山東省德州市2023-2024學年高一年級上冊期中考試數(shù)學試題（解析版）

高一數(shù)學試題

2023.11

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷1-3頁，第n卷3-4頁，

共150分，測試時間120分鐘.

注意事項：

選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上.

第I卷選擇題（共60分）

一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的.）

1.設集合4=卜小一1叫,"”貯2},則人辰=（）

A{0,1}B.{-1,0,1}C.[2,3,4}D.{1}

【答案】C

【解析】

【分析】由集合的交集運算求解即可.

【詳解】因為A={尤wR|—l<x<4},B={%eN|x>2},

所以4^^3={左6?<|2?*<4}={2,3,4}.

故選：C.

4

2.已知命題。:“三〃<0,有—<—4成立“，則命題。的否定為（）

a

4，…-4…、、

A.\/a>0,有〃+—>-4成立B.V。<0,有〃H—>—4成立

aa

44

C.3d<0,有〃—>—4成立D.三。之0,有—?—4成乂

aa

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得出結果.

4

【詳解】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可得，命題P：“正<0,有〃+—<-4成立”的否定為

a

4

V”<0,有。H—>—4成立.

a

故選：B.

3.已知/(x)的定義域為［13,則g(x)="3x-2)的定義域為()

2%-3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域求解即可.

【詳解】因為/(%)定義域為［1,3］,所以/(3x—2)的定義域為lW3x—2W3,解得IWXW%

由分母不為0,得2x—3w0,即xw一,所以函數(shù)定義域為：-

2

故選：A.

2尤

4.函數(shù)/Xx)=-r的圖象大致是()

1+X-

斗外

A.-----------?B.7aC.

斗歹八

D.

X

【答案】B

【解析】

【分析】函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，排除CD,當%>0時，f(%)>0,排除A,得到答案.

2龍—2%

【詳解】/(%)=—^,函數(shù)定義域為R，/(-X)=--=-/(%),函數(shù)為奇函數(shù)，排除CD.

1+X1+X

2%

當x>0時，/(%)=—^>0,排除A.

1+X-

故選：B

5.若函數(shù)于(x)=加+('T)x+"-2”

是定義在(―2a+2,0)U(0,a)上的偶函數(shù)，則/⑴=()

X

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)定義域關于原點對稱求得〃，根據(jù)偶函數(shù)定義求得6,可得AM的解析式，進而得/(I).

【詳解】由題意，定義域(—2a+2,0)U(。,a)關于原點對稱，則—2a+2=—a,解得a=2,

則/(%)=2/+%+2-26,又/(x)是偶函數(shù)，

X

則/(—%)=/(%)，即2(r)3r+2-2、=2d+=+2—22,解得匕=1,

-XX

則/(幻=生±￡=2/+1,xe(-2,0)0(0,2),

X

則/(1)=2XF+1=3.

故選：B.

6.甲、乙、丙、丁四個人在爭論今天是星期幾：

甲說：“明天是星期六”

乙說：“昨天是星期二”

丙說：“甲與乙說的都不對”

丁說：“今天不是星期四”

若這四個人中只有一個人說對了，其他三個人都說錯了，那么今天是()

A.星期一B.星期三C.星期四D.星期五

【答案】C

【解析】

【分析】對甲、乙、丙、丁四人依次假設，進行分類討論，驗證是否滿足只有一個人說對了，其他三個人都

說錯.

【詳解】假設甲說對，則今天是星期五，那么乙錯，丙錯，丁對，與“只有一人說對"矛盾；

假設乙說對，則今天是星期三，那么甲錯，丙錯，丁對，與“只有一人說對"矛盾；

假設丙說對，那么甲、乙、丁錯；故今天星期四，所以假設可成立；

假設丁說對，則丙說錯，甲、乙都說對或其中一人說對，與“只有一人說對”矛盾.

所以是丙說對了，今天是星期四.

故選：c.

7.己知函數(shù)/(x)=x2—2x,若存在xe[2,4],使得不等式/(x)</+？。成立，則實數(shù)。的取值范圍

為()

A.RB.[-2,0]

C.(-OO,-4]D[2,+OO)D.(-oo,-2]u[0,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】由xe[2,4],使不等式成立即％e[2,4],W小+2a從而求解.

2

【詳解】由九?2,4],使不等式/(力4/+2。成立，即得：%e[2,4],/(x)mn<a+2a,

因為：XG[2,4],當％=2時，/(九)有最小值：/(2)=0,

所以：044+24，解得：。之?；?。4一2,

故0的取值范圍為：(―8,—2]。[0,+8),故D項正確.

故選：D.

8.德國數(shù)學家狄利克雷(Dirichlet,1805-1859),是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.他提出了著名的狄利克雷函

1x是有理數(shù)

數(shù)：0(x)='-曰土丁甲曲，以下對D(x)的說法錯誤的是()

'/〔0,x是無理數(shù)一

A.￡>(￡>(%))=1

B.D(x)的值域為｛0,1｝

C.存在尤是無理數(shù)，使得。(x+1)=0(%)+1

D.VxeR,總有。(％+1)=。(一%-1)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題設中的狄里克雷函數(shù)的解析式，分x為有理數(shù)和無理數(shù)，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，當x為有理數(shù)，可得。(司=1,則。(。(砌=1，

當x為無理數(shù)，可得。(x)=0,則￡>(￡>(%))=1,所以O(O(x))=l,所以A正確；

對于B中，由解析式得。(力的值域為｛0』｝,所以B正確；

對于C中，當X為無理數(shù)，則X+1也為無理數(shù)，滿足￡)(%)=。(1+1)=0,所以c錯誤；

對于D中，當X為有理數(shù)，則尤+1和—X—1也為有理數(shù)，滿足￡>(x)=￡>(%+1)=￡>(—%—1)=1,所以D

正確.

故選：C

二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.)

9.下列命題中是真命題的是()

A.VxeR,x2-x+l>0

B."/+^=o”是“a=0”的充分不必要條件

C."a>1且匕〉1"是“a+/?〉2且ab>l”的充分不必要條件

D.-a>4”是“關于x的方程V一依=o的根都是正根，，的充要條件

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,求出不等式%+1>。解集為R；對于B解方程得。=0或。=-1即可判斷；對于C,

舉出反例即得；對于D,求出關于x的方程依+0=0的根都是正根的充要條件.

【詳解】對于A,丁=必—x+1的開口向上，A=l—4=—3<0,所以不等式V—%+1>。解集為R,

故A對；

對于B,由方程/+。=0得。=?；?。=-1,當。=一1時，不能推出。=0,充分性不成立，故B錯；

對于C,。>1且/?>1,根據(jù)不等式的性質得出。+/?〉2且?！?gt;1,充分性成立；

而。=1,3=5時，滿足a+/?>2且但不滿足a>l且Z?>1,必要性不成立.故C對；

對于D,關于x的方程無2一々+:=。的根都是正根，則湖足《得。24,故D對.

。>0

故選：ACD

10.已知函數(shù)/(X)=7〃/+(〃7—1)X—1在「1,2］有兩個不同的零點，則加可以為()

11

A.—B.3C.—D.4

34

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)/(-1)=0,/(0)。0將原函數(shù)零點問題，轉化為機=工在(-LO)u(0,2]只有一解，利用幕函

X

數(shù)性質求解范圍即可判斷.

【詳解】因為/(一1)=加一(加一1)一1=。，所以元二一1為函數(shù)/(%)=g2+(加一1)九一1的零點，

所以函數(shù)/(%)=如2+(加_1)%_1在(-1,2]只有一個零點，且/(0)w0,

則JWC2+(m-l)x-l=0即根=,在(一1,0)。(0,2]只有一解，

x

1

因為XE(—1,0)U(0,2],所以加=,￡(一8,-1)?！?+<x)

2

對照選項，3>-,4>-,故只有選項BD符合題意.

43222

故選：BD

11.已知加>0,〃>0且加+〃=1,下列正確的有()

A.—I—的最小值為9B.y[m+y/~n<A/2

mn

C.———〃的最小值為0D.若加〉〃，貝IJ」一<」一

m+1m—1n—1

【答案】ABD

【解析】

41,41、

【分析】變換一+—=—+—(m+〃)利用均值不等式計算得到A正確，利用均值不等式計算得到B正

mnn)

確C錯誤，不等式轉化為〃—1〈根—1,D正確，得到答案.

?、“左，」.73十工41/41\、由1mc/4〃m「c

【詳斛】對選項A4：——F—=——F—(加+〃)=---1----1-5>2,------1-5=9,

mnn)mnvmn

4〃TTl]2

當且僅當——=—,即〃=—,根=—時等號成立，正確；

mn33

對選項B：+=m+n+2dmnW2(m十幾)=2，即

當且僅當標=冊，即根=〃=g時等號成立，正確；

對選項C：---n=--—--—l-m+1-2>2、--—(m+1)-2=0.

m+1m+1m+1\m+1

當且僅當‘?=〃+：!,即m=0時成立，%=0不成立，故等號不成立，錯誤；

m+1

對選項D：m-l＜0,〃一IvO,要證一--＜——,即〃一1＜加一1,即幾＜機，

m—1n—\

成立，正確；

故選：ABD

IYI

12.已知函數(shù)=1,則下列正確的有()

x+1

A.函數(shù)八＞)在(0,+8)上為增函數(shù)B.存在xeR,使得/(-x)=-/(%)

C.函數(shù)AM的值域為(―8,—2]U[—L+8)D.方程/(x)—必=。只有一個實數(shù)根

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用反比例函數(shù)單調性結合圖象平移判斷A,分類討論解方程判斷B,分類討論求解函數(shù)值域判斷

C,把方程/(X)-/=。只有一個根問題轉化為函數(shù)丁=/(尤)和函數(shù)y=必的圖象只有一個交點，數(shù)形結

合判斷D.

JT1

【詳解】對于A,當xe(0,+o))時，/(x)=-----1=-----,

X+1x+1

該函數(shù)是由函數(shù)y=-工向左平移一個單位得到的，

X

因為y=-工在(0,+。)上單調遞增，所以/(x)=-一匚在(0,+oo)上為增函數(shù)，正確；

XX+1

對于B,當xNO時，一/(乃=1一一—,/(-%)=———1,

x+1-x+1

若/(-x)=-f(x)，貝—一1=1--解得x=T+0

—x+1x+12

X—X

當xvO且xw—1時，—/(%)=——+1,/(—%)=------1,

x+1-x+1

若〃-尤)=一/5)，則±+1=;^—：!,解得工=匕更;

x+1—x+12

綜上，當x=或》=士好時，/(-x)=-/(x),正確；

22

X1

對于C,當了20時，/(%)=------1=-----,因為xNO,所以x+121,

x+ix+i

所以/■(%)=-一—e[-l,o),

x+1

—X1

當一1(尤<0時，/(%)=---1=-----2,因為一1(尤<0,所以0<x+l<l,

x+1x+1

所以/(%)=」一—2e(—1,+。)，

x+1

一X1

當工<—1時，f(x)=1—2,因為JVV—1,所以％+1<0,

X+lX+1

所以“上士

-2e（-a）,-2）,綜上函數(shù)/（x）的值域為2）3—L+8），錯誤;

——,x>0

x+1

1

對于D,/(%)=<—2,—l<x<0,

x+1

1

—2,%<—1

x+1

在同一個坐標系畫出函數(shù)y=/（x）和函數(shù)y的圖象，如圖:

由圖可知，函數(shù)和函數(shù)》=必的的圖象只有一個交點,

所以方程/⑴-必=0即/（尤）=%2只有一個實數(shù)根，正確.

故選：ABD

【點睛】方法點睛：判斷方程根的個數(shù)常用方法:

（1）直接法：直接根據(jù)方程求解根判斷個數(shù);

（2）數(shù)形結合法：對解析式適當變形，構造兩個函數(shù)，在同一平面直角坐標系中，畫出兩個函數(shù)的圖象,

其交點的個數(shù)就是方程根的個數(shù).

第II卷非選擇題（共90分）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

If：；若/⑷=3,則實數(shù)“為

13.已知函數(shù)/"(x)=<

【答案】-1

【解析】

【分析】分a<2和a22兩種情況求解.

【詳解】當。<2時，由/'（a）=3得a?—2a=3,解得。=3（舍）或。=一1；

當“22時，由/（。）=3得2。+1=3,解得。=1（舍）,

所以〃=-l.

故答案為：-1.

14.已知〃〉0,b>OS.ab+a+b=l,則的最大值________.

【答案】3-20

【解析】

【分析】由。0+。+6=1可得1—拓，令府=t,則/+2r—1<0,解不等式可得ab的最大值.

【詳解】因為a+b=\-abN2箍,令猴=t,即產(chǎn)+2f—1<0,解得-1，

當且僅當。=沙=拒—1時，ab取最大值為3—20.

故答案為：3-20

15.設A,8是兩個非空集合，定義：405={司％?453且1e4^^6},已知A=[x、=J』},

3=卜卜—1|>1},則403=.(用區(qū)間表示)

【答案】y,o)u[L2]

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)定義域求解集合A,利用絕對值不等式的解法求解集合8,再根據(jù)集合的運算性質計

算出Au8、ACS，最后根據(jù)集合新定義運算求解即可.

[詳解]因4=卜卜=6-1}={#21}，3={工卜_1]>1}={工|工<0或x〉2},

所以Au_B={WxvO或121},AnB={x|x>2},

因為405={%歸6且XEACB},

所以A05={x|x<O或lWxW2}=(y,0)3L2].

故答案：(f,0)U[L2].

16.如果一個函數(shù)的定義域與值域均為[〃，,〃],則稱該函數(shù)為[加,網(wǎng)上的同域函數(shù)，[加,川稱為同域區(qū)間.已

知函數(shù)/(x)=-2Gx+人+1在區(qū)間口,3]上是同域函數(shù).

(1)函數(shù)/⑺的解析式是；

(2)若函數(shù)g⑴〃一Ml(人①在時存在同域區(qū)間’則實數(shù)”的取值范圍是——?

【答案】①.于(x)=L_x+3②.0<k<l--

222

【解析】

mm

【分析】(1)首先判斷/(x)=JU_2ax+人+1在［1,3］上單調遞增，根據(jù)同域函數(shù)定義得＜

[“3)=3'

g(c

求出a和8的值即可.(2)根據(jù)題意設［c,d］是函數(shù)的同域區(qū)間，根據(jù)單調性得出＜,結合方程根

的分布列出不等式組即得.

【詳解】(1)由/(%)=?尤2-2?x+Z?+l=&(x-l『一及+人+1,

所以函數(shù)/(%)=疝2—2&%+〃+1在工3］上單調遞增，又函數(shù)是同域函數(shù),

1

即]〃⑴+。+ci———

=6-2&1=14

得《,用牟得1V

["3)=3"3)=96-6&+。+1=3'

b=-

2

所以/'(%)=

22

(2)由(1)得g(x)=左—

所以g(x)在(-8,0］單調遞增.

g(C

設［c,d］是函數(shù)g(x)的同域區(qū)間，得＜

即《,得2(2左一l)x+2左之=0在(7,0］上的根為c和d,

^d2-d=d

k-

△=[2(2左一4x2左2〉0k>l+

c+d=2(2k-l)<0

則滿足《即,k<-

c-d=2k2>02

k>0

k>0

6

解得o〈人＜1—上

2

......1,3J?

故答案為：(1)/(x)=-x~—xH—；(2)0〈左<1----

222

四、解答題(本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.)

17.已知集合4={]]?！猯<x<2a+l},集合8=―1>0>.

(1)當a=2時，求做A)p|B；

(2)若=求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)(a4)門5=卜卜2(尤<1}

(2)(-8,-2)U.

【解析】

【分析】(1)確定5={川—2<X<4},\A={X|X<1或X>5},再計算交集得到答案.

(2)確定403,考慮A=0和A/0兩種情況，計算得到答案.

【小問1詳解】

當a=2時，A=1x|l<%<5},B=1x|-2<%<4},

aA={x|x<1或x>5},貝ij低A)cB=|x|-2<x<1}.

【小問2詳解】

因為=所以A=

當4=0時，則a—1>2。+1,即a<—2,滿足則a<—2；

a>-2

3

當AZ0時，由AuB得〈a—1〉—2,解得—l<a<—；

一2

2tz+l<4

綜上所述：實數(shù)々的取值范圍為-

18.已知二次函數(shù)/(尤)滿足/(x+D-/(x)=2x—3,且/⑴=—8.

(1)求了(X)的解析式；

(2)當％6[-2,4]時，不等式/(x)>2x+m恒成立，求實數(shù)用的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=f—4x—5

(2)m<-14.

【解析】

【分析】(1)待定系數(shù)法，先設二次函數(shù)解析式，根據(jù)條件求待定系數(shù)的值，可得二次函數(shù)解析式.

(2)采用分離參數(shù)的方法，轉化為恒成立問題，再求出二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值即可.

【小問1詳解】

由于/⑺是二次函數(shù)，可設=2x-3恒成立，

故a(x+l)2+b(x+1)+c-(ax1+bx+cj=2尤一3恒成立，

整理可得2依+a+Z?=2x—3,

q+Z?+c=_8u=1

又因為了⑴二一8,/.<2a=2n<〃=-4,

a+b=—3c——5

因止匕/(%)-x2-4x-5

【小問2詳解】

當xe［—2,4］時，/(%)>2x+m恒成立，即一6工一5>一恒成立,

令g(x)=——6x—5,則m<g(x)min，g(x)=(X-3)2-14,

當工1—2,3］時，g(x)單調遞減，當xe［3,4］時，g(x)單調遞增，

g(x)min=g(3)=T4，所以加<—14.

19.已知函數(shù)/⑴是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象經(jīng)過點A(L3),B(-2,-3),當X>O時,

(1)求。，b值及/(x)在R上的解析式；

(2)用定義證明函數(shù)Ax)在區(qū)間(J5,+8)上為增函數(shù).

0,x=0

【答案】⑴憶6Z—］1；=

2

x~\—w0

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)將點的坐標代入求得x>0時的解析式，再利用奇函數(shù)性質求解解析式;

(2)利用單調性的定義直接證明即可.

【小問1詳解】

因為函數(shù)Ax)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象經(jīng)過點3(-2,-3),

所以其圖象也經(jīng)過點8'(2,3),

bx+2

將41,3)和B(2,3)代入X>0時的解析式/(x)=奴+-------1,

x

a+b=2fa=1

得L,C，所以、，；

2a+b=3[b=l

2

于是函數(shù)F(X)在x>0上的解析式為/(x)=x+一.

2

當x<0時，—x>0,所以/(—x)=—x——，又函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù),

22

所以〃-x)=-/(尤)，所以一y(x)=—x——，即/a)=x+一，

又函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,

0,x=0

所以/a)在R上的解析式為y(x)={2c

x—,xw0

【小問2詳解】

2

由(1)可知，/(%)=%+—,證明如下:

22(石工2-2)

則/㈤-/⑺一+不—X]H-----")卜一,

JQJQ—2

又/>%>百，所以王/>2,則；〉0,則八%2)—/&)>0，

所以/(X)在(J5,+8)上單調遞增.

20.環(huán)保是當今社會的一大主題，某企業(yè)積極響應號召，創(chuàng)新性研發(fā)了一款環(huán)保產(chǎn)品，經(jīng)多次檢驗產(chǎn)品質

量，最終決定大量投放市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為600萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入1000元，該企

—x~+1040%+1200,0<x<30,

業(yè)據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：當年產(chǎn)量為X萬臺時，總銷售額Q(X)=2048

998%--------+1800,尤>30.

〔x-2

(1)求年總利潤W(x)(萬元)關于x(萬臺)的解析式(年總利潤=年總銷售額一年成本);

(2)試分析該企業(yè)以多少產(chǎn)量生產(chǎn)該產(chǎn)品時年總利潤最大？最大年總利潤為多少？

-x+40%+600,0<%<30

【答案】(1)W(x)=2048

-2%---+1200,%>30

(2)無=34時年總利潤最大，最大值為1068萬元

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題中年總利潤的表達式，結合x的范圍分段求解即可;

(2)分0<xW30和*>30求出W(x)的最大值，比較即可得答案.

【小問1詳解】

當0<%W30時，W(x)=e(x)-1000x-600=-%2+40x+600,

2048

當%>30時，W(x)=e(x)-1000x-600=-2x--------+1200,

-x+40%+600,0<%<30

綜上所述：W(x)=〈904Q

-2x---+1200,%>30

【小問2詳解】

當0〈尤W30時，W(x)=-x2+40x+600=—(x-20)2+1000,

當x=20時，W(x)取得最大值1000.

2048(1024、

當x>30時，W(x)=-2x一一—+1200=-2x-2+^—+1196

<-2x2.Mx-2).^^+1196=1068,

Vx-2

1024

當且僅當x—2=——,即x=34時，W。)取得最大值1068.

因為1068>1000,所以，當％=34時年總利潤最大，最大值為1068萬元.

21.已知定義在R上的函數(shù)/⑴滿足：①對X/x,yeR,/(x+y)=/(x)+/(y)-l；②當x>0時,

/(無)>1；③/⑴=3.

(1)求/(O),判斷并證明的單調性；

(2)若對任意的xeR，關于x的不等式/(辦2)+/(2%)<6恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)/(。)=1;〃x)在R上的單調遞增，證明見解析

(2)a<—

2

【解析】

【分析】(1)利用賦值法求解函數(shù)值，利用函數(shù)的單調性證明即可；

(2)把恒成立問題轉化為了(加+2x)</(2),再利用函數(shù)單調性轉化為加+2x-2<0，分類討論,

判別式法求解即可.

【小問1詳解】

令X=y=0,得/(0)=/(0)+/(0)一1,

解得/(。)=1；4X)在R上的單調遞增.

證明如下：任取占<%2，即工2一%>0，

則/(%)-/(%)=/(%-%+%)-/(石)=/(々-石)+/(演)-1-/(演)=/(刀2-畫)-1,

因為X>0時，所以XI<々時，/(%)-/(%)=/(%-%)-1>。，

所以/(X)在R上的單調遞增.

【小問2詳解】

令x=y=l,得/(2)=/⑴+/(1)—1=5,

因為/(x+y)=/(%)+/(y)-l,所以fix+y)+1=/(%)+f(y),

不等式/(公?)+f(2x)<6等價于/(ar2)+f(2x)=f[cuC+2x)+1