拋物線方程及其性質-2025年高中數(shù)學一輪復習

第06講拋物線方程及其性質

（5類核心考點精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯(lián)考點

切線長

2023年新II卷，第10題,6分根據(jù)拋物線方程求焦點或準線

直線與拋物線交點相關問題

由導數(shù)求函數(shù)的最值

拋物線標準方程（不含參）

2023年新I卷，第22題,12分

求直線與拋物線相交所得弦的弦長基本（均值）不等式的應用

求平面軌跡方程

拋物線定義的理解

根據(jù)焦點或準線寫出拋物線的標準方程

2023年新H卷，第10題,5分無

求直線與拋物線的交點坐標與地物線焦

點弦有關的幾何性質

根據(jù)拋物線方程求焦點或準線求直線與拋物線相交所得弦

2022年新I卷，第11題,5分

判斷直線與拋物線的位置關系的弦長

拋物線定義的理解數(shù)量積的坐標表示

2022年新n卷，第10題,5分

求直線與拋物線的交點坐標已知兩點求斜率

根據(jù)拋物線方程求焦點或準線

2021年新I卷，第14題,5分無

根據(jù)拋物線上的點求標準方程

2021年新II卷，第3題,5分根據(jù)拋物線方程求焦點或準線已知點到直線距離求參教

2020年新I卷，第13題,5分求拋物線焦點弦長無

2020年新H卷,第14題,5分求拋物線焦點弦長無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-17分

【備考策略】1.熟練掌握拋物線的定義及其標準方程，會基本量的求解

2.熟練掌握拋物線的幾何性質，并會相關計算

3.會求拋物線的標準方程，會拋物線方程簡單的實際應用

1

5.會求拋物線的相關最值

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容,常?？疾闃藴史匠痰那蠼?、基本量的計算及最值的求解,

需重點強化訓練

Ir.考點梳理。

考點4拋物線中的最值問題

考點5拋物線的簡單應用

知識講解

1.拋物線的定義

平面上一動點P(x,y)到定點E(：,0)的距離與到定直線/：x=-f的點的軌跡叫做拋物線

2.拋物線的圖形

3.數(shù)學表達式

\PF\=\PPi

4.標準方程的推導

設p(x,y),由定義可知：

|PF|=|P^|.-J(x-^)2+/=x+g,等式兩邊同時平方得:

.,.(x-^)2+y2=(x+^)2=4>x2-px+^+y1=x2+Px+~~=>/=2px

2

5.拋物線的標準方程及其幾何性質

焦點

X軸正半軸X軸負半軸y軸正半軸y軸負半軸

位置

5.

Pl\5J/

(

4,

圖形0

-5VTH

-5

標準

y2=2Pxy2=-2pxX2=2pyX2=-2py

方程

焦點

g，。）(-f,o)（吟

坐標

準線p

x=-PX_Py=——

方程222

6.通徑

通徑長：2p,半通徑長：p

7.焦半徑（拋物線上的點到焦點的距離）

橫軸尸司=聞+]

焦半徑

縱軸：|尸刊=閱+]

8.焦點弦的性質

(1)%=-P?,%%=7

PP

(2)AB\^+x+p^^-（5）｛/尸,8尸｝*=

Xl21+COS01-COS0

sin6min

（6）NCFD=90°

（7以N8為直徑的圓必與準線相切

=2（焦點弦中垂線問題）

考點一、拋物線的定義

3

典例引領

1.（2024?上海?高考真題）已知拋物線/=4x上有一點P到準線的距離為9,那么點P到無軸的距離為.

【答案】4亞

【分析】根據(jù)拋物線的定義知物=8,將其再代入拋物線方程即可.

【詳解】由/=4x知拋物線的準線方程為％=-1,設點PQoJo），由題意得％+1=9,解得％=8,

代入拋物線方程必=4無，得訴=32,解得％=±4后，

則點尸到x軸的距離為4夜.

故答案為：4c.

2.（2023?北京?高考真題）已知拋物線C:/=8x的焦點為尸，點”在C上.若M到直線x=-3的距離為5,

則|〃F|=（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【分析】利用拋物線的定義求解即可.

【詳解】因為拋物線C:/=8x的焦點尸（2,0）,準線方程為了=-2,點M在C上，

所以M到準線x=-2的距離為|"F|,

又M到直線x=-3的距離為5,

所以|吹|+1=5,故|MF|=4.

故選：D.

即時檢測

■一

1.（2023高三?全國?專題練習）動點P到直線x+4=0的距離減去它到點M（2,0）的距離等于2,則點尸的

軌跡是（）

A.直線B.圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，動點尸到直線的距離與到定點的距離相等，由拋物線的定義可知，點尸的軌跡為

拋物線.

【詳解】如圖所示，由于動點P到直線x+4=0的距離減去它到點M（2,0）的距離等于2,

于是動點P在直線x=T的右邊，且動點P到直線x+4=0的距離大于2,

因此動點P到直線》=-2的距離等于它到點“（2,0）的距離，

進而根據(jù)拋物線的定義，可知點尸的軌跡是拋物線.

故選：D

2.（2024?陜西西安?一模）平面上動點M到定點尸（3,0）的距離比M到N軸的距離大3,則動點M滿足的方

4

程為.

【答案】或y=0(x<0)

【分析】考慮x'O和x<0兩種情況，xWO時確定軌跡為拋物線，根據(jù)題意得到‘=3,得到答案.

2

【詳解】動點河到定點廠(3,0)的距離比河到y(tǒng)軸的距離大3,

當尤20時，動點/到定點尸(3,0)的距離等于到了=-3的距離，軌跡為拋物線，

設拋物線方程為/=2.，則］=3,即。=6,所以/=12x；

當x<0時，P=0滿足條件.

綜上所述：動點刊的軌跡方程為：xNO時，y2=12x；x<0時，y=0,(x<0).

故答案為：/=⑵或y=0(x<0)

考點二、拋物線的標準方程

典例引領

1.(2024高三下?江西新余?專題練習)請寫出一個以(0,1)為焦點且以坐標軸為對稱軸的拋物線方

程：.

【答案】，=勺(答案不唯一)

【分析】舉例尤2=4了，再驗證即可.

【詳解】不妨取頂點為原點，設f=2?，則勺1,解得。=2,則尤2=僅

故可舉例—=4y.

故答案為：x2=4y.

2.(2024?貴州畢節(jié)三模)已知點(1,2)在拋物線C:y=2/“p>0)上，則拋物線C的準線方程為()

1111

A.x=——B.x=——C.y=——D.y=——

2828

【答案】D

【分析】將點(1,2)代入拋物線方程求出0,再將拋物線方程化為標準方程，即可得出準線方程.

【詳解】因為點(1,2)在拋物線C:y=2.2(p>o)上,

所以2=2p,解得。=1,

所以拋物線C的標準方程為/=；>,

所以拋物線。的準線方程為了=-1

O

故選：D.

3.(2024?寧夏石嘴山?三模)如圖，過拋物線/=2px(p>0)的焦點尸的直線/交拋物線于兩點/、B,交其

5

準線于C,NE與準線垂直且垂足為E,若忸c|=2忸刊,|NE|=3,則此拋物線的方程為（）

23x,

A.y=—B.y=9x

C.y2=D.y2=3x

2

【答案】D

【分析】過點42作準線的垂線，設忸司=。，得到|/c|=3+3*結合拋物線的定義,求得。=1,再由助//%,

列出方程求得。的值，即可求解.

【詳解】如圖所示，分別過點8作準線的垂線，垂足為。，

設忸用=a,則忸C|=2忸刊=2a,

由拋物線的定義得\BD\=\BF\=a,

\BD\1

在直角△BCO中,可得sin/BCD=J----\,所以N8CD=30°,

\BC\2

在直角中，因為|/目=3,可得|4C|=3+3a,

由|/C|=2|/E|,所以3+3a=6,解得a=l,

因為BD//FG,所以；*，解得所以拋物線方程為V=3x.

即時檢測

I_______________________

1.（2024?北京?高考真題）拋物線r=16尤的焦點坐標為.

【答案】（4,0）

6

【分析】形如V=2px,（°N0）的拋物線的焦點坐標為由此即可得解.

【詳解】由題意拋物線的標準方程為r=16x,所以其焦點坐標為（4,0）.

故答案為：（4,0）.

2.（2024?陜西安康?模擬預測）過點（2,-3）,且焦點在V軸上的拋物線的標準方程是（）

9_2422n

A.x2=—3yB.x=~~^yC.x=~~yD.x2=—4y

【答案】B

【分析】利用待定系數(shù)法，設出拋物線方程，把點代入求解即可.

【詳解】設拋物線的標準方程為苫2=即僅力0）,

4

將點點⑵-3）代入，得22=-3°,解得.=-§,

所以拋物線的標準方程是/=-］小

故選：B

3.（23-24高三下?湖北?開學考試）已知拋物線C的頂點在原點，焦點尸在坐標軸上，點尸關于其準線的對

稱點為（6,0）,則C的方程為（）

A.y2=-8xB.y2——4xC./=8xD.y1=4x

【答案】A

【分析】設拋物線的方程為必=-2/5>0）,設焦點廠關于準線/的對稱點為2%,0）,求得毛=學，得到

”=6,進而得拋物線的方程.

【詳解】由題意，設拋物線的方程為必=一2川（p>0）,

可得焦點坐標廠（-0）,準線方程為/：x=5,

設焦點廠關于準線/的對稱點為次％,0）,可得x0+（_g=2xg解得/=當，

因為點廠關于其準線的對稱點為（6,0）,可得當=6,解得p=4,

所以拋物線的方程為V=_8x.

故選：A.

考點三、拋物線的幾何性質

典例引領

7

1.（24-25高三上?重慶沙坪壩?開學考試）已知點在拋物線C:/=2px上，則A到C的準線的距離

為.

【答案】4

4

【分析】利用給定條件求出拋物線方程，進而求出準線方程，計算距離即可.

【詳解】因為點/0,6）在拋物線C:r=2/上，

代入拋物線中得3=2p,解得p=所以C:/=3x

2/

故拋物線的準線方程為％=―3-，

4

所以A到。的準線的距離為1+：3=-7.

44

7

故答案為：—

4

2.（24-25高三上?黑龍江?階段練習）已知拋物線。:/=2.（P〉0）的焦點為方，若拋物線上一點M滿足

\MF\=2,ZOFM=60°,則P=（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線定義及焦點與準線距離列方程求參數(shù)即可.

【詳解】

過M分別向1軸和準線做垂線，垂足分別為4N,

根據(jù)拋物線定義，有|"F|=WW|=2,

所以夕=|7W|+|MF|-cos60o=3.

故選：A

3.（24-25高三上?河南焦作?開學考試）已知點420+1,30+：在拋物線C:/=2pyS>0）上，則C的焦

點與點。,2）之間的距離為（）

A.4B.VsC.2D.y/2

【答案】D

【分析】根據(jù)A在拋物線上可求0的值，求出焦點坐標后結合距離公式可得正確的選項.

8

【詳解】因為A在拋物線上，故（2p+l『=2p（3p+；］,

整理得到：4/+"+1=6/+］即202-?-1=0,

解得。=2或〃=-；（舍），故焦點坐標為（0,1）,

故所求距離為^12+（2-1）2=41，

故選：D.

4.（2024?山西晉中?模擬預測）己知拋物線X?=2即（。>2）的焦點為RP為拋物線上一點，且滿足忸尸|=5,

4

設直線尸尸的傾斜角為6,若cos6=］，則點尸的坐標為.

【答案】（-4,1）

4

【分析】活用拋物線定義，將戶尸|=5轉化成到準線距離，由cos0=］得出sin。，將傾斜角6和sing結合焦

點坐標用幾何圖形表示出來即可找到關系式求解。的值，進而得力和拋物線的方程，從而得與得解.

【詳解】由題可知尸（0段），準線方程為y=~|,

如圖，過尸作尸G，/交/于點G,則尸G=P尸=5,

過下作FE_LPG交尸G于點E,則￡G=2OR=a,APFE=0,PE=5-a或PE=a-5,

4I------------§

又由cos6=1以及傾斜角范圍得sin?=Jl-cos20,

由I、I公尸￡_5_Q_3_a-5_3

所以有--------=-=＞。=2或---=----=—n。=8,

PF55PF55

又Q>2,故。=8,此時x?=2砂=16y,yP=5--1-=1,

將%=1代入x2=16y得今=4（舍去）或今=-4,故P（T,1）.

故答案為:P（-4,l）.

即時檢測

I___________________

1.（2024?江西?一模）已知點尸。,比）是拋物線C:/=2pxS>0）上一點，且點尸到。的焦點距離為2,則

P=.

【答案】2

9

【分析】求出準線方程，由拋物線定義列方程求解即可.

【詳解】拋物線準線方程為X=-5,則點P到C的焦點距離為1+5=2,所以。=2.

故答案為：2.

2.（2024?山東聊城?二模）點尸在拋物線/=8尤上，若點尸到點（2,0）的距離為6,則點尸到P軸的距離為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】由拋物線的定義知，點P到焦點的距離等于點P到準線的距離，結合點P和準線的位置，求點P到

y軸的距離.

【詳解】拋物線/=8無開口向右，準線方程為》=-2,

點尸到焦點的距離為6,則點尸到準線的距離為6,

點尸在y軸右邊，所以點尸到y(tǒng)軸的距離為4.

故選：A.

3.（23-24高三下?全國?開學考試）拋物線C:必=2px（p>0）的焦點為尸,C上的點到尸的距離等于到直線

x=-l的距離，則P=（）

11

A.2B.1C.-D.-

24

【答案】A

【分析】利用拋物線的定義建立方程，求解參數(shù)即可.

【詳解】因為拋物線上的點到尸的距離等于到直線x=T的距離，

所以x=T是拋物線的準線，故-^=-1,解得。=2,故A正確.

故選：A

4.（23-24高二上?江蘇南通?階段練習）已知M是拋物線/=8x上一點，/是拋物線的焦點，。為坐標原點.若

NMFO=120°,則線段MF的長為.

【答案】8

【分析】設出線段期的長度，再由已知條件表達出M的坐標，代入拋物線即可得出結果.

設=易求尸（2,0）,作軸于點E,

因為ZMFO=120°,所以AMFE=60°

10

所以在RMME/,ME=MF^sm60°=—a,EF=MF-cos60°=-,

22

(h、

}

所以M2H—a,—a,

(22)

又因為〃■是拋物線V=8x上一點，所以—a=8x〔2+La),即3/—16〃-64=0

、2JV2)

Q

解得a=8或a=--(舍去).

所以線段九牛的長為8.

故答案為：8

考點四、拋物線中的最值問題

.典例引領

1.（2024?陜西?二模）已知拋物線C:/=2px（p>0）上的點P到定點。（2,0）的最小距離為2,貝U

P=.

【答案】巫亡拒

33

【分析】設出點尸的坐標，利用兩點間距離公式建立關系，再借助二次函數(shù)求出最小值即可得解.

【詳解】依題意,設尸（20產(chǎn),2pf）（〃R）,于是|尸?！?（2p產(chǎn)-2p）2+（2pf）2=4爐（〃_產(chǎn)+1）,

則當時，產(chǎn)。1nlm=&=2,所以夕=孚?

故答案為：空

3

2.（2024?福建莆田?二模）已知拋物線j?=4x的焦點為尸，點M在拋物線上.若點。在圓（x-3）?+/=1上,

則|兒廬|+|九0|的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】畫出圖形結合拋物線定義、三角形三邊關系以及圓上點到定值線距離的最值即可求解.

【詳解】如圖所示：

11

由題意拋物線必=4x的準線為尤=-1,它與x軸的交點為（-1,0）,焦點為F（1,O）,

過點M向拋物線的準線引垂線，垂足為點N,

設圓（X-3）2+/=I的圓心為尸（3,0）,已知圓與x軸的交點為點E,

\MF\+\MQ\^\MN\+\MQ\>\NQ\>\NP\-\PQ\^\NP\-r^\NP\-l>\DP\-1^4-l=3,

且\MF\+|九0|=3成立的條件是O重合且QE重合，

綜上所述，|兒田|+|〃。|的最小值為3.

故選：C.

3.（2024?江西鷹潭?一模）已知拋物線Y=16y的焦點為尸，P是C上的動點，過點尸作直線了=左@-4）+4

的垂線，垂足為。，則|尸。|+忸尸|的最小值為.

【答案】6

【分析】先分析得。的軌跡，再利用拋物線的定義，結合圓的性質數(shù)形結合即可得解.

【詳解】如圖所示，易知尸（0,4）,直線y=k（x-4）+4過定點。（4,4）,

因為尸。，紗，所以。在以尸。為直徑的圓上,

不妨設其圓心為￡（2,4）,顯然半徑忸=2,

分別過作準線>=-4的垂線EM,PG,垂足為M,G,|EM|=8

結合拋物線定義有|尸+附=\PQ\+\PG\>\PE\-\EQ\+|PG|>\EM\-\EQ\^6,

當且僅當。、尸均在線段瓦0上時取得等號.

故答案為：6.

4.（2024高三?全國?專題練習）已知P是拋物線/=2x上的點，。是圓（x-5）2+/=1上的點，則|尸。|的最

小值是（）

A.2B.272C.2gD.3

12

【答案】A

【分析】將問題轉化為求?尸a的最小值，根據(jù)兩點之間的距離公式，求得?尸a的最小值再減去半徑即可.

【詳解】如圖，拋物線上點P(x,y)到圓心c(5,o)的距離為|尸4|。尸區(qū)2@+|尸。］,

因此|尸0以3-1,當最小時，|尸。|=|。尸|-1最小，

M|CP|2=(x-5)2+y2［。7］+y2=^-(j；2-8)2+9,

當k±2及時，|CP|m,n=3,因此|PQ|的最小值是2.

故選：A.

PB

5.(2023?河南開封?模擬預測)已知拋物線C:/=8x,尸為。上一點，/(-2,0),5(2,0),當不了最小時,

rA

點尸到坐標原點的距離為()

A.2石B.372C.2A/3D.8

【答案】A

【分析】設尸(%,%),由拋物線的定義可得|P2|=|PD=x°+2,|P4|=Jx：+12xo+4,設t=x0+2,化簡工

1A

11IDDI

可得當時，W取得最小值，求出P的坐標，即可求解

t4\PA\

【詳解】因為拋物線C:/=8x,則焦點為(2,0),準線為x=-2,

又-2,0),8(2,0),則點8(2,0)為拋物線的焦點，

過P作準線的垂線，垂足為。，

設尸值,為)，則尤=8%,故

由拋物線的定義可得|P8HPO1=x°+2,

13

2

|P/|=J(Xo+2)+仇-0)=JM+2f+>(/=&2+4XO+4+8XO=-^0+12^0+4,

又飛NO,則設f=x(,+2,故d2,/="2,

則

|PB|x0+2tt

IPA\&+12xo+4""2)2+12(/2)+4A/2-4?+4+12f-24+4

=__叵__=___!___=______!________=-,1-----(t>2)

…Ff?HRFRTF，

當時，/取得最小值為二="，貝卜=4，々=2，

t4\PA\V22

將x°=2代入拋物線可得乂=16,所以|。尸卜J4+16=26

故選：A

■即_時__檢__測___

1.（2024?陜西安康?模擬預測）已知拋物線方程為必=4x,點工（1,0）,8（2,-1）,點尸在拋物線上，則|尸/|+|尸耳

的最小值為.

【答案】3

【分析】利用拋物線定義將所求距離轉化為|尸判+|尸同，然后利用三點共線求解最小值即可.

【詳解】由題知點A為焦點，由拋物線定義知|04|就是點尸到準線x=T的距離，如圖，

貝I]|「/|+|P5|=|PD|+|P5|>\BD\,

此時尸，民。三點共線，即當P點縱坐標為-1時，I尸旬+1尸到的值最小,

最小值為2-(T)=3.

故答案為：3

2.（2024?全國?二模）已知點尸為拋物線丁=8x上一點，過點尸作圓C:（X-5）2+J?=I的兩條切線，切點

分別為M,N,貝！IcosNMPN的最小值為（）

A./2911

B.一C.—D.—

231012

【答案】D

14

【分析】設點P(f，s),根據(jù)給定條件，結合切線長定理及二倍角的余弦公式將cosNMPN的函數(shù)，再求出函

數(shù)的最小值即得.

【詳解】設點P(f,s),則s2=8,

由尸”，尸N切圓C于點得NMPN=2NCPM,且CM_LEM,

因止匕cosNMPN=l-2sin2NCPM=l-2?(^^j2=l-，

Kff|CP|2=(Z-5)2+s2=t2-2t+25=(t-1)*.JF24>24,當且僅當f=l時取等號,

211

所以當￡=1時，cosZMPN取得最小值1-----二一.

3.(2024?四川成都?三模)已知點尸,0分別是拋物線C:j?=4x和直線/:x=:上的動點，若拋物線C的焦點

為萬，則|尸。|+|0尸|的最小值為()

A.3B.2+V3C.2A/3D.4

【答案】C

【分析】按點P在直線x=*上及右側、左側分類，借助對稱的思想及兩點間線段最短列式求出并判斷得解.

2

【詳解】設P的坐標為(飛,凡)，則只=4%,拋物線C:/=4x的焦點網(wǎng)1,0),準線方程為x=-l,

當點尸在直線X=g上及右側，即時，\PQ\+\QF\>\PF\,當且僅當。是尸尸與直線/的交點時取等號，

75

此時|尸。|+\QF\>|PF|=X0+1>-,當且僅x0=-時取等號,

當點尸在直線X=g左側，即04%<g時，點尸(1,0)關于/的對稱點是7(4,0),則|。尸|=|。7|,

\PQ\+\QF\=\PQ\+\QT^\PT|=J廢-司+m力(印-Q+4年'(印-2j+12>^T],

當且僅當。是P歹與直線/的交點，且々=2時取等號，而26<^,

所以戶0|+|0川的最小值為26.

故選：C

15

4.（2023?遼寧撫順?模擬預測）設。為坐標原點，尸是以尸為焦點的拋物線式=4x上任意一點，M是線段

尸尸上的點，且1PM=可兒間，則直線。M的斜率的最大值為（）

V3

A.V2DR.----

322

【答案】B

m=4x-3

【分析】設/（％,%）,確定比>0,根據(jù)向量之間的關系得到0,得到，+;=%,

〃=儀

1

」，利用均值不等式計算得到答案.

/0十/I

4%

【詳解】尸。，0）,設/（%,%）,顯然當為<0時，kOM<0,當%>0時，kOM>0,

要想求解直線的斜率的最大值，此時為>0.

設尸1PM=3|MF|,y0>0,貝1J兩=3赤，BP(x0-m,y0-n)=3(l-x0,-y0),

m=4x—3

解得0

n=4%

3

n2=4m,故16y：=4(4%—3),即呼+^=%,

%_%1-<,V3

%>0，故壇"一

%233一3,

「2

4%

3即『等時，等號成立，故直線加的斜率的最大值為日

當且僅當為=丁

4%

故選：B.

16

考點五、拋物線的簡單應用

典例引領

1.（2024?全國?模擬預測）某社會實踐小組在調研時發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的

橋面跨度為21.6m,拱頂距水面10.9m,路面厚度約1m.若小組計劃用繩子從橋面石欄放下攝像機取景，

使其落在拋物線的焦點處，則繩子最合適的長度是（）

C.5mD.6m

【答案】B

【分析】建立適當?shù)牡钠矫嬷苯亲鴺讼?，設出拋物線方程，將點的坐標代入拋物線方程可求得參數(shù)0,進

一步即可得解.

【詳解】以拱形部分的頂點為坐標原點，水平線為x軸，垂直于x軸，且方向向上，建立平面直角坐標系.

設拋物線的方程為x2=-2py（p>0）.

1八O2

易知拋物線過點（10.8T0.9）,則IO"=21.8°,得°

21.8

所以2=旺。2.7,所以《+1。3.7.

210.92

故選：B.

2.（2023?河南?模擬預測）清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有〃溫潤〃〃淡遠〃〃清新〃的特征.如

圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為3cm,碗蓋口直徑為8cm,碗體口直徑為10cm,

碗體深6.25cm,則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8.25cm

【答案】C

17

【分析】如圖建立平面直角坐標系，設碗體的拋物線方程為/=2處（p>0）,將點（5,6.25）代入求出

即可得到拋物線方程，設蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點到碗底的垂直距離為人（cm）,則兩拋物線在第一象

限的交點為（4,力-3）,代入方程計算可得.

【詳解】以碗體的最低點為原點，向上方向為>軸，建立直角坐標系，如圖所示.

設碗體的拋物線方程為x2=2抄（p>0）,將點（5,6.25）代入，得52=2px6.25,

解得P=2,則f=4y,

設蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點到碗底的垂直距離為/z（cm）,

則兩拋物線在第一象限的交點為（4,八3）,代入到無2=4%解得42=4色-3）,解得〃=7.

故選：C

3.（23-24高三上?湖南長沙?階段練習）假設一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬為

2m,渠深0c為L5m,水面E尸距為0.5m,則截面圖中水面寬￡尸的長度約為（）（收=1.414，

由“732,"a2.449）

【答案】D

【分析】建立平面直角坐標系，求得拋物線方程并將水面寬度坐標化即可求得結果.

【詳解】以。為原點，oc為>軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，

設拋物線的標準方程為/=2h（p>0）,

1o

由題意可得41,1.5）,代入/=2抄得l=3p,得P=；，故拋物線的標準方程為x2=：y,

18

2?

設廠(Xo，%)(x0>0,%>0),則為=1.5-0.5=l,則x：=]xl=]

即可得x。=0.816,

所以截面圖中水面寬斯的長度約為0.816x2Q1.63m,

故選：D.

即時檢測

■一

1.（23-24高三下?陜西安康,階段練習）在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的運動軌跡

均可近似看作是拋物線的一部分.這些碎片能達到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線也是拋物線的一部

分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線.若某次定向爆破中安全拋物線達到的最大高度為30

米,碎片距離爆炸中的最遠水平距離為60米,則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準線的距離為米.

【答案】60

【分析】建立平面直角坐標系，確定拋物線方程形式，確定點的坐標，代入方程求解，即得答案.

【詳解】如圖，以安全拋物線達到的最大高度點為坐標原點，平行于底面的直線為x軸，

和地面垂直的直線為夕軸，建立平面直角坐標系，

則拋物線方程為V=-2抄,（p>0）,由題意可知460,-30）,

代入x2=-2py,（p>0）可得602=-2p（-30）,p=60,

即安全拋物線的焦點到其準線的距離為60米，

故答案為：60

2.（2023?河北張家口?二模）探照燈、汽車前燈的反光曲面、手電筒的反光鏡面,太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.

燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒

的設計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是

80cm,燈深40cm,則光源到反射鏡頂點的距離為（）

B.10cmC.30cmD.40cm

19

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件及設出拋物線的標準方程，結合點在拋物線上即可求解.

【詳解】在縱斷面內(nèi)，以反射鏡的頂點（即拋物線的頂點）為坐標原點，過頂點垂直于燈口直徑的直線為無

軸，建立直角坐標系，如圖所示，

由題意可得/（40,40）.

設拋物線的標準方程為V=2px（p>0）,于是4。2=2P40,解得p=20.

所以拋物線的焦點到頂點的距離為￡=10,即光源到反射鏡頂點的距離為10cm.

2

故選：B.

3.（2024?山西晉城?一模）吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱

江東路.霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設該

拋物線的焦點到準線的距離為。米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩

根吊索之間的距離均為。米（將每根吊索視為線段）.已知最中間的吊索的長度（即圖中點A到橋面的距離）

為b米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點3到橋面的距離）為（）

A,呼3米49a2+pb

P

_169a2+pb169/+2p6小

C.--------------術D.----------------不

P2。

【答案】A

【分析】建立坐標系，求出點8橫坐標，代入拋物線即可求解.

【詳解】以A為坐標原點，拋物線的對稱軸為V軸，建立如圖所示的平面直角坐標系（橫坐標與縱坐標的單

位均為米）,

依題意可得拋物線的方程為x2=2眇.

因為同一邊的懸索連接著29根吊索，且相鄰兩根吊索之間的距離均為。米，則點3的橫坐標為-14°,

xi(-14a)298a2■“生-3口匚--“98a2+pb

則為=#=.=——，所以點8到橋面的距因為------L米?

2P2Ppp

20

故選：A.

Ml.好題沖關.

，基礎過關

一、單選題

1.（2024?福建廈門?模擬預測）若拋物線r=加尤的準線經(jīng)過雙曲線/一/=2的右焦點，則/的值為（）

A.-4B.4C.-8D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，分別求得雙曲線的右焦點以及拋物線的準線方程，代入計算，即可得到結果.

【詳解】因為雙曲線V-/=2的右焦點為（2,0）,

又拋物線/=機關的準線方程為x=-;，貝|-'=2,即加=-8.

44

故選：C

2.（2024?山東濟寧?三模）已知拋物線C:/=2.（p>0）的焦點為尸，過下且斜率為2的直線/交拋物線C于

A,B兩點，若[48|=5,則（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】D

【分析】設/：了=21-￡|,4（”），B（x2,y2）,聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理和拋物線的定義建立關

于。的方程，解之即可求解.

【詳解】由題意知，下2°）設/：>=2（》-9,/（占,乂）,3（22），

聯(lián)立直線與拋物線得，I2）,消去V,得4——6/+P2=0,

y2=2Px

3

所以石+工2=5，

由拋物線的定義知|/2|=|/司+忸司=、+。|+[2+￡|=七+七+0=|0+0=：0.

而|/4