蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)常見(jiàn)幾何模型解讀與提分訓(xùn)練：圓中的重要模型-四點(diǎn)共圓模型（解析版）

專題03圓中的重要模型-四點(diǎn)共圓模型

四點(diǎn)共圓是初中數(shù)學(xué)的?？贾R(shí)點(diǎn)，近年來(lái)，特別是四點(diǎn)共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對(duì)四點(diǎn)共

圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計(jì)算題或選擇中四點(diǎn)

共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問(wèn)題），通常能簡(jiǎn)化運(yùn)算或證明的步驟，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。本文主要介紹四點(diǎn)

共圓的四種重要模型。

四點(diǎn)共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓”。

模型1、定點(diǎn)定長(zhǎng)共圓模型（圓的定義）

【模型解讀】若四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。這也是圓的基本定義，到定點(diǎn)的距離等于

定長(zhǎng)點(diǎn)的集合。

條件：如圖，平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)O、A、B、C、D,使得OA=O8=OC=O￡）,

結(jié)論：A、B、C、。四點(diǎn)共圓（其中圓心為O）。

例1、（2023?連云港期中）如圖，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C、。到點(diǎn)。的距離相等，若NABC=40°,

則ZADC的度數(shù)是.

【分析】根據(jù)題意得到四邊形ABCQ共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可求出所求角的度數(shù).

【詳解】由題意得到0A=08=0C=0D,作出圓。，如圖所示，

.??四邊形A8CO為圓。的內(nèi)接四邊形，??.NABC+/AZ）C=180°,

VZABC=40°,AZADC=140°,故答案為：140°.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

例2.（2022秋?江西贛州?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B,C,D到點(diǎn)。的距離相

等，連接AC,BD.則下面結(jié)論不一定成立的是（）

A.0ACB=9O°B.0BDC=BBACC.AC平分回BADD.0BCD+0BAD=18O°

AOB

【答案】c

【分析】以點(diǎn)。為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓.再根據(jù)圓周角定理及其推論逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】如圖，以點(diǎn)。為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓.由題意可知：

OA=OB=OC=OD.即點(diǎn)A、B、C、D都在圓O上.

A.由圖可知AB為經(jīng)過(guò)圓心。的直徑，根據(jù)圓周角定理推論可知NACB=90。.故A不符合題意.

B.BC=BC，所以根據(jù)圓周角定理可知=故B不符合題意.

C.當(dāng)BCwC。時(shí)，ABACADAC,所以此時(shí)AC不平分/54。.故C符合題意.

D.根據(jù)圓周角定理推論可知，ZBCD+ZBAD=180°.故D不符合題意.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及其推論，充分理解圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵.

例3.（2021?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt~4BC中，ZACB=90°,。為A3的中點(diǎn)，平分/AOC

交AC于點(diǎn)G,OD=Q4,瓦）分別與AC,OC交于點(diǎn)E,尸，連接。，則二三的值為-,^CE=CF,

AOB

【答案】I72

【分析】（1）根據(jù)條件，證明△AOD=Z\C8,從而推斷/OG4=90。，進(jìn)一步通過(guò)角度等量，證明

AAOG-AABC,代入推斷即可.（2）通過(guò)。4=OD=OC=OB,可知A,8,C,O四點(diǎn)共圓，通過(guò)角度轉(zhuǎn)化,

證明AODF?ACBF,代入推斷即可.

【詳解】解：（1）0ZACB=90°,。為AB的中點(diǎn)回。4=OC

又回0￡）平分ZAOC0ZAOD=ZCOD

又EIOD=ODEIAAO￡>=ACODSAD=CD0OD±AC回NOGA=90°

在△AOG與AABC中ZGAO=ZBAC,ZOGA=ZBCA=90°國(guó)△AOG-AABC組=學(xué)=]

BCAB2

（20。4=00=0。=。8SA,B,C,D四點(diǎn)共圓，如下圖：

0CE=CFEIZ.CEF=NCFE又回NCFE=NBFOEZCEF=ZBFO

0AAO￡>=ACOD^\AD=CDS\AD=CDONOBF=NCBE

回ZBFO+AOBF=NCEF+NCBE=900即ZBOC=90"

SOB=OCEBC=A/2OC=-JiOA=-JiOD回NOGA=NBC4=90°0NODB=NFBC

crBC-\—

⑦NOFD=NCFB回△ODF~Z\CBF團(tuán)---=---故答案為：一

OFOD2

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的相似，三角形的全等以及圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)圖形找見(jiàn)相關(guān)的等量關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

例4.（2022?北京?清華附中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形A8CD中，DA=DB=DC,ZBDC=72。，則/B4c

的度數(shù)為.

【答案】36。

【分析】根據(jù)題意可得ABC三點(diǎn)在以。為圓心D4為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理即可求解.

【詳解】解：如圖，

SDA=DB=DC,國(guó)ABC三點(diǎn)在以。為圓心ZM為半徑的圓上，

EIZBDC=72°,CB^CB0^BAC=1ZBDC=36°.故答案為：36°.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

模型2、定邊對(duì)雙直角共圓模型

同側(cè)型異側(cè)型

1）定邊對(duì)雙直角模型（同側(cè)型）

條件：若平面上A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)滿足ZABD=ZAC￡）=90。，

結(jié)論：A,B、C,。四點(diǎn)共圓，其中A。為直徑。

2）定邊對(duì)雙直角模型（異側(cè)型）

條件：若平面上A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)滿足ZABC=ZADC=90。，

結(jié)論：A,B、C、。四點(diǎn)共圓，其中AC為直徑。

例1.（2022秋?廣東梅州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,E是

AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，若ABAC=15,ZDAC=45°,8=4,貝UEF的長(zhǎng)為（）

A.V2B.2A/2C.2D.2遭

【答案】A

【分析】連接BE,ED,根據(jù)NABC=ZADC=90。且E為AC中點(diǎn)，求證△血）是等腰三角形，再利用等

腰三角形的高，中線，角平分線三線合一的性質(zhì)得到防J_BD,根據(jù)圓周角定理得到“EP=60。，求得

EF=；DE,CD=s/2DE，于是得出結(jié)論.

【詳解】連接BE,ED,如圖，

EIZABC=ZADC=90°且E為AC中點(diǎn)，^\BE=-AC,DE=-AC,0BE=DE,

22

團(tuán)尸為3。中點(diǎn)，0EF1BD,3151ABC=ZADC=90°,回A,B,C,。四點(diǎn)共圓，

13ZBAC=15°,NZMC=45°,EZBAD=60°,回/BED=120°,

?NFDE=NFBE=30°,SEF^-DE,在AADC中，ZZMC=45°,ZADC=90°,

2

0ZZMC=Z￡>C4=45°,SCD=AD=4,由勾股定理得：AC=^CD2+AD2=74+42=4A/2;

0DE=-AC=2A/2,團(tuán)EF=LDE3,故選：A.

22

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓內(nèi)接四邊形，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形，求出線段.

例2.（2021?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABDC中，AC^BC,ZACB=90°,AD上BD于點(diǎn)、D.若

BD=2,CO=4后，則線段AB的長(zhǎng)為.

B

【答案】2底

【分析】設(shè)AD、BC交于點(diǎn)F,過(guò)C作CELAD,用△CEFs△取不求出CF、BF,即求出8c的長(zhǎng)，又

因?yàn)锳C=3C,/ACS=90。從而求得AB.

【詳解】如圖，設(shè)AD、3c交于點(diǎn)F,過(guò)C作CELAD,

ZACB=90°ADJ.BD:.A、B、C、。在以AB為直徑的圓上

AC=BC,NACB=90°:.ZABC=45°AC=ACZADC=ZABC=45°

CD=472：.CE=ED=4-.-ADLBD,CE±AD:.BD//CE△CEW/\BDF

DFBD2\DF154”8

EFCE42DF+EF333

在R/ACEF和應(yīng)"中CF=7CE。+EF。={4。+(|y=考!

BF=^DF2+BD2=^(1)2+22=BC=CF+BF=+=2713

■.AC=BC,ZACB=90。:.AB=2而

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的直徑所對(duì)的圓周角為90。，同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾

股定理，本題能找到/ADC=NABC=45。是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022?浙江嘉興?二模）如圖，四邊形4BC￡>中，E1ABC=0BCD=9OO,AB=1,AES^D,交BC于點(diǎn),E,

EA平分aBED.（1）CO的長(zhǎng)是；（2）當(dāng)點(diǎn)尸是AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABC。的周長(zhǎng)是?

D

【答案】25+6

【分析】（1）延長(zhǎng)ZM，CB交于點(diǎn)、H,由"ASA"可證AADE三44￡癥，可得AH=A￡>,由平行得相似，依據(jù)

相似的性質(zhì)即可求解；（2）先證明A,D,C,E四點(diǎn)共圓，因?yàn)榇跏茿C中點(diǎn)，依據(jù)垂徑定理，得到。尸是

AC的中垂線，依據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可求得的長(zhǎng)度，作A"LCD于X,可證四邊形是矩

形，依據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合線段長(zhǎng)度，可得AH是C￡>的中垂線，由此可得AC的長(zhǎng)度，在二角形A8C中，

依據(jù)勾股定理可求得BC的長(zhǎng)度，只需把各邊相加即可得到四邊形ABCD的周長(zhǎng).

【詳解】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)CB交于點(diǎn)人

圖2

回欣平分團(tuán)2磯),3S\AEH=BAED,且AE=AE,SEAH^SEAD=90°,

^ADES^AHECASA)^AH=AD,

00ABC=EBC￡)=9O°,EABEICD,^BABHSEDCH,

ABAHI

回---=----,曰AB=1,AH=AD——HD,0CZ)=2,

CDDH2

(2)如圖2中，作A/70CZ)于H,

^3\DAE=SDCE=90°,0A,D,C,E四點(diǎn)共圓，設(shè)圓心為O,則點(diǎn)。是線段DE的中點(diǎn),

5^AF=CF,ffl￡>￡E]AC,EDA=DC,

0a4BC=0BCH=SAHC=90°,IB四邊形42cH■是矩形，SCH=AB=1,

0CD=2,^\CH=HD=1,又0A/7EICD,^AD=AC,^AD=CD=AC=2,

?BCNAC?-AB。-f=#1，,四邊形A8CZ)的周長(zhǎng)為2+2+1+—=5+A/L

故答案為：(1)2；(2)5+也.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造中垂線、相似三角形、直角三角形，建立未知線段與已知線段之間等

量的關(guān)系.

例4.(2022?湖北武漢?校考二模)如圖，等腰Rtl3ABe中，0ACB=9O°,D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD.

(1)如圖1,作BEIBAD延長(zhǎng)線于E,連接CE,求證：EIAEC=45。；

(2)如圖2,P為AD上一點(diǎn)，且EIBPD=45。，連接CP.若AP=2,求回APC的面積；

【分析】(1)由題意可證點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)E,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，可得回AEC=?ABC=45°：

(2)通過(guò)證明團(tuán)APB釀CEB,可求CE=]w=血，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CF=L即可求解;

【詳解】證明：(1)團(tuán)等腰RtRlABC中，團(tuán)ACB=90°,

團(tuán)AC=BC,回ABC=[3CAB=45°,AB=72BC,

團(tuán)BE團(tuán)AD,團(tuán)團(tuán)AEB=90°=回ACB,

團(tuán)點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)E,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，團(tuán)團(tuán)AEC=M\BC=45°；

(2)①如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BE回AD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF回AD于F,

團(tuán)團(tuán)BPD=45°,BER1AD,R]R]PBE=45°=回ABC,REABP=R1CBE,

盟AEB=9(T=團(tuán)ACB,回點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)E,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓,

AP

團(tuán)團(tuán)BAE=?BCE,RJAEC=[EABC=45°,團(tuán)團(tuán)APB團(tuán)團(tuán)CEB,團(tuán)CE='=V2，

J2

、/21

EICFEAD,EIAEC=45°,aSFCE=IBCEF=45°,0CF=EF=—CE=1,EEAPC的面積=彳xAPxCF=l；

02

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了四點(diǎn)共圓，圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三

角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵.

模型3、定邊對(duì)定角共圓模型

條件：如圖1,平面上A、B、C,。四個(gè)點(diǎn)滿足/4DS=/4CB,結(jié)論：A、B、C、。四點(diǎn)共圓.

條件：如圖2,AC,BD交于H,AHCH=BHDH,結(jié)論：4B、C、。四點(diǎn)共圓.

例1.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在MAABC中，0BAC=9O°,13ABe=40。，將AABC繞A點(diǎn)順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)得到AAOE,使。點(diǎn)落在2C邊上.

（1）求回區(qū)4。的度數(shù)；（2）求證：A、。、B、E四點(diǎn)共圓.

【答案】（1）10°;（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和已知條件求得回C的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC=A￡>,即可得出0ADC

=0C,最后由外角定理求得回氏4。的度數(shù)；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到由四點(diǎn)共圓的判定得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）團(tuán)在必中，fflBAC=90°,0ABe=40°,03C=5O°,

團(tuán)將AABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AADE,使。點(diǎn)落在BC邊上,

0AC=A。，00ADC=EC=5O°,^3\ADC^SABC+^BAD=50°,00BAD=50°-40°=10°

證明（2）回將AABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AAOE,EEL4BC=0A￡￡）,EA、D、B、E四點(diǎn)共圓.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、外角定理以及四點(diǎn)共圓的判定，解題的關(guān)鍵是理解

旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

例2.（2022秋?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在R0ABC中，0ACB=90°,AC=BC=4,將0ABC繞點(diǎn)A

沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到HADE,直線B。、CE相交于點(diǎn)。，連接AO.則下列結(jié)論中：@SABIXEACE；

②團(tuán)COO=135。；③AOBB。；④0Aoe面積的最大值為8,其中正確的有（）

B

E

0

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明A的"ACE即可判斷；

②由①的結(jié)論可得，ZABD=ZACE,進(jìn)而得到N3OC=NEB=45。，即可判斷NCOD；

③證明△"￡>為等腰三角形即可判斷；

④由題意直線BD、CE相交于點(diǎn)。，當(dāng)ADLAC時(shí)-，AAOC的面積最大，通過(guò)勾股定理計(jì)算求出最大值,

進(jìn)而進(jìn)行判斷

【詳解】①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=BC=AE=DE=4,AB=AD=4y/2

ADAJJ_

——=—=V2?.■ZDAE=ZCAB=45°.■.ZDAE+ZEAB=ZCAB+ZEAB

ACAE

即ZBAD=Z.CAEAABDsAACE故①正確

②設(shè)CE,AB相交于點(diǎn)死如圖：

由①AABDSAACE,可得NABE>=NACE,

又ZBFO=ZCFANBOC=ZCAB=45°ZCOD=1350故②正確

③：/3OC=/C4fi=45。，，可知AB,C,O四點(diǎn)共圓，

則ZBOA=ZBCA=900即AO1如故③正確

④設(shè)。到AC的距離為/?,vAC=4,以AC為底邊，當(dāng),最大時(shí)候，她。C面積的才最大,

由③可知△A3。是等腰三角，OD=OB

?/BC，AC,當(dāng)。點(diǎn)到AC的距離最大時(shí)即當(dāng)AD，AC時(shí)，h最大

即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度45。時(shí)，過(guò)。作OGLAC于點(diǎn)G,如圖，

由②可知NCO￡>=135。由③可知AO_L3￡),:.ZAOC=45°

AB=AD,ABAD=45°ZABD=g(180°-45°)=67.5°

由①可知AABD-AACEZACE=ZABD=67.5°

ZOAC=180。-ZOCA-ZAOC=67.5°OA=OC：.CG=GA=-AC=2

2

在RMBDE中,BE=AB-AE=W-4,DE=4

BD=y]BE2+DE2=7(4^2-4)2+42=4,4-20

在RtAA。。中，AD=4V2,OD=1BD=274-272

AO=^AD2-OD2=J(4后-(2"-20)2=2"+2夜

在Rr/XOCG中，OG=jAO2_cG2=J16+80-4=J12+80=2&+2

SAA0C=|ACX(?G=1X4X(25/2+2)=4>/2+4

故④不正確綜上所述：①②③正確，共計(jì)3個(gè)故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，三角形相似的性質(zhì)與判定，同弧所對(duì)的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角

互補(bǔ)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，正確的作輔助線和熟練的幾何基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）綜合與實(shí)踐

“善思"小組開(kāi)展"探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓.該小組繼續(xù)利用

上述結(jié)論進(jìn)行探究.

提出問(wèn)題：如圖1,在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)8,D,連接AD,AB,BC,CD,如果&8=00,那么A,B,C,

。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

探究展示：如圖2,作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C,。的回0,在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A,C重合），連接AE,CE,

貝?。┼?E。+回￡）=180。（依據(jù)1）

13回8=13。00AEC+0B=18O°

團(tuán)點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）

團(tuán)點(diǎn)2,。在點(diǎn)A,C,E所確定的回。上（依據(jù)2）

國(guó)點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上

⑴上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1"、"依據(jù)2"分別是指什么？

依據(jù)1：—;依據(jù)2：.

（2）如圖3,在四邊形ABC。中，01=02,03=45°,貝靦4的度數(shù)為.

拓展探究：⑶如圖4,己知“BC是等腰三角形,AB=AC,點(diǎn)。在8C上（不與3c的中點(diǎn)重合），連接AD作

點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E,連接仍并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于凡連接AE,DE.①求證：A,。，8,E四

點(diǎn)共圓；②若AB=2及,AZ）?AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由

【答案】⑴圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；⑵45。；⑶①見(jiàn)解析②8

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、過(guò)三點(diǎn)的圓解答即可；（2）根據(jù)四點(diǎn)共圓、圓周角定理解答；（3）

①根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AE=AC,DE=DC,ZAEC=AACE,,進(jìn)而得到NAED=ZABC,

證明結(jié)論；②連接CF,證明AABDSAMB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；

依據(jù)2：過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，

故答案為：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；

（2）解：0Z1=Z2,回點(diǎn)AB,C,O四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，0Z3=Z4,

0Z3=45°,0Z4=45°,故答案為：45°；

（3）①證明：EAB=AC,0ZABC=ZACfi,

回點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱，0AE=AC,DE=DC,

SZAEC=ZACE,ZDEC=ZDCE,SZAED=ZACB,

SZAED=ZABC,0A,D,B,￡四點(diǎn)共圓；

②解：相＞?AT的值不會(huì)發(fā)生變化，

理由如下：如圖4,連接CE,

回點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱，⑦FE=FC,

0NFEC=NFCE,BZFED=ZFCD,

0A,D,B,E四點(diǎn)共圓，^ZFED=ZBAF,

SZBAF=ZFCD,0A,B,F,C四點(diǎn)共圓,

SZAFB=ZACB=ZABC,

^ZBAD=ZFAB,HAABD^AAFB,

AD_AB

0AB=AF'^^DXAF=AB2=8-

【點(diǎn)睛】本題考查的是四點(diǎn)共圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確理解四點(diǎn)共圓的條件是

解題的關(guān)鍵.

例4.(2022秋?陜西西安?九年級(jí)校考階段練習(xí))如圖，在四邊形ABCD中，AB^BC,對(duì)角線8。平分NADC,

ACLCD,S.ZBAC^ZADB.

⑴證明：ZBAD+ZBCD=180°；(2)若=30。，AD+CD=4y/3,求8。的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析(2)即=4

【分析】(1)由題意推出4C4=NAZ)5,從而得到A、6、C、。四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得出結(jié)論即可;

(2)首先根據(jù)已知信息求出AD,再結(jié)合四點(diǎn)共圓的結(jié)論，在Rt△/曲中求解即可.

【詳解】(1)證：SAB=BC,^\ZBAC=ZBCA,

^ZBAC^ZADB,SZBCA=ZADB,IBA、B、C、。四點(diǎn)共圓，

0ZBAD+ZBCD=180°；

(2)解：EAC±CD,El/ACD=90°,0ZAD5=3O°,BQ平分/ADC,

0ZA￡)C=6O°,NC4D=30°回在Rt^ACD中，AD=2CD,

EIAZ)+CD=4G，0AD=—,CD=—,0A>B、C、Z)四點(diǎn)共圓，BZACD=ZABD=90°,

33

團(tuán)在RtAABD中，BD=Ar).cosZAr)B=—xcos30°=—x^=4,EBD=4.

332

【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓的證明、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及解直角三角形等，掌握?qǐng)A當(dāng)中的重要結(jié)

論，準(zhǔn)確求解直角三角形是解題關(guān)鍵.

模型4、對(duì)角互補(bǔ)共圓模型

條件：如圖1,平面上A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)滿足/4BC+/4T>C=180。，結(jié)論：A、B、C、。四點(diǎn)共圓.

條件：如圖2,BA.CO的延長(zhǎng)線交于P,PAPB=PDPC,結(jié)論：A,B、C、。四點(diǎn)共圓.

例1.(2022秋?廣東惠州,九年級(jí)校考階段練習(xí))如圖，將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9(T,得到VADE,其中

點(diǎn)8與點(diǎn)。對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng).

(1)畫(huà)出VADE.(2)直線BC與直線OE相交于點(diǎn)尸，證明：A,C,F,E四點(diǎn)共圓.

【答案】⑴見(jiàn)詳解⑵見(jiàn)詳解

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AC，且AE=AC,過(guò)點(diǎn)A作AD2,且AD=,連接OE即可得到VADE；

(2)根據(jù)題意可得NC4E=90。，證明AE■〃毋推算出ZEFC=90。，得到NC4E+/EPC=180°,根據(jù)圓

內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得到4C,F,E四點(diǎn)共圓.

【詳解】(1)解：如下圖所示，

過(guò)點(diǎn)A作/1ELAC,且AE=AC,過(guò)點(diǎn)A作且=

連接DE即可得到VADE；

（2）證明：如下圖所示

由題意可知AC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到邊AE,ZE=ZACB=90°,貝!IZCAE=90°,

ACB=90°,:.AE//BF,,.?/"=901EFC=90°,

ZCAE+ZEFC=180°,;.A,C,F,E四點(diǎn)共圓.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

例2.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，“RC中，ZZMC=60°,AO平分/BAC,N3￡）C=120。，連接畫(huà)）,

DF3

CO并延長(zhǎng)分別交AC,A3于點(diǎn)E和點(diǎn)/，若DE=6,=則3。的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】由AEttF四點(diǎn)共圓，得到DE=DF,再證明△CQEs^aF,得到AF與4c的比，延長(zhǎng)CF到尸,

使DP=DB,得到△瓦乃為等邊三角形，在證明出△AFCSKBB,證出與P8,利用。尸即可求出3D.

【詳解】解：?.?的。=60。，ZBDC=120°,:.A,E、D、F四點(diǎn)共圓，

?.?池平分/BAC,;.ZDAE^ZDAF，:.DE=DF=6,-.-ZBDC^120°,ZCDE^60°=ZFAC,

ZACD=ZACD,:./\CDE^Z\CAF,:.AF:AC=DE:CD=6A0=3：5,如圖，延長(zhǎng)CF到尸，使DP=DB,

ZPBD=60°,.\ABDP為等邊三角形，.-.ZP=60°,.-./XAFC^APFB,:.PF:PB=AF:AC=3:5,

設(shè)每一份為左，:.PB=PD=5k,PF=3k,:.DF=2k=6,:.k=3,:.BD=5k=l5.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的應(yīng)用及相似比的

轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.

例3.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AB1BC,A5=5,點(diǎn)E、尸分別是線段A2、射線上的動(dòng)

點(diǎn)，以所為斜邊向上作等腰RtADEF,?D90?,連接AD,則AD的最小值為

【答案】犯1

2

【分析】連接3D并延長(zhǎng)，利用四點(diǎn)共圓的判定定理得到B,E,D,尸四點(diǎn)共圓，再利用等腰直角三角形

的性質(zhì)和圓周角定理得到ND班■nZDEFMdS。，得到點(diǎn)。的軌跡，最后利用垂線段最短和等腰直角三角形的

性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接3。并延長(zhǎng)，如圖,

-.-ABLBC,:.ZABC=90°,/EDF=90。,ZABC+ZEDF=18Q0,:.B,E,D,尸四點(diǎn)共圓，

?.?△DEF為等腰直角三角形，二NDEF=NDFE=45°,

ZDBF=ZDEF=45°,:.ZDBF=ZDBE=45。,.,.點(diǎn)。的軌跡為NABC的平分線上，

???垂線段最短，，當(dāng)AD2BD時(shí)，AD取最小值，.：AD的最小值為交4?=述，故答案為：述.

222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，圓周角定理，點(diǎn)

的軌跡，垂線段的性質(zhì)，利用已知條件求得點(diǎn)。的軌跡是解題的關(guān)鍵.

例4.（2022春?浙江九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在正方形A8CD中，M是8C邊上一點(diǎn)，點(diǎn)P在射線A"上，將線段

AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AQ,連接管，DQ.

（1）如圖1,求證：BP=n。；（2）如圖2,若點(diǎn)P,B,。三點(diǎn)共線，求證：A,Q,P,。四點(diǎn)共圓；

（3）若點(diǎn)P,Q,C三點(diǎn)共線，且A￡>=3,求3P的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）BP=3

【分析】（1）證明AAQQ名AAPB即可得出答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角和為180。

即可得出結(jié)論；（3）證明△E4Q為等腰直角三角形，得出NAPC=45。，然后得出ZABC=2ZAPC,根據(jù)圓

周角定理可得點(diǎn)尸在圓。8上，結(jié)論可得.

【詳解】解：⑴根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得"=AQ，ZW=90°,

團(tuán)/BAD=90°,0ZDA2=ZBAP,^AB=AD,團(tuán)AAQD當(dāng)AAPB（SAS）,^BP=DQ-

（2）S^AQD^APB,SZQ=ZAPB,回點(diǎn)P,B,。三點(diǎn)共線，EZAP￡>+ZAPS=180°,

0Ze+ZAPZ）=180°,團(tuán)A,Q,P,。四點(diǎn)共圓；

（3）團(tuán)AP=AQ,ZPAg=90°,團(tuán)△PAQ為等腰直角三角形，0ZAPC=45°,

0ZABC=9O°,ZAPC=45°,S\ZABC=2ZAPC,回點(diǎn)尸在圓。8上，0BP=BC=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解本

題的關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?廣西?中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，DCHAB,BC=1,AB=AC=AD=2.貝ljBD的長(zhǎng)為（）

A.714B.715C.3也D.2A/3

【答案】B

【詳解】解:以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，延長(zhǎng)BA交回A于F,連接DF.

EIAB=AC=AD=2,BID,C在圓A上，

EIDC0AB,回弧DF=MBC,EDF=CB=1,BF=AB+AF=2AB=4,

EIFB是I3A的直徑，00FDB=9O°,0BD=^BF2-DF2=V15故選B

2.（2023秋?河北張家口?九年級(jí)校考期末）如圖①，若是Rt"8C和RtAOBC的公共斜邊，則A、B、

C、D在以3c為直徑的圓上，則叫它們“四點(diǎn)共圓如圖②，aABC的三條高A。、BE、CF相交于點(diǎn)區(qū)

則圖②中“四點(diǎn)共圓”的組數(shù)為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)兩個(gè)直角三角形公共斜邊時(shí)，四個(gè)頂點(diǎn)共圓，結(jié)合圖形求解可得.

【詳解】解：如圖，

以AH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、H、E）,

以為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、H、D）,

以CH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（C、D、H、E）,

以AB為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、E、D、B）,

以為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、E、C）,

以AC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、D、C）,共6組.故選。.

【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓的判斷方法.解題的關(guān)鍵是明確有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

3.（2022秋?北京海淀?九年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)。為線段A3的中點(diǎn)，點(diǎn)2,C,D到點(diǎn)。的距離相等，

連接AC,3。.請(qǐng)寫(xiě)出圖中任意一組互補(bǔ)的角為和（不添加輔助線，不添加數(shù)字角標(biāo)

和字母）

【答案】ZDABNDCB

【分析】首先判斷出點(diǎn)4B,C,。四點(diǎn)共圓，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出答案.

【詳解】解：團(tuán)點(diǎn)8,C,。到點(diǎn)。的距離相等，且。4=03,

團(tuán)點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)共圓，SZDAB+ZDCB^180°,ZAT>C+ZABC=180°,

團(tuán)圖中互補(bǔ)的角為NIMB和NDCB,-4X?和/ABC,

故答案為：/DAB,ZDCB（或，ADC,^ABC）.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?廣東?東莞市九年級(jí)期末）如圖，在銳角0ABe中，AB=2,AC=布,0ABe=60。.。是平面內(nèi)一

動(dòng)點(diǎn)，且她。8=30。，則CD的最小值是

【答案】3-君##-6+3

【分析】作AH0BC于X，證明EACH為等腰直角三角形，求得BC=g+L在BC上截取80=48=2,貝崛。48

為等邊三角形，以。為圓心，2為半徑作回。，根據(jù)財(cái)。3=30。，可得點(diǎn)D在國(guó)。上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心。

時(shí)，C。最小，其最小值為回。的直徑減去2C的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，作AH0BC于H,

EL4B=2,AC=V6,0ABe=60°,SBH=^AB=1,

SAH=y/AB2-BH2=A/22-12=5CH=AC1-AH2=小網(wǎng)一（可=石，

EBACH為等腰直角三角形，00ACB=45",BC=CH+BH=布+

在BC上截取50=48=2,貝幗043為等邊三角形，以。為圓心，2為半徑作回。,

0EL4DB=3O°,El點(diǎn)。在回。上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)08經(jīng)過(guò)圓心。時(shí)，CO最小,

最小值為4-（岔+1）=3-班.故答案為：3-73.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定

理.解題的關(guān)鍵是得出點(diǎn)。在回。上運(yùn)動(dòng).

5.（2022?廣西?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，AB^AC=AD,ZDBC=1S°,則NC4D=.

A

【答案】36。##36度

【分析】先根據(jù)AB=AC="＞確定8、C、。三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，以為半徑的圓上，再根據(jù)同弧所

對(duì)的圓周角等于圓心角的一半即可求解.

【詳解】解：?.?AB=AC=AD,C、。三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，以A2為半徑的圓上.

:NDBC=18。，.-.ZCAD=2ZDBC=36°.故答案為：36°.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是確定8、C、。三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，以為半徑的圓上.

6.（2022春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，AB=AC=AD,ZBAC=60°,求NBDC.

D

【答案】30。.

【分析】由AB=AC=AD,可得B,C,D在以A為圓心,AB為半徑的圓上,然后由圓周角定理,證得EICAD=212CBD,

EIBAC=2EiBDC,繼而可得mCAD=2回BAC.

【詳解】解：0AB=AC=AD,0B,C,D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，

00CAD=2[3CBD,EBAC=20BDC,

[fflCBD=2l3BDC,I3BAC=6O°,03CAD=2EIBAC=12O°.aSBDC=30°.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理.注意得到B,C,D在以A為圓心，AB為半徑的圓上是解此題的關(guān)鍵.

7.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在AABC中，/C=90。，/。=90。，的中點(diǎn)為。.求證：A,

B,C,。四點(diǎn)在以。為圓心的圓上.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】連接OC、OD,由直角三角形斜邊上的中線定理得OA=OB=OC=OO=1AB,則可得出結(jié)論.

2

【詳解】證明：連接OC,0D,

I3NACB=/AD3=9O。，AB的中點(diǎn)為O,SOA^OB^OC^OD=-AB,

2

0A,B,C,。四點(diǎn)在以。為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，圓的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

8.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）已知：如圖，在正方形A3CD中，E、尸分別是4￡）、。的中點(diǎn).

⑴線段AF與班有何關(guān)系.說(shuō)明理由；

⑵延長(zhǎng)AF、BC交于點(diǎn)、H,則3、D、G、X這四個(gè)點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上.說(shuō)明理由.

【答案】⑴=且證明見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）證明△回￡絲△ZMF,證據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，以及直角三角形的兩銳角互余即可證

明AF相等且互相垂直；（2）證明△的四△以下,依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證

得B,C,D.H四點(diǎn)到C的距離相等，即可證得四點(diǎn)共圓.

【詳解】（1）解：飄=班且

證明：?.?￡、F分別是A。、8的中點(diǎn)，

AE=—AD,DF=—CD,AE=DF>

22

又?.?NBAD=ND=90P,AB=AD,.^ABE^DAF,

.-.AF=BE,ZAEB=ZAFD,

,?,在直角△AZ*中，ZDAF+ZAFD=90°,

:.ADAF+ZAEB=90°,ZAGE=90°,:.AF±BE；

(2)連接CG.;DF=CF,ZD=ZFCH=90°,ZAFD=ZHFC,

:.△ADFm△HCF,:.BC=AD=CH=CD,在直角中，BC=CH,

:.GC=-BH,:.CB=CG=CD=CH,

2

:.B,G,D,H在以C為圓心、BC長(zhǎng)為半徑的圓上.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

9.（2022秋?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在RCABC中，/ACB=90。，點(diǎn)。為線段3C一點(diǎn)，連接AD,將AD

繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至AE,連接8E和DE（BE*BD）.

（1）如圖1,若==點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，連接3P,若=BC=6,BD-AC=1,

求DE的長(zhǎng)；（2）如圖2,ZEBA=ZABC,作CFJ.AB于點(diǎn)G交DE于點(diǎn)F,求證：EF=DF；

（3）如圖3,在（2）的條件下，若54=2AC=6,點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到8c中

點(diǎn)時(shí)，將△MD尸沿翻折至△MZXF,連接即'，請(qǐng)直接寫(xiě)出面積的最大值.

1QQ

【答案】⑴歷；（2）見(jiàn)解析；⑶差.

【分析】（1）根據(jù)SAS易證人鉆尸四△BED,由AP=5￡>,BD-AC=1,易得CP=1,再根據(jù)勾股定理可

得OE的長(zhǎng)度；（2）延長(zhǎng)CF,交BE于,作出〃BC交C尸延長(zhǎng)線于/，由題意可證△BGC/△BGH（ASA）,

進(jìn)而可得/汨=8C,N1=N2=N3=N/,可得EH=￡7,再可證△ABCZ^AB”（SAS）,可得

ZACD=ZAHE=90°,進(jìn)而可證人48公△AHE（HL）,可得DC=￡H,則可得DC=￡7,再可證

△DCF也△￡7b（AAS）,便可得證EF=Db；（3）由題意可知，AC=3,BC=3幣,CD=^-,AD=^~,

ZABC=30°,由。/工48,利用同角的余角相等可知//3。=/4叱=30。，連接河，由（2）知所=￡）尸，

由三線合一可知AF1DE,可得A、C、D、尸四點(diǎn)共圓，進(jìn)而可知NAZ^=NACF=30。，則可求得

DF=FE=AD-cos30。=‘連接由翻折可知，MD=MD,FD=FD',則M尸為。O'的垂直平

4

分線，可知9_LMF,由尸。=/。'=上叵，知DC是以尸為圓心，尸。=2叵為半徑的圓，可知DE為。尸

44

的直徑，可知進(jìn)而得證MR〃即'，則可知LEW=黑￡切，故當(dāng)FD'_LEF時(shí)，取得最大

值，即以.。，取最大值，計(jì)算:ED'-EF即得最大值.

【詳解】（1）解：0ZEBC=ZBAC,AB=BE,AP=BD,

0AABP^ABED（SAS）,SDE=BP,

^AP^BD,BD-AC=1,^\AP-AC=1=CP,

0ZACB=90°,BC=6,則由勾股定理可得：DE=BP=《BC。+CP，=庖；

（2）證明：延長(zhǎng)C尸，交BE于H,作正〃BC交CF延長(zhǎng)線于/,貝ljNl=NZ,

SCFJ.AB,SZBGC=ZBGH=90°,

又回NEBA=NABC,BG=BG,0ABGC^ABGH(ASA),

0Z1=Z2,BH=BC,則N1=N2=N3=N/,SEH=EI,

SBH=BC,NEBA=ZABC,AB^AB,0AABC^ZXABH(SAS),

SAC=AH,ZAHB=ZACB^90°,即：ZACD=ZAHE=90°,

由旋轉(zhuǎn)可知，AD=AE,E^ACD^AAHE(HL),SDC^EH,SDC=EI,

21=zz

在ADCF和LEIF中，＜NCFD=ZIFE,回△OCF/△EZF(AAS),0￡F=DF；

DC=EI

(3)由班=2AC=6可知，AC=3,貝ljBC=3有回ZABC=30°,

^CF±AB,則ZAC尸+NC4B=ZABC+NC4B=90°,ZABC=ZACF=30°

團(tuán)。是BC中點(diǎn)，SCD=-BC^—,

22

則由勾股定理可得AD=y/CD2+AC2

連接AF,由（2）知￡F=DP,即尸為￡>E的中點(diǎn),

SiAFA.DE,故A、C、D、E四點(diǎn)共圓，BZADF=ZACF=30°,

l，lil.an。3幣733\/^T

則DnF=FE=AADr-cos30=---x——=-----,

224

連接DD,由翻折可知，MD=MU，F(xiàn)D=FD',則MR為。。的垂直平分線,

則DZ7_LMF,團(tuán)即=五。=主包，團(tuán)次是以尸為圓心，五0=￡11為半徑的圓，

44

EIDE為。尸的直徑，則DD'_L￡Z7,=S,,

^MF//ED'BSAEMD.AEFD

故當(dāng)時(shí)，5讖m取得最大值，即取最大值，

0S-MD，=SAEFD.的最大值為：-FD'FD'=-x'包x.

224432

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)及翻折的性質(zhì)，解直角三角形，四點(diǎn)

共圓，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

10.（2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)校考期中）如圖，以點(diǎn)「（-1,0）為圓心的圓，交x軸于8、C兩點(diǎn)（B在C的

左側(cè)），交y軸于A、。兩點(diǎn)（4在。的下方），AD=2,將AABC繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)180。，得到勾!/。.

(1)求8、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明)，求出點(diǎn)

〃的坐標(biāo)；⑶動(dòng)直線/從與重合的位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與3C重合時(shí)停止，設(shè)直線/與CA7交

點(diǎn)為E,點(diǎn)。為跖的中點(diǎn)