三角函數(shù)概念及誘導(dǎo)公式（學(xué)生版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第28講三角函數(shù)概念及誘導(dǎo)公式

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：三角函數(shù)基本概念

1、角的概念

(1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)

位置所成的圖形；

②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是

S={p\/3=k-360°+a,k&Z}.

(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的

終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬

于任何一個(gè)象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限角：［a\2k7r<a<2kTr+^-,kEZ)

象

限第二象限角：{aM+3<a<2"+TT#eZ}

-角

的

m集第三象限角：{al2房+b<a<2"+要,AGZ}

\合

第四象限角：算<a<24F+2TTMeZ}

2、弧度制

(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示,

讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180。=萬rad,1°=—rad,lrad=—.

180

(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：I=\a\-r,扇形的面積公式：S==；同?/.

3、任意角的三角函數(shù)

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(x,y)時(shí)，貝！Isina=y,cosa=x,

y

tana=—(xw0).

x

(2)推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)尸尸(x,y)是角a終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),

設(shè)點(diǎn)尸到原點(diǎn)。的距離為r，則sine=1,cosa=—,tana=—(x540)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表:

1

第一象第二象限第三象第四象

三角函數(shù)定義域

限符號(hào)符號(hào)限符號(hào)限符號(hào)

sinaR++一一

cosaR+一一+

兀

tana{a\akyi+—,keZ}+——+—

記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：I全正、二正弦、三正切、四余弦.

4、三角函數(shù)線

如下圖，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸，過尸作軸，垂足為過N(1,0)

作單位圓的切線與a的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)7.

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：s'""=tane(aw工+ATT)；

cosa2

知識(shí)點(diǎn)三：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式--二三四五六

7171

角2k7i+a(JieZ)乃+a-a7i-a---a—Fa

22

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦coscr-cosacos。-COS6Tsina-sina

正切tanatana-tana-tana

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說明：(1)先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫

作”?工土e；(2)無論有多大，一律視為銳角，判斷〃?工土a所處的象限，并判斷題設(shè)三角

22

函數(shù)在該象限的正負(fù)；(3)當(dāng)〃為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，”偶

不變”函數(shù)名保持不變即可.

【解題方法總結(jié)】

2

1、利用siYa+cos2a=1可以實(shí)現(xiàn)角a的正弦、余弦的互化，利用里吧=tana可以實(shí)

cosa

現(xiàn)角a的弦切互化.

2、“sina+cosa,sinacosa,sina-cosa”方程思想知一求二.

(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a

(sina-cosa)2=sin2a+cos2a—2sinacosa=1—sin2a

(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2

必考題型全歸納

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

（4兀471）

例L（2024?遼寧?校聯(lián)考一模）已知角。的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為sing,cos^,則a的

最小正值為（）

,兀-3兀-4兀-17兀

A.—B.—C.—D.------

510510

兀

例2.（2024?全國(guó)-高三專題練習(xí)）下列與角二9的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（）

4

Q

A.2ht+45°（^eZ）B.h360°+彳（左eZ）

57r

C.h360°-315°（左eZ）D.E+于（左eZ）

例3.（2024?廣東?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列各角中與437。角的終邊相同的是（）

A.67。B.77°C.107°D.137°

變式1.（2024?北京?高三北大附中?？茧A段練習(xí)）已知角。的終邊為射線＞=Mx40）,

則下列正確的是（）

5"x/?（Y?）Y

A.a=—B.COS6Z=—C.tanccH—=—1D.sinad—=1

42I2jI4j

【解題方法總結(jié)】

（1）終邊相同的角的集合的表示與識(shí)別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決.

（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是

坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角.

題型二：等分角的象限問題

例4.（2024,全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知a是銳角，那么2a是（）.

A.第一象限角B.第二象限角

C.小于180。的正角D.第一或第二象限角

3

例5.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若角a是第二象限角，則角2a的終邊不可能在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、四象限

例6.（2024?浙江?高三專題練習(xí)）若角a滿足a="+￡（kez）,則a的終邊一定在

36

（）

A.第一象限或第二象限或第三象限

B.第一象限或第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限或x軸非正半軸上

D.第一象限或第二象限或y軸非正半軸上

變式2.（1990?上海?高考真題）設(shè)。角屬于第二象限，且cos,=-cos],則1角屬于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知角&的終邊與三的終邊重合，則女的終邊不可

能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式4.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若角a是第一象限角，則三是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角

【解題方法總結(jié)】

先從a的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）區(qū)的象限

n

分布圖示.

題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算

例7.（2024?上海松江?高三上海市松江二中?？茧A段練習(xí)）已知扇形的圓心角為§兀，扇

形的面積為3叫則該扇形的周長(zhǎng)為.

例8.（2024?上海徐匯?上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┮阎刃螆A心角a=60°,a所對(duì)的

弧長(zhǎng)/=6兀，則該扇形面積為.

例9.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在東方設(shè)計(jì)中存在著一個(gè)名為“白銀比例”的理念，這

4

個(gè)比例為0:1,它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達(dá)出

一種獨(dú)特的東方審美觀.如圖，假設(shè)扇子是從一個(gè)圓面剪下的，扇形的面積為耳，圓面剩余

部分的面積為邑，當(dāng)去=&時(shí)，扇面較為美觀.那么按“白銀比例”制作折扇時(shí)，扇子圓心角

的弧度數(shù)為.

變式5.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其對(duì)扇形田面積

給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問題：現(xiàn)有一扇形

田，下周長(zhǎng)（弧長(zhǎng)）為20米，徑長(zhǎng)（兩段半徑的和）為20米，則該扇形田的面積為

平方米.

變式6.（2024?福建廈門?高三福建省廈門第六中學(xué)校考階段練習(xí)）若一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是4

為定值，則當(dāng)該扇形面積最大時(shí)，其圓心角的弧度數(shù)是

變式7.（2024?江西鷹潭?高三鷹潭一中?？茧A段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為a,半徑

為r,弧長(zhǎng)為/,若扇形周長(zhǎng)為20,當(dāng)這個(gè)扇形的面積最大時(shí)，則圓心角7=弧度.

【解題方法總結(jié)】

應(yīng)用弧度制解決問題的方法

（1）利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

（2）求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

（3）在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

題型四：三角函數(shù)定義題

例10.（2024?湖南邵陽?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知尸（3,4）是角a終邊上的一點(diǎn)，則sina=

（）

3434

A.—B.—C.—D.一

5547

例11.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）如果點(diǎn)。在角§兀的終邊上，且則點(diǎn)P的

坐標(biāo)是（）

5

A.(1,V3)B.(-1,73)C.(-73,1)D.(-e-1)

例12.(2024?北京豐臺(tái)?北京豐臺(tái)二中?？既?已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,6),將04繞坐

標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)三至。8,則點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為()

2

A.-V3B.-1C.V3D.1

變式8.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)”0,角a的終邊與圓M+/=i的交點(diǎn)為產(chǎn)㈠〃,而),

那么sina+2cosa=()

2112

A.—B.—C.—D.—

5555

變式9.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系尤切中，動(dòng)點(diǎn)P,Q

7T

從點(diǎn)41,0)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)￡弧度，點(diǎn)。按順時(shí)針方向每

(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角a終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求a的三角函數(shù)值；已知角

a的三角函數(shù)值，也可以求出角a終邊的位置.

(2)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值

在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情

況.

題型五：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值

例13.(2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考)若&=—，則()

7

A.sina>0cosa>0B.sina>0JiLcosa<0

C.sina<0J=Lcosar>0D.sina<0Mcosar<0

6

例14.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)』（sin23。,-cos23。）是角a終邊上一點(diǎn)，若

0°<?<360°，則（）

A.113°B.157°C.293°D.337°

例15.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知c是第二象限角，則點(diǎn)（cos（sina）,sin（cosa））所

在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式10.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知。是第二象限角,則點(diǎn)（cos（-a）,sin（-a））

所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式11.（2024?河南許昌?高三?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)尸（sin2023o,tan2023。）

位于第（）象限

A.-B.二C.三D.四

變式12.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P（cos6,tan。）是第二象限的點(diǎn)，則。的終邊

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題方法總結(jié)】

正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；.

余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；.

正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù).

題型六：同角求值一條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的

例16.（2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知。是三角形的一個(gè)內(nèi)角，

且滿足sin6-cose=4^,則tan9=（）

5

A.2B.1C.3D.1

例17.（2024?山西陽泉?統(tǒng)考二模）已知sin（z+cosa,0<a<n,貝!]sina-coscr=（）

3

A273?2V3「拒n百

3333

例18.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知sina+cosa=g,且a￡（0,兀），sina-cosa=（）

7

A?士:7c49

B.——D.——

525

則

變式13.（2024?貴州銅仁?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知sin。-siny+^j=V2,tan0=()

B.-1C.1D.V2

變式14.（2024?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知sinc、cosa是關(guān)于x的方

程3%2_2X+Q=0的兩木艮，貝.

變式15.（2024?湖南衡陽?高三衡陽市一中?？计谥校┮阎猻ina-cosa=------,貝!J

3

sin2a=.

7

變式16.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知sina+cosa=A（0＜。＜兀），貝！|tana=.

變式17.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若研0,口tan＜9=；,則sinO-cos".

變式18.（2024?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）已知tan8=2,則————的值是__________

sin2"+cos2”

變式19.（2024?浙江溫州?樂清市知臨中學(xué)?？级＃┮阎猼aru=6,貝

3sin2x-2sinxcosx=.

變式20.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）若smx-cosx=2,求sinxcosx的值為.

sinx+cosx

【解題方法總結(jié)】

（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號(hào)，再利用三角形三角函數(shù)定義

求未知三角函數(shù)值.

（2）若無象限條件，一般“弦化切”.

題型七：誘導(dǎo)求值與變形

兀兀71

例19.（2024?山西陽泉?統(tǒng)考三模）已知sin----FCC,則

6容34?4

例20.（2024?四川綿陽?統(tǒng)考三模）已知Oegf,sin（7t+e）=-g,貝Utan*.

例21.（2024?陜西西安?高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）若sin（%+&）=-；,

則cosa的值為（）

11V3

A.土一B.—

2222

8

變式21.（2024?陜西西安?高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若siM=；,則

sin的值為（）

1「2V2D.迪

AB.—u.--------

-i333

兀'

|4nI(571

變式22.（2024?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知sin---FCC,則cos的值為（）

、3）I5I~6~

3344

A.--B.-C.—D.—

555,5

715

變式23.（2024?陜西西安?長(zhǎng)安一中校考二模）已知cosa)

~~13I10

A。V512

B.——D.——

1313

【解題方法總結(jié)】

（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與々7T整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)

2

公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù).

TT

（2）通過±2肛土肛土一等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù).

2

7T

（3）?！朗?±2肛士肛±萬等可利用誘導(dǎo)公式把巴，的三角函數(shù)化

題型八：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

則sm0sm(^+0

例22.（2024?河南駐馬店?統(tǒng)考三模）已知tan6=2,

2

ABcD.

-1-1-4