【課件】圓與圓的位置關系課件-2024-2025學年高二上學期數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

2.5.2圓與圓的位置關系人教A版2019選擇性必修第一冊

一二三學習目標掌握圓與圓的位置關系能根據給定圓的方程,判斷圓與圓的位置關系,培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)能綜合應用圓與圓的位置關系解決問題.學習目標我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關系是怎樣的?前面我們運用直線的方程，圓的方程研究了直線與圓的位置關系，現在我們類比上述研究方法，運用圓的方程，通過定量計算研究圓與圓的位置關系。日食是一種天文現象，在民間稱此現象為天狗食日。日食只在月球與太陽呈現合的狀態(tài)時發(fā)生。日食分為日偏食、日全食、日環(huán)食、全環(huán)食。新課引入思考：類比直線與圓的位置關系，請同學們思考：圓與圓有哪幾種位置關系？兩個圓之間存在以下三種位置關系：(1)兩圓相交，有兩個公共點；(2)兩圓相切，包括外切與內切，只有一個公共點；(3)兩圓相離，包括外離與內含，沒有（0個）公共點．外切內切外離內含兩圓相交兩圓相切兩圓相離新課引入新知探究判斷圓與圓位置關系的方法1.代數法：聯立求解.(1)由兩個圓的方程聯立兩者方程看解個數(2)消去y(或x)得到關于x(或y)的一元二次方程；(3)求出△；(4)判斷△的符號，得出結論：①△＞0②△＝0③△＜0方程有兩不等實根方程兩相等實根方程無實數根兩圓相交兩圓相切兩圓外離或內含（外切或內切）問題1

類比運用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關系的方法，如何利用圓的方程，判斷它們之間的位置關系?新知探究2.幾何法：判斷圓心距與兩圓半徑的和與差的絕對值的大小關系.設圓C1的半徑為r1，圓C2的半徑為r2，圓心距d，則①兩圓外離②

兩圓外切③

兩圓相交④

兩圓內切⑤

兩圓內含(1)把兩圓的方程化成標準方程；(2)求出兩圓的圓心坐標及半徑r1,r2；(3)求兩圓的圓心距d；(4)比較d與|r1-r2|,r1+r2的大小關系，得出結論：GeoGebra經典新知探究思路1圓C1與圓C2的位置關系由它們有幾個公共點確定，而它們有幾個公共點又由它們的方程組成的方程組有幾組實數解確定。

例5解法1:（代數法）將圓C1與圓C2的方程聯立，得到方程組①-②，得聯立①③，消去y，可得∴方程④有兩個不相等的實數根x1，x2.把x1，x2分別代入方程③，得到y1，y2.

因此圓C1與圓C2有兩個公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)

，這兩個圓相交.典例解析

例5追問1

畫出圓C1與圓C2以及方程③表示的直線，你發(fā)現了什么？你能說明為什么嗎？當兩圓相交時，兩圓方程相減，所得二元一次方程是兩圓公共弦所在直線的方程。①-②，得理由：方程①②的解必定滿足方程③，而方程組有兩組實數解，即圓C1圓C2對應的公共點A、B，這兩個公共點必在方程③對應的直線上。又因為兩點確定一條直線，因此方程③就表示兩圓公共弦所在直線。AB典例解析

例5追問2為什么不需要把圓C1與圓C2的兩個公共點A、B的具體坐標求出來？

典例解析

例5思路2借助圖形，可以依據連心線的長(圓心距)與兩半經的和r1+r2的或兩半徑差的絕對值|r1?r2|的大小關系，判斷兩圓的位置關系.yxABC2C1解法2:（幾何法）把圓C1與圓C2的方程分別化成標準方程，得∴圓C1與圓C2相交.新知探究問題2

如果兩圓方程聯立消元后得到的方程的?＝0,它說明什么?你能據此確定兩圓是內切還是外切嗎?如何判斷兩圓是內切還是外切呢?

當?<0時，兩圓是什么位置關系?還要根據兩圓的半徑與圓心距作進一步判斷.當?＝0時,方程組只有一組解,此時兩圓相切,但不能確定兩圓是內切還是外切.若d=r1+r2，則兩圓外切；若d=|r1-r2|

，則兩圓內切；當?<0時,方程組沒有解,此時兩圓無公共點，但不能確定兩圓是外離還是內含.若d>r1+r2

，則兩圓外離；若0≤d<|r1-r2|

，則兩圓內含．代數法的缺點詳解鞏固練習詳解鞏固練習追問：如何求公共弦長？方法總結求兩相交圓的公共弦長方法總結：先利用兩圓方程作差求出公共弦所在直線的方程，然后轉化為求直線被圓截的弦長，經典直角三角形法.

d1r1新知探究問題3

如果兩圓相切或者兩圓相離時，兩圓方程相減得到的直線有什么特征呢當兩圓相交時，兩圓方程相減，所得二元一次方程是兩圓公共弦所在直線的方程。該直線總與兩圓圓心連線垂直；當兩圓相交時，該直線為兩圓的公共弦；當兩圓相切時，該直線為經過兩圓切點的公切線.典例解析例6已知圓O的直徑AB＝4，動點M與點A的距離是它與點B的距離的倍.試探究點M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關系.分析：我們可以通過建立適當的平面直角坐標系,求得滿足條件的動點M的軌跡方程,從而得到點M的軌跡;?MxyO?AB

通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關系，判斷這個軌跡與圓O的位置關系。直接法求軌跡方程典例解析例6已知圓O的直徑AB＝4，動點M與點A的距離是它與點B的距離的倍.試探究點M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關系.?P?MxyO?AB解:如圖示，以線段AB的中點O為原點建立平面直角坐標系.由AB=4，得A(一2,0)，B(2,

0).所以點M的軌跡是以P(6,0)為圓心，半徑為的一個圓.新知探究問題4

如果把本例中的“

倍”改為“k(k>0)倍”你能分析并解決這個問題嗎？求M的軌跡課本P97|AB|＝2，新知探究問題4

如果把本例中的“

倍”改為“k(k>0)倍”你能分析并解決這個問題嗎？設點M的坐標為(x，y)，由|MA|=k|MB|得

可知點M的軌跡是線段AB的垂直平分線

知識鏈接——“阿波羅尼斯圓”模型ApolloniusofPerga約公元前262～約公元前190年

一般地,平面內到兩定點A,B距離之比為常數λ(λ>0,λ≠1)的點P的軌跡是圓,此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”（阿氏圓）。

特殊地,則當λ=1時,點P的軌跡是線段AB的垂直平分線.阿波羅尼斯圓定義課后探究：查閱資料了解阿氏圓的證明（代數、幾何）、性質、應用

“阿波羅尼斯圓”模型典型例題公切線的條數外離3條2條4條1條兩圓位置與公切線條數【詳解】典型例題兩圓位置與公切線條數【詳解】典型例題兩圓位置與公切線條數《學習筆記》講評一(2)到點A(－1,2)，B(3，－1)的距離分別為3和1的直線有_____條.4到點A(－1,2)的距離為3的直線是以A為圓心，3為半徑的圓的切線；同理，到點B(3，－1)的距離為1的直線是以B為圓心，半徑為1的圓的切線，所以滿足題設條件的直線是這兩圓的公切線，而這兩圓的圓心距|AB|＝

＝5.半徑之和為3＋1＝4，因為5>4，所以圓A和圓B外離，因此它們的公切線有4條.作業(yè)講評《學習筆記》P70跟蹤訓練

1兩圓位置與公切線條數

已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長；例

2作業(yè)講評相交弦問題(2)求經過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.《學習筆記》P70設兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立圓C1與圓C2的方程，得由①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B兩點的坐標都滿足此方程，∴x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程.解：（1）

已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長；例

2

已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.例

2作業(yè)講評相交弦問題(2)求經過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.《學習筆記》P70解：（2）方法一：（待定系數法）得兩圓的交點A(－1,3)，B(－6，－2).設所求圓的圓心為(a，b)，因為圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.即x2＋y2－x＋7y－32＝0.

已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.例

2作業(yè)講評相交弦問題(2)求經過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.《學習筆記》P70解：（2）方法二：（幾何法確定圓心位置）得兩圓的交點A(－6，－2)，B(－1,3).所求圓圓心在公共弦AB的中垂線上，即在直線C1C2上

已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.例

2作業(yè)講評相交弦問題(2)求經過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.《學習筆記》P70解：（2）方法三：（圓系方程）AB過兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為方法總結過兩圓交點的圓系方程

x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，注意：此圓系方程不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，特別地，當λ＝－1時，上述方程為一次方程.兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.《學習筆記》P76(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長的求法①代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長.②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求解.

反思感悟例

3作業(yè)講評圓與圓的綜合性問題《學習筆記》P71設所求圓的方程為(