上海市楊浦某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題

上海市楊浦高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、填空題

1.不等式x2+2x-3<0的解集是.(結(jié)果用區(qū)間表示)

2.己知全集"=1i,集合/={x|x<l},8={x|-l<無<3}；則/-5=.(結(jié)果用

區(qū)間表示)

flosx,x>01

3.已知函數(shù)/(')=29/八，貝*1/(/(—0)=____，

[x,x<02

4.函數(shù)/(x)=2sin2x+sin2x的最小正周期為.

5.已知向量值=(2,加)，B=(加+1,1),若萬〃則根=.

6.在二項(xiàng)式[x+：J的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成數(shù)列.(填寫“等差”或“等

比”)

7.已知函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)存在，了=/(x)的部分圖像如圖所示，設(shè)S⑺(aW6)是由曲線

y=f(x)與直線x=。，及x軸圍成的平面圖形的面積，則在區(qū)間值/上，S'⑺的最大

值在"處取到.

8.班級(jí)4名學(xué)生報(bào)名參加兩項(xiàng)區(qū)學(xué)科競賽，每人至少報(bào)一項(xiàng)，每項(xiàng)比賽參加的人數(shù)不限，

則不同的報(bào)名結(jié)果有種.(結(jié)果用具體數(shù)字表示)

,萬AF

9.過拋物線/=2x的焦點(diǎn)廠，傾斜角為3的直線/交拋物線于48CxA>xB),則轉(zhuǎn)的

4Bb

值__________.

10.為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉，某?；@球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃練習(xí).

試卷第1頁，共4頁

41

如果他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為匚；如果他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為；.

52

若他第2球投進(jìn)的概率為2彳9，則他第1球投進(jìn)的概率為__________.

40

11.某沿海四個(gè)城市45的位置如圖所示，其中N48c=60。，NBCD=135°,

AB8cmile,?('=4()?30、mile,AD=70A/6Wmile,。位于A的北偏東75°方向.

現(xiàn)在有一艘輪船從A出發(fā)向直線航行，一段時(shí)間到達(dá)。后，輪船收到指令改向城市C直線

最大值是.

二、單選題

13.函數(shù)/(x)=F產(chǎn)°是()

e,x>0

A.偶函數(shù)，且沒有極值點(diǎn)B.偶函數(shù)，且有一個(gè)極值點(diǎn)

C.奇函數(shù)，且沒有極值點(diǎn)D.奇函數(shù)，且有一個(gè)極值點(diǎn)

14.已知a>0,b>0,貝!|“a+6>2”是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

15.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,前〃項(xiàng)和為S“，若%=2,凡=5邑，則符合條件的數(shù)列｛%｝

的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

試卷第2頁，共4頁

16.已知/（2）=1°+2—°+；（25+2-5）,2€（：,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①/（z）=0存在實(shí)數(shù)解；

②/（2）=0共有20個(gè)不同的復(fù)數(shù)解；

③/（z）=0復(fù)數(shù)解的模長都等于1；

④/（z）=0存在模長大于1的復(fù)數(shù)解.

A.0B.1C.2D.3

三、解答題

17.已知函數(shù)f（x）=^￡為奇函數(shù).

l+ex

⑴求。的值并直接寫出的單調(diào)性（無需說明理由）；

（2）若存在實(shí)數(shù)乙使得/（產(chǎn)-2f）+/（2〃一4）＞0成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

18.如圖所示，已知三棱臺(tái)ABC-4耳G中，ABX1BB、,CB11BBX,AABBl=ACBBl=60°,

ABIBC,BBX=\.

（1）求二面角-C的余弦值；

（2）設(shè)￡、尸分別是棱/C、4G的中點(diǎn)，若斯，平面/3C,求棱臺(tái)N3C-4月。的體積.

19.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競賽，從所有答卷

中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）

分成六段：[40,50）,[50,60）,...,[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

試卷第3頁，共4頁

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

⑵求樣本成績的45；

⑶已知落在[50,60)的平均成績是54,方差是7,落在[60,70)的平均成績?yōu)?6,方差是4,

求兩組成績的總平均數(shù)三和總方差52.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，該點(diǎn)是橢圓C:—+/=1上一點(diǎn)，從原點(diǎn)。

4,

向圓M:(x-x。)2+。-％)2=/作兩條切線分別與橢圓c交于點(diǎn)P,Q,直線OP、。。的斜

(1)若圓”與無軸相切于橢圓C的右焦點(diǎn)，求圓M的方程；

(2)若廠=羊，求證左人為定值并求出該定值；

(3)在(2)的情況下,求IOPHO。的最大值.

21.已知°>0,函數(shù)/'(x)=axsinx,g(x)=2sin2中,xe]()q].

(1)當(dāng)a=2時(shí)，證明：/0)>g(x)；

⑵若/(x)>g(x)恒成立，求a的取值范圍；

(3)設(shè)集合/==Zc°s大方—TP"?”｝,對(duì)于正整數(shù)加，集合紇,=何加<》<2加｝,

k=\2外化+1)J

記/n紇，中元素的個(gè)數(shù)為加，求數(shù)列｛勾｝的通項(xiàng)公式.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)13141516

答案BBBC

1.(-3,1)

【分析】利用分解因式的方法求解不等式.

【詳解】不等式/+2》-3<0=(關(guān)+3)(1)<0,解得-3<x<l,

所以不等式/+2x-3<0的解集為(-3,1).

故答案為：(-3,1)

2.[3,+oo)

【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】由題可得/U3={x|x<3},

則/u8={尤|x23}=[3,+oo),

故答案為：[3,+8).

3.-2

【分析】推導(dǎo)出[]一；[=[一￡|2=；,從而/]/(一3]=/1,，由此能求出結(jié)果?

/、flogx,x>0

【詳解】解：?.?函數(shù)〃x)=79，

[x,x<0

故答案為-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)值的求法，考查函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

考查方程思想，是基礎(chǔ)題.

4.兀

【分析】將三角函數(shù)進(jìn)行降次，然后通過輔助角公式化為一個(gè)名稱，最后利用周期公式得到

答案第1頁，共13頁

結(jié)果.

【詳解】■.■/(x)=l-cos2x+sin2x=l+V2sin^,:.T='=凡.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式，及輔助角公式，周期的運(yùn)算，難度不大.

5.1或-2

【分析】根據(jù)平面向量共線坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)樵磪^(qū)，

所以有機(jī)(加+1)=2x1=>機(jī)=1,或〃?=-2,

故答案為：1或-2

6.等差

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式寫出前三項(xiàng)的系數(shù)，再由等差數(shù)列的定義即可判斷.

【詳解】由二項(xiàng)展開式知，前三項(xiàng)的系數(shù)分別為C；=1,；C；=4,：砥=7,

所以前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列.

故答案為：等差.

7.。

【分析】根據(jù)圖象，利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得結(jié)果.

【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義得，S'(f)=limS('+A>S(')=［加&、］)=limf(>/(),

所以S'?)的最大值就是/■⑺的最大值，

從圖象上看，/(X)在'=。處取得最大值，

故答案為：J

8.81

【分析】由分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理即可求解.

【詳解】每名學(xué)生可報(bào)一項(xiàng)或兩項(xiàng)，所以有C；+C；=3,

所以4名學(xué)生共有3x3x3x3=81種.

故答案為：81

9.3+20

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，直線與拋物線聯(lián)立求出交點(diǎn)坐

標(biāo)，利用焦半徑公式求出以同，忸可的長，從而可得結(jié)果

答案第2頁，共13頁

【詳解】由r=2x得尸直線/：y=x-g,

直線與拋物線聯(lián)立可得，X2-3X+-=Q,

4

3+2后3-2逝

由拋物線定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離可得，

\AF\=XA+^=2+42,\BF\=XB+^=2-42,

■==^=3+20，故答案為3+2夜.

or2—72

【點(diǎn)睛】與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要

注意點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦

點(diǎn)的距離；（2）將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，使問題得到解決.

10.-/0.75

4

【分析】記事件A為“第1球投進(jìn)”，事件5為“第2球投進(jìn)”，設(shè)尸（，）=p,由全概率公式求

解即可得出答案.

【詳解】記事件A為“第1球投進(jìn)”，事件8為“第2球投進(jìn)”，

P[B\/）=g，尸（雨）=g,P（/）=p,

3

解得：p=：.

4

3

故答案為：

4

11.—

2

【分析】

求出/C,計(jì)算ZXCD,利用正弦定理再計(jì)算N/OC,故而。=75。-/4。。.

【詳解】

解：連結(jié)/C,

在4A8C中，由余弦定理得：AC2=6400+（40+3073）2-2x80x（40+30A/3）x|=7500,

AC=50邪，

答案第3頁，共13頁

80_50￡

ABAC

由正弦定理得即sin/4dG，

sinZACBsin/ABC

~T

43

解得sinZACB=—,/.cosNACB=—

smZACD=sm(1350-ZACB)=—x-+—x-=^!^,

252510

50#)7076

/Z)

在A4CZ)中，由正弦定理得即sin/4DC7A/2，

sin//。。sinZACD

IF

解得sin/ADC=L,ZADC=30°,

2

sin6=sin(75°-30°)=sin45。=*

故答案為：旦.

2

27+3小

■-16~

【分析】根據(jù)題意在球中討論，結(jié)合空間向量數(shù)量積的應(yīng)用可求出最值.

【詳解】因?yàn)榭臻g向量耳，工,1是單位向量,

所以把向量反，或平移到以。為起點(diǎn)，終點(diǎn)在半徑為1的球面上，如圖:

I—*—*I___9n—?—?—?—?

由卜］+可=1,得,+e2+2,?%=1，所以耳勺=120°,同理=120。,

令,+為二1，則4,5=60。，=60°,

根據(jù)歸+〃=5,兩邊同時(shí)平方解得〃/=-可，cosS-Z?,

所以［繞向量■所在直線旋轉(zhuǎn)一周得圓錐的側(cè)面，&繞向量石所在直線旋轉(zhuǎn)一周得圓錐

。。2的側(cè)面,

因?yàn)閏os扇3=

82

答案第4頁，共13頁

所以150。<或役<180。，則sin1,B="，

8

觀察圖形得當(dāng)年,1旋轉(zhuǎn)到平面。0。2內(nèi)時(shí)，向量,與弓的夾角最小,

令此最小角為6,貝U6=瓦B—60。—60。=用3—120。,

則

cos0=cos^a,6-120°j=cos5,fecosl20°+sin5,ftsin120°=-4卜-4-—^<——

,?q=閭?闖cos9,e3<cos6=——一，

所以，?最的最大值是至5,

16

故答案為：2±拽.

16

【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)是將這四個(gè)單位向量轉(zhuǎn)化到

球中去，結(jié)合圖形更易判斷，求出向量間的夾角，最后結(jié)合兩角差的余弦值可求得最終結(jié)果.

13.B

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合極值點(diǎn)的定義即可得出結(jié)論.

【詳解】畫出/（x）的圖象，函數(shù)〃尤）是偶函數(shù)，

且函數(shù)/（無）在（-8,0］上單調(diào)遞增，在（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/（X）有一個(gè)極大值點(diǎn).

故選：B.

14.B

【分析】通過舉例的方法，以及基本不等式，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】若。=L5,6=0.6,滿足a+b>2,但,

若a>0,b>0,ab>l,貝!la+6?2面>2,即。+6>2,

所以“a+6>2”是“ab>1”的必要不充分條件.

答案第5頁，共13頁

故選：B

15.B

【分析】由等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)和前〃項(xiàng)和公式求解即可；

axq=2]

【詳解】當(dāng)4*1時(shí)，由題意得%(「，)_/(1_/)解得《=5；

.j=5"IfI"=±2

當(dāng)q=l時(shí)，為=%=2,不滿足邑=5邑，不符合題意；

所以符合條件的數(shù)列｛%,｝的個(gè)數(shù)是2,

故選：B.

16.C

【分析】設(shè)z5+z"=t,利用換元法可求得z5='±J；/,從而可判斷〃z)=o的20個(gè)復(fù)

數(shù)解的模都是1.

【詳解】設(shè)z5+z-5=f,則/=3。+2—°+2,可得嚴(yán)+zT°=?一2,

則3。+/°+[仁5+2-5)=產(chǎn)+L-2,

2、'2

于是/(z)=0=>d+*—2=0=(=~~~~~，

這兩個(gè)/的取值都在區(qū)間(-2,2)內(nèi).

故zlz-'f有解Z，/土，因此〃z)=o有20個(gè)不同的復(fù)數(shù)解.

當(dāng)t=苫叵時(shí)，由于匕『="'y=j

因此/'(z)=0的復(fù)數(shù)解的模長都等于1.

因此，②③正確，

故選：C.

17.(1)。=1,單調(diào)遞減

c

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的含義可求得。的值,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義法可求得單調(diào)性；

(2)根據(jù)單調(diào)性以及奇函數(shù)性質(zhì)可得/(/-2/)>/(左-2/),從而得到不等式，求解即可.

答案第6頁，共13頁

【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)〃乃=佇亡為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽,則/（0）=0,

l+ex

所以/（0）=;拼=0,即a=l,

止匕時(shí)/（x）=d,滿足/（-）=匕鼠=吐1=-/1），即〃尤）為奇函數(shù)，

l+ex'7l+e-x1+e*'7

1-%9

/（%）=----P=一1+-----,定義域?yàn)镽,對(duì)Vxp/ER,且再＜工2，

'）l+e%l+ex

2?2（科—e為）

則/（%）一/（工2）=------------=7——~~\7----\，

I"l+ew1+夕（1+叫（1+口

因?yàn)闊o]＜工2，所以e*-鏟＞0,l+eA|＞0,1+e演＞0,

所以/&）-/（尤2）＞0,即函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞減；

（2）由2（產(chǎn)-2。+/（2--后）＞0,則川產(chǎn)一2）＞_/（2產(chǎn)一后）,

又因?yàn)?（尤）為奇函數(shù),所以/（r-2/）＞_/（2?_左）=/（"2?）,

又因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在R上單調(diào)遞減，

所以7-2/＜后一2產(chǎn)，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)乙使得3?一2/—左＜0,

所以△=4+12左＞0,解得左＞—],

所以上的取值范圍為[-；,+[].

區(qū)（1）-1

⑵書

【分析】（1）由二面角定義可得二面角的平面角為//BQ,結(jié)合垂直關(guān)系及余

弦定理求其余弦值即可；

（2）將棱臺(tái)補(bǔ)全為棱錐O-48C,利用垂直關(guān)系證明8月，面/3C，進(jìn)而得到相關(guān)線段垂

直并求出線段的長度，根據(jù)/=%TBC-%.4MG求體積.

【詳解】（1）因?yàn)?用上班一CBt1BBt,所以二面角與-C的平面角為N/BC.

因?yàn)镹ARB]=/CAB1=60。，BBX=\,所以/月二四產(chǎn)百，AB=CB=2.

因?yàn)镹BL2C,所以/C=2女.

答案第7頁，共13頁

因?yàn)镹C?=AB2+CB；-2AB「CB「cosZAB?,

所以cosZAB.C=-1,故二面角A-BB.-C余弦值為一；.

（2）因?yàn)椤癇C-4印。是三棱臺(tái)，所以直線44、BB、、C。共點(diǎn)，設(shè)其交點(diǎn)為。，

因?yàn)椤?、尸分別是棱NC、4G的中點(diǎn)，所以直線所經(jīng)過點(diǎn)。

因?yàn)镃BX±BBX,451rle男=4且4綜CB]U面/與。，所以班口面叫。,

又石片u面ABXC,所以_LEB[.

因?yàn)镋B=C，所以田￡=45。.

因?yàn)榇╛L平面力BC,4u平面4BC,所以跖_(tái)L￡5,

萬

所以EF=BBi?sin/EBB】=J,OE=EB=42f故方為OE的中點(diǎn).

2

三棱臺(tái)“3C-44c的體積％=一七-4B￡=5%TBC=5X；XOEXS^BC=*?

O0312

19.⑴a=0.030；

（2）84；

⑶總平均數(shù)是62,總方差是37.

【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1列式即可得解.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖先明確樣本成績的七所在的范圍，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可求解.

（3）先分別求出成績落在[50,60）和[60,70）內(nèi)的人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)定義和分層隨機(jī)抽樣

的方差公式/=1%—xs；+(x-zy]+/-xsj+(y-z)「即可求解.

m+nL'/」m+nL'，」

【詳解】(1)由頻率之和為1得(0.005+0.010+0.020+。+0.025+0.010)'10=1,

解得a—0.030.

答案第8頁，共13頁

(2)因?yàn)槌煽兟湓冢?0,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0,020++0.030)x10=0.65<0.75

落在［40,90)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020++0.030+0,025)x10=0.9>0,75

所以樣本成績的七落在［80,90)范圍內(nèi)，

設(shè)月5為加，貝U0.65+(機(jī)-80)x0.025=0.75,解得加=84,

故片5為84.

(3)由圖可知，成績?cè)冢?0,60)內(nèi)的市民人數(shù)為100x0.1=10,

成績?cè)冢?0,70)內(nèi)的市民人數(shù)為100x0.2=20,

10x54+20x66

故"-------------"62.

10+20

-x17+(54—62)］+［o'。義卜+(66—62『］=gx71+j20=37

所以兩組市民成績的總平均數(shù)是62,總方差是37.

20.

4

⑵證明見解析，桃2T

(3)2.5

【分析】(1)求出橢圓的右焦點(diǎn)，將橫坐標(biāo)代入橢圓方程可得相應(yīng)的縱坐標(biāo)，繼而可得圓的

圓心，圓的方程;

(2)因?yàn)橹本€。夕？=左1兀。。：^=左2］，與圓R相切，可得匕，左2是方程

1；-^卜2-2%為左+其一：=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系推出左心2,再由

點(diǎn)在橢圓C上，得出上四=-；.

(3)分直線。尸,。0不落在坐標(biāo)軸上和直線。己。。落在坐標(biāo)軸上兩種情況，推出

可+|。。「=5,即可得出斗的最大值.

21

【詳解】⑴橢圓C的右焦點(diǎn)是(⑸))"=瓦代入,+可得y=±g,

二圓Af的方程：(x—百)+=：.

答案第9頁，共13頁

（2）因?yàn)橹本€。=左》,。。:了=a2%，與圓M相切，所以直線。尸:了=左》,

904

與圓M:（x-Xo）+（y一為）=《聯(lián)立，

可得（1+后）Y-（2%+2AlJ。）x+x；+,；-：=O,

2

由A=（2x0+2^0）-4（l＜）p0+說=C,

即（x；-g）左;一2左1%,0+/_*=0，

同理（1+月）/一（2%+242義）“+*；+『；一：=0,

由42=（2%0+2%2yo）2—4（1+月）（就+說不）=0,

即1%；左；一2左2%0%+）：~~=0，

2

可得3左2是方程k；-1V-2x0^+^~=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

4

5.

4

5

因?yàn)辄c(diǎn)河（％%）在橢圓。上，所以"=1—

4

『02一￡

所以兒扃=---J

x；飛

（3）當(dāng)直線QP,。。不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)尸（不必），Q（x2,y2）,

因?yàn)?左他+1=0,所以生匕+1=。，即才￡=二父君,

為416

因?yàn)槭o1為）,。（工2%）在橢圓C上，所以7汶=|1-

整理得x；+x；=4,所以必?+%2

所以|0尸『+|00『=5,

當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有|。尸『+|。。『=5,綜上：|。尸『+|00『=5

所以|O斗100M|（|。邛+|O^2）=2.5,所以\OP\-\OQ\的最大值為2.5.

答案第10頁，共13頁

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)

立方程組并消元得到關(guān)于尤或y的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的

交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有不乙，必為或王+工2，%最后利用韋達(dá)定

理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程(或函數(shù))，從而可求定點(diǎn)、定值、最值問題.

21.(1)證明見詳解

⑵(0，2]

⑶想=%

【分析】(1)令廠(無)=/(尤)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值

即可證明；

(2)對(duì)。的值分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值，判斷能否滿足b(力>0；

711兀

(3)利用(I)中結(jié)論，cos礪旬>1-兩項(xiàng)，通過放縮并用裂項(xiàng)相消法求

n_n_

Tlx-'兀―，,

E兩西,有1<1y°S可詢<〃，可得或=%

【詳解】⑴令尸(x)=/(x)-g(x)=axsinx-2sin2*xe?,

若a=2,則尸(x)=2xsinx—2sin2X=2(x—sinx)sinx,

TT

又因?yàn)?<x<：，2sinx>0.

4

設(shè)/z(x)=x-sinx,0<x<-5-,

則//(x)=l—cosx>0,可知h(%)在(0,；]上單調(diào)遞增，

可得//(%)>A(0)=0,

即尸(x)〉0,所以/(x)〉g(x).

(2)因?yàn)間(x)=2sin25=l一cos2〃x,

由(l)可知：尸(x)="xsinx+cos辦-1,

原題意等價(jià)于"x)>0對(duì)任意xeg)恒成立，

貝！J廠'(X)=〃(sinx+xcosx-sin辦),

答案第II頁，共13頁

當(dāng)0<aW2時(shí),

兀

注意到0<ax<2x<—,貝!Jsin辦<sin2x，

2

可得/'(x)>a(situ:+xcosx-sin2x)=a[sinx(1-cosx)+(x-sinx)cos1],

由（1）得x-sinx＞0,貝!]尸，（％）〉0,

可知尸⑴在。由上單調(diào)遞增，則尸（x）"（O）=O,滿足題意;

當(dāng)〃>2時(shí)，(^)=(x)~(sinx+xcosx-siMx),0<x<：,

2

貝!)夕‘(%)=4(235%—％5111]一4(；05辦)<4acosax^=a2—cosax

a

因?yàn)?＜工＜1,可知存在a。J。,71,使得cosa6=22,

a2

22

當(dāng)XE(0,6)時(shí)，axG(0,a0),9,(x)<a?=0,

aa

可知3（%）在（0,。）上單調(diào)遞減，則9（x）＜9（0）=0,

即尸（力＜0在（0,。）上恒成立,

可知FQ）在（0力）上單調(diào)遞減，則尸幽）〈尸（0）=0,不