相似三角形（強(qiáng)化訓(xùn)練）解析版

專題17相似三角形（10個高頻考點(diǎn)）（強(qiáng)化訓(xùn)練）

【考點(diǎn)1比例的性質(zhì)】

1.（2022?遼寧撫順?統(tǒng)考一模）若￡=I,且a+6=14,貝!]2a-6的值是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】由題意可得a、b的值，從而得到2a-b的值.

【詳解】解：由題意可得a=0.75b,

代入a+b=14可得：1.75b=14,

0b=8,

03=8x0.75=6,

02a-b=2x6-8=4,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)與代數(shù)式求值的綜合應(yīng)用，熟練求解二元一次方程組是解題關(guān)鍵.

2.（2022?安徽蕪湖?蕪湖市第二十九中學(xué)?？家荒＃┤?1,則中的值為（）

a5a+b

A1-3〃3、7

A.—B.—C.—D.—

4755

【答案】B

【分析】根據(jù)比例設(shè)b=2k,a=3k,然后代入比例式計算即可得解.

【詳解】解:肥]

a5

團(tuán)設(shè)b=2k,a=5k,

b_5/c-2/c_3

Aa+b~5k+2k~7

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì).

3.（2022?河北?模擬預(yù)測）已知a,b,c為正實數(shù)，且誓=誓=卓^=鼠則直線y=依+（k+1）一定不

經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】先根據(jù)比例的性質(zhì)求出k的值，然后代入y=kx+(k+1),根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)圖

像不經(jīng)過的象限.

【詳解】回。，b,c為正實數(shù)，

0a+b+c*O,

國k=S+c)+(a+b)+(a+c)=2

a+b+c'

團(tuán)一次函數(shù)表達(dá)式為y=2x+3,

團(tuán)它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，

故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，以及比例的性質(zhì)，根據(jù)等比性質(zhì)求出k的值是解答本題的關(guān)

鍵.

4.(2022?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)已知實數(shù)x,y,z滿足2=工=工，則藝三的值為

xy-zz+xy+2z

【答案

【分析】令則x=2k,y=6k,z=3k.代入四子求值即可.

xy-zz+xky+2z

【詳解】^=—=—4-

xy-zz+xk

取=2k,y-z=3k,x+z=5k,

團(tuán)y==6k,z=3k.

屋“=5X2上-6"空J(rèn)

y+2z6k+2x3k12k3,

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握分式的運(yùn)算法則.

5.(2022?浙江寧波??？寄M預(yù)測)銳角三角形△力BC的外心為。，外接圓直徑為d,延長40,B。,CO,分別

與對邊BC,CA,交于。，&F.

/—y

(F//

BD

⑴求”+竺+”的值；

'1ADBECF

⑵求證：-+—+—=

''ADBECFd

【答案】⑴1

⑵見解析

【分析】(1)根據(jù)S—BC=SAAB。+S^ACO+S4BCO,進(jìn)而可以解決問題；

(2)延長2。交o。于M,由于ZD,BE,CF交于點(diǎn)O.然后由0。=R-DM,AM=2R,可以求得結(jié)論.

【詳解】([)解：由于交于點(diǎn)。，

回竺_S&OBC0E_S&OACCF_S^OAB

4。S“BC'BESAABC'CFS-BC'

「00

0—+,—OE+——OF=1y；

ADBECF

(2)證明：如圖，延長40交OO于M,設(shè)R為的外接圓半徑，AD,BE,CF交于點(diǎn)、0.

回。0=RDM=1

AD2R-DM2R-DMAD9

OE.ROF?R

同理有:=1，=1，

BEBECFCF

zr.、OD,OE,OF

代入而+益+原=1,

得(1-5)+(1-分+(1-劫=L

哈+盤+5=2,

+—+-=-=-

ADBECFRd

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓與外心，分式的加減法，比例的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形外

接圓與外心.

【考點(diǎn)2比例線段】

6.（2022?甘肅甘南??？家荒＃┫铝懈鹘M線段中，成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cm,5cmB.2cm,4cm,6cm,8cm

C.3cm,6cm,8cm,12cmD.lcm,3cm,5cm,15cm

【答案】D

【分析】分別計算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進(jìn)行判斷即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：A、02x533x4,13選項A不成比例；

B、132x8x4x6,回選項B不成比例；

C03x12*6x8,團(tuán)選項C不成比例；

D、01x15=3x5,團(tuán)選項D成比例.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩

條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所

選取的單位無關(guān)系.

7.（2022?統(tǒng)考一模）已知線段。=逐+1,/）=V5-1,則a,b的比例中項線段等于.

【答案】2

【分析】設(shè)線段x是線段a,b的比例中項，根據(jù)比例中項的定義列出等式，利用兩內(nèi)項之積等于兩外項之

積求解即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)線段x是線段a,6的比例中項，

0a=V5+1,b=V5—1,

膻=二

xb

0x2=ab=（而+1）（V5-1）=5—1=4,

0%=±2.

耿＞0,

fflx=一2舍去，

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查的比例中項的含義，理解"若巴=?貝改是a,6的比例中項"是解本題的關(guān)鍵.

xb

8.(2022?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考一模)如圖，將一條長為60cm的卷尺鋪平后折疊，使得卷尺自身的一部分重合，然

后在重合部分(陰影處)沿與卷尺邊垂直的方向剪一刀，此時卷尺分成了三段，若這三段長度由短到長的比為

1:2:3,則折痕對應(yīng)的刻度有種可能.

才

-I~I_I~I_I~r~\~I~?I?~I~I_I~I~I~I~I~I~I_I~r~\~I

01020!30405060|，|0’‘屈

折’痕剪點(diǎn)處

【答案】4

【分析】60cm剪成三段，而且三段比為1:2:3,那么最短一段為10cm,中間一段為20cm,最長的為30cm,

分類討論即可.

【詳解】60cm剪成三段，而且三段比為1:2:3,那么最短一段為10cm,中間一段為20cm,最長的為30cm,

接下來分類討論：

(1)0-10cm為第一段,10—30cm為第二段,30-60cm為第三段,則折痕刻度為20cm處;

(2)0-10cm為第一段,10-40cm為第二段,40-60cm為第三段,則折痕刻度為25cm處;

(3)0-20cm為第一段,20-30cm為第二段,30-60cm為第三段,則折痕刻度為25cm處;

(4)0-20cm為第一段,20-50cm為第二段,50—60cm為第三段,則折痕刻度為35cm處;

(5)0-30cm為第一段,30-40cm為第二段,40-60cm為第三段,則折痕刻度為35cm處;

(6)0-30cm為第一段,30-50cm為第二段,50-60cm為第三段,則折痕刻度為40cm處.

故折痕對應(yīng)的刻度可能情況有4種.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的比例關(guān)系，根據(jù)情況分類討論是關(guān)鍵.

9.(2022?江蘇鹽城??？家荒?在比例尺為1：100000的鹽都旅游地圖上，測得大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)

園的距離約為31cm,則大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的實際距離約為km.

【答案】31

【分析】圖上的距離除以比例尺，算出實際距離，進(jìn)而把厘米換算成千米即可.

【詳解】解：由題意得，

1

31-4----——=3100000cm=31km

100000

故答案為：31.

【點(diǎn)睛】本題考查比例尺的實際應(yīng)用，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

10.(2022?浙江紹興?模擬預(yù)測)已知三條線段a,b,C滿足?=?=等，且a+6+c=17.

(1)求a,b,c的值;

（2）若線段d是線段。和b的比例中項，求d的值.

【答案】（1）。=6,。=4,c=7；（2）d=2限

【分析】（1）設(shè)g=q=牛=匕用含k的代數(shù)式分別表示出a,b,c,再由a+b+c=17,建立關(guān)于k的方程，

解方程求出k的值，從而可求出a,b,c的值.

（2）由已知線段d是線段a和b的比例中項，可得到cP=ab,代入計算求出d的值.

【詳解】⑴解:蜀=；牛=%

0a=3k,b=2k,c+l=4k即c=4k-l

0a+b+c=17

03k+2k+4k-l=17

解之：k=2

0a=6,b=4,c=7.

（2）解：13線段d是線段a和b的比例中項

0d2=ab=6x4=24

解之：d=2V6.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，利用"設(shè)k法"用k表示出a、b、c可以使計算更加簡便.

【考點(diǎn)3黃金分割】

11.（2022?湖南衡陽?統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的

高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感.如圖，按此比例設(shè)計一座高度為2m的雷鋒雕像，

那么該雕像的下部設(shè)計高度約是（）（結(jié)果精確到0.01m.參考數(shù)據(jù):V2“1.414,V3?1.732,V5?2.236）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

【答案】B

【分析】設(shè)雕像的下部高為xm,由黃金分割的定義得;=與二，求解即可.

【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為尤m,則上部長為（2-x）m,

團(tuán)雕像上部(腰部以上)與下部(腰部以下)的高度比，等于下部與全部的高度比，

雷鋒雕像為2m,

必=在匚，

22

0x=V5-1?1.24,

即該雕像的下部設(shè)計高度約是1.24m,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵.

12.(2022?山東棗莊,?？寄M預(yù)測)兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，

點(diǎn)尸是線段A8上一點(diǎn)G4PXBP),若滿足瞿=笑，則稱點(diǎn)尸是48的黃金分割點(diǎn).黃金分割在日常生活中

APAB

處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好.若舞臺長20米，

主持人從舞臺一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點(diǎn)上，則無滿足的方程是()

APB

A.(20-x)2=20XB./=20(20-X)

C.尤(20-x)=2。2D.以上都不對

【答案】A

【分析】點(diǎn)尸是A8的黃金分割點(diǎn)，且PB=x,貝ij必=20-x,則瞿=笑，即可求解.

APAB

【詳解】解：由題意知，點(diǎn)尸是的黃金分割點(diǎn)，

且尸8VH1,PB=x,則以=20-x,

團(tuán)cB--P=-A-P,

APAB

團(tuán)(20-x)2=20X,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)

鍵.

13.(2022?云南玉溪?統(tǒng)考一模)如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)是(0,0),點(diǎn)C坐標(biāo)是(2,2),現(xiàn)有E、尸兩點(diǎn)分別從點(diǎn)。(0,

2)和點(diǎn)3(2,0)向下和向右以每秒一個單位速度移動，。為跖中點(diǎn).設(shè)運(yùn)動時間為L

(1)在運(yùn)動過程中始終與線段EC相等的線段是；四邊形CEAF面積=.

(2)當(dāng)秒時，求線段CQ的長.

(3)過點(diǎn)8作BP平行于CF交EC于點(diǎn)尸.當(dāng)/=時，線段AP最短，此時作直線EP與x軸交于點(diǎn)

【分析】(1)連接CD、CB,則四邊形ABC。是正方形，CD=CB=2,證△CQ￡EHCB/7(SAS),得EC=FC,

即可解決問題；

(2)先由全等三角形的性質(zhì)得EC=PC,^DCE^BCF,再證AECF是等腰直角三角形，當(dāng)時，DE=

1,然后由勾股定理和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求解即可；

(3)證SBPC=90。，則點(diǎn)P的軌跡在以BC為直徑的圓弧上，設(shè)BC的中點(diǎn)為G,連接AG,當(dāng)點(diǎn)P在AG

上時，AP最短，止匕時，PG=BG=1,再求出E(0,1-通)，f=(V5+1)s,然后由待定系數(shù)法求出CE的

解析式，即可解決問題.

E1A(0,0)、C(2,2)、D(0,2)、B(2,0),

國CD=CB=AB=AD=2f

回四邊形OA8C是菱形

又乙DAB=90°

團(tuán)四邊形A5C0是正方形，

團(tuán)從尸兩點(diǎn)分別從點(diǎn)。和點(diǎn)B向下和向右以每秒一個單位速度移動，

⑦DE=BF,

^CDE=^CBF=90°f

00C￡>￡00CBF(SAS),

回EC=FC,

S四邊形CEAFS四邊形CEAB+SACBF=S四邊形CEAB+SACDE=S正方形ABCDCB，CD^2x2=4,

故答案為：FC,4；

(2)^CDE^CBF,

回EC=FC,aDCE=aBCF,

^DCE+^ECB=90°f

團(tuán)團(tuán)3。b+團(tuán)￡。3=90°,BP0ECF=9O°,

盟ECF是等腰直角三角形，

當(dāng)/=1時，DE=1,

在RtACQE中，由勾股定理得：CE=y/DE2+CD2=Vl2+22=V5,

0EF=V2CE=V2xV5=VlO,

團(tuán)。為EP中點(diǎn)，

0Ce=|￡F=|xV10=~

(3)0BPI3CF,0￡CF=90°,

EE8PC=90°,

回點(diǎn)P的軌跡在以BC為直徑的圓弧上，

設(shè)BC的中點(diǎn)為G,連接AG,如圖2所示：

圖2

當(dāng)點(diǎn)P在AG上時，AP最短,

此時，PG=BG=1,

在RtM5G中，由勾股定理得+BG2=、22+

^AP=AG-PG=V5-1,

^BC^DE,

^\AEP=^\GCP,

團(tuán)GC=GP,

回團(tuán)GCP=?GPC,

回團(tuán)GPC=MPE,

加AEP=MPE,

^\AP=AE=V5-1,

團(tuán)E(0,1-V5),

回DE=2-(1-V5)=V5+1,

團(tuán)/=(V^+l)s,

故答案為：(逐+1)s；

設(shè)CE的解析式為：y=kx+b(心0),

將C(2,2)、￡(0.1-V5)代入解析式得：\lkV=?1,

lb=1-V5

解得：K-~,

.b=1-V5

回CE的解析式為：y=^x+l-V5,

令y=0,x=3-V5,

SK(3-V5,0),

^BK=2-(3-V5)=V5-1,

回生=在二，

AB2

回點(diǎn)K是線段AB的黃金分割點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角

形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、點(diǎn)的軌跡、

待定系數(shù)法求直線的解析式、勾股定理、黃金分割等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形

的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2011?河北廊坊?統(tǒng)考中考模擬）如圖1,點(diǎn)C將線段4B分成兩部分，如果若=w，那么稱點(diǎn)C為線段

ABAC

的黃金分割點(diǎn).

某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到"黃金分割線”，類似地給出"黃金分割線”的定義：直線

2將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為Si，S2,如果*=言，那么稱直線/為該圖形的黃

金分割線.

DBDEBAE

圖1

圖2圖3圖4

（1）研究小組猜想：在A/IBC中，若點(diǎn)。為4B邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2）,則直線是△ABC的黃金分

割線.你認(rèn)為對嗎？為什么？

（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交于點(diǎn)E,再過點(diǎn)D作直線DFIICE,交AC于

點(diǎn)凡連接所（如圖3）,則直線跖也是A/IBC的黃金分割線.請你說明理由.

（4）如圖4,點(diǎn)E是團(tuán)2BCD的邊4B的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF||AD,交DC于點(diǎn)F,顯然直線EF是團(tuán)48CD

的黃金分割線.請你畫一條團(tuán)4BCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過回4BCD各邊黃金分割點(diǎn).

【答案】（1）對，理由見解析（2）不可能，理由見解析；（3）理由見解析（4）見解析

【分析】⑴由于義46、5慚。、54曲是同高，而點(diǎn)。為邊4B的黃金分割點(diǎn)，則*=黑，所以受匹=受匹，

Aif、AABCSLADC

故直線?！辏臼?ABC的黃金分割線；

（2）只需判斷它們面積比是否相等，若相等則中線是三角形的黃金分割線，否則不是；

（3）根據(jù)平行線間的距離相等，貝"ADCE=SAFEC，設(shè)直線EF與CD交于點(diǎn)G,貝”ADGE=S^GC?通過圖形

面積的轉(zhuǎn)化，直線EF分三角形的圖形面積有#=浮空生，故直線EF也是△力BC的黃金分割線；

S^ABCS^AEF

（4）畫法不唯一，只需分成圖形面積比相等即可.

【詳解】解：（1）直線CD是△48C的黃金分割線.理由如下：

設(shè)44BC的邊4B上的高為比

則SMDC=刁"。,mS^BDC=QBD-hfS^ABC=,h.

小必空二絲，=—

IJJ-j-

SAABCABS^ADCAD

又回點(diǎn)。為邊4B的黃金分割點(diǎn)，

扉竺—￡￡則S“DC_SxBDC

AB20S&ABCS^ADC

回直線。。是4ABC的黃金分割線.

(2)回三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分,

回S]=s2=-s,即紅豐―,

2ss1

回三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線.

(3)SDF||CE,

0AFCE的公共邊CE上的高也相等，

國SADCE=SAFEC?

設(shè)直線EF與CD交于點(diǎn)G.貝USADGE=SMGC-

國SA4℃=S四邊形4FGD+SAFGC

=S四邊形4FG。+S&DGE=SAAEF'SABDC='

<?

又回S—DC_S^BDC回S“EF_四邊形BEFC

S&ABCS^ADCSAABCS^AEF

國直線EF也是△ABC的黃金分割線.

(4)畫法不唯一，現(xiàn)提供兩種畫法；

畫法一：如答圖1,取EF的中點(diǎn)G,再過點(diǎn)G作一條直線分別交AB,DC于M,N點(diǎn),則直線MN就是回2BCD

的黃金分割線.

畫法二：如答圖2,在。尸上取一點(diǎn)N,連接EN,再過點(diǎn)F作FM||NE交4B于點(diǎn)M,連接MN,則直線

MN就是回48CD的黃金分割線.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中線性質(zhì)、黃金分割、三角形的面積、平行線的性質(zhì)等知

識，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，關(guān)鍵是黃金分割線的靈活運(yùn)用.

15.(2022?遼寧沈陽?沈陽市外國語學(xué)校?？家荒?古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了

分線段的“中末比"問題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項，

即滿足袈=黑=與1，后人把與1這個數(shù)稱為"黃金分害1J"數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的"黃金分害上點(diǎn)?如圖，在

MNMG52

0ABe中，已知AB=AC=3,BC=4,若D,E是邊的兩個"黃金分割"點(diǎn)，則0ADE的面積為.

【答案】10-4近

【分析】作AH08C于根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BH=C%2,根據(jù)勾股定理求出A8,根據(jù)線段的“黃

金分割”點(diǎn)的定義得到。、BE的長，求出OE的長，最后由三角形面積公式解答即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于H,

A

5\AB=AC,

0BH=CH』BC=2,

2

在Rt^ABH中，4"=7AB2-BH2=V32-22=V5,

aD,E是邊BC的兩個"黃金分割"點(diǎn)，

0C￡>=--BC--X4-2V5-2,

22

WEBE+CD-BC2V5-2+2V5-2-4=4A/5-8,

ELSAME=^DE-AH=^X(4A/5-8)xV5=10-45/5,

故答案為：10-4V5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割、等腰三角形的性質(zhì)，熟記黃金比值是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)4平行線分線段成比例】

16.(2022春?九年級單元測試)如圖，在EL48c中，。是AC的中點(diǎn)，EL43c的角平分線AE交于點(diǎn)R

若BK尸￡)=3：1,AB+BE=3?則0ABe的周長為

【答案】5V3

【分析】如圖，過點(diǎn)F作尸M14B于點(diǎn)M,FN1AC于點(diǎn)N,過點(diǎn)。作。77/AE交于點(diǎn)7.證明AB=34。,

設(shè)4D=CD=a,證明ET=CT,設(shè)ET=CT=b,則BE=3b,求出a+b,可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FM，力B于點(diǎn)M,FN14C于點(diǎn)N,過點(diǎn)。作DT〃4E交BC于點(diǎn)T.

???4E1平分NB4C,FMLAB,FN1AC,

???FM=FN,

...SHABF_BF-汐B.FM.3,

"SAADF-DF~-ADFN-'

AB=3AD,

設(shè)AD=DC=a,貝=3a,

???ADDC,DT//AE,

：.ET=CT,

—BE=—BF=3?,

ETDF

設(shè)￡T=CT=b,則BE=3b,

■：AB+BE=3V3,

3a+3b-3V3,

a+b=V3,

△力BC的周長=AB+AC+BC=5a+5b=5\/3,

故答案為：5V3.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解

決問題.

17.（2022?北京?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABC。中，若4B=3,2。=5,蕓=；,她4E的長為_______

FC4

【答案】1

【分析】根據(jù)勾股定理求出BC,以及平行線分線段成比例進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：在矩形中，ADWBC,乙48c=90。，

0—=—=BC=y/AC2—AB2=V52-32=4,

BCFC4

^AE1

團(tuán)7=“

^AE=1,

故答案為：L

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵.

18.（2022?上海?統(tǒng)考中考真題）如圖，在朋8C中，0A=3O°,回8=90。，。為A8中點(diǎn)，E在線段AC上，華=

ABBC

則箏=一■

【答案】戈哈

【分析】由題意可求出DE=1BC,取AC中點(diǎn)口，連接￡）?,則。?是AABC的中位線，滿足

進(jìn)而可求此時靠=%然后在AC上取一點(diǎn)&，使得DEI=DE2,貝UDE2=|BC,證明△DE1E2是等邊三角

形，求出E7E2=；4C,即可得到慢=工，問題得解.

4AC4

【詳解】解：回。為A2中點(diǎn)，

碎=絲=工，即DE=」BC,

ABBC22

取AC中點(diǎn)?,連接OE/,則OE/是A48C的中位線，止匕時￡)?EIBC,DE】=：BC,

"EiAD1

=—=-，

ACAB2

在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE尸DE2,貝5%=并。,

H3A=30°,0B=9O",

EEC=60°,BC=-AC,

2

即汨姐c,

WBDE］E2=60°,

團(tuán)△。?及是等邊三角形,

^DE!=DE2=E1E2=^BC,

1

^\EIE2=-AC,

4

EL4E1=|i4C,

I3AE2=-AC,即空=工，

Z4AC4

綜上,第的值為：冢［，

故答案為：［或

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30。角的

直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)DE=：BC進(jìn)行分情況求解是解題的關(guān)鍵.

19.（2022?浙江麗水?統(tǒng)考中考真題）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直

線上的三個點(diǎn)A,B,C都在橫線上.若線段4B=3,則線段BC的長是（）

23

A.-B.1C.-D.2

32

【答案】C

【分析】過點(diǎn)4作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于。、E,根據(jù)題意得4D=2DE,然后利

用平行線分線段成比例定理即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)4作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于。、E,

根據(jù)題意得4D=2DE,

I3BDIICE,

碎=竺=2,

BCDE

又EL4B=3,

13

0BC=-AB=-

22

故選:C

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

20.（2022?湖南長沙?長沙市北雅中學(xué)?？寄M預(yù)測）知識拓展

圖1

如圖1,由DEIIBC,AD=DB,可得力E=EC；

如圖2,由力BIICDIIEF,AE=EC,可得BF=FD；

解決問題如圖3,直線AB與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)力(m,0),S(0,n)(m>0,n>0),反比例函數(shù)y=:(x>0)的

圖象與AB交于C,。兩點(diǎn).

⑴若m+n=8,〃取何值時A4B。的面積最大?

(2)右SQAOC=SACOD=SABOD，求點(diǎn)B的坐標(biāo).

【答案】(1)當(dāng)71=4時，A4B。的面積最大

⑵8(琮

【分析】(1)由?n+九=8得m=8f,利用三角形面積公式得出-n),轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即

可求解；

(2)過點(diǎn)C作CELOB于￡,過點(diǎn)。作川UOB于尸，根據(jù)SA4℃=SACOD=SABOD得BF=EF=OE,得出

BF=EF=OE=\n,根據(jù)點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=?(%>0)±,得出C(9如，代入直線AB的解析式，即可求

解.

(1)

解：0m+n=8,

團(tuán)?71=8—九，

團(tuán)點(diǎn)A(m,0),B(0,?i)(m>0,n>0),

團(tuán)SA4BO=108.04=171(8_幾)=_：(71—4)2+8,

加=4時，SAW。取最大值，最大值為8,

即當(dāng)九=4時，A4B。的面積最大;

(2)

解：如圖,

團(tuán)SA4OC=SACOO=SABO。，

^BD=CD=ACf

過點(diǎn)。作CE_LOB于E,過點(diǎn)。作。凡LOB于F,

^DF\\CE\\OA,

團(tuán)BF=EF=OE,

團(tuán)點(diǎn)3(0,71)(n>0),

團(tuán)。B=n,

BBF=EF=OE=-n,

3

團(tuán)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為［九，

團(tuán)點(diǎn)。在反比例函數(shù)y=:(%〉0)的圖象上，

配(停軻，

團(tuán)點(diǎn)人(TH,0),8(0,71)(m>0,n>0),

團(tuán)直線AB的解析式為y=-\%+九，

團(tuán)點(diǎn)C在直線A5上，

l,n3m,1

團(tuán)---x-----\-n=-n,

mn3

解得幾=看

as

【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要考查了三角形面積公式，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，知識拓展

得出的結(jié)論，解第一問的關(guān)鍵是建立SAAB。與n的函數(shù)關(guān)系式，解第二問的關(guān)鍵是得出BF=EF=OE=（n.

【考點(diǎn)5相似多邊形】

21.（2022?山東青島,?？家荒＃┫铝薪Y(jié)論不正確的是（）

A.所有的正方形都相似B.所有的菱形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的正五邊形都相似

【答案】B

【分析】利用"對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等的多邊形相似"進(jìn)行判定即可.

【詳解】解：4、所有的正方形都相似，故A正確，不合題意；

B、菱形的內(nèi)角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，故B不正確；符合題意；

C、所有的等腰直角三角形都相似，故C正確，不合題意；

0、所有的正五邊形邊都相似，故D正確，不合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的定義，解題的關(guān)鍵是了解對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等的多邊形相似，

比較簡單.

22.（2022?廣東陽江?統(tǒng)考一模）若兩個相似多邊形的面積之比為1：4,則它們的周長之比為（）

A.1：4B.1：2C.2：1D.1：16

【答案】B

【分析】根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長之比等于相似比，就可求解.

【詳解】解：回兩個相似多邊形面積比為L4,

回周長之比為R=1：2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì).相似多邊形對應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相

似比的平方.

23.（2022?河北?模擬預(yù)測）如圖所示的四邊形，與選項中的四邊形一定相似的是（)

1

【分析】根據(jù)勾股定理求出四邊形A3。的四條邊之比，根據(jù)相似多邊形的判定方法判斷即可.

【詳解】作于E,

則四邊形AECD為矩形，

團(tuán)EC=AD=1,AE=CD=3,

^BE=4,

由勾股定理得，AB^yjAE2+BE2^5,

團(tuán)四邊形ABC。的四條邊之比為1：3：5：5,

。選項中，四條邊之比為1：3：5：5,且對應(yīng)角相等，

【點(diǎn)睛】此題考查相似多邊形的判定定理，兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，則這兩個多邊形相

似，此題求出多邊形的剩余邊長是解題的關(guān)鍵，利用矩形的性質(zhì)定理，勾股定理求出邊長.

24.（2022?河北衡水?統(tǒng)考一模）在研究相似問題時，甲、乙兩同學(xué)的觀點(diǎn)如下：

甲：將邊長為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，它們的對應(yīng)邊間距為1,則新菱形與原菱形相

似.

乙：將邊長為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張,得到新菱形，每條對角線向其延長線兩個方向各延伸1,則新

菱形與原菱形相似;

對于兩人的觀點(diǎn),下列說法正確的是（).

A.兩人都對B.兩人都不對C.甲對，乙不對D.甲不對，乙對

【答案】C

【分析】根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：甲：將邊長為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，各邊與原菱形邊平行，因此各

角與原菱形角對應(yīng)相等，平移后四條邊依然相等，即新菱形與原菱形相似;

乙：將邊長為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，各邊與原菱形邊不平行，因此各角與原菱形角

不相等，即新菱形與原菱形不相似.

所以甲對，乙不對,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的判定.此題難度不大，熟練應(yīng)用相似多邊形的判定方法是解題關(guān)鍵.

25.（2022?山東青島?山東省青島實驗初級中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，一張矩形紙片沿它的長邊對折（EF為

折痕），得到兩個全等的小矩形，如果小矩形與原來的矩形相似，那么小矩形的長邊與短邊的比是.

AED

BFC

【答案】V2：1.

【分析】設(shè)原來矩形的長為x,寬為y,先表示出對折后的矩形的長和寬，再根據(jù)相似矩形對應(yīng)邊成比例列

出比例式，即可得答案.

【詳解】設(shè)原來矩形的長為x,寬為y,

則對折后的矩形的長為y,寬為;,

團(tuán)得到的兩個矩形都和原矩形相似,

x

?。簓=y：

解得x：丫=方：1.

故答案為：V2：1

【點(diǎn)睛】本題主要利用相似多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，正確找出對應(yīng)邊是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)6相似三角形的判定與性質(zhì)】

26.（2022?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=1+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、8,點(diǎn)C為線段4B

上一動點(diǎn)（不與A、B重合），以C為頂點(diǎn)作NOCD=射線CD交線段。B于點(diǎn)。，將射線。C繞點(diǎn)。

順時針旋轉(zhuǎn)90。交射線CD于點(diǎn)E,連接BE.

⑴證明：器=黑；（用圖1）

DBDE

（2）當(dāng)ABDE為直角三角形時，求DE的長度；（用圖2）

⑶點(diǎn)A關(guān)于射線。C的對稱點(diǎn)為R求8F的最小值.（用圖3）

【答案】⑴見解析

Q

（2以=；

（3）2

【分析】（1）由條件可證得△BDOAED。，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得生=搭，即生=

（2）先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出力0、B。的長度，然后作出對應(yīng)的圖2,可證明tanNOCD=tanNO4B,從而得

到絲=2￡=￡=m，設(shè)。。=3巾，CD=4m,結(jié)合△CDB-△AOB對應(yīng)邊成比例，得到BD=3小，貝1］。3=

OACD84

BD+OD=3m+3m=6,解方程得到巾=1,所以。D=BD=3,CD=4,再由（1）的結(jié)論絲=也，可

DBDE

計算出DE=J.

4

【詳解】(1)證明：已知射線。C繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90。交射線CD于點(diǎn)E,

???Z.COE=90°,

Z.AOB=乙COE=90°,

???AOCD=Z-OAB,

乙ABO=90°一乙OAB,tCEO=90°-ZOCD

???Z-ABO=乙CEO,

又「(BDC=乙EDO,

BDC~△EDO,

CD_DB

：'~OD=~DE

.CD_OD

"DB-DE；

(2)解：直線y=：%+6,當(dāng)％=0時，y=6,

???8(0,6),

???OB=6,

當(dāng)y=o時，-%+6=0,

4

???x=-8,

4(_80),

???OA=8,

如圖2,Z.BDE=90°,

圖2

???"DC=乙BDE=90°,

???"CD=AOAB,

???tan乙0CD=tanz.OAB,

OB_OD_6_3

OA~CD—8~4f

???設(shè)00=3m,CD=4m,

???乙CDB=/.A0B=90°,

???CO||04

CDB~△AOB,

CD_BD日n47n_BD

-i_i"-f

OAOB86

BD=3m,

??.OB=BD+OD=3m+3m=6,

???m=1,

BD=3,CD=4,

I/y、ArtCDOD

由（1）知：—=一，

DBDE

.4_3

,,——，

3DE

9

.??DE=—

4

(3)解：如圖3,由對稱得：。4=。尸,

圖3

則動點(diǎn)/在以。為圓心，以04為半徑的半圓上運(yùn)動，

???當(dāng)/在y軸上，此時在2的正上方，BF的值最小，如圖4,

圖4

此時BF=OF-OB=8-6=2,即BF的最小值是2.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題、軸對稱圖形特

征、圓的性質(zhì)、動點(diǎn)中的最短距離問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，采用數(shù)形結(jié)合，利用相似比

列方程求線段長是解題關(guān)鍵.

27.(2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題)在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進(jìn)行了探究.如圖

(1),在菱形ZBCD中，NB為銳角，E為BC中點(diǎn)，連接DE,將菱形力BCD沿OE折疊，得到四邊形AB'ED,

點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)4,點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'.

圖(1)圖⑵圖⑶

⑴【觀察發(fā)現(xiàn)】AD與B'E的位置關(guān)系是；

⑵【思考表達(dá)】連接夕C,判斷ADEC與是否相等，并說明理由；

⑶如圖(2),延長DC交4B'于點(diǎn)G,連接EG,請?zhí)骄緼DEG的度數(shù)，并說明理由；

⑷【綜合運(yùn)用】如圖(3),當(dāng)NB=60。時，連接B'C,延長DC交4B'于點(diǎn)G,連接EG,請寫出B'C、EG、DG之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴ADIIB'E；

(2)4DEC=KB'CE,理由見解析；

⑶N￡)EG=90。，理由見解析；

(4)DG2=EG2+^B'C2,理由見解析.

16

【分析】(1)利用菱形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)判斷即可；

(2)連接B'C,BB',由EB=EC=EB'可知點(diǎn)8、B\C在以BC為直徑,E為圓心的圓上，貝UNBB'C=90。，

由翻折變換的性質(zhì)可得BB，IDE,證明。臼￡夕，可得結(jié)論；

(3)連接夕，延長DE至點(diǎn)求出NDG4=180°-2x-y,Z.GB'C=90。一3y-x,可得“G4=

2乙GB'C,然后證明GC=GB',可得EG_LCB',進(jìn)而得到DE_LEG即可解決問題.

(4)延長DG交EP的延長線于點(diǎn)T,過點(diǎn)。作DR1G4交G4'的延長線于點(diǎn)R,設(shè)GC=GB'=x,CD=A'D=

A'B'-2a,解直角三角形求出4R=a,DR=房,利用勾股定理求出x=(a,然后根據(jù)相似三角形的判

定和性質(zhì)及平行線分線段成比例求出7夕=DE=]CB',再根據(jù)勾股定理列式即可得出結(jié)論.

34

【詳解】(1)解：團(tuán)在菱形4BCD中，ADWBE,

13由翻折的性質(zhì)可知，A'DWB'E,

故答案為：A'DWB'E；

(2)解：4DEC=^LB'CE,

理由：如圖，連接B'C,BB',

BE為中點(diǎn)，

EIEB=EC=EB',

回點(diǎn)8、夕、C在以BC為直徑乃為圓心的圓上，

EINBB'C=90°,

EIBB'1B'C,

由翻折變換的性質(zhì)可知8次1DE,

WEWCB',

^DEC=Z.B'CE-,

(3)解：結(jié)論：LDEG=90°；

理由：如圖，連接B'C,DB,DB',延長DE至點(diǎn)H,

由翻折的性質(zhì)可知NBDE=乙B'DE,

設(shè)N8DE=/.B'DE=x,/-A-/.A'=y,

回四邊形48CD是菱形，

0Z4PB=乙CDB=^B'DA',/LABC=180°-y,

回乙4'DG=/.BDB'=2%,乙DBE=/.DB'E=90°--

2

^DGAf=180°-2x-y,

0ZB￡B,=/.BEH+乙B'EH=4DBE+4BDE+乙DB'E4-乙B'DE=90°--+%+90°--+%=180°-y+

22/

2x,

^EC=EB',點(diǎn)3、?、。在以BC為直徑乃為圓心的圓上，

11

EINEB'C=乙ECB'=-ABEB'=90°--y+x,

22,

QA'DWB'E,

團(tuán)乙4'B'E=180°-y,

^GB'C=Z.A'B'E-4EB'C=180°-y-(90°—,+%)=90°-iy-x,

WG4=2NGB'C,

0ZCGX,=^GB'C+AGCB',

EINGB匕=乙GCB\

EIGC=GB',

EIEB'=EC,

SEG±CB',

WEWCB',

EIDE1EG,

0ZDEG=90°；

(4)解：結(jié)論：DG2=EG2+-B'C2,

16

理由：如圖，延長DG交E9的延長線于點(diǎn)T,過點(diǎn)。作。R1G4交G4的延長線于點(diǎn)R,

設(shè)GC=GB'=x,CD=A'D=A'B'=2a,

ElNB=60°,

0Z4=Z-DA'B'=120°,

^ADA'R=60°,

EL4'R=A'D-cos60°=a,DR=V3a,

在RtAOGR中，則有(2a+x)2=(V3a)2+(3a-x)2,

4

[Ex=-a,

A.6

團(tuán)Gm=]a,A'G=|a,

^TB,\\DA,,

團(tuán)△B'TG?AA'DG,

-TB'GBr

%7=GI7,

,4

TB'

0-=|-

2a

4.

團(tuán)TB'=-a,

3

團(tuán)CB1IOE,

^CBrTB'%4

0------=--------=--------=-f

DEETa+-a7

3

7

回DE=-CB\

4

團(tuán)4。EG=90°,

WG2=EG2+DE2,

勸G2=EG2+f￡2.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，翻折變換，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形,

相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會

添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

28.(2022?寧夏?中考真題)如圖，一次函數(shù)y=kx+6(k40)的圖象與無軸、y軸分別相交于C、B兩點(diǎn)，與

反比例函數(shù)y=?(小力0,x>0)的圖象相交于點(diǎn)4OB=1,tan/OBC=2,BC：CA=1：2.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。是線段4B上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)。作y軸平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E,連接BE.當(dāng)ABDE面積最

大時，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】⑴y=g(x>0)

(2)點(diǎn)￡>的坐標(biāo)為(1,-J

【分析】(1)過點(diǎn)4作軸于點(diǎn)尸，先證AACF回ABCO,根據(jù)對應(yīng)邊成比例得翌