相似三角形的證明與計(jì)算50道大題專訓(xùn)（解析版）

專題21相似三角形的證明與計(jì)算50題大題專訓(xùn)

【精選2023年最新考試題型專訓(xùn)】

國【題型目錄】

1.（2020秋?上海青浦?九年級?？计谥校┤鐖D，在。8C中，點(diǎn)P、。分別在邊8C、AC±,PAYAB,垂

ApRp

足為點(diǎn)A,DP1BC,垂足為點(diǎn)尸，言=笠.

⑴求證：NAPD=NC；

（2）如果AB=4,￡）C=3,求4P的長.

【答案】（1）見詳解

⑵2

【分析】(1)通過證明RtANBPsRtAPCD,可得=ZAPB=ZCDP,由外角性質(zhì)可得結(jié)論;

ApAn

(2)通過證明可得—=一,即可求解.

ACAP

【詳解】(1)證明：?.?P4_LZB,DP1BC,

■.ZBAP=ZDPC=90°,

.AP_BP

‘訪一五,

.APPD

.而一訪‘

Rt公ABPSRLPCD,

?./B=/C,AAPB=ZCDP,

.?ZDPB=ZC+ZCDP=/APB+ZAPD,

\ZAPD=ZC；

(2)解：-ZB=ZC,

/.AB=AC=4,

，;CD=3,

AD=AC-CD=\,

?/ZAPD=ZC,ZCAP=ZPAD,

:.AAPCS"DP,

,APAD

,,花―IF'

AP2=AD-AC=lx4=4,且AP>0,

AP=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解

決問題，屬于中考?？碱}型.

2.（2020秋?上海青浦?九年級校考期中）如圖，在RtZ\4BC中，//CB=90。，點(diǎn)。在NC上

(1)已知：AC=4,BC=2,NCBD=ZA,求2。的長；

(2)取48,5D的中點(diǎn)E,F,連接CE,EF,FC,求證：ACEFs^BAD.

【答案】(1)逃

(2)見解析

【分析】（1）由題意易證即得出一=不，代入數(shù)據(jù)，可求出。=1.再根據(jù)勾股定理求

CJ3CA

解即可；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得出W=gAD,CE=^AB.根據(jù)三角形中位線定理可得出

1CFFFCF1

EF=-AD,即得出——=——=——從而可證

2BDADAB2

【詳解】（1）,；NCBD=ZA,/BCD=/ACB,

???ACBDsACAB,

CDCBCD2

???——二——，R即n——=-，

CBCA24

/.CD=1.

-ZACB=90°

■■BD=4CD2+BC2=45；

（2）證明：隹、尸分別是RtZ\48C、RtABCD斜邊上的中點(diǎn),

：.CF=-BD,CE=-AB.

22

又???￡、尸分別為是AB、AD的中點(diǎn)，

：.EF=-AD,

2

CFEFCE1

△CEFs^BAD.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形中位線定

理.熟練掌握三角形相似的判定定理是解題關(guān)鍵.

3.（2023秋?浙江金華?九年級校考開學(xué)考試）如圖，在正方形中，0）=4,在邊上取中點(diǎn)E,連

接。E,過點(diǎn)E做E廠,皮（與48交于點(diǎn)G,與的延長線交于點(diǎn)尸.

(1)求證：ABEGsACDE；

(2)求ANFG的面積.

【答案】（1）見解析

(2)9

【分析】（1）正方形的性質(zhì)，得到4=NC=90。，同角的余角相等，得到/BGE=/CED,即可得證；

（2）ABEGsACDE,得到些=些，求出8G的長，進(jìn)而求出NG的長，證明尸Gs^BEG,求出小

CECD

的長，再利用面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）證明：???四邊形是正方形，

/B=/C=90°,

；"BEG+/BGE=90。,

???EF工ED,

???/BEG+NCED=90。,

:.NBGE=/CED,

在△3￡6和4。?！?中,

Z5=ZC=90°

NBGE=NCED

.?.ABEGs4CDE.

（2）解：???在正方形43CQ中，CO=4,點(diǎn)E為3。的中點(diǎn)，

...BE=CE=2,BC〃AD,AB=CD=4,BA1AD,

???ABEGs4CDE,

BGBEBG2

——=——,即nn——=-,

CECD24

解得5G=1,

：.AG=AB-BG=3,

又???BC//AD,

AAFGS^BEG,

AFAGAF3

???——=——,即Rn——=-,

BEBG2\

解得4尸=6,

則kG的面積為」4尸/6=工*6、3=9.

22

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似.

4.（2022?湖南株洲?校考模擬預(yù)測）如圖，四邊形/BCD是矩形，E是3。上的一點(diǎn)，NBAEZBCE,

NAED=NCED.點(diǎn)、G是BC、NE延長線的交點(diǎn)，4G與CD相交于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形N8CD是正方形；

3

Q）當(dāng)AE=3EF,。產(chǎn)=—時(shí)，求G尸的值.

8

【答案】（1）證明見解析

03麗

4-

【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)，易證"DE之ACDE(AAS),得到/Q=CD,即可證明結(jié)論；

9Q3

(2)利用正方形的性質(zhì)，易證AABEs^FDE,求得進(jìn)而得到CF=~,再證明

OO4

9

AADFFGCF,求得GC=：,然后由勾股定理，即可求出G尸的值.

4

【詳解】(1)解：???四邊形Z8C。是矩形，

ZBAD=ZBCD=90°,

???/BAE=/BCE,

/./BAD-ZBAE=BCD-/BCE,

/./DAE=ZDCE,

在V4DE和△CQE中，

ZDAE=ZDCE

<ZAED=ZCED,

DE=DE

.?.△^DE^ACDE(AAS),

AD=CD,

???四邊形/BCD是正方形；

(2)解：,??四邊形/BCD是正方形，

AB=AD=CD,/BCD=9。。,AD//BC,AB//CD,

/ABE=ZFDE,/BAE=/DFE,

:AABES八FDE,

.AB_AE

,?而一而‘

3

?；AE=3EF,DF=~,

8

9

/.AB=3DF=-,

8

9

:.CD=AD=-,

8

3

:.CF=CD-DF=-,

4

vAD//BC,

:./DAF=ZCGF,ZADF=ZGCF,

.△ADFs小GCF,

DF_AD

~CF~~GD

CFAD9

GC=

DF4

在R"CG中，GF=E港4

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵.

5.(2022?福建龍巖??？寄M預(yù)測)如圖，月8是的直徑，點(diǎn)。，￡在OO上，S.ZA=2ZBDE,點(diǎn)C

在4B的延長線上.

(1)若=求證：CE是。。的切線；

⑵若。。的半徑長為5,DB=6,求4的長.

【答案】(1)見詳解

⑵8

【分析】(1)連接OE,易得乙4DB=90。,證明48OE=N/,聯(lián)立/C=可求證；

ApOFAFOF

(2)連BE,OE,先證明廣，即有=進(jìn)而有==晨利用勾股定理可得

ADBOADBO

AD=8,問題得解.

【詳解】(1)連

???48是。。的直徑,

：.AADB=9QQ,

.??/A+/ABD=90°,

vABOE=2ZBDE,/A=2/BDE,

/BOE=NA,

???ZC=/ABD,

/.ZBOE+ZC=90°,

???Z(9EC=90°,

???半徑O￡_L￡C,

???C￡是。。的切線；

(2)連BE,OE,如圖，

vZBOE=2ZBDE,/A=2/BDE,

/BOE=ZA,

???/ABE=ZADE,

△BOEs小DAF,

AFOE

.茄―茄'

???OO的半徑長為5,

OB=OE=AO=5,

???是。。的直徑,

；?NADB=90。，

??AB2=AD2+BD\

?；DB=6,48=10,

AD—8,

AF=AD=8.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵在于合理作出

輔助線轉(zhuǎn)化求解.

6.(2023?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線夕=辦2+云+&。#0)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。，且頂點(diǎn)為

/（2,-4）.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)為3,點(diǎn)尸位于拋物線上且在x軸下方，連接0/、PB,若

ZAOB+ZPBO=9Q°,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】(l)y=，-4x

⑵尸5

【分析】(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為丁=。(％-2)2-4,將。(0,0)代入可得歹=——4x；

(2)過A作軸于T,過戶作PK_Lx軸于K,設(shè)尸(私加加)，求出5(4,0)；根據(jù)

24

ZAOB+ZAOT=90°,/AOB+/PBO=90。，得NAOT=NPBO,故/XAOTS^PBK,從而一=~——，即

—m+4m4—m

可解得答案.

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-2)2-4,

將0(0,0)代入得：4a-4=0,

解得a=1,

y=(x_2)2_4=x"_4x?

(2)過A作軸于T,過戶作PK_Lx軸于K,如圖：

設(shè)尸（見蘇-4m）,

在＞=%2一?中，令y=0得x=0或尤=4,

..3(4,0)；

-ZAOB+ZAOT=90°,ZAOB+ZPBO=90°,

ZAOT=ZPBO,

ZATO=90°=ZPKB,

/.AAOTsAPBK,

.AT_OT

一~PK~~BK'

???42,-4),

24

?,--2~~，

—m+4~Tm~=~4A-m

解得小=g或加=4（此時(shí)尸與B重合，舍去）,

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明

△AOTsMBK,用對應(yīng)邊成比例列式求出m的值.

7.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）矩形/BCD中，E為。C上的一點(diǎn)，把VNDE沿NE翻折，使點(diǎn)。恰好

落在8c邊上的點(diǎn)尸.

(1)求證：AABFsMCE；

⑵若A8=4百，AD=S,求CE的長.

【答案】(1)見解析

(2)CE的長為殍

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)可得48=/C=40=90。，由翻折的性質(zhì)可得a4用=ND=90。，進(jìn)而推出

ZFAB=ZEFC,即可得證；

(2)由題意可知，4F=4D=8,CD=AB=4y/3,DE=EF,設(shè)C￡長為x,貝I］斯==46-x,由勾股

定理可得5尸=4,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】(1)證明：???四邊形/BCD是矩形，

4B=NC=2D=90°,

-,?^AEF是AAED翻折得到，

ZAFE=ZD=90°,

ZAFB+ZEFC=90°,

;NAFB+NBAF=90°,

NFAB=ZEFC,

:.AABFSAFCE；

(2)解：由題意可知，AF=AD=8,CD=AB=473,DE=EF,

設(shè)CE長為x,貝?。荨晔?￡)￡'=46-x,

在Rt-BF中，BF=ylAF2-AB2=心一(4國=4,

,：AABFS八FCE,

,A^_BF_8=4

艮4y［3-x~x，

角星得：x=W,

3

???CE的長為上叵.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上

知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

8.(2023?山西忻州?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，在“3C中，。為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在NC上，尸在DE的延長

線上，DE=EF,連接CV、BE、CD,且BE、CD交于點(diǎn)G,CF//AB.

⑴求證：四邊形8C7辦是平行四邊形；

(2)若ADGE面積為2,求平行四邊形2CED面積.

【答案】(1)見解析

(2)24

【分析】(1)根據(jù)AAS證明得出CF=4D,進(jìn)而得出CF=M,即可求證；

1EG1S1s

(2)易證。E=w3C,Z)E〃BC,得出ADEGsABCG,得出展=彳，進(jìn)而得出甘造=不，甘nr?F運(yùn)

2BG2、ADGB2、ACGB

最后根據(jù)S平行四邊形BCFD=2s4BCD即可求解.

【詳解】(1)證明：???CF〃4B,

；./A=/ECF,

在AEAD和/\ECF中，

'/A=ZECF

<ZAED=ZCEF,

DE=EF

.”EAD%ECF(AAS),

：,CF=AD,

???D為的中點(diǎn)，

AD=BD,

:.CF=BD,

vCF//AB,CF=BD,

???四邊形BCFD是平行四邊形；

(2)解：???△以￡)也△￡(7尸(AAS),

；,4E=CE,即點(diǎn)E為4。中點(diǎn),

???。為4S的中點(diǎn),

：.DE=-BC,DE//BC,

2

/DEG=ZCBG,ZEDG=/BCG,

??.ADEG^ABCG,

DEEG

.S.DGE=￡S.DGE=(1Y=1

S.DGB2,廣“

則SnCR=2SncF=4,Sc,R=4s)面=8,

.c—v_i_c_17

,,口ABCD—"ADGBT3CGB一,乙，

.c—7v—74

??O平行四邊形3CFD—40ABCD―4什?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是掌握有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一

半；相似三角形面積比等于相似比的一把.

9.（2023秋?遼寧沈陽?九年級沈陽市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在邊長為10的菱形/BCD中，對角線

AC.AD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作直線EF分別交5c的延長線于點(diǎn)￡、F,連接BE、DF.

⑴若EF=BD,判斷四邊形EAED的形狀.并說明理由；

（2）若EFJ.CD于H,CH:DH=2:3,直接寫出OH的長度.

【答案】（1）矩形，理由見解析

(2)276

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得40=0C,AD//BC,則/瓦4。=/尸CO；根據(jù)全等三角形的判定，得

△EAO當(dāng)AFCO（ASA）,得OE=O尸；根據(jù)平行四邊形的判定，矩形的判定即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，AC1BD,則/。?！?/。?！?90。，根據(jù)斯工C。，得NCOH+NOCH=90。，根

據(jù)等量代換=根據(jù)相似三角形的判定得根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

OH?=CHHD,求出5=4,DH=6,即可得到答案.

【詳解】(1)四邊形理/*是矩形，理由如下：

???四邊形是菱形，

：.AO=OC,AD//BC,

/.ZEAO=ZFCO,

???在△E4O和△產(chǎn)CO中，

ZEAO=ZFCO

<AO=OC,

ZAOE=ZCOF

△R4O空△FCO(ASA),

??.OE=OF,

vOB=OD,

???四邊形EBFD是平行四邊形，

vEF=BD,

???四邊形E屏2是矩形.

(2)???四邊形/BCD是菱形，

：.AC1BD,

'.ZCOH+ZDOH=90°,

?:EF_LCD,

ACOH+ZOCH=90°,

/.ZOCH=ZDOH,

SOCHs^DOH,

CHOH

",市一面'

-OH2=CHHD,

?:CH:DH=2:3,CD=10,CH+DH=10,

??.C7/=4,DH=6,

???OH=y/CHxHD=276.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形得判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握菱形

的性質(zhì)，矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì).

10.（2023秋?吉林長春?九年級校考開學(xué)考試）如圖，在Y28CD中，對角線/C與AD相交于點(diǎn)O,

ZCAB=ZACB,過點(diǎn)8作交NC于點(diǎn)E.

(1)求證：AC1BD；

(2)若4B=10,AC=16,求OE的長.

【答案】(1)見解析

9

⑵?！?]

【分析】(1)可證A8=C8,從而可證四邊形/BCD是菱形，即可得證;

(2)可求。2=6,再證AMOSABNO,可得取=也，即可求解.

BOAO

【詳解】(1)證明：NCAB=NACB,

AB=CB,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

.??四邊形/BCD是菱形，

AC1BD.

(2)解：???四邊形是平行四邊形，

'.OA=-AC=8

2

vAC1BD,BELAB,

ZAOB=/BOE=/ABE=90°,

??OB=y]AB2-OB2=V102-82=6,

vZEBO+ZBEO=90°,NABO+/EBO=90。

??.ZBEO=ZABO,

小EBOS^BAO,

EOBO

“而一茄’

_EO6

9

解得：0E=~.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握

相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.（2022秋?浙江杭州?九年級校考期中）如圖，在Y48CD中，點(diǎn)E在月8上，AE=^AB,瓦）和/C相

交于點(diǎn)F,過點(diǎn)尸作尸G〃AB,交4D于點(diǎn)G.

⑴求尸G:/E的值.

⑵若AB:AC=g:2,

①求證：AAEF=ZACB.

②求證：DF2=DGDA.

【答案】（l）FG:/￡=3:4

（2）①詳見解析；②詳見解析

【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)平行線的性質(zhì)，通過證明得FD=3EF；再結(jié)合FG〃/8,

根據(jù)平行線性質(zhì)，通過證明尸，根據(jù)相似比的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；

AJ7A17

（2）@AC=2a,根據(jù)題意計(jì)算得/反AE-結(jié)合（1）的結(jié)論，得相，從而推導(dǎo)得-或=-右，通過證明

ACAB

△EAFs^CAB,即可完成證明；

②根據(jù)（2）①的結(jié)論以及平行線的性質(zhì)，證明△。廠GSAD4尸，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，即可完成證

明.

【詳解】（1）解：,:YABCD,

：.AB//CD,

；"EAF=ZDCF,

ZAFE=ZCFD,

??.△AFEs^CFD,

EFAE_AF

,.而一五一斤'

???AE.AB,AB=CD,

EFAEAE1

=—=",即on尸。=3斯，

~FDCDAB3

?:FG〃AB,

ZAED=NGFD,

???/ADE=ZGDF,

???叢ADEs叢GDF,

FGFDFD3EF3

------.......—________——_即/；

"AE—ED~EF+FD~EF+3EF~4G:/E=3:4

(2)證明：①設(shè)/C=2a,

??AB:AC=y/3:2,

?*-AB=垂id，

AE=—a,

3

AEEF_AF]_

由（1）的結(jié)論，得:

CD-FC3

1a

：,AAFT7=—AC=—

42

???AE?AB=d=AF?AC,

即：生二空

ACAB

?:/EAF=/CAB,

.?.△EAFs'AB,

，NAEF=/ACB；

@-FG//AB,

ZDFG=/DEA,

???AEAFs/\CAB,

:./AEF=/ACB,

???AD//BCt

??.ZACB=ZFAD,

??.ZDFG=/FAD,

vZFDG=ZADF,

ADFGS八DAF,

DFDG

'~DA~^F'

-DF2=DGDA.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、平行線、相似三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線、相似三角

形的性質(zhì)，從而完成求解.

12.（2023秋?陜西榆林?九年級?？计谀?）問題發(fā)現(xiàn)，如圖1,在中，乙4=90。,二廠=1,點(diǎn)尸

AC

是邊3c上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)3重合），ZPAD=90°,ZAPD=ZB,連接CD.

圖1

⑴①求擊的值；

②求//CD的度數(shù).

（2）拓展探究，如圖2,在中，乙4二90。,二薜二左.點(diǎn)0是邊5。上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)3重合），

ACz

/PAD=90。,ZAPD=/B,連接CD,請判斷//CD與-5的數(shù)量關(guān)系以及尸B與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.

【答案】⑴①1;②45。

⑵ZACD=NB,=左，理由見解析

【分析】（D根據(jù)已知條件推出附△/??,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到尸8=CD,48=4=45。,

于是得到P券B=1;

Ap

⑵根據(jù)已知條件得到"CSA/町由相似三角形的性質(zhì)得到就=而兒得到“?，根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論;

AR

【詳解】(1)?.Z=90°,—=1,

AB=AC,

，/B=45。,

/PAD=90°,ZAPD=/B=45°,

AP=AD,

/BAP=/CAD,

在△ZAP與△4CD中，

AB=AC

<ABAP=ACAD,

AP=AD

.?.△45-CO(SAS),

/.PB=CD,NACD=ZB=45°,

A—=1,

CD

故答案為：1,45°；

DDAD

(2)ZACD=ZB,——二——=k；

CDAC

理由是：QZBAC=ZPAD=90°fZB=ZAPD,

:.AABCS"PD,

ABAP7

二.——=——=k,

ACAD

???NBAP+/PAC=NPAC+ACAD=90°,

/BAP=/CAD,

:."BPS八ACD,

PBAB

1./ACD=/B,

~CD~^C~

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.Q022秋?黑龍江哈爾濱?九年級哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系》伽內(nèi)已知點(diǎn)A

和點(diǎn)3的坐標(biāo)分別為（0,6）,（8,0）,動點(diǎn)尸從點(diǎn)A開始在線段/。上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)。移動,

同時(shí)動點(diǎn)。從點(diǎn)3開始在線段8/上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A移動，設(shè)點(diǎn)P,。移動的時(shí)間為f

秒.

yt

(1)求直線的解析式；

(2)當(dāng)f為何值時(shí)，△AP0與AA8。相似？

24

(3)當(dāng)f為何值時(shí)，△/尸。的面積為]■個(gè)平方單位?

3

【答案】⑴直線22的解析式為y=-]X+6

⑵七五或F秒

(3)2或3秒

【分析】(1)設(shè)直線48的解析式為V=Ax+6(左*0),解得左，b即可；

(2)由/。=6,3。=8得/3=10,當(dāng)△NOBs△/尸。時(shí)，理=坐，利用其對應(yīng)邊成比例解/.當(dāng)

ABAO

△NOBs4/。尸時(shí)，名=黑，利用其對應(yīng)邊成比例解得/.

ABAO

(3)過點(diǎn)。作于根據(jù)得出“H0SA/8。，得笑=坐，求出〃。=8-1，再

OBAB5

24

根據(jù)△NP。的面積為M，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：設(shè)直線N2的解析式為y=b+b,則

(6-bk———

將點(diǎn)“(0,6),8(8,0)代入，可得0=：+6,解得=-4,

[[b=6

3

二直線的解析式為了=-,+6；

4

(2)解：由4(0,6),5(8,0),可得，AO=6,BO=8,

???在直角三角形/。3中，A8=Jo/Z+OB?=，中+8?=10，

AP=t,BQ-2t,

AQ=10—2t,

???/P4Q=/BAO，，分兩種情況討論：

當(dāng)、1/△人//O八BDs△A/A尸。n時(shí)-U，4P=修，即nnt10—2/解左刀得，曰，=30

ABAO61011

當(dāng)、1,人,八DAA尸n時(shí)-J-，AP=修"。，即口門t10—2t解左R/得日公50

ABAO10613

綜上，當(dāng)仁,或個(gè)秒時(shí)，△/尸。和。。3相似；

(3)解：過點(diǎn)。作于H,

則8。〃。6,

小AHQs小4BO,

二.用=絲,即些=吐土

OBAB810

O

解得“0=8-?，

241

???△”尸。的面積為g,SAAPQ=-APHQ,

?，--x?xl8--d=—，解得％=2,，2=3,

24

???當(dāng)仁2或3秒時(shí)，△/尸。的面積為1個(gè)平方單位.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合題，根據(jù)題意作出輔助線.構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵.

14.(2022秋?湖南永州?九年級?？计谥?如圖所示，在正方形N3CD中，G為CD邊中點(diǎn)，連接4G并延長

交BC邊的延長線于E點(diǎn)，對角線交NG于尸點(diǎn).

(1)直接寫出一個(gè)與△/￡＞尸相似的三角形:

(2)求證：BC=CE；

(3)若PG=2,求線段/￡的長度.

【答案】(I)AADFSAEBF

(2)證明見解析

(3)AE=12

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)可得4D〃5C,可得“DFs八EBF；

(2)證明N4DC=/BCD=90。=NGC￡,AD=BC,證明。G=CG,結(jié)合/AGD=/CGE,可得

△ADG—ECG,則4D=CE,從而可得結(jié)論;

(3)由△4Z)G也△￡CG,可得4G=GE,由公ADF?小BEF,MFG=2,AF+FG=EG,可得

AFAD1,AF

-------——,貝rUn---------------從而可得答案.

FEBE2AF+2+2

【詳解】(1)解：?.?正方形/BCD,

??.AD〃BC,

ZDAF=/BEF,ZADF=ZEBF,

???AADFS^EBF.

(2)?.?正方形4BC。，

ZADC=/BCD=90°=ZGCE,AD=BC,

???G為C。邊中點(diǎn)，

；.DG=CG,

???NAGD=ZCGE,

AADGOECG,

AD=CE,

??.BC=CE；

(3)?：AADG烏AECG,

.?.AG=GE,

?；AD=BC=CE,

AD_1

,?=一，

BE2

^ADF~^BEF,而FG=2,AF+FG=EG,

AFAD

AF_1

"AF+2+2~29

AF=4,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意;

.-.AE=2{AF+FG)=\2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的證明

△ADFs^EBF與“DG冬AECG是解本題的關(guān)鍵.

15.（2022秋?四川成都?九年級成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，已知在。8C中，P為邊ABk一點(diǎn),連接CP,M

為C尸的中點(diǎn)，連接8M并延長，交NC于點(diǎn)。，N為4P的中點(diǎn)，連接7W.若NACP=NABD.

⑴求證：AC-MN=BN-AP；

（2）若48=6,AC=4,求8P的長.

【答案】（1）見解析

（2）8尸的長2石

【分析】（1）由三角形中位線定理得到〃/C，MN《AC,則乙4=又由已知

2

ArAP

/ACP=/ABD,得到則——=——,即可得到結(jié)論；

NBNM

（2）求出AGV=，NC=2,設(shè)4N=x,則/尸=2x,BN=AB-AN^6-x,根據(jù)=得到

2

4x2=2x（6-x）,解得M=3+右,馬=3-石，進(jìn)一步得至U/P=6-2石，即可得到8尸的長.

【詳解】⑴證明：為。尸的中點(diǎn)，N為4P的中點(diǎn)，

??."N是△/（7尸的中位線，

/.NM//AC,MN=-AC,

2

.??N4=/BNM,

又?：NACP=/ABD,

??.△ACPsANBM,

AC_AP

.?麗―而‘

.?.AC?MN=BN,AP；

(2)解：???4C=4,

：.MN=-AC=2,

2

設(shè)AN=x,貝!|AP=2x,BN=AB—AN=6—x,

■：AC-MN=BN-AP,

.-.4x2=2x(6-x),

解得答=3+y/5,x2=3—V5,

MP=6+2#(不合題意，舍去)，AP=6-2也,

；.BP=AB-AP=6-(6-2W=2店,

即3尸的長2*.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、一元二次方程的應(yīng)用等知識，熟練掌

握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.(2022秋?江西吉安?九年級?？茧A段練習(xí))如圖，“8C中，乙4c2=90。,CD為4B邊上的高，ZABC

的平分線8E分別交CR/C于點(diǎn)凡E.

(1)求證：ACBFSAABE；

(2)若48=10,BC=6,求VC8尸的面積;

⑶若BC=4。，求*的值.

AE

【答案】(1)證明見解析

27

⑵行

⑶

【分析】(1)證明N/=N3C。，即可求證；

(2)過點(diǎn)￡作于點(diǎn)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CE=A",設(shè)CE=ME=x,則/￡=8-x,再

根據(jù)可得從而得到S%E=；/RE"=15.然后由AC2尸SA/BE,

x=3,即可求解;

(3)由(2)知，CE=ME,AAMEs^ACB,再根據(jù)△BCDS/IB/C,可得

CEEM_BC_BC_1_1r

7E=^E=7B^BD+AD=^D^^~BC~,從而得到生=9二1,即可求解.

-------1-1F1AD7

BCAB/

【詳解】(1)證明：???。。為邊上的高，

ZADC=ZACB=90°,

??.N4+ZACD=ZACD+/BCD=90°,

.?.乙4=/BCD.

???BE平分/ABC,

/ABE=ZCBE,

???/\CBFs^ABE.

(2)解：如圖，過點(diǎn)七作￡可，/5于點(diǎn)M,

.'.AC=8.

?；BE平分NABC,ZACB=ABME=90°,

；.CE=ME.

設(shè)CE=ME=x,貝(J4E=8-x,

Z_A=Z_A,Z.AME=Z.ACB,

/\AME^/\ACB,

AEME

..商一葭.

R—xx

解得x=3,

10o

■△AH匕2=-2x10x3=15.

由(1)知ACBFSAABE,

”△慚」以丫二9

S-BE25

(3)解：由(2)知，CE二ME,Z\AME^/\ACB,

EM_BC

?.AE~AB'

???ZCBD=/ABC,ZA=/BCD,

???△BCDs^BAC,

BC_BD

???BC=AD,

CEEMBCBC11

：rAE~~AE~~AB~BD-.AD~BD~BC,

---------H1--------\~1

BCAB

.BCV5-1

??---=-----,

AB2

.CE_45-l

??---=-----?

AE2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

17.（2022秋?江西吉安?九年級?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.通過活動可以

激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn).讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)

一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣.

折一折：將正方形紙片折疊,使邊/A都落在對角線/C上，展開得折痕4W,AN,連接MV,

圖3

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊3C,CD于點(diǎn)、E,F,連接E尸，如圖2.

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線8。剪開，如圖4.

NMAN=°,寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：（不需要添加字母）；

(2)線段BE,EF,。尸之間的數(shù)量關(guān)系為；

CF

(3)連接正方形對角線AD,若圖2中的/E4F的邊4F分別交對角線AD于點(diǎn)G、點(diǎn)如圖3,求—

BG

的值.

【答案】(1)45,AAMN,AMNC,AABC,AADC(選取兩個(gè)即可).

⑵EF=BE+DF.

⑶近

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)可得△NBC,△/OC都是等腰三角形.由折疊可得

ABAM=ACAM=-ZBAC=22.5°,ADAN=ZCAN=-ADAC=22.5°,即可得到

22

AMAN=1(Z^C+ADAC)=|ABAD=45°,證明ABNM附ALMN(ASA),則B"=Z)N,AM=AN.又由

CB=CD得到CM=CN,則AAMN,ACMN都是等腰三角形.

(2)延長C2到T,使得BT=D尸,連接/T.證明尸之△NBT(SAS),貝l]

AT=AF,ZDAF=ZBAT.得至NE4T=NE4F=45。,證明AE4T之AEN-SAS),則￡F=ET.得至l]

ET=EB+BT=EB+DF,即可得到結(jié)論.

(3)由四邊形是正方形得到=尸=NB/C=45。，證明AC4FSA8/G,則

空二江=日

BGAB

【詳解】(1)如圖1中，

圖1

圖1

???四邊形/BCD是正方形，

AB=AD=BC=CD,ABAD=90°,

.■.^ABC,△4DC都是等腰三角形.

由折疊可得：

/BAM=/CAM=-ABAC=22.5°,/DAN=/CAN=-ADAC=22.5。，

22

??.AMAN=g(NB4C+ZDAC)=1/BAD=45°.

?：/BAM=NDAN=225。,ZB=ZD=90°,AB=AD,

.“BAMADAN(ASA),

：.BM=DN,AM=AN.

?；CB=CD,

CM=CN,

???AAMNACMN都是等腰三角形.

故答案為：45小AMN,AMNC,AABCAADC(選取兩個(gè)即可).

(2)結(jié)論：EF=BE+DF.

理由：如圖2中，延長C5到T,使得BT=DF,連接4T.

vAD=AB,ZADF=AABT=90°,DF=BT,

???△力。/也△/BT(SAS),

/.AT=AF,ZDAF=ZBAT.

???ZEAF=45°,

:"EAT=/BAE+ZBAT=ZBAE+ZDAF=45°,

??./EAT=ZEAF=45°.

AE=AE,

.ME4T3EAF(SAS),

；.EF=ET.

???ET=EB+BT=EB+DF,

：.EF=BE+DF.

故答案為：EF=BE+DF.

(3)如圖3中，

DFC

圖3

???四邊形Z5CQ是正方形，

/.AABD=ZACF=ABAC=45°,AC=41AB.

vABAC=ZEAF=45°,

:?/BAG=ZCAF,

.-.^CAF^^BAG,

BGAB

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌

握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

18.(2023秋?福建福州?九年級福州華倫中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖1,RtA4BC中，ZABC=90°,AC=5,

AB=4,將“8C繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到其中H是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，且0。<N/詡'<360。，連接

AA,,CC.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C'在線段44,上時(shí)，求△C8C'的面積;

【答案】(1)見詳解

108

(z2)----

?25

【分析】⑴TO-=-；從而可證—,，可得4才可求而=“即可得證;

12SCC

(2)過8作5Z)_L44,交于。，可求=可證可得CBC_|,可求

~AA

32

AAf=2AD=—,即可求解.

【詳解】(1)證明：???將，繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△力旋C,

BC=BC,BA=BA',NA'BC'=NACB=9?！?

.BCBC'

,,血一前’

ZCBC+ZABC=ZABA'+ZABC,

ZCBC=NABA',

:.ACBC'SA4B4',

,BCCC

"BA~~A^，

在RtAJSC中：BC=dAC?-AB。

='52-42=3，

,BC3

??一，

BA4

,CC_3

-4,

(2)解：如圖，過B作&)_L4H交/H于。,

,,

由旋轉(zhuǎn)得：AC=AC=5f

BC'=BC=3,BA=BA=4，

:.-A,CBD=-BA,BC,,

，一x5?BD=—x4x3,

:.BD=—

NA'BC'=NACB=90。,

/ABC+NABC'=/ACB+/ABC',

ZCBC=ZABAf,

.?△CBCSABA',

V

nKBCcc

ABA~AA

在RM4O5中：AD=YIAB2-BD2

BA=BA,

二.S△A4bRA/=_2AA'BD

13212192

25525

.QACBC'

..192

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，面積轉(zhuǎn)化，掌握性質(zhì)及判定方法

是解題的關(guān)鍵.

19.（2021春?安徽安慶?九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在。5C中，點(diǎn)。、G在邊4C上，點(diǎn)￡在邊5。上,

DB=DC,EG//AB,AE、BD交于點(diǎn)F,BF=AG.

D

BE

(1)求證：ABFEsACGE；

(2)當(dāng)44EG=/C時(shí)，求證：AB2=AG-AC.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）由等邊對等角，得