陜西省西安市高新某中學2024-2025學年高三年級上冊第二次模擬考試數學試題（含答案解析）

陜西省西安市高新第一中學2024-2025學年高三上學期第二次

模擬考試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設集合/=任||尤+2,2},5={X|X12+32X<3},C={x|xe/且xe團，則集合C=()

A.0B.[-4,-3）C.（—4,—3]D.[0,1）

2.已知i是虛數單位，復數z=a+6i,aeR,beR,J.|z-i|=|z+2-i|,則卜-3+碼的

最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

3.已知向量￡=（1,1）,b=（O,t）,若打倒+2w,則慟=（）

A.蘭B.1C.V2D.2

4.已知圓C:x2+/一4x-6y+4=0關于直線/：。尤+如一1=0（。6＞0）對稱，貝的最

2a3b

小值是（）

A.2B.3C.6D.4

5.當xe[0,2可時，曲線＞=cosx與y=2cos,尤-。交點的個數為（）

A.3B.4C.5D.6

6.a,萬為兩個不同的平面，7”，〃為兩條不同的直線，下列說法中正確的個數是（）

①若a〃夕，mua,則加///?②若加//a,〃ua,則加〃〃

③若m-La,m//n,則〃_La④若a工0,aC\/3=n,mLn,則冽_L〃

A.1B.2C.3D.4

7.已知數列｛見｝滿足%=3,??+1-??=2,〃=（-ir]：+，T，若數列也｝的前〃項和

為T,,不等式北＜鏟（3-5㈤（"wN*）恒成立，則彳的取值范圍為（）

12025

8.已知/(x)的定義域為RJ(尤+y)+/(x-y)=3/(x)/e)，且=：,則￡/(左)=()

3k=i

試卷第1頁，共4頁

122

A.B.C.D.

333

二、多選題

9.李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他記錄了100次坐公交車和騎自行車所花的時

間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30min,樣本標準差為6；騎自行車平均用時34min,

樣本方差為4.假設坐公交車用時X和騎自行車用時￥都服從正態(tài)分布.則下列說法中正確

的是（）

（參考數值：隨機變量4服從正態(tài)分布NJ,/）,則玖必一。<《<4+6=0.6827,

尸（〃一2cr<J<〃+2（T）=0.9545,尸（〃一3b<J<〃+3b）=0.9973.）

A.X~N（306）B.y~N（34,42）

c.P（X<38）>P（r<38）D.P（^<34）>P（r<34）

10.已知曲線C上的動點尸（X,y）到點尸（1,0）的距離與其到直線X=-1的距離相等，則（）

A.曲線C的軌跡方程為/=4尤

B.若7（4,2）,M為曲線C上的動點，貝+的最小值為5

C.過點N（-l,0）,恰有2條直線與曲線C有且只有一個公共點

D.圓x2+r=5與曲線C交于48兩點，與x=-l交于￡、G兩點，則48,E,G四點圍

成的四邊形的周長為12

11.已知正方體的體積為8,線段CG，2C的中點分別為瓦歹，動點G在下

底面44G2內（含邊界），動點a在直線/口上，且GE=/4,則（）

A.三棱錐。時的體積為定值

B.動點G的軌跡長度為叵

2

C.不存在點G,使得EG，平面。斯

試卷第2頁，共4頁

D.四面體。防G體積的最大值為叵工

6

三、填空題

12.已知等比數列｛%｝為遞增數列，且%+%=3,%-[=2,則亍.

13.小李經常參加健身運動，他周一去健身的概率為:2，周二去健身的概率為3:，且小李周

35

一不去健身的條件下周二去的概率是周一去健身的條件下周二去的概率的2倍，則小李周一、

周二都去健身的概率為.

14.在四面體尸-中，BPLPC,ZBAC=60°,BC=2,若四面體尸-48c的體積最大

時，則四面體尸-48C的外接球的表面積為.

四、解答題

15.如圖，在VN8C中，內角A,3,C的對邊分別為。,b,c.已知6=3,c=6,sin2C=sinB,

且/。為8C邊上的中線，/￡為/8/C的角平分線.

(1)求cosC及線段8C的長；

⑵求VNOE的面積.

16.近年來我國新能源汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，新能源汽車不僅對環(huán)境保護具有重大的意義，而

且還能夠減少對不可再生資源的開發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向.“保護環(huán)境，人人有責”,

在政府和有關企業(yè)的努力下，某地區(qū)近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：

年份X20192020202120222023

新能源汽車購買數量y(萬輛)0.400.701.101.501.80

(1)計算了與x的相關系數『(保留三位小數)；

(2)求y關于X的線性回歸方程，并預測該地區(qū)2025年新能源汽車購買數量.

試卷第3頁，共4頁

t(x,-元)(％-7).E(x,-^)(z-j)

r

參考公式=I——In=,b=,a=y-bx?

歸—丫回「討小f

5

參考數值：V13?3.6056,Z(x,T)(%-歹)=3.6.

i=l

17.已知函數/(x)=e*,g(x)=ln(x+n),直線/：了=x+加為曲線了=/(無)與y=g(x)的一

條公切線.

⑴求見”；

⑵若直線/'：y=s(o<s<i)與曲線y=/(x),直線/,曲線y=g(x)分別交于

工(國,%)，如%%)<(X3，%)三點，其中再<赴<X3，且再,馬,9成等差數列，證明：滿足條件

的S有且只有一個.

22

18.雙曲線「：土-匕=1的左右頂點分別為4，4,動直線/垂直r的實軸，且交r于不

43

同的兩點W,N,直線4N與直線4M的交點為尸.

(1)求點P的軌跡C的方程；

(2)過點”(1,0)作C的兩條互相垂直的弦DE,FG,證明：過兩弦OE,尸G中點的直線

恒過定點.

19.已知數集。={2°?,…,2"}("eN*).若O的兩個非空子集工和4滿足：T^T2=0,

7]U%=。，則稱集合工和心是。的一個“分拆”.已知A和8是。的一個分拆，S(M)表示

數集M中所有元素的和.

(1)若”=10,/={x|x=22i#=l,2,3,4,5},求S(B)；(用數值表示)

(2)證明：S(/)RS(8)；

(3)若〃為給定的偶數，關于x的方程/-5(/)1+5(8)=0有整數根，求S(4)的最小值，并

寫出取到最小值時的所有的集合4

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BBBDDBDBADABD

題號11

答案ACD

1.B

【分析】解出絕對值不等式與一元二次不等式后，再結合集合的性質即可得.

【詳解】由歸+2|42可得-2MX+2V2,即-44xW0,故4={刈-44尤40},

由/+2x43可得(尤+3)(無一1)40,BP-3<x<l,故3={*|-34x41},

由。={^^€/且x^B},故。=［一4,一3).

故選：B.

2.B

【分析】根據復數的模長公式可求得。=-1,再利用復數的模長公式可求得卜-3+J列的最

小值.

【詳解】因為z=Q+bi(a,b￡R),則2-1=。+伍一1)1,z+2-i=(〃+2)+伍一l)i,

由|"i|=|z+2_i|可得/2+9_1)2=J(q+2)2+@_ij,解得a=_1,貝"=-1+加，

故選：B.

3.B

【分析】先出求￡+29=(1」+為)，再根據工，@+2垃即可得出t的值，最后求3的模.

【詳解】由題意可知，因為2=(1,1),5=(0,。，

所以1+21=(1,1)+2(0,/)=(1,1+2/),

又因為0_1_(<7+2不)，所以a.(a+29)=0，

即lxl+lx(l+21)=0,解得/=T.

答案第1頁，共15頁

所以他|=1.

故選：B.

4.D

【分析】轉化為直線/過圓心即24+36=1,再利用基本不等式可得答案.

［詳解］因為圓C:(X_2)2+Q_3)2=9關于直線/：狽+"_1=0(Q6>0)對稱,

所以直線/過圓心(2,3),即為+36=1,

e11/_o,、c3b2a

貝！J---1--=（2Q+36）=2+—F—

2a3b2a3bv'2a3b

因為Q6>0,且2Q+36=1,所以。>0,6>0,

所以,+上=2+弛+”22+2

=4,

2a3b2a3b

當且僅當V即“=g等號成立,

2a3b46

則丁+J的最小值是4.

2a3b

故選：D.

5.D

【分析】分別畫出kcosx與y=2cos(3xjj在［0,2可上的函數圖象，根據圖象判斷即可.

【詳解】kcosx與尸2cos在［0,2兀］上的函數圖象如圖所示,

由圖象可知，兩個函數圖象交點的個數為6個.

故選：D.

6.B

【分析】根據空間中點線面的位置關系即可結合選項逐一求解.

【詳解】①，若a〃￡,mua,則機//0，①正確.

②，若冽//a,“ua,則加，〃有可能平行或異面；②不正確.

答案第2頁，共15頁

③，若加_La,m//n,由線面垂直的判定定理可得，nLa,③正確.

④，若。_1/，aC\j3=n,mLn,因為加不一定在平面。內，所以冽不一定垂直④

不正確，

故選：B.

7.D

【分析】先求得數列｛%｝的通項公式，進而可得或=(-1)向(7二+丁二],進而分〃為偶

數與奇數兩種情況求得區(qū))胸，進而可得已<9(3-5㈤(〃eN*),求解即可.

【詳解】因為數列｛%｝滿足q=3,an+1-an=2,

所以數列｛%｝是以外=3為首項，2為公差的等差數列，

所以?！?3+2(幾一1)=2〃+1,

所以“=(-1)川

2〃+12n+3

當〃為偶數時，T=(-—)+(---1—)—(—I----)H-----F(--------1---------)—(---------1---------

n+7799112n-\2〃+12n+\2〃+3

-------<一，

2n+33

當〃為奇數時，T=｛-++-------+--------)+(-------+--------

n7799112n-\2?+12w+l2〃+3

—I---------?—,

32〃+315

因為不等式(<白(3-5㈤("eN*)恒成立，即(1)皿<9(3-5㈤("eN*),

所以W43—52)(〃eN*),所以(<〃3-5幾)，所以

解得g<4<|,所以2的取值范圍為g,1]

故選：D.

8.B

【分析】根據題意，利用賦值法，求得了(x+6)=/(x),得到/(x)的一個周期是6,再根

據函數的周期性和奇偶性，求得八1)J(2)J(3)J(4)J(5)J(6)的值，進而得到答案.

【詳解】由題意知，函數/⑴的定義域為RJ(x+y)+/(x-y)=3/(x"(y),且

答案第3頁，共15頁

令尤=1/=0,得/■(1+0)+/(1-0)=3/⑴/(O),所以/(o)=：；

令x=O,得/(O+力+/(0-日=3〃0)/(力,所以/(.)=/(#,所以/(無)是偶函數，

令y=l,得〃x+l)+/(x-l)=3/(x)/⑴=〃x)①，所以〃x+2)+/(x)=/(x+l)②，

由①②知/(x+2)+/(x-l)=0,所以/(x+3)+/(x)=OJ(x+3)=-/(x),

所以/(x+6)=-f(x+3)=/(x),所以/'(X)的一個周期是6,

由②得/(2)+〃0)=/⑴，所以/(2)=',同理〃3)+/■⑴=/(2),所以/(3)=-：,

又由周期性和偶函數可得：

〃4)=〃一2)=42)=一)(5)=〃-1)=〃1)=>(6)=〃0)=：

所以〃1)+/(2)+/(3)+…+/⑹=0,

202569

所以￡〃左)=3372/W+/(l)+/(2)+/(3)=--.

k=\k=\3

故選：B.

9.AD

【分析】根據正態(tài)分布的概念判斷A,B；根據正態(tài)分布的性質及題中所給數據求解判斷C,

D.

【詳解】由題意可設

由題意可得：=30,5=6;〃2=34,%=2,所以A正確，B錯誤；

VP(X<38)=P(X<30)+P(30<X<38)<P(X<30)+尸(30<X<42)

=P(X44)+尸(4+21)，

=0.5+g尸(4-2b1</4〃|+2crJ=0.5+0.47725=0.97725,

尸(y￡38)=尸(V034)+P(34<y?38)=尸(yw〃2)+尸(〃2<yw償+2%)

=0.5+1P(M2-2(T2<y<M2+2o-2)=0.5+0.47725=0.97725,

.?.尸(X438)(尸任438),故C錯誤；

???P(X<34)=P(X<30)+P(30<X434)=0.5+尸(30<X434)>0.5,

答案第4頁，共15頁

尸(yv34)=0.5,

.?.尸(XV34)>尸(YV34),故D正確.

故選：AD.

10.ABD

【分析】根據給定條件，利用拋物線定義求出曲線C的軌跡方程，再逐項分析判斷即得.

【詳解】對于A,依題意，曲線C是以尸(1,0)為焦點，直線x=-l為準線的拋物線，方程為

y2=4x,A正確；

對于D,直線x=T交圓尤2+『=5于點E(-1,2),G(T-2),而/(1,2),3(1,-2),

四邊形/E3G是矩形，周長為2(2+4)=12,D正確;

對于B,顯然共線，2垂直于直線x=-l,令點”到直線x=-l的距離為d,

則|〃F|=d,\MT\+\MF\=\MT\+d>\TE\,當且僅當〃與點A重合時取等號，

因此|MT|+|"F|的最小值為|生=5,B正確；

對于C,過點N(-l,0)與曲線C僅只一個公共點的直線方程為y=k(x+\),

由+消去x得02_4y+4上=o,當左=0時，直線y=0與拋物線僅中一個公共點，

[y=4x

當發(fā)30時，A=16-16r=0,解得左=±1,顯然直線y=x+l,y=-x-l與拋物線僅只一個公

共點，

因此過點N(-1,0)與曲線c有且只有一個公共點的直線有3條，C錯誤.

故選：ABD

11.ACD

【分析】對于A,由題意可證〃平面。跖，因此點H到平面?！陱S的距離等于點A到平

面。跖的距離，其為定值，據此判斷A；對于B,根據題意求出正方體邊長及GG的長，

答案第5頁，共15頁

由此可知點G的運動軌跡；對于C,建立空間直角坐標系，求出平面。斯的法向量，假設

點G的坐標，求出EG的方向向量，假設EG_L平面尸，則平面。環(huán)的法向量和EG的方

向向量共線，進而求出點G的坐標，再判斷點G是否滿足B中的軌跡即可；對于D,利用

空間直角坐標系求出點G到平面。防的距離，求出距離的最大值即可.

【詳解】對于A,如圖，連接B。、皿,

依題意，EF//BCX//ADX,而AD,（z平面DEF,EFu平面DEF,故/，〃平面DEF,

所以點H到平面DEF的距離等于點A到平面DEF的距離，其為定值，

所以點H到平面。跖的距離為定值，故三棱維〃尸的體積為定值，故A正確；

對于B,因為正方體N8CZ）-44GA的體積為8,故44=2,則G￡=2,而EQ=1,

故cfi=JGG2_EC：=道,

故動點G的軌跡為以￡為圓心，厲為半徑的圓在底面4耳CQ1內的部分，即四分之一圓弧,

故所求軌跡長度為Lx27rxe=」五，故B錯誤；

42

以。為坐標原點，C|A，C4，GC所在直線分別為X,%z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,

答案第6頁，共15頁

則。（2,0,2）,￡（0,0,1）/（0,1,2），故瓦=（-2,0,-l）,￡F=（0,1,1）,

n-EF=0,(y+z=0,

設五=(x,y,z)為平面DM的法向量，貝！I一故;n

元.DE=0,[-2x-z=0,

令z=2,故力=(-1,-2,2)為平面。斯的一個法向量，

設G&,%⑼(%20,%"),故的=(%,%,-1),

若EG_L平面則反//EG，

則言,=卷=",解得Xo=1,%=l,但x；+y"3,

所以不存在點點G,使得EG，平面DM,故C正確；

對于D,因為S所為等腰三角形，故S.D”-1一1=]也義當=3,

而點G到平面DEF的距離d=耳二=

曷+2K+2=x0+2y0+2,

\n\33

令%=6cos。,貝|J%二八足a?！?，T,

則厘L6cose+2Gsine+2_Asin(e+0)+2w而+2,苴中tanp=1,

'33一3八2

則四面體DEFG體積的最大值為，x3x叵呸=姮±4,故D正確.

3236

故選：ACD.

12.2

【分析】根據題意分析可知。3+%=3,%-%=2,可得%=1,%=2,結合等比數列的性

質分析求解.

【詳解】因為遞增的等比數列｛%｝中，%+。7=3,%,外=2,且％?%=。2q=2,

答案第7頁，共15頁

可知%和的是一元二次方程X2-3X+2=0的兩個根,

且％<%，解得%=1，%=2,

可得小="=2,所以&"二/二？.

Q3

故答案為：2.

3

13.—/0.3

10

【分析】設“小李周一去健身”為事件/,設“小李周二去健身”為事件2,根據題意利用全概

率公式可得，進而結合條件概率公式分析求解.

【詳解】設“小李周一去健身”為事件/,設“小李周二去健身”為事件2,

則“小李周一、周二都去健身”為事件/瓦

23—

由題意可知：PQ)=§，P(B)=g,且P(2I/)=2尸(刃/),

由全概率公式可知：P(B)=P(B|A)P(A)+P{B|A)P(A),

3229

即《=§?⑷⑷+§尸⑷⑷,解得P{B\A)=—,

973

所以尸(ZB)=P(B]⑷尸(⑷=—x-=-.

_,3

故答案為：—.

16

14.—兀

3

【分析】先利用判斷體積最大時(需要體積最大，只需要底面積和高同時最大即可)該三棱

錐的圖像，然后計算外接球的半徑，然后計算表面積即可.

【詳解】如圖，作的中點星連接PE,

因為AP_LPC,BC=2,

所以

2

答案第8頁，共15頁

該三棱錐以4BC為底，點P到底面的距離為高，因為尸￡=1,

要使體積最大，則高最大為尸E=l,此時尸￡_L平面4BC,

故PB=PC=4i，平面P8C_L平面ABC

設BC=a=2,AC=b,AB=c

則底面積S=—bcsmA=^-bc

24

由余弦定理可知，22=b2+c2-2bccos1^4=b2+c2-bc>be當且僅當b=c=2時等號成立,

故5=組兒的最大值為行，止匕時/3=BC=/C=2,

4

所以當四面體尸-48c底面為等邊三角形，尸8=尸。=血,平面「3。_1_平面48。時，四面體

尸-4BC體積最大，

此時底面的外接圓圓心為O,連接40,3。,CO,￡。

由正弦定理可知，AO=BO=CO=-^=^-

2sin^43

顯然￡O_L5C

所以=BO2-EB2=-

3

所以P。=y/EO2+PE2=冬8

3

所以7。=80=CO=尸。

故點。為該三棱錐外接球球心，外接球半徑R=拽

3

所以外接球表面積為4兀燈=4九

故答案為：

15.(l)cosC=^-,BC=6

⑵巫

8

【分析】(1)利用二倍角正弦公式結合正弦定理推出cosC=!,再利用余弦定理即可求得a,

即得答案.

(2)求出sinC=姮，即可求出凡加。，利用角平分線性質可推出=從而

43

SJEC=：SJ"，即可求得答案.

【詳解】(1)由題意在V48C中,sin2C=sin5,2sinCcosC=smB,

答案第9頁，共15頁

??2ccosC—bj|fiJ6=3,c=6,??cosC—,

4

由余弦定理得cosC=<士^~—=—<7=6(。=-二舍去)，即2c=6.

6a42

(2)在V/2C中，cosC=—>0,.1.Cel0,--|sinC=,

4I2；4

.?一1c>1a<JT_9JT

??S——CA.,CB,sinC*——x3x6x-------------,

ARr2244

,：AE平分NBZC,/.sinZBAE=smZCAE,

BEABCEAC

由正弦定理得:

sin/AEB'sin/CAE-sinNAEC

其中sinAAEB=sinAAEC,

...嚕=唱=2,則EC=RS/4皿

yiCL匕35

為8C邊的中線，,?S^ADC=3s4ABe，

?Q_V_Q_1乂返=2叵

-

**^^ADE~D"Z)C""EC—「^ABC一/'4

oo4o

16.(1)0.998

(2)2.54萬輛

【分析】⑴利用所提供數據求￡卜,-寸￡(匕-可代入參考公式求〃即可；

i=l'i=lv

(2)結合公式求3花，由此可得回歸方程，再利用回歸方程進行預測.

【詳解】⑴戶202卜5+(-2);(-1)+。+1+2-0.40+0.70+1.10+1.50+1.80…

2021/=--------------------------------------=1.10

(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,

(-0.7)2+(-0.4)2+02+0.42+0.72=1.3

3.6

"998.

-3.6056

0.36,

a=y-bx=1.1-2021x0.36=-726.46,

所以歹關于丁的線性回歸方程是y=0.36x-726.46,

答案第10頁，共15頁

當x=2025時，v=0.36x2025-726.46=2.54(萬輛)，

該地區(qū)2025年新能源汽車購買數量約為2.54萬輛.

17.(l)m=1，n=2；

(2)證明見解析.

【分析】(1)設/與>=/(幻相切于點根據切線斜率可求得f=0,由此可得切點坐

標，代入切線方程可得??；設切線與y=g(x)相切于點(p,g(0),利用導數幾何意義可得切

線方程，與已知切線方程對應即可求得”；

(2)利用s表示出現,馬,三，根據2%=玉+W可整理得到lns+e*-2s=0,將問題轉化為

/心)=Ins+e'-2s(0<s<1)的零點個數的求解；利用導數可求得〃⑻在(0,1)上單調遞增，

由零點存在性定理推理即得.

【詳解】⑴設》=》+加與相切于點而_f(x)=e*,

則/'0)=e'=l,即，=0,/(f)=e°=1,則切點為(0/)，m=\,即/:_y=x+l；

設y=x+l與y=g(x)相切于點(p,g(p)),而g(x)=」一,

x+n

g'(P)=」一=1,即2+〃=1,則切點為(P，。)，P=T,n=2,

p+n

所以加=1,n=2.

s

(2)依題意，爐=X2+l=ln(%3+2)=s,則』=lns,x2=s-l,x3=e-2f

由%,%2，%3成等差數列，得2%=再十乙，即2s-2=Ins+e、-2,lns+e、-2s=0,

令h(s)=Ins+e、一2s(0<s<1),求導得〃'(s)=—+e5-2,

s

令O(s)=L+e'-2,求導得"(s)=-±+e，，顯然函數”(s)在(0,1)上單調遞增，

SS

夕'(；)=一4+五<0,夕'⑴=-l+e>0,貝門s°e(g,l),使得夕'(s0)=。，gpe'!?=—,

當se(O,So)時，<p'(s)<0；當時，(p'(s)>0,Ws)在(0,%)上遞減,在(s0,l)上遞增,

。⑸mm=O(s°)=Le“-2=雪上2=(、2)(—1),

SoSo”SoSo

由s0e(31),得工e(l,2),貝1]0(")>0,即〃(s)>0,函數〃⑸在(0,1)上單調遞增，

A(e-3)=-3+ee'-2e-3<0,〃(l)=e-2>0,因此〃(x)在(廠,1)上存在唯一零點，

答案第11頁，共15頁

所以滿足條件的S有且只有一個.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數中的公切線問題、函數零點個數的求解問題；本題第二

問的解題關鍵是能夠通過等差中項的定義將問題轉化為方程根的個數的求解問題，進而采用

構造函數的方式，將問題轉化為函數零點個數的求解問題.

22

18.(1)二+匕=1(%?！?)；(2)證明見解析.

43

22

【分析】(1)設尸(尤/),再求出直線4M的方程

為y='(x-2),直線4N的方程為y=V、(x+2),再消去修,為即得點P的軌跡C的

XQ—L/+，

方程；

（2

4—3m4m3m

先求出的中點及bG的中點S再證明過

(2)DE222

3m+4'3m+4、4加之+3'4m+3

兩弦。E,bG中點的直線恒過定點.

【詳解】(1)因為4(一2,0),4(2,0),

22

設尸(xj),則N&,-%),且今一2^1①，

因為動直線/交雙曲線于不同的兩點所以x0w±2且xw±2,

因為直線A2M的方程為y=-2)②，

直線4N的方程為J=+2)③，

_2

②X③得V=三邑(，一4),

尤0-4、'

a22

把①代入上式得-4),化簡得土+匕=1,

4V743

22

所以點尸的軌跡C的方程為,+q=l(xH±2).

(2)依題意得直線DE與直線bG斜率均存在且不為0,

設直線DE的方程為x=〃沙+1(切40),則直線bG的方程為工=-工＞+1,

m

聯立72+1；。得(3加2+4)/+6即-9=0,

3x+4y=12'7

則A=36/+36（3/+4）=144（/+l）＞0,設Z）（x1M，「⑸力），

答案第12頁，共15頁

-6m8

%=/+A：2=加（必+）+2=

3m2+43m2+4

4—3m

所以DE的中點R

3m2+4'3m2+4

4m23m

同理bG的中點S

4m2+34m2+3

-3m3m

所以直線RS的斜率為kRS=3吟+44：2廣=

44m4（m-

3m2+44m2+3

3m7m(4)

所以直線心的方程為y+而盲=而可『-病,

7m

整理得"而二!

所以直線&S恒過定點即過兩弦尸G中點的直線恒過定點

【點睛】本題主要考查動點軌跡方程的求法，考查橢圓中的定點問題，考查直線和橢圓的位

置關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.

19.（1）1365

⑵證明見解析

⑶2i+2r'_2；/=卜,4,8,…,2二29,2予

【分析】(1)由題目所給信息可得5(。)與