ZFAGfAE=AG.

在F和a4G尸中，

AE=AG

^ZEAF=ZGAF,

AF=AF

0AAEF^AAGF(SAS),

⑦EF=FG,

團(tuán)FG=DF+DG9

也EF=FD+BE.

②A點(diǎn)到EF的距離即△AEF的高

由①可得即=即+5石=6+4=10,

==+=

S五邊形ARETOS^ABE+S^AEF+^AAFD^AAEF/\AFD+^ADG^^/\AEF=3°,

則^AAEF=gh?EF=ghxlO=15,

解得h=3,

即A點(diǎn)到訪的距離為3

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，ZA=ZB,/場(chǎng)=3石，點(diǎn)。在AC邊上，Z1=Z2,AE和20相交于點(diǎn)。.

（1）求證：LAEC且ABED.

（2）如果%）=15,AD:DC=3:2,E點(diǎn)到AC邊的距離為3,求△EDC的面積.

【答案】（1）答案見(jiàn)詳解（2）9

【分析】（1）根據(jù)ASA來(lái)證明三角形全等即可；

（2）欲求EIEDC的面積需先求出DC長(zhǎng)，由（1）中可知AC=BD=15,根據(jù)AD:DC=3:2求

出DC,進(jìn)而求出EIEDC的面積.

【詳解】解：（1）在回A0D和IZIBOE中，ZA=ZB，0AOD=0BOE,002=0BED

0Z1=Z2001=0BED

001+0BEA=EBED+EBEA艮|3回AEC=I3BED

在I3AEC和mBED

NAEC=/BED

AE=BE

ZA=ZB

0AAEC^ABED(ASA)

(2)由△AEC四△BED得AC=BD=15,AD:DC=3:2

2

0DC=15x-=6

5

過(guò)E作EF團(tuán)DC于F,回EF=3

s

回FDC-3=—x6x3=9

EDC=-2,2

【點(diǎn)睛】本題考查了利用ASA來(lái)證明三角形全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)來(lái)求解，解

題關(guān)鍵是證得三角形全等，利用全等三角形性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等求得三角形的底邊長(zhǎng)是目的.

22.(1)閱讀理解：

圖①圖②圖③

如圖①，在，ABC中，若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線的取值范圍.解決此問(wèn)題

可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接班，這樣就把AB,AC,2Ao集

中在八4BE中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段AE的取值范圍是；則中線AD的取

值范圍是;

(2)問(wèn)題解決：

如圖②，在..ABC中，。是邊的中點(diǎn)，DE上DF于其D,OE交4B于點(diǎn)E,DF交AC

于點(diǎn)尸，連接防，此時(shí)：BE+C廠與所的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)問(wèn)題拓展：

如圖③，在四邊形A3CD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,48=160。,以C為頂點(diǎn)作

ZECF=80°,邊CE,CF分別交A3,AD于E,F兩點(diǎn)，連接￡F,此時(shí)：BE、DF與EF

的數(shù)量關(guān)系

【答案】(1)2<AE<8,1<AD<4.(2)EF>EB+CF,見(jiàn)解析；(3)BE+DF=EF

【分析】(1)延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使QE=AD,再連接BE,證明△ADC名△EDB(SAS),可得

AC=BE,再由三角形三角關(guān)系可得2<AE<8,1<AD<4；

(2)延長(zhǎng)FD至G,使FD=￡)G,連接3G,證明，CKD名GBQ(SAS),可得BG=FC,連

接EG,可知白EFG是等腰三角形，則在=EG,在1tEBG中，EG>￡B+BG,即￡F>+CF；

(3)延長(zhǎng)A3至H使9尸，連接CH,證明.CBH-CDF(SAS),可推導(dǎo)出NCEH=80。,

再證明"CE-HCE(SAS),則EH=EF,能推導(dǎo)出郎+￡)尸=￡F.

【詳解】解：(1)延長(zhǎng)AO到點(diǎn)E使QE=AD，再連接3E,

CD=BD,ZADC=NBDE,AD=DE,

.-.△ADC^AEDB(SAS),

AC=BE,

在.ABE中,AB—BE<AE<AB+BE,

/.2<AE<8,

AE=2AD,

?.1<AD<4,

故答案為：2<AE<8,1<AD<4；

(2)延長(zhǎng)ED至G,使FD=OG,連接BG,

CD=BD,/CDF=/BDG,FD=DG,

CFD^GBD(SAS),

:.BG=FC,

連接EG,

ED±FD,FD=DG,

.?.△EFG是等腰三角形，

:.FE=EG,

在1sEBG中，EOEB+BG,^EF>EB+CF；

(3)延長(zhǎng)A3至H使5H=D凡連接S,

:.ZD=ZCBHf

CD=CB,BH=DF,

/.CBH%.CDF母AS),

:.CH=CF,/BCH=/DCF,

/BCD=160。,ZECF=8Q°,

ZDCF+NECB=80。,

NCEH=80。,

,FC=CH,EC=EC,

FCE^.,HCE(SAS),

：.EH=EF,

BE+BH=EH,

:.BE+DF=EF.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形中線

的定義，三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

23.如圖①，在RSABC中，回C=90。，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm,現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P,從A點(diǎn)

出發(fā)，沿著三角形的邊AC-CB-BA運(yùn)動(dòng)，回到A點(diǎn)停止，速度為lcm/s,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

(1)當(dāng)仁時(shí)，A